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求解一阶非线性常微分方程时程序报错
想求解一阶常微分方程，方程如下：dx/dt=a*x(t)+b*x(t)^3+y(t)。其中a,b为常数，y(t)为已知的常数序列。本人最开始的求解方法是根据微分的定义，将方程化简一下，然后采用递推求解，并得到了结果。但是考虑到这样做精度应该较差，而且以后还会涉及到更高阶的微分方程或者是方程组的求解，该方法会失效，因此想研究一下如何利用ode45这个函数解决此类问题，找了些案例看了下，感觉是明白了，但是涉及到具体过程时，问题来了。
& && & 在设置状态变量时选择了
& && & x1=x(t),&&x2=dx/dt,& & x3=y(t)& &且x2=a*x(t)+b*x(t)^3+y(t)
& && &依葫芦画瓢编写了代码，程序及matlab报错如下 ：（请大家先跳过代码及运算结果，先看第三点说明）
& && &(1)代码：
fs=2e9;Ts=1/
%------------信号产生
am=10;a=1.3;b=2.2;
s=zeros(N,1);
for t1=1:N
& & if t1&t0
& && &&&s(t1)==0;
& && &&&s(t1)=am*(exp(-a*(t1-t0)*Ts./tt)-exp(-b*(t1-t0)*Ts./tt))&&;
ss=awgn(s,-5,'measured');
T=(0:N-1)*Ts;
ss_amp_av=sum(abs(ss))/N;
C=0.38*ss_amp_
%-------------以上部分可不用理会，就是产生一个信号序列y（t）=ss（t）和给出常数a、b的值-------------------------
%-----解方程dx/dt=a*x(t)+b*x(t)^3+y(t)
x0=;%方程中x(0)和y(0)的初始值
H=*Ts;%求解时间区间
options=odeset('reltol',1e-8);
=ode45(@diffx,H,x0,options);%k对应时间序列,x0对应初值
x=f(:,1);%求解得到x(t)
function dx=diffx(k,x)
A=2.5e-8;B=0.0576;
%%状态变量定义x1=x，
%%x2=dx1;x3=y
%%求解x2=(1/A)*x(1)-(1/(A*B^2))*x(1)^3+(1/A)*x(3)
（2）运行结果
“Attempted to access x(3); index out of bounds because numel(x)=2.
Error in diffx (line 3)
dx==ode45(@diffx,H,x0,options);%k对应时间序列,x0对应初值”
其实在编写过程中我已经明白我写的代码有错误，比如这里我把已知的y（t）常数序列当做了一个地位等同于x（t）的待求函数，matlab会根据初值求解y（t），所以程序报错“Attempted to access x(3); index out of bounds because numel(x)=2.”，但令我纠结的是，我不知道如何在运算中正确使用常数序列y（t）,因为它既不是一个常数，又不是一个变量函数f（t）。
& && &请大家帮忙给改一改程序。谢谢！
程序里面 应该是 s(t1)=0;
而不是 s(t1)==0;
虽时间变化的参数，可以用下面的方法来解，要注意的是
%-----解方程dx/dt=a*x(t)+b*x(t)^3+y(t)
yt = 1:length(y);
H&&= linspace(0,(N-1)*Ts, length(y));
options=odeset('reltol',1e-8);
=ode45(@(t,x) diffx(t, x, yt, y), H, x0, options);
diffx 方程是
function dx=diffx(t, x, yt, y)
A=2.5e-8;B=0.0576;
y = interp1(yt, y, t+1);
dx = A*x+B*x^3+y;
end : Originally posted by somomo91 at
程序里面 应该是 s(t1)=0;
而不是 s(t1)==0;
虽时间变化的参数，可以用下面的方法来解，要注意的是
%-----解方程dx/dt=a*x(t)+b*x(t)^3+y(t)
yt = 1:length(y);
H&&= linspace(0,(N-1)* ... 非常感谢您的帮助，对我的帮助较大。打开帖子瞥见你那句话“虽时间变化的参数....”，我知道问题出在哪了。但是针对你给予的修改，我仍有几个问题，想请教一下：
问题（1）关于s(t1)==0和s(t1)=0的区别
& && &这个修改应该没有区别吧？我以前仿真信号时均是这样写的，没发现有什么不同。但是，我刚才用你修改后的代码跑了一遍，发现这两种情况下解得值有区别。能否解释一下原因？
问题（2）关于diffx中插值“y = interp1(yt, y, t+1)”
& && & 我的理解是，在计算过程中把y当做随时间变化的参数，可是我不明白为什么用这句代码y = interp1(yt, y, t+1)就相当于实现了每步用不同的y值带入进行计算，可否解释下这句代码的意思，我看不懂这句代码怎么运算的，呵呵。
问题（3）：我感觉计算结果=ode45(@(t,x) diffx(t, x, yt, y), H, x0, options)中f的维数好像不对
& && & 针对我这个需要求解的方程，ode45计算的输出f中好像应该是包含两个量啊，f(:,1)是x的值，f(:,2)是dx的值啊，为什么程序运行后f只是一个列向量，而不是一个矩阵呢？
& && & 烦请再解释一下，非常感谢啊！ : Originally posted by 风飘云梦 at
非常感谢您的帮助，对我的帮助较大。打开帖子瞥见你那句话“虽时间变化的参数....”，我知道问题出在哪了。但是针对你给予的修改，我仍有几个问题，想请教一下：
问题（1）关于s(t1)==0和s(t1)=0的区别
& && &这 ... 问题已经解决，问题出在定义的H上面，应该直接定义H=0：N-1即可。
非常感谢somomo91的应助！[转载]数理逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑和公理系统
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数理逻辑、谓词逻辑、一阶逻辑和公理系统
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
概述　　所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。 　　用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。 　　简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。它是现代计算机技术的基础。新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。 　　逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生　　利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。 　　1847年，英国发表了《》，建立了“”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。 　　十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，数学家出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
