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高中数学必修123测试题
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&&难​度​较​小​,​适​合​中​等​水​平
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&>&&>&高中数学试题
高中数学试题_12400字
CunCum?v?1?
1．证明：?n??1?m?.
v?u?1Cn?0v?Cv?1?
2．证明：?
3．证明：??Cn?Cn???Cn??Cni?1?Cni?2???Cnn??C2nn.
?Cn?k?2n. k
4．证明：在n≥m≥h时，
5．证明：?
m?hhm?1Cn?kCk?Cn?1.
CmCm?iCnCm?n?2??n.
6．证明f(x)的n阶差分?f(x)????1?
kCnf(x?k).
7．证明：???1?
??0,m?n,km
8．证明：n!????1?Cnk(n?k)n.
9．证明：???1?Cnk?mk
10．设Sk?1?2???n，证明：?Cm?Sk?(n?1)m?1.
11．证明：?CpCqCnp??kq?CnpCn.
12．证明：?CpCqCnp??p?q?k?Cn?pCn?q.
13．证明：?
i1???ih?mi1≥1,?,ih≥1
Cn?nm. i1!?ih!
14．证明：（a）??Cnk??C2nn. （b）?CnkCm?Cm?n.
（c）???1??C2n????1?C2n.
15．?k?Cnk??nC2nn??1.
16．证明：?Cnm??kiCki?Cnm??1.
17．证明：????1?Cm?iCnCm?n?2Cm?n.
18．证明：??Cn??1?x?
?1?x?的展开式中x的奇次幂不出现.
19．证明：?CksCn?k?Cn?1.
20．证明：???1?C2sn?1Cn?s???1?Cn?t.
21．证明：??Cn?Cn???Cn??Cni?1?Cni?2???Cnn??C2nn.
22．证明：?C24n?k. tC2n?2tCt?C2kCn?
23．设n>1，两个自然数的集合
{a1,a2,?,an}?{b1,b2,?,bn},
即如果元素s在等{ai?aj|1≤i?j≤n}?{bi?bj|1≤i?j≤n}.里的相等计及元素的重数，
式左边出现k次（用k种方法表示成?aj的形式），那么s也在等式的右边出现k次，证明存在自然数h，使n?2h.
24．设r, m为自然数，r≤m，将m枚棋子，分为t（t≤m）堆，设各堆棋子数为m1,m2,?,mt，
从这t个相乘，再将所有的积相加得出和Sr，则t及m1,m2,?,mt取何值时，Sr最大？
25．阿丽丝有两只袋子，每只中含4只球，每只球上写有一个自然数（允许重复），阿丽丝从
每只袋中随机地各抽一只球，算出这两只球上所标的数的和，然后将球放回各自的袋中，这样重复多次，毕尔发现在记录表上，各个和数出现的频率（概率）恰好与从{1，2，3，4}中允许重复地选取两个数，所得和数出现的频率完全相同，如果有一只袋中的球，所写的数不组成集{1，2，3，4}，那么两只袋中的球各写了些什么数？
26．骰子是正六面体，面上标有数1，2，3，4，5，6，掷一次骰子，出现点概率为pk≥0(1≤k≤6)，这里p1?p2???p6?1（如果骰子是均匀的，则p2???p6?
）.能否选一只（非均匀的）6
骰子，掷两次时所得和数为2，3，,,,,的相会（概率）均相同？
27．图中D为△ABC的边BC的中点，E、F分别在AB、AC的延长线上，并且DE=DF，过E、
F分别作AB、AC的垂线，相交于P，求证：?PBE??PCF.
28．如图，在梯形ABCD的腰AB、CD上向外作正方形ABEF，CDGH，AD中点I作AD的垂
线，交FG于K，求证：FK=KG.
29．在等腰直角三角形ABC的腰CA、CB上，分别取D、E，并且CD=CE，C、D作AE的垂
线，分别交AB于G、H，证明：FB?AE.
30．在△ABC外面作正方形BCDE，ACFG，BAKH，再作平行四边形FCDQ，EBKP，证明
△APQ是等腰直角三角形.
31．在Rt△ABC中，?BAC?90?,?BAC的平分线交BC于D，点D在AB、AC上的射影分别为P、Q，BQ交DP于M，CP交DQ于N，BQ交CP于H，证明： （a）PM=DN；（b）MN?BC；（c）AH?BC.
