数学寻趣——宁都温晓宇初中数学工作室
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初中生数学学习的诊断与教学调控
上传: 龚凉冰 &&&&更新时间： 21:24:50
初中生数学学习的诊断与教学调控 北京市丰台区实验学校&吴文丽 一、初中生数学学习的诊断： 初中生数学学习的诊断将从三个方面来阐述：通常的数学学习的诊断方式、教学中常见的诊断方式、不同诊断方式的有效性。 （一）通常的数学学习的诊断方式 1．非正式评价： 包括三部分：一是观察、二是访谈、三是小测验。此三方面可以非正式的评估学生的数学概念与能力。 2．正式评价： 包括智力、学业成就（特别是有关数学的知识、运算和应用）、基本学习能力、教育与经验背景、学习过程等等，正式评价通常是正式的问卷和正式的考试试卷，或多角度的能力评估。 （二）数学教学中常见的诊断方式：
利用观察方式诊断学生的数学学习即观察学生的听数学的能力；观察学生说数学的语言；观察学生做数学的过程。通过观察对学生有一个直观的判断，通过观察也可以及时调控。 利用表述方式诊断学生的数学学习即听学生语言表述的过程；看学生书面表述的过程。学生语言表述的问题，通常是回答数学问题时条件不全、逻辑性问题；通过语言表述发现的问题就可以在回答问题、板书习题和作业的书写中进行诊断。 利用测验方式诊断学生的数学学习：常分为课内诊断（口算、小题测验）和阶段诊断(单元考试和统测)。这种方式常常是较为客观的，对学生的数学学习的诊断是比较有效的。但是这只是数学学习效果的一个方面。它难以很好的测试学生数学学习的能力。因此需要在实践中的检验方式及应用方式。 利用应用方式诊断学生的数学学习：一种是学校行为，看学生公式法则定理是否会正确使用，是否会灵活使用，从而得到优秀的学习成绩。另一种是社会行为，看学生在相应的实际问题中是否会用数学去解决相应问题的数学能力，即一种建模的数学能力。 （三）不同诊断方式的有效性： 要想有效的使用不同的诊断方式去发现、诊断出学生的数学学习问题，就需要知晓诊断方式的适用范围、场景和其局限性。 1．课堂上使用观察、表述、测试的诊断方式比较有利于诊断出学生的数学学习问题，并且可以及时调控。 2．课堂上对数学知识的应用的诊断方式比较局限，通常只限于诊断从简单的应用问题转化成数学问题进而求解的过程，主要诊断的是实际问题抽象出数学问题的过程。 3．课堂外的数学知识的应用的诊断方式范围较广，它可以通过引导学生做小论文研究实际问题，从中让学生体验数学化的过程来感悟数学的学习，在研究的过程中可充分地诊断学生的数学学习应用能力的高低、数学学习基本知识的应用理解程度的高低。 4．课堂外通过访谈诊断学生的学习效果是师生交流答疑，这是一种常见的诊断方式，便于个性化的辅导和调控，是课堂教学和作业考试之外的一种有效的诊断方式。 附：一份问卷 学生数学运算学习情况调查问卷 学校：________年级：________姓名：________性别：________ 亲爱的同学们， 在这份问卷中，你将看到一些与数学学习有关的问题。请你认真阅读每道题目，再根据自己的实际情况在符合程度表上作答。注意每题只选择一个答案，答案没有正确与错误之分，仅为教学调控所用。谢谢！ 请判断以下说法与你的实际情况相符合的程度，同意4分、沒意見3分、不同意2分、非常不同意1分。 一、运算意识的认识 1.数学是一堆数字和符号的运算。 　　　　　　　　　　　　　　&1_____2_____3_____4 2.数学就是计算。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1_____2_____3_____4 3.数学公式是不可能不背诵的。　　　　　　　　　　　　　　　　1_____2_____3_____4 4.学习数学需要大量应用运算规律和模仿解题方案的练习。　　　　1_____2_____3_____4 二、运算能力的自我认识 5.我不需要催促，就会主动地演算数学。　　　　　　　　　　　　1_____2_____3_____4 6.我平常很少演算数学，一直等到考试前才着手练习。　　　　　　1_____2_____3_____4 7.当我演算数学时，如果无法马上算出答案，我会放弃。　　　　　1_____2_____3_____4 三、运算思想方法的认识 8.平面几何就是推理论证，不可能用计算方法解决问题。　　　　　1_____2_____3_____4 9.运算就是一步步推理，没有思想方法。　　　　　　　　　　　　1_____2_____3_____4 10.计算出错就是马虎。