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科普：什么是三体问题，究竟有没有解？
来源：作者：科普中国责编：弥尘
日，被誉为“中国科幻第一人”的刘慈欣凭借其科幻小说《三体》获得“雨果奖”最佳长篇小说奖，这是亚洲人首次获得雨果奖，也是中国科幻第一次获得世界级的认可。在小说中，三体叛军通过《三体》游戏向社会传播三体文化，游戏玩家们建立了各种模型来躲避乱纪元、预测恒纪元的到来。在游戏第一关中，一个文明在“三日凌空”中毁灭，玩家哥白尼成功揭示出宇宙的基本结构；游戏第二关，另一个文明毁灭，它最终证明了三体问题无解，人们放弃了徒劳的努力，并确定出全新的走向。至此，游戏的终极目标发生变化，调整为飞向宇宙，寻找新的家园。《三体》三部曲中有无数让人脑洞大开的经典创意，而它们的创作基础就是天体力学中基本的三体模型。那究竟什么是三体呢，下面我们就来揭开神秘科幻面纱下的科学真相。什么是三体问题？1900年，数学家希尔伯特在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题以及两个典型例子，第一个是费尔马猜想，第二个就是所要介绍的N体问题的特例――三体问题。对于20世纪数学的整体发展，这两个例子所起的作用要比23个问题中的任何一个都更加巨大。最终，费尔马猜想在1994年被美国的怀尔斯解决，而三体问题却仍然是数学大厦上的一朵乌云，挥之不去。三体问题是天体力学中的基本模型，即探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律。如下图所示，它们有无数种可能的运动轨迹。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。三体问题是否有解？套用小说中数学家魏成的描述：三体问题的真正解决，是建立一种数学模型，使得在已知任何一个时间断面的初始运动矢量时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。一般的三体问题，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分，远远不足以解决三体问题。我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用解析式表达出来，只能算数值解，没有办法得出精确值。然而对于三体问题的数值解，时间会无限放大初始的微小误差，因此数值法几乎没有办法预测当时间趋于无穷时，三体轨道的最终命运。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，就被称为“混沌”现象。此图为艺术家描绘从“三星系统”中一颗行星的卫星上看到的情景。这种恒星系统处于极不稳定的混沌运动状态。三体问题的特殊情况三个物体在空间中的分布可以有无穷多种情况，由于混沌现象的存在，通常情况下三体问题的解是非周期性的。寻找三体问题的通解是枉费力气，但在特殊条件下，一些特解是存在的。必须找到合适的初始条件：位置、速度等等，才能使系统在运动一段时间之后能够回到初始状态，即进行周期性的运动。在“三体问题”被提出的三百年内，仅仅三种类型的解被发现。而在1993年，两个物理学家又发现了13类新解。(1). 8字型族――三个物体在一条8字形的轨道上互相追逐。(2).拉格朗日-欧拉族――三星成三角形，围绕三角形中心旋转。(3).布鲁克-赫农族――轨迹复杂，两个物体在里层来返往复，第三个物体在外层旋转。(4).塞尔维亚物理学家Milovan ?uvakov和VeljkoDmitra?inovi?发现新的13族特解，三个天体在空间中的排列组合有无限种，他们利用计算机模拟，从现有的特解出发，调整初始条件直到新类型的轨道被发现。限制性三体问题其实，三体运动已经是对实际物理简化得很厉害了，比如说对质点，球体自转、形状已经统统不考虑了。然而即使是这样，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个问题穷尽精力，也未能将它攻克。科学发展到现在，三体问题的求解和应用其实就是一部心酸的简化史。研究三体问题的意义目前三体问题的研究主要集中在限制性三体问题上。1772年，拉格朗日在“平面限制性三体问题”条件下找到了5个特解，也就是著名的拉格朗日点。在该点上，小天体在两个大天体的引力作用下能基本保持静止。比如上面这张图上，地球和太阳连线上有L1，L2，L3三个拉格朗日点，而在地球轨道上则有L4，L5两个点，它们和太阳以及地球构成等边三角形。L1，L2，L3是不稳定的，如果小天体离开这三个点，就会越跑越远，无法在稳定的轨道上运行。而L4，L5是稳定的。L4，L5的稳定解在太阳系里确实存在实例，木星的L4和L5点上各有一群小行星，就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。拉格朗日点在深空探测中具有很高的科研价值，主要体现在两个方面：科学观测的极佳位置和深空探测的中转站。位于L4和L5的航天器能与两个天体保持相对静止，这样非常有利于一些长期的科学观测。而共线拉格朗日点存在着稳定流形与不稳定流形，使得航天器在其上运动时，可不需耗费任何能量地趋近或远离周期轨道，利用这一点，可以为设计行星间的转移轨道提供巨大的帮助。微信搜索“IT之家”关注抢6s大礼！下载IT之家客户端（）也可参与评论抽楼层大奖！
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3秒自动关闭窗口关于三体问题不能求解析解的证明，有没有通俗易懂的证明过程？ - 中国消费网
关于三体问题不能求解析解的证明，有没有通俗易懂的证明过程？
00:26:03&&&来源：未知&&&作者：匿名&&&