32．设△ABC的边长为BC=a，CA=b，AB=c，a, b, c互不相等，BE、CF为角平分线，并且
DE=DF，求证：（a）
;（b）?BAC?90?. ??
33．已知△ABC中，?C?90?，D为AC上一点，K为BD上一点，并且?ABC??KAD??AKD.
证明：BK?2DC.
34．△ABC的外心是O，内心是I，内切圆分别切三边于D、E、F，三条高的中点分别为A0、
B0、C0，证明：A0D,B0E,C0F,OI四线共点.
35．已知点B、C，求满足
?定值??0的点M的轨迹，这里|BM|表示线段BM的长，在|MC|
不致混淆（不涉及方向）时，|BM|可省记为BM.
36．A为?O中定点，动弦BC对A所张的角?BAC?90?，求BC中点M的轨迹.
37．将某城市的地图放在该城地上，证明必有一点与它在地图上的位置重合.
38．在△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）上各任取一点X、Y、Z，则△AYZ、△BZX、
△CXY的外接圆共点.
39．五边形FGHIJ的边延长后得五角星ACEBD，每个“角”（三角形）的外接圆相交，除F、
G、H、I、J外又有五个交点F?,G?,H?,I?,J?，证明这五点共圆.
40．如图（a），AB是?O的直径，PA为切线，过P任作一割线交C、D，BC、BD分别与PO
相交于E、F，求证：EO=OF.
41．锐角三角形ABC中，AB>AC，AD、BE、CF是高，EF交BC于E，作EF的平行线，分
别交AC、AB于Q、R，N是线段BC上一点，且?NQP??NRP?180?，求证：BN>CN.
42．如图，在锐角三角形ABC中，ABC，AD是边BC上的高，P是线段AD内的一点，过
P作PE?AC，垂足为E；作PF?AB，垂足为F，O1,O2分别是△BDF、△CDE的外心，求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.
43．设O、I分别为△ABC的外心与内心，R、r分别为外接圆与内切圆的直径和半径，记OI=d，
证明欧拉公式：d2?R2?2Rr.
44．△ABC中，O为外心，H为垂心，在AB上取O?，使A使AO??AO. 在AC上取H?，H??AH.
证明：O?H??AO.
45．如图，设△ABC的面积为△，外心为O，外接圆的半径为R，在三边上的射影分别为A1、
B1、C1，设△A1B1C1的面积为△1，OP=d，证明欧拉定理：?1?1?2.
46．设有A、B、C、D、E五点，ABCD是平行四边形，BCED是圆内接四边形，直线l为过A，
分别交线段DC，直线BC于点F、G（F是线段DC的内点），如果EF=EG=EC，求证：l是?DAB的角平分线.
47．在△ABC中，?BCA的角平分线与△ABC的外接圆交于点R，与边BC的垂直平分线交于
点P，与边AC的垂直平分线交于点Q，设K与L分别是边BC和AC的中点. 证明：△△RPK和△RQL的面积相等.
48．一次象棋比赛共有n名选手参加，证明必有两名选手与同样多的对手下过棋.
49．一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这
棋手必在连续的几天内恰好下了21盘棋.
50．一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，每次都恰有90名客人同时回来，证明至少要准
备990把钥匙分给这100名客人，才能使得每次客人回来时，每名客人都能用自己分到的钥匙打开一个房间住进去，并且避免发生两个人同时住进一个房间.
51．从n个字母x1、x2、,,，xn中任意取出m个（允许重复），并依任意的次序排列，证明如
果m≥2n，那么一定可以在所写的序列中，找出若干个连续的项，它们的乘积是一个单项式的平方（例如x1, x2, x3, x1, x2, x1, x3, x1中，从第二项到第七项的乘积是单项式x1x2x3的
52．任意给定一个mn+1项的实数数列a1,a2,?,amn?1.证明可以从中选出m+1项单调递增，或者
可以从中选出n+1项单调递减.
53．设实数x1,x2,?,xn满足x12?x2???xn?1. 证明对每一个整数k≥2，存在不全为零的整数
a1,a2,?,an满足|ai|≤
k?1(i?1,2,?,n)及|a1x1?a2x2???anxn|
54．6个代表队共1958名运动员，编上号码1，2，,,，1958，证明至少有一个运动员的号码
等于他的两个队友的号码的和或者等于一个队友的号码的2倍.