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　&1_____2_____3_____4 通过问卷可看出学生数学学习中对运算问题的认识和存在的误区，就便于在教学中进行有针对性的调控。 二、初中生数学学习的问题归类 通过诊断我们就可以发现学生的数学学习问题，大致归类有这样几种情况： （一）学习动机问题 学习动机是推动学生进行学习活动的内在原因，是激励、指引学生学习的强大动力。心理学研究表明，当学生的心理处于压抑、不满、失去信心时将直接阻碍、削弱甚至中断智力活动，破坏学习的动力，当然也谈不上学习效率。没有数学学习动机，就像汽车没有发动机。在初中数学学习方面，学生如果有了强烈的数学学习动机，就有了数学学习的积极性、主动性，就能变&要我学习&为&我要学习&。所以，只有培养学生学习数学的内在动机，才能提高学生学习数学的效率。 （二）学习方法问题 主要有六类：阅读数学书籍；质疑数学问题；探知数学结论；反思数学思维；复习数学知识；纠错数学过程。 1．阅读数学书籍 （1）读不懂的问题 比如在学习平方根概念时，同学们都知道&一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根&、&一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根&，可是在做判断题时，如&4是16的平方根么；16的平方根是4么&，这两道判断题，前面一道总是做不对，后面一道倒是都能全做对。因为他们更熟悉&一个正数有两个平方根&，却不能很好地理解平方根的概念，就因为没好好读懂平方根的概念，使初一新生自学能力和实际应用能力得不到很好的训练。 （2）读不全的问题 比如学生不善于读数学书，或者对书中的知识死记硬背，没有理解知识的含义就急于运用，很多学生对数学的学习，只局限于结果，不注意过程；只注意掌握公式正用，不关注逆用；会做基本的题，但对例题的引导性认识不够，不会做灵活的题，导致读题时不全，解答问题时出现错误。最易忽略知识的发生发展过程，即知其然，不知其所以然，这种情况在一部分中等成绩学生学习上比较明显。数学书的编写都是比较精炼的，每一句话都有着相应的意义，所以读书只读只言片语对数学学习的效果会带来巨大的误差。 2．质疑数学问题 在质疑数学时学生常出现的问题是： （1）学生在学习时被动接受，不会质疑、不会思考、不会提出问题，这就难以培养创新精神和很好的解决问题的能力。 （2）学生质疑的问题比较简单，只是知识和技能层面。学生关注的问题往往是结果，不关注知识的形成过程，只关注这道题的解题过程，不关注这类问题的思维角度和迁移能力。 （3）学生质疑，存在心理障碍。由于面子问题和曾经受到指责的经历都会导致学生不愿意质疑。 学生在质疑时出现了问题，就会导致数学学习困惑的累积，思维无法得到调整，可以造成学生的数学学习无法继续进行，因此就是一个不容忽视的严重问题。 3．探索数学结论 学生在探索数学结论的方面常出现的问题： （1）不会探索问题的结论，即方法不会，无从下手，上课等待教师的讲解，没有主动探索的意识。 （2）不懂探索问题的过程，即程序不清，往往在研究时只将猜想作为结论使用，或只将其做了一步特殊情况的验证，就去应用，显然是缺乏严谨性的。 4．反思纠错的问题 学生在反思学习的思维方面出现的问题： （1）解决数学问题时在思维的简捷性、严谨性出现问题，不能及时反思。 （2）在运算的过程中出现问题，不能及时反思调整，造成一错再错。 5．复习数学知识 数学的学习是循序渐进的，因此需要复习巩固，学生在复习数学时常出现的问题是： （1）不复习问题：学习时接受快、忘得快，继续学习、综合应用时出现问题。 （2）不会复习的问题：只是机械的读一遍书，以为就是复习。 这样一些问题都会导致学生的学习出现问题，影响学生的继续学习。 6．纠错数学过程 （1）在运算过程中出现的问题。 （2）在分析过程中出现的问题。 （三）学习心理问题 1．良好的个性品质有助于提升学生的数学学习能力。 个性品质主要指正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神等方面。个性品质的误区会带来学习的误区。 2．利于学习的性格特征有助于产生良好的数学的学习效果，而急躁型、抑郁型、焦虑型、懒散型等性格特征会带给学生学习的负效应。如 （1）急燥型。由于数学比较抽象，若学习方法不当，再加之教师因势利导不够，因此部分学生对数学不容易产生兴趣，此部分学生好胜心强，求成心切，想一口吃成胖子，却又达不到预期目的，而且初中生的特征是意志力比较薄弱，情绪忽高忽低，就易形成紧张浮躁类型，久而久之便对数学产生厌学心理。 （2）抑郁型。一些学生性格内向，在数学学习中，遇到困难而又没有能力解决时，不善于向老师、同学求助，不懂的知识越来越多，不愉快和自卑的体验使他们陷入痛苦、忧虑之中，形成抑郁型性格特征，因而对数学学习失去信心。 （3）焦虑型。部分学生由于理解能力较低、思维狭窄，不能适应数学学习，再加上教师不可能一堂课顾及到每一个学生，在教学活动中，这部分学生与教师和同学很少产生互动与共鸣，常感到孤立无助，个人的交往动机、合群需要不能得到满足，长此下去，自信心、自尊心受挫，内疚和失落感增强，形成焦虑性性格，直接影响数学的学习。 （4）懒散型。一些学生由于家庭生活条件好，学习无追求，造成行为散漫，不爱学习，懒得动笔、懒得动脑、懒得动手，作业错了懒得修改，造成学习效果不理想。 （四）学习基础的问题 1．运算问题 （1）学生的运算很难达到&喜欢算&的境界 访谈中，学生谈到对运算的喜欢程度时说&不喜欢算&，自述原因：a．算的事可以交给计算机，体现了学生对运算概念的不理解。b．简便计算时，计算过程是简单了，但想简便算法比一般的算法更加费脑子，体现了学生对运算方法的优选的能力欠缺。c．计算量大，考试时算不完，体现学生对运算的简捷性把握不好。究其原因：学生认为学习简便算法有困难，甚至已经产生排斥心理，畏难情绪，原因何在呢？我们的数学课程标准在于提倡、鼓励算法多样化，提出评价目标多元化，老师又总让学生&用简便方法计算&，小学测试中常有的题&计算下面各题，能简算的要简算&这样的题目呢？（注：能简算的不简算不给分）中学的计算中也常常存在这样的问题，常规方法的计算复杂、数据大，考试时做不完，简便方法一时又想不起，于是连续的打击使学生不喜欢运算。教师的教学中又常常表扬算法思维巧妙的学生，不关注通性通法的运算。老师有时出的题目繁杂也是原因之一。学生不喜欢简便运算的原因可能有很多：有的是因为简便运算的过程书写麻烦，不愿意写过程才不喜欢；有的确实是理解不了，所以不喜欢；有的可能是学生有自己喜欢的觉得更方便的方法(就像有的老会计就喜欢用算盘，不喜欢用计算器)；最关键的一点还是让学生通过自己的探究，真正发现运用运算定律有时可以使计算更简便，真正体会到它的好处。世间道路千万条，人生之路各不同，算题方法也可以丰富多彩。 （2）学生的运算很难达到&愿意算&的境界 访谈时问到学生：平面几何的等量关系的题目你怎么做，80%学生脱口说（根据定理证明呀），再问计算方法你用么，&一般不用&，&为什么&，&算错了怎么办&。再问学生，平常做题你计算么，&不算，方法会了就行了，计算太耽误时间&。 访谈时问到教师：你在教学中关注运算教学的比重是多少，初中老师说很少，除了特定的代数运算，在几何证明中很少关注运算，如证明四边形的形状、边、角等等情况多用推理证明，甚少用计算的方法。 如图三角形abc中， ，分别以各边为边长作等边三角形， 求证：△abc与△abd的面积和等于△bce与△acf的面积的和 证法一： 证明：过点a作am//fc交bc于m连结dm、em ,
四边形amcf是平行四边形. 又 fa=fc 四边形amcf是菱形 ac=cm=am 且
在 与 中 ,
ba=me 同理dm=bc. dm=eb,db=me 四边形dbem是平行四边形
证法二： 计算法：（利用面积公式） 证明：过点 作 ，垂足为
设 三边的长分别为a、b、c 、 、 是等边三角形 易知
由此，证法一需要添加的辅助线比较多，要求逻辑思维能力比较强，学生很难想到此种做法，因此，此题被学生誉为难题，但由证法二不难看出，此种方法学生可以接受，同时感觉不难，但也很少有学生做出此题，学生对用运算方法解决几何问题不太适应，想不到此法，说明我们老师在教学中有待加强运算的方法解决几何问题的教学。 学生对估算的认识就更浅了：a．一直以来的应试教育使学生习惯用分数来表现自己，评价自己。数学考试的试题对准确答案的要求，使学生总觉得准确的答案比别的东西都重要。b．教师对估算情境的设计离学生生活较远，对结果的要求过高，也是使学生喜欢精确计算的原因。c．评价估算的方法单一，估算的评价更适合使用定性评价。d．使学生认识到估算的实际意义，并让他们得到&实惠&是促进学生使用估算的有效途径之一。 成因分析：a．学生对运算的作用认识不够，对数据带来的实际价值、量化关系及分析作用理解不深刻，对中间数据结果可以调整后续思维的作用认识不深刻。b．教师的教学中对运算的关注不够。总之是师生的运算意识不够深的原因造成的。 （3）学生的运算很难达到&算得对&的境界 访谈中，学生对运算不喜欢的原因之一是算不对，实际上是运算的准确性和合理性问题。 案例：抄错题目、抄错中间数据、符号类型，导致结果出错。 