庞加来的证明能不能讲一讲？水平不高请见谅。高中生，如果需要一些预备知识请告诉我，我去学。真的有兴趣，望各位不吝赐教。俺来个无关紧要的东西，请随意折叠。。。这个Qiudong Wang兴趣相当广泛哇～请看下图或点击链接 Home page of Qiudong Wang这个程度上，要「通俗易懂」，基本就只能「不求甚解」。预备知识：至微分方程，动态系统。语言要求：法语，德语，至少英语。以上文献全部可以免费下载到。综述文献：Diacu, Florin. "The solution of the n-body problem." The Mathematical Intelligencer 18.3 (1996): 66-70.庞加莱 等的结果是：多体系统，除已知的十个守恒量（first integral，三维质心，三维动量，三维角动量，能量）外，没有其他守恒量。守恒量可以用来降低解的维度，是当时流行的解动力系统的方法。而这个结果表明该方法对多体用处不大。传到民间，这个结果经常被误解为「三体问题无解」，好一点的说法是「无精确解」「无解析解」。Poincaré, Henri. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Vol. 3. Gauthier-Villars et fils, 1899.Bruns, Heinrich. "?ber die integrale des Vielk?rper-problems." Acta Mathematica 11.1 (1887): 25-96.后来 Sundman 证明三体问题存在 级数解，并且大多数情况下收敛（这不解析吗？），之后被 Wang Qiudong 推广到多体问题。Sundman, Karl F. "Mémoire sur le problème des trois corps." Acta Mathematica 36.1 (1913): 105-179.Qiu-Dong, Wang. "The global solution of the n-body problem." Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 50.1 (1990): 73-88.科幻迷们可以反省一下小说《三体》的设定了。
庞加来的证明能不能讲一讲？水平不高请见谅。高中生，如果需要一些预备知识请告诉我，我去学。真的有兴趣，望各位不吝赐教。[转载]重拾旧话题——三体问题
二十几年前，笔者还在上大学，当时被三体问题迷住，但限于水平，没有更进一步的进展，今天心血来潮，上网搜了一下，以下文字来自网络。
中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，还只能得到三体问题的16个积分，因此还远不能解决三体问题。
在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家(
Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是，即代数方程 x^n+y^n=z^n
在n大于2时是没有非零整数解的；第二个就是所要介绍的N体问题的特例------三体问题。值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1995年被美国(Princeton University)(Andrew
Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的诞生了，难怪在后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，都只能根据实际情况采用各种近似的解法，研究三体问题的方法大致可分为3类:
第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；
第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；
第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。
普通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。事实上，根据(Issac
Newton)万有引力定理和，我们可以得到:
m1(d^2 q1i/dt^2)= G m1 m2 (q2i - q1i)/(r12)^3 + Gm1 m3 (q3i -
q1i)/(r13)^3
m2(d^2 q2i/dt^2)= G m2 m1(q1i - q2i)/(r21) ^3+ Gm2 m3 (q3i -
q2i)/(r23)^3
m3(d^2 q3i/dt^2)= G m3 m1(q1i - q3i) /(r31) ^3+ Gm3 m2(q2i -
q3i) /(r32)^3
( i =1,2,3 )
三体问题微分方程
是质点的质量，G是，r ij 是 两个质点 m i 和 m j 之间的距离，而 q i1 , q i2 , q
i3 则是质点 m i 的空间坐标。所以三体问题在上就是这样九个的二阶常微分方程组再加上相应的。(事实上根据本身的对称性和内在的物理原理，方程可被简化以减少变量个数)。而N体问题的方程也是类似的一个 N2
个方程的二阶常微分方程组。
时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的只能是直线。当
N=2 的时候 ()，问题就不那么简单了。但是仍然可以成一个不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在一个上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的轨道一定是个，抛物线，的一支或者直线。二体问题又叫(Johannes Kepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家伯努利(Johann Bernoulli)
首先解决的。N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“”(Philosophiae Naturalis Prinicipia
Mathematica，1687年出版)一书中。在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，而且的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。
至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中的理论被不断地发展成为一门更成熟的分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。终于在十九世纪末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了......