55．设?为正数，
,处各挖一个2?的“小沟”（以这些点为沟的中点），
一个“圆规式”的机器人自实数?出发，每步1米，沿x轴正方向前进，证明这个机器人
的脚（圆规的尖端）迟早要落到沟里.
57．证明存在自然数m，使得|sinm|?0..
58．设?为无理数，则对任意的正整数n，存在整数p, q，其中|q|不大于n，并且|q??p/?1/n.
59．世界上任意的6个人，作一个完全图K6，如果两个人认识，就将对应的边染成红色，否
则染成蓝色，要证明的结论就是：“如果K6每条边染上两种颜色中的一种，那么必定有一个同色三角形（即三条边颜色相同的三角形）.”
60．空间6条直线，每3条不在同一平面上，证明其中存在3条直线满足以下三个条件之一： （a）两两异面；（b）互相平行；（c）三线共点.
61．将K6的每条边染上红色或蓝色，证明必有两上同色三角形（这两个三角形的颜色不一定
62．17位学者，每一位都给其余的人写一封信，信的内容是讨论三个问题中的一个，而且两
个人互相通信所讨论的是同一个问题，证明至少有三位学者，他们之间通信所讨论的是同一个问题.
63．设完全图KN的边上涂上n种颜色，则在N充分大时，KN中必有一个三角形，并且，设rn
为使KN中有同色三角形的N的最小值，则：
（a）（b）（c）其中e?1?r1?3,r2?6,r3?17；rn≤n(rn?1?1)?2；rn≤[n!e]?1，
?????? 1!2!n!
64．（舒尔定理）将自然数1，2，,,，N分到n个类中，则在N≥[n!e]时，必有一个类同时含
有数x, y及它们的差|x?y|.
65．9个人中一定有3个人互相认识或者4个人互不相识.
66．M为大于2的整数，v1,v2,?,vn为平面上n个一般位置的点（即其中任意三点不共线），
证明在n充分大时，其中有m个点组成凸m边形.
67．将平面上的每个点染成红、蓝、黄三种颜色之一，证明必有两个同色的点距离为1.
68．将平面上的每个点染上红色或蓝色，证明必有一个顶点同色的正三角形，它的边长为1
或1的正三角有形.
69．如图是由16个数组成的一个4?4矩阵，其中每一个数都为?1，每行右边的数是这行四个
数的积，每列下边的数是该列四个数的积，这八个积的和为零. 能否作出一个由?1组成的25?25的矩阵，使每行的积（共25个）与每列的积（共25个）相加得到的和为0？
70．从数集{3，4，12}开始，每一次从其中任选两上数a, b，用a?b和a?b代替它们，
能否通过有限多次代替得到：（a）数集{4，6，12}？（b）数集{x, y, z}，其中x, y, z
满足|x?4|?
71．能否从1，2，,,，15中选出10个数填入下图的圈中，使每两个有线相连的圈中的数相减
（大数减小数），所得的14个差恰好为1，2，,,，14？
72．25个人组成若干委员会，每个委员会5名成员，每两个委员会至多有1名公共成员，证
明委员会的个数不大于30.
73．集M?{x1,x2,?,x7}，它的子集A1,A2,?,A7具有性质： （1）M中每一对元素同属于一个唯一的Aj(1≤j≤7)； （2）7?|Ak|≥3(k?1,2,?,7)；
证明：每两个子集Ai,Aj(1≤i?j≤7)均有唯一的公共元素.
a1,a2,?,an
为1,2,?,n的一个
fk?|{ai|ai?ak,i?k}|,gk?|{ai|ai?ak,i?k}|,k?1,2,?,n. 证明：?fk??gk.
75．地面上有10只小鸟在啄食，并且任意5只至少有4只在同一个圆周上，问有鸟最多的圆
周上最少有几只鸟？
76．将凸多面体的每一条棱染成红色或黄色，两边异色的面角称为奇异面角，某顶点A处的
奇异面角数称为该顶点的奇异度，记为SA，求证总存在两个顶点B和C，使得SB?SC≤4.
77．平面上任给5个点，其中每3点不共线，每4点不共圆，如果一个圆过3点，并且另2
点分别在这圆内、外，就称这圆为“好圆”，设好圆的个数为n，试求n取的值.