如：由 ,到 将8写成0 究其原因：a.计算中出现的错误，大多数学生是因为粗心大意、马虎、字迹潦草等不良习惯造成的。b．概念模糊，公式、法则遗忘、性质混淆或生搬死套，不注意适用条件，导致了运算不正确。c．方法不简捷、不合理，造成计算量过大，算不出结果。d．有的学生由于屡次算错造成心理伤害，认为自己就是算不对，导致计算再次出错。 （4）学生的运算很难达到&算得快&的境界 访谈中我们问到学生&你的计算速度如何&：学生回答比较慢，有时反复好几遍。老师们说，上课一般不敢让学生算，学生算得太慢影响教学进度。 究其原因：a．学生缺乏自信，导致运算速度缓慢。b．学生计算方法不简捷造成运算路径复杂。c．教师给学生运算的时间和机会少。d．学生练习的时间少等等这些都是运算速度慢的主要原因。实际上是简捷性和灵活性的问题。 2．知识问题： (1)数学是系统性很强的学科，知识的连贯性很强，学生对知识的遗忘造成数学进一步学习的困难。 (2)数学知识的学习，是在理解的基础上螺旋式上升的，学生旧有的知识的理解程度将直接影响进一步的数学学习。 3．智力问题 初中是义务教育，学生的智力水平是参差不齐的，在数学的理解上肯定是有问题的，导致数学基础知识是少之又少的。这是需要个性化数学要求的，不能按常理进行，只需掌握最基础的数学知识即可。 4．能力方法问题： 数学的学习不仅仅是数学知识的进一步系统性的学习，新课标的理念更注重能力的培养。 (1)数学自身能力问题，如运算能力等是进一步有效的进行学习数学的基础。 (2)数学发展能力问题，如实践能力等是分析解决数学问题的基础。 (3)数学思想方法问题，如数形结合的思想、化归思想等。 （五）学习过程的问题： 1.听课的问题： （1）不会听课就是不善于抓住本章节的重点。不明白需要了解、理解、掌握的知识和要求到底是什么。 （2）不会集中注意力，做到和老师讲课的思维同步。对本节重难点问题就会因没听到或没有听好而不能理解。 （3）不会主动思考。听课习惯于被动地接受，不能快速地理清题意，迅速思考，尽快形成自己的思路，使大脑的协调性得到发展，提高自己的思维能力。 2.笔记的问题： 笔记的问题有这样几种情况 （1）不记笔记； （2）不知道记录的内容； （3）笔记只是将知识进行简单的重复，与书中内容无差别，不知道应该记录重点、形成过程和思想方法及规律性的结论及典型例题。 3．作业的问题 初中学生课后往往急于完成书面作业，忽视必要的巩固、记忆、复习，以致出现照例模仿、死套公式解题的现象，造成为了交作业而做作业，起不到练习巩固深化理解知识的作用。我们平时提到的&眼高手低&就是指学生不会把数学问题用数学语言表达出来，作业中条理不清，逻辑思维混乱。其主要原因是在教学中忽视了对学生写法的指导，学生没有养成正确的书写习惯。 综上所述，学生数学学习中问题的大致分类是我们明确教学需要调控的方面，进一步选择好教学的策略，辅助我们的学生在自己的学习能力上得到发展。 三、初中数学教学调控的可行性保证 通过诊断初中数学学习中学生的学习问题，注意在教学中进行调控，教学调控是否有效，在利用教材作为载体进行教学时，教师教学设计就显得非常重要。 这要依赖于教师课堂教学经验的积累；依赖于教师教学交流学到的方法；依赖于师生教学相长带来的启示。 （一）抓住个性品质培养，确保教学调控有效进行。 1．激发学生的学习动机，即激励学生主体的内部心理机制，调动其全部心理活动的积极性。首先，以数学的广泛应用，激发学生学好数学的热情。其次，以我国在数学领域的卓越成就，培养学生的爱国主义思想，激发学习动机。再次，挖掘数学中的美育因素，使学生受到美的熏陶。教师还可以根据教学内容选用生动的教学方法、风趣的语言来感染学生，使学生产生强烈的求知欲，形成热烈和谐的氛围，使学生积极主动、心情愉快地学习。 2．锻练学生的学习意志，心理学家认为：&意志在克服困难中表现，也在经受挫折、克服困难中发展&，困难是培养学生意志的磨刀石。因此，数学教学中要经常给学生安排适当难度的练习题，让他们付出一定的努力，在独立思考中解决问题。 3．养成良好的学习习惯。第一、针对不同层次的学生提出不同的要求；第二、反复训练，持之以恒；第三、树立榜样，激发自觉性；第四、评价表扬，鼓励发展；第五、创造良好的学习环境。 （二）教学调控中常见的可行性方式 1．讲授式。它包括课程式和讲座式。课程式是在初一新生入学的前几周内安排几次向学生介绍如何学习数学，提出数学学习常规要求的课。讲座式可分专题进行，可每月搞一至二次，如介绍&怎样听课&、&如何学习概念&、&解题思维训练&等。 2.交流式。让学生相互交流，介绍各自的学习方法。可请本班、本年级或高年级的学生介绍数学学习方法、体会和经验。