4种特殊情况：
1.三星成一直线,边上两颗围绕当中一颗转.
2.三星成三角形,围绕三角形中心旋转.
3.两颗星围绕第三颗星旋转.
4.三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动
N体问题的特殊解
【中文词条】
【外文词条】restricted three-body problem
【作者】赵德滋
三体问题的特殊情况。当所讨论的三个天体中﹐有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比﹐小到可以忽略时﹐这样的三体问题称为限制性三体问题。一般地把这个小质量的天
体称为无限小﹐或简称小天体﹔把两个大质量的天体称为有限质量体。
把小天体的质量看成无限小﹐就可不考虑它对两个有限质量体的吸引﹐也就是说﹐它不影响两个有限质量体的运动。于是﹐对两个有限的的讨论﹐仍为二体问题﹐其轨道就是以它们的为焦点的。根据为圆﹑椭圆﹑和等四种不同情况﹐相应地限制性三体问题分四种类型﹕圆型限制性三体问题﹑椭圆型限制性三体问题﹑型限制性三体问题和型限制性三体问题。若小天体的初始位置和初始速度都在两个有限的轨道平面上﹐则小天体将永远在运动。
按限制性三体问题研究月球的运动﹐略去太阳轨道偏心率﹑太阳视差和月球轨道倾角﹐实际上这就是一种特殊的。他得到的周期解﹐就是希尔的。
在小行星运动理论中﹐常按椭圆型限制性三体问题进行讨论﹐就是太阳-木星-小行星所组成的椭圆型限制性三体问题的等边三角形解的一个实例。布劳威尔还按椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题在天体力学中则用得很少。人造天体出现后﹐限制性三体问题有了新的用途﹐常用于研究月球火箭和运动的简化力学模型，见和)。
自“三体问题”被确认以来的300多年中，人们只找到了3族周期性特解。有两位科学家一口气找到了13族新的周期性特解，震惊了科学界。塞尔维亚物理学家米洛万·舒瓦科夫和迪米特拉·什诺维奇发现了新的13族特解。他们在著名学术期刊《》上发表了论文，描述了他们的寻找方法:运用计算机模拟，先从一个已知的特解开始，然后不断地对其初始条件进行微小的调整，直到新的运动模式被发现。这13族特解非常复杂，在抽象空间“形状球”中，就像一个松散的线团。
三体问题特解的族数被扩充到了16族。这一新发现令科学界欢欣鼓舞。多年来一直从事三体问题研究的美国科学家罗伯特·范德贝说，“我非常喜欢这一成果”。另一位美国科学家理查德·蒙哥马利说:“这些结果非常美妙，而且描述非常精彩。”中国科学家表示，他们的成果加深了人们对天体运动的了解，促进了天体力学和数学物理的进一步发展，尤其是对人们研究太空火箭轨道和双星演化很有帮助。
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