78．如果F中任意两个元素Ai,Aj(1≤i?j≤n)互不包含，那么F称为斯佩纳族，简称S族，
[n/2][n/2]
求证S族的元素至多为Cn，即maxt?Cn.
79．11个剧团中，每天有一些剧团演出，其他剧团观看（演出的不能观看），每个剧团都看过
其他10个剧团的演出，问演出至少几天？
80．x1,x2,?,xn为n个绝对值不小于1的实数，从2n个和xA??xi,A?X?{1,2,?,n}，（约定
x??0）中至多能选出多少个，使得每两个被选出的和相差不到1？
81．如果将正整数集任意拆成两部分，那么对于任意给定的正整数l，这两部分中必有一个含
有长为l的等差数列.
82．某次棋赛有n(n≥2)名选手参加，每人恰好与其他每位参赛者各赛一局，每局胜者得1分，
负者得0分，平局各得0.5分，赛完后，排定名次，称得分高的负于得分低的赛局为“爆
（1）证明爆冷门的局数少于总局数的；
（2）证明不能换成更小的数.
83．定义{x}为x的小数部分，即{x}?x?[x]. 现有n个区间（0，1）中的实数?1,?2,?,?n，
证明必有一个实数?，使得?{?j??}≤
84．在一个很大的棋盘上，有2n个小方格被染上红色，而且一枚每次只能或竖走一格的棋子
可以从一个红格走到任一个红格，不穿过没有染色的方格，证明：这2n个红格分成n个矩形（包括正方形）.
85．设a1,a2,?,an为整数，并且每一个部分和ai?ai???ai(1≤i1?i2???ik≤n)都不为0，
证明正整数集可以分拆为有限多组，使得x1,x2,?,xn在同一组时，a1x1?a2x2???anxn?0.
86．给定正奇数n后，计算3n?1，然后尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，记为n*，
例如：7*?11,11*?17,17*?13,13*?5,5*?1. （1）证明如果n*?m，并且m*?n，则m?n?1. （2）求一个正奇数n，满足n?n?n???n
87．已知在n≥3时，费马方程xn?yn?zn至多有有限多组满足（x, y）=1的整数解，证明存
在质数p1?q1?p2?q2??，使得xpq?ypq?zpq（i=1, 2, ,,）无正整数解，即费马大定
ii20个?**?*
理对n?piqi成立.
88．空间有n个点，两两的距离互不相等，将每一点与距离它最近的点相连，证明对其中任一
点O，以O为端点的线段不超过14条.
89．已知p为质数，集S?Z，满足：
（a）若整数a, b中恰有一个属于S，则ab?S； （b）若a?S，则a?p?S.
设S中最小的正整数为n，如果n?p，证明：
（1）0?S；（2
90．有一个天平，两边都可放砝码，现有10个砝码，质量分别为1，2，4，8，16，32，64，
128，256，512克.
（1）证明任一质量为M克的物质，至多有89种称出它的方法； （2）给出有89种称法的质量M.
91．设a, b为自然数，如果自然数集N可以分拆为三个子集N1、N2、N4，使得对任一自然数
n, n+a, n+b与n分别各属于一个Ni(1≤i≤3)，求a, b应满足的充分必要条件.
92．确定是否存在一个正整数n, n无平方因子，恰好被2000个不同的质数整除，而且2n?1被
93．试举出一个关于x, y的整系数二次多项式f(x,y)，使得方程f(x,y)?0. （1）有实数解，没有整数解；（2）对任意自然数m,f(x,y)?0(modm)有整数解.
94．已知5?275?n5，并且n在130与170之间，试确定n.
95．8?8的正方形中任写64个自然数，然后施行如下的操作：任取一个3?3或4?4的子正方
形，将其中每个数加1，能否经过若干次操作，使每个数成为10的倍数？
96．平面上已给4n?1个点，每三点不共线，证明可以用其中的4n个点组成2n对，连结每对
点的2n条线段至少有n个不同的交点.
97．已给100个点，证明可以用某些互不相交的圆（盘）覆盖这些点，并且圆的直径和小于
100，任两个圆的距离都大于1（点集M、N之间的距离指线段AB的最大值，其中A为M中任一点，B为N中任一点）.