这种方式学生容易接受，气氛活跃，不求大而全，只求有一得，使交流真正起到相互学习、促进的作用。 3.辅导式。主要是针对个别学生的指导和咨询。任何一种学习方法都不是人人都适合的，这时就应该深入了解学生学习基础，研究学生认识水平的差异，对不同学生的学习方法作不同的指导或咨询。 （三）教学调控中教师层面的可行性保证： 1. 教师课堂教学积累了经验； 2．教师教学交流学到了方法； 3．师生教学相长带来了启示。 四、提升初中生数学学习效果的教学调控建议 关注了教学调控的可行性后，我们所要关注的就是如何在智力因素方面通过课堂教学调控学生的数学学习，从而提升学生的学习效果。将从以下几方面阐述： 关注学生的阅读、思考、表达、记忆。 （一）教学调控之一：让学生学会读数学书、读数学题。 教师可以开始为学生编好阅读题纲，并指导学生掌握&读读、划划、算算、写写&的预习方法，逐步学会归纳整理、分类，抓住重点以及围绕重点思考问题的方法，如学习圆周角一节时，可布置以下三个问题让学生读书：1.圆周角是怎样定义的？对比圆心角的定义两者有何不同？2.圆周角的证明为什么要分三种情况进行。3.圆周角定理有哪些推论，这些推论如何证明？又如学习立方根时可和平方根知识作比较，学生可以通过类比，比较容易地掌握平方根知识。 （二）教学调控之二：让学生学会探索、发现解决问题的方法和结论。 带动学生&做一做&，学生在动手操作、试验中得出结论，锻炼学生思维和动手能力，例如在学习等腰三角形的性质时，让学生用剪刀剪出等腰三角形，然后根据它的对称性，把等腰三角形沿着底边上的中线（或底边上的高线，或顶角的平分线）对折，使两部分完全重合，学生可以发现等腰三角形两底角相等、&三线合一&等性质，这样的教学让学生以研究者的身份参与知识的发生发展过程，通过动手、动脑使其获得成功的快感，从而产生浓厚求知欲和学习兴趣。 （三）教学调控之三：让学生学会质疑，了解不同场景提出问题的方式。 在教学中，要鼓励学生大胆发言，对于那些容易混淆的概念，难以掌握的内容，应积极引导学生大胆去议，去质疑，在讲解的过程中，对于学生出现的差错、漏洞、似是而非的问题教师要特别耐心引导，帮助他们正确地理解。例如一次函教y=kx+b（k不等于0，k、b为常数），k、b的符号确定一次函数图像在坐标平面内的位置关系，可鼓励学生大胆探索质疑，总结出六种位置关系。 1.从观察探究中提出问题 (1)从数学概念、知识、方法的形成过程中有意创设探索情境，引导学生去提出问题。如初三代数课本中在研究正比例函数y=kx之后，继续学习二次函数y=ax2图象和性质时，当学生对自已所画的图象产生意外时，教师要抓住时机，创设探索情景。&你对这一结果感到意外呢，还是想了解其内在的规律？&以激起学生的探究欲望。经过改变a的数值后的多次画图，大部分学生都会提出如下问题：&它的图象可能经过原点，开口与a可能有关。&下面的授新课水到渠成。细心观察这类素材是很多的。 (2)在解题过程中创设探索情景，激发学生提出问题。例如，初三代数中一个习题，&求二次函数y=x2-2x-6的图象与x轴的两个交点坐标&，学生基本上没有困难，如果在课堂教学中采用如下方式进行引导的：a.同时给出三个二次函数y=x2-2x+6，y=x2-2x+1，y=x2-2x-6，分别求它们的图象与x轴的交点坐标；b.引导学生思考，有的有两个交点，有的有一个交点，而有的不存在交点；c.进而引出如下话题，怎样的二次函数图象与x轴有交点呢？这样的情境，探究分析的方法，难度适中，综合性强，思维多样，大部分同学首先尝视直观分析，似乎与一元二次方程的根的判别式&有关，并且提出了&当&＞0时，与x轴有两个交点；当&＝0时，与x轴有一个交点；当&＜0时，与x轴无交点&这样一个初步结论，这时教师可进一步追问二次项系数的正负对上述结论是否有影响，一个个场景的铺设，可优化了学生的思维，提升了层次，培养了能力。 2.从质疑反思中提出问题 质疑是一种批判性思维，也可以认为是一种求异性思维。&学贵有疑&，许多重要问题的发现和提出都与质疑密切相关。反思，即为反省性思维，它所思维的不是客观对象的属性，而是自已在认识解决问题中的所作所为是否合理、是否优越。通过反思，将产生高一层次的思维成果。合理性是一切科学研究所要追求的目标。例如这样一道题目：a为何值时，方程3(x-1)(x-a)=(7a-a2)x的两个根互为相反数?很多同学都会将方程化为一般式，然后利用根与系数关系解得a=－2、a=5，于是可让学生将两个值代入到&中去看看，发现当a=5时，&＜0，意味着方程无解，与题目有两个根产生了矛盾。这时教师可加以引导，告诉他们若两根互为相反数，则两根和为0与两根积&0必须同时成立。