98．在半径为16的圆中有650个红点，证明有一个内半径为2、外半径3的圆在这环内至少
有10个红点.
99．证明在周长为p，面积为S的凸多边形中，可嵌入一个半径为S/p的圆.
100．在一个面积为1的正三角形内任放5个点，证明可作3个三条边分别与原三角形的边平
行的正三角形覆盖这5个点，这3个正三角形的面积之和S?????，?为任意正数.
101．能否在边长为1的正方形内取1704个点，使得任何包含在正方形内的、边平行于正方形
的边的、面积为
的矩形内部都至少含有一个取定的点？ 200
102．已知一个平面有界图形M，证明平面上存在一点P，过P的任一条直线分M为两个部分，
每一部分的面积都不小于|M|，这里|M|表示M的面积.
103．Pij(i,j?1,2,?,n,i?j)中值r出现的次数1,P2,?,Pn(n≥3)为平面上n个已知点，线段PP
记为g(r)，PP（1）g(r0)≤3n?6；（2
）g(r)?ij的最小值为r0，证明：
104．在上题中，设PP中有k个不同值，证明：(1≤i?j≤n)k≥n?ij??
105．设PPij的最大值为1，证明：可以将P1,P2,?,Pn分为三组，每一组的最大距离小于1.
106．平面无穷点集M中任两点的距离为整数，证明M中的点在一条直线上.
107．平面上任给五点，?为这些点间最大距离与最小距离之比，证明min??2sin54?.
108．设凸四边形ABCD的面积为1，求证在它的边上（包括顶点）或内部可以找到格点，使
得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积均大于.
109．设格点多边形的内部有I个格点，边界上有P个格点，则它的面积S?
110．证明正n边形不可能为格点多边形，除非n=4.
111．一个凸集M面积大于4，关于原点O对称，证明这个凸集M中至少有一个不同于O的
112．如图，平面被边长为1的正六边形铺满，一只甲虫沿正六边形的边爬行，从点A沿最短
路线爬到另一点B共爬过1000条边，证明甲虫在某一个方向上爬行的路途等于全程的.
113．帕瑞格尔河从哥尼斯堡城中穿过，河中有两个岛A与D，河上有七座桥连接这两个岛及
河的两岸B、C，问：
（1）一个旅行者能否经过每座桥恰好一次，既无重复也无遗漏？ （2）能否经过每座桥恰好一次，并且最后能够回到原来的出发点？
114．2n个点(n≥2)，有些点之间连了线，证明线的条数≥n2?1时，一定有三角形即三个点，
两两连线），而线的条数为n2时，不一定有三角形.
115．设n≥2，平面上已给2n个点，每三点不共线，在这些点之间连n2?1条线段，证明至少
形成n个以已知点为顶点的三角形.
116．某公司有17个人，其中每个人都恰认识4个人，求证：必有2个人互不相识，而且没有
共同的熟人.
117．能否在正45边形的顶点上各放一个数0，1，2，,,，9（数允许重复），使得由这些数构
成的任一个数对（a, b）都有一条边，这边一端的数为a，另一端为b？更一般地，对于数
0，1，2，,,，n，能否将它们放在正
边形的顶点上，使得相应的要求成立？
118．一次大型会议有500名代表参加，如果每名代表认识的人数为400（我们约定甲认识乙，
则乙也认识甲），是否一定能选出6名代表，每两名互相认识？
119．在上题中，如果每名代表认识的人数大于400，证明一定能找到5名代表，每两名互相
120．在一车厢里，任何m(m≥3)个旅客都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲
的朋友，任何人不作为他自己的朋友），问：在这车厢里，有多少人？
121．平面上有n个点，每两个之间的距离大于等于r，证明其中至多有3n对点，每对点之间
的距离为r.
122．有三所中学，每所有n名学生，每名学生都认识其他两所中学的n+1名学生，证明可以
从每所中学中各选一名学生，这3名选出的学生互相认识.
123．n个点的图，如果每两点v，v?都有一条路（由不同的边vv1,v1v2,?,vkv?排列）而且也只
有一条路相连，证明边的总数为n?1.
124．10个学生参加一次考试，试题共10道，已知没有两个学生做对的题目完全说明在这10
道题中可以找到一道试题，将这道试题取消后，每两个学生所做对的仍然不会完全相同.