因此还须考虑两根积&0，即a&0，故a=&2。上述情境的创设和教师的引导对同学们的质疑和反思能力的发展有明显帮助。 3.从特殊到一般中提出问题 事物之间是有普遍联系的，这是辨证唯物主义的基本观点，也是数学教学中落实德育的重要内容之一。比如初一《几何》中计算时针与分针的夹角问题，这是典型的由特殊到一般的应用题型，可以先给出这样几个问题：（1）时针走1小时转了多少度？分针走1分针转多少度？（2）时针走1小时，分针转多少度？（3）时针走半小时呢？一刻钟呢？由此让学生猜想时针走1度，分针走多少度（时针走1度，分针走12度）？这样的情景创设和教师恰当的引导效果较好，因为特殊情形中隐含一般的规律，由特殊到一般是我们认识事物的基本方法。 4.从数学实验中提出问题 过去我国数学教育有注重数学严密推理和解题技巧的传统，但对学生动手体验数学有所忽视。动手体验不仅能增强学生的感性认识，更能激发学习兴趣和对数学的亲近感。兴趣和才能是互相促进的，教师不仅要在教学过程中让学生多动手、多体验，更要积极利用现代多媒体技术，有条件的可让学生自已动手做课件，比如用《几何画板》制作两圆的位置关系，学生只要用鼠标一点，就可以看到两圆有哪些位置关系，自然提出两圆的位置关系影响着圆心距等等的一系列问题。自已提出的问题胜过教师多次的讲解。 总之，引导学生&提出问题&的途径是多样化的，但归根结底目的是一样的，让学生轻松的接受知识和运用知识。这里需要强调的是为了取得好的学习效果，教师还要特别注意与学生形成平等、和谐的新型师生关系，进而创设平等、民主的课堂氛围 （四）教学调控之四：让学生学会复习，更好的掌握数学知识，便于知识的迁移。 引导学生学会复习，让学生会归纳知识、整理知识，一般可从以下四方面进行： 1.类比法：通过比较可以明确本质，辨析异同，从而达到举一反三的效果。通过辨析，学生更加清楚这些知识之间的联系与区别，由此也就会用类比法去梳理其他知识。例如：中小学加法运算的异同，通分与约分的联系与区别。 2.联想法：通过联想，可以建立知识间的相互联系，有利于形成知识网络。例如在复习有理数的大小比较时，通过体现它的作用，就可指导学生把能解决的初中方面的知识罗列出来，形成树形图。 3.归纳概括法：通过概括，可把零碎的知识条理化、系统化，便于记忆、利于掌握，并灵活应用，也可概括成&顺口溜&、&口诀&之类的简捷明了的语句，学生易上口、易记。例如：记完全平方公式时可用顺口溜&首平方，尾平方，首尾两倍中间放&，学生朗朗上口，便于记忆。 4.对比法：这也是初中数学常见一种学习方法。例如：七年级因式分解部分，学生总是把完全平方公式与平方差公式混淆起来，那么引导学生把这两个公式放在一起对比分析特点，学生易于掌握。考前复习，教师要向学生介绍多种复习方法和技巧。- (五)教学调控之五：让学生学会数学知识的科学记忆。 1.理解记忆：只有深刻理解了的材料才能加深记忆。例如：因式分解中的十字交叉法，其内涵是分两头凑中间。那么&谁是两头，谁是中间&不是绝对的，只有正确地把握两头了，才能更好地凑中间。 2.对比记忆：初中数学中有许多相近的概念。如有理数、有理式与有理方程。有理数是整数与分数的统称，而有理式是整式与分式的统称，同样有理方程也是整式方程与分式方程的统称。 3.过程记忆：有些内容是要注重过程的。例如在把二次函数的一般式化为顶点式时，如果能正确地运用配方法把y=ax2+bx+c(a&0)推导出y=a(x+k)2+h，那么再来记忆二次函数的顶点坐标公式就容易得多。 4.歌谣记忆：初中数学中有许多常用的辅助线，例如条件中有中线或中点时，我们常把中线加倍延长，这种方法总结为：见中线加倍延长、截长补短等;再如口算心算促笔算，关键点处要放慢，关注细节勤过手，表达书写要规范。学生就容易记忆了。 5.图表记忆：例如学生很难记忆的特殊三角函数值，如果让学生掌握好30o、45o角的直角三角形三边间的关系，再能正确理解锐角三角函数的定义，辅助以这两种直角三角形的图形，学生就容易记住特殊的三角函数值了，甚至直接可以借助于三角板，还可以列出表格来记忆。 6．分类记忆：例如在特殊的四边形中，平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定非常多，学生非常容易混淆，如果我们从四边形的边（又分对边与邻边）、角（又分对角与邻角）、对角线、对称性等四方面来记忆，那么学生就容易记忆完整。 （六）教学调控之六：有效地调整学生数学学习中的课堂常规。 1.&听&是直接用&耳朵&接受知识，应指导学生在听课的过程中注意：（1）听清每节课的要求；（2）听明白知识引入及其形成过程；（3）听懂每节课的重点、难点以及老师对重、难点的剖析，尤其是预习中的难点要在听课中弄明白；（4）听懂例题解法的思路和数学思想方法的体现；（5）听课后要做好小结。当然，教师在上课时，要注意方法防止&注入式&、&满堂灌&，掌握讲授新知识的最佳时间，使学生听后有效，达到听课的根本目的。 2.&思&是指学生的思维活动。学生没有思维就发挥不了学生的主体作用，学生的主动性、积极性就没有发动起来，在思维方法指导时，应使学生注意：（1）多思、勤思、随听随思，学习过程中多问几个&为什么&；（2）深思，即追根溯源，大胆提出问题，&打破沙锅问到底&；（3）善思，由听和观察去联想、猜想、归纳；（4）树立批判意识、学会反思。可以说&听&是&思&的关键，&思&是&听&的深化，是学习方法的核心和本质内容，会&思&才会&学&。 3.&记&是指学生做的课堂笔记。初中生一般不会合理地做课堂笔记，通常是老师写什么，学生就抄什么，把&抄&代替了&记&，用&记&代替&听&和&思&，有的同学笔记虽全，但收效甚微。因此，老师应抓住学生的这个特点，不失时机地向学生指出：（1）记笔记要服从听课，要掌握记录时机，（2）记要点、疑点、记解题方法和思路。（3）记小结课后思考题。使学生明白&记&是为了&听&和&思&服务的。掌握好这三者的关系，就能使学生在课堂学习这一主要环节达到较好的境界。 4.&写&指学生作常规性作业。教师指导学生：（1）能每天课后先阅读理解教材，结合笔记记录的重点、难点，回顾课堂讲授的知识、方法，同时记忆公式、定理。（2）其次，再独立地完成作业，并按要求书写规范、表述清楚。（3）最后，对本节课堂内容做知识小结，写出自己的体会或后记。 （七）教学调控之七：要教会学生正确的书面表达。 数学不同于其他学科，它有本学科的语言符号、书写格式，因而在教学中要注重指导学生做到：1.善于把生活中的语言文字转化成数学符号语言；2.在做题格式上严格要求，把学生的逻辑思维能力通过解题步骤反映出来，规范书写格式；3.在几何上要注重训练学生根据已知条件来分析作图，正确地将语言文字转化成直观图形，以便用数形结合的思想解决问题。把好书写关，使学生在具有严谨性、逻辑性的解决问题过程中，形成正确的书写方法。 （八）教学调控之八：让学生学会反思，及时纠正自己的错误思维。 引导学生&想一想&，养成解题后反思的习惯，反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，比较一题多解的不同方法的优劣，反思各种方法的纵横联系，并适时地组织、诱导学生展开想象：&题设条件是否能减弱，结论是否能加强？题设和结论互换后是否成立？问题是否推广？&等等，总之教师应指导学生探索各种思维方法。 1.从学生思维的&最近发展区&入手来开展启发式教学，培养学生积极主动思考，使学生会思考。 2.从创设问题情境来开展探索式教学，培养学生追根究底的思考习惯，使学生学会深思。 3.从挖掘&问题链&来开展变式训练，培养学生观察、比较、分析、归纳、推理、概括的能力，使学生学会善思。 4.从回顾解题策略、方法的优劣来开展评价，启发学生去分析，使学生学会反思。还有就是我们在教学过程中应善于暴露思维过程，留下一定的思维时间与空间，使学生&思在知识的转折点、思在问题的疑难处、思在矛盾的解决上，思在真理的探索中&，使学生达到融会贯通的境界。 学生学懂的知识一般在作业和考试中都不会错，往往容易错的是一些难点及知识点比较多、方法不同的综合题，以及容易忽略的简单知识问题，或似是而非的问题，教师可引导每一个学生准备一个错题本，把每次作业或考试出现的错题抄在上面，先分析再写出错误的原因，并把正确的答案重新写在旁边，这样就会加深印象，以后就会避免出现重复类似的错误，完善学习方法。 （九）教学调控之九：调控学生的运算问题，就是提升学生运算的合理性、准确性、简捷性。 初中课程标准中就说到使学生经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、方程、不等式、函数等进行描述。 1．运算的合理性。运算的合理性是运算能力的核心。 (1)运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现，运算能力的考查包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查。运算的目标、变形的方向、运算的路径，它们之间是密切相关的。要从运算的目标出发，研究变形方向，最终产生判断，确定运算路径。这一系列的活动都是运算过程中的思维活动，是运算合理性的表现。 (2)运算的合理性表现在运算目标的确定。