125．n个镇，每个镇都可以通过一些中转镇与另一个镇通话，证明至少有n?1条直通的电话
线路，每条连接两个镇.
126．一位主人准备了77粒糖果作为礼物，如将糖果装在n只袋中，使得不论来的孩子是7
个还是11个，每个孩子都可以得到整袋的糖果，并且每个孩子得到的糖果数相等，求n的最小值.
127．图G为两部分图的充分必要条件是G的圈长均为偶数.
128．在两部分图G中，X?{x1,x2,?,xn},Y?{y1,y2,?,ym}是G的点所对应的两个集，X的点
互不相邻，Y的点也互不相邻，G有一组无公共点的边，一端恰好是集Y的充分必要条件是与任意k个yj（中至少一个）相邻的顶点xi的个数不小于k（k≤m）.
129．有n名绅士与n名太太参加一次舞会，每名绅士恰好认识?名太太，每名太太也恰好认
识?名绅士，证明可以适当安排，使得每位太太均与她所认识的绅士跳舞.
130．如果两部分图G中，次数的最大值为r，那么可以将它的边染色，每条边染r种颜色中
的一种，使得同一个点引出的边颜色不同.
131．奥芝国的城市分为两类，同一类城市之间无道路直接连通，每个城市均有?条道路直接
通向另一类的?个城市，?≥2，如果从任何城市均可沿着道路走到所有其他的城市，证明即使洪水冲断一条道路，仍然能从任何城市走到所有其他城市.
132．将正三角形的每一条边n等分，过各分点引其他两边的平行线，将原三角形分为n2个小
的正三角形，每个小三角形是一个房间，每两上相邻的房间（有公共边的小三角形）之间有门相通，如果每次参观，参观者经过每个房间至多一次，问参观者至多参观到多少个房间？
133．亚瑟王在王宫中召见他的2n(n?1)名骑士，其中某些骑士之间互有怨仇，已知每个骑士
的仇人不超过n?1个，证明亚瑟王的谋士摩林能够让这些骑士围着那张著名的圆桌坐下，使得每一个骑士不与他的仇人相邻.
134．已知两国有航空业务，使得任两个分属这两国的城市之间，都恰有一条单向的航线，并
且每个城市都有飞往另一国某些城市的航线，证明可以找出4个城市A、B、C、D，使得可由A直飞B，由B直飞C，由C直飞D，由D直飞A.
135．100种昆虫，每两种之中有一种能消灭另一种，证明能将这100种昆虫排成一列，使得
每一种昆虫能消灭紧接在它后面的那一种昆虫.
136．在一个有向图中，已知每点的出次不超过6，证明：可将它的顶点各染上13种颜色中的
一种，使得同色的顶点之间没有边相连.
137．已知一个有向图中，每点的出次不超过2，证明可将它的顶点各染上13种颜色中的一种，
使得从任一点到它的同色上，至少要经过3条边.
138．某城市有若干广场，有些广场之间有单行道相连，每个广场都恰好有两条往外的单行道，
证明：可以将这个城市分成1014个小区，使得每条单行道所连接的两个广场都分属两个不同的小区，并且对任何两个小区，所有连接它们的单行道都是同一个方向的（即都是由小区甲驶往小区乙的单行道，或者全反过来）.
139．图G有n个点，e
条边，证明在e?n(1时，图G中必有四边形.
140．已知8个点的图G中，任5点组成的子图都有三角形，证明G中有一个完全图K4.
141．某国有n个城市，某些城市之间有直达的双向飞机航线（航线可以超过1条），已知对任
意k（2≤k≤n），在任意k个城市之间，航线的数目都不多于2k?2条，证明：可以将所有航线划归两个航空公司，使得任何一个公司所拥有的航线都不形成封闭的折线.
142．证明a?b与a, b垂直，并且|a?b|?|a||b|sin?，其中?为a与b所夹的锐角.
143．将一副三角板如图拼接后，再将三角板BCD沿BC竖起来，使两块三角板所在平面互相
垂直，求异面直线AD和BC所成角.
144．已知正三棱柱ABC?A?B?C?中，AB?a,CC??b，D为AC的中点，求BD与AC?的距离.
145．长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=10，BC=6，BB1=8，求CD与BD1的距离.
146．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于E.
（Ⅰ）求证：BD1?AC；（2）BD1?平面ACB1；（3）BE?D1E；（4）平面ACB1?平面A1DC1.