运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时还是完成推理和判断的工具。对一些比较直接、简单的运算目标，一般比较容易把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过多步运算才能得到最后结果。 (3)运算的合理性还表现在运算途径的选择。合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的保证。运算的步骤越多、越繁琐，出错的可能性也就越大。因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键。灵活地运用公式、法则和有关的运算律，掌握同一个问题的多种运算方法和途径，善于通过观察、分析、比较，有助于作出合理的选择。因此，运算能力的考查包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查。 2.运算的准确性。运算的准确性是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算。 在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，表达结果要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。怎样提高运算的准确率呢？不能简单冠以粗心或马虎，而要究其根源。从本质上说，马虎也是素质不高的表现，要想提高运算的准确率，还是要从算法、算理、算律抓起。 数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象，同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次。考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异。运算的熟练性不完全是&熟能生巧&的问题，它是运算方法与相关数学思想方法相结合的产物。 3.运算的简捷性。运算的简捷性是运算速度的保证。 ⑴运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省。运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求。 ⑵中考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用。 ⑶运算的简捷性导致运算速度的快慢，与概念公式及数学思想方法掌握的熟练程度直接相关。 在教学中我们要 a.加深学生对运算的认识，多用运算的方法解决实际问题、解决通常逻辑推理居多、计算很少的平面几何知识，都用运算去做，会给学生带来重大的影响，学生对运算的认识在不知不觉中得以深化，使学生能喜欢算。 b.深入了解学生在运算中遇到的问题，适时将难点分散、处理到位，使学生在整体运算中能层层推进，消除畏难情绪，使学生能算得对。 c.在学生遇到困难的时候，心理调适加方法引导、激励、辅助，使学生走过困惑，使学生能愿意算。 d.多种方法的引入，让学生比较，选择简便的同时在于抓住概念的本质，使学生达到算得快的境界。 (十)教学调控之十：调控学生的个性心理品质，提升学习效果。 良好的个性品质的内容主要包括：有正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神等方面。 要引导中学生克服数学学习的心理障碍，增强数学教学的吸引力，《论语》中有云&知之者不如好之者、好之者不如乐之者&。教师首先要付出爱心，关心爱护学生、理解尊重学生，帮助学生克服学习上的困难。通过问题、情景激发兴趣，把握学生心理，调动学生学习数学的积极性和创造性，使学生爱学、乐学。其次是注重过程，讲究方法，认识数学问题的提出或产生过程，知道新旧知识的衔接、联系和区别，揭示解决问题的思维过程和思维方法，要求对解题思路、解题方法、解题规律进行概括和总结，指导学生阅读数学教材、审题答题、进行自我检查评价、对解题过程和方法进行回顾和反思等，使学生会学、学好。 综上所述，关注初中学生的数学学习是新课标的理念，关注初中学生数学学习中的问题加以调适是因材施教的特点。学生数学学习中的问题不及时解决，将影响他在数学上的进一步发展。所以诊断清楚问题的原因所在，对症下药，进行有效的教学设计和指导，既可以治病救人，也可以防患于未然，提高和发展学生的数学能力。
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