（Ⅱ）（1）平行平面ACB1与A1DC1的距离；（2）AC与A1D的距离.
147．正方体ABCD?A1B1C1D1，棱长为1，在A1B上取A1M?A1B，在B1D1上取B1N?B1D1，
连结MN，求证MN是A1B与B1D1的公垂线.
148．斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，?ACC1?60?，侧
ABB1A1?AAC11C,A1B?AB?AC?1.
（1）求证：AA1?BC1；（2）求A1到平面ABC的距离.
149．直四棱柱底面为梯形ABCD，AA1?AB?2a,AD?DC?CB?a. 求二面角C?A1B?D.
150．在正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB?CF:FA?CP:PB?1:2
（如左图），将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B成直二面角，连结A1B，A1P（如右图）.
（1）求证：A1E?平面BEP；
（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（3）求二面角B?A1P?F的大小（用反三角函数值表示）.
151．已知正三棱锥S?ABC中，相邻侧面所成的二面角为2?，底面中心O到侧棱的距离为1，
152．已知三棱锥S?ABC的顶点S在底面的投影H是△ABC的垂心，BC=2，SB=SC，侧面
SBC与底面所成的二面角的度数为60?，求棱锥的体积.
153．设正三棱锥P?ABC的高PO的中点为M，过AM作与BC平行的平面将三棱锥截为两部
分，求这两部分的体积之比.
154．设斜三棱柱ABC?A?B?C?的底面ABC中，?C?90?,BC?2，又设B?在底面ABC上的射
影B??恰好是BC的中点，侧棱与底面所成的角为60?，侧面A?ABB?与B?BCC?所成的角为
30?，求这三棱柱的体积V与侧面积Q.
155．异面直线l1,l2,l3两两垂直，相距为a，平行六面体ABCD?A1B1C1D1的顶点A、C在l1上，
B、C1在l2上，D、B1在l3上，求这平行六面体的体积.
156．四面体ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，过E、F任作一平面M，证明平面M
将四面体分为两个体积相等的部分.
157．证明正四面体各棱在任一平面上的射影的平方和为定值.
158．如果四面体的四条高交于一点，那么这个四面体称为垂心四面体，这一点称为四面体的
垂心，证明下列条件都是四面体为垂心四面体的充分必要条件： （1）对棱互相垂直；（2）一条高通过底面的垂心； （3）对棱的平方和相等；（4）连结对棱中点的线段相等.
160．已知点O及n(n≥4)个具有如下性质的点：对于其中任意三个，必有（这n个点中的）
第四个点，使得O在以这四个点为顶点的多面体的内部（不在面或棱上），证明n=4。
161．已知I是△ABC的内心，AI、BI、CI分别交BC、CA、AB于A?,B?,C?. 求证：
1AI?BI?CI8?≤
. 4AA??BB??CC?27
162．等腰三角形ABC中，AB=AC，A?与A在直线BC的同侧，并且A?B?A?C?AB?AC，
AC与A?B相交于O，证明：OA?OA?.
163．△ABC中，BC≥CA≥AB，AD为BC边上的中线，证明： 1
（1）?BAD≥?DAC；（2）?DAC??C.
164．△ABC中，AB?AC，点M在BC边上，证明：(AM?AC)?BC≤(AB?AC)?MC.
165．设P为△ABC内的一点，P到顶点A、B、C的距离分别为x, y, z，到边BC、CA、AB的
距离分别为u, v, w. 证明：x?y?z≥2(u?v?w).
166．圆内接六边形ABCDEF中，AB=BC，CD=DE，EF=FA. 求证：
AB?BC?CD?DE?EF?FA≥AD?BE?CF.
167．设P为△ABC内一点，求证?PAB,?PBC,?PCA中至少有一个小于或等于30?.
168．已知边长为4的正三角形ABC，D、E、F分别在BC、CA、AB上，并且AE=BF=CD=1，
连结AD、BE、CF，交成△RQS，P点在△RQS内部及其边上移动，P到△ABC三边的距离为u, v, w.
（1）求证：当P点在△RQS的顶点位置时，乘积uvw有最小值. （2）求出uvw的最小值.
169．P为△ABC内一点，证明：PA?PB?PC≤max(a?b,b?c,c?a). 其中a, b, c为△ABC的
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