数理逻辑的内容　　数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“”和“”。 　　命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。 　　如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。 　　这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。 　　命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。 　　逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截止等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。 　　利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑乘和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动控制方面有重要的应用。 　　谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。 　　命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。 　　命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。
数理逻辑的发展　　数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。比如，非欧几何的建立，促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。 　　集合论的产生是近发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中，出现了一次称作上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是数学的基础。 　　1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家却对集合论提出了以他名字命名的“”，这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。 　　罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很有名的例子就是“”：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。 　　悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支——。 　　非欧几何的产生和集合论的悖论的发现，说明数学本身还存在许多问题，为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，这样又产生了数理逻辑的另一个分支——证明论。 　　数理逻辑新近还发展了许多新的分支，如递归论、模型论等。递归论主要研究可计算性的理论，它和计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统和之间的关系。 　　数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。 　　正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科，所以它本身也存在许多问题有待于深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题进行研究。 　　总之，这门学科的重要性已经十分明显，它已经引起了很多人的关心和重视。
数理逻辑论的体系　　数理逻辑的主要分支包括：逻辑演算(包括命题演算和谓词演算)、、、和。数理逻辑和计算机科学有许多重合之处，两者都属于模拟人类认知机理的科学。许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，如、邱奇等。 　　程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。 　　柯里——霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉逻辑和在此起了很大作用。和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。 　　计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说和。
一些基本结果　　▲一阶公式的普遍有效性的推定证明可用算法来检查有效性。用技术语言来说，证明集合是原始递归的。实质上，这就是，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。 　　▲有效的一阶公式的集合是不可计算的，也就是说，不存在检测普遍有效性的算法。尽管以下算法存在：对此算法输入一个一阶公式，如果这个一阶公式是普遍有效的，那么算法将在某一时刻停机，如果不是普遍有效的，那么算法将会永远不停地计算下去。然而，即使算法已经运行了亿万年，公式是否有效仍是未知数。换句话说，这一集合是“递归枚举的”，用更通俗的话来讲，是“半可判定的”。 　　▲普遍有效的二阶公式的集合甚至不是递归可枚举的。这是的一个结果。 　　▲勒文海姆——斯科伦定理。 　　▲相继式演算中的切消定理。 　　▲保罗·科恩（Paul Cohen）在1963年证明的连续统假设的独立性。
计算机科学　　当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。 　　一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑； 　　另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。 　　依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。 　　即任意多状态的逻辑是完备的。 　　当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。
图书信息　　作　者：（美）恩德滕 著 出 版社：
　　出版时间：
　　字　数： 440000 　　页　数： 317 　　开　本： 16 　　I S B N ： 3 　　定价：39.00
编辑推荐　　“本书内容严密、完整、一致，很好地介绍了逻辑实践……” 　　——Douglas Cannon,华盛顿大学 　　“这本书写作思路清晰缜密。我采用这本书作为教材的原因是，它详细且严密地讲述了谓词演算，详细且极好地讨论了不完备性现象，并且采用伯克利学派开发的标准记号。” 　　——Karel Prikr，明尼苏达大学 　　“本书数学上非常严格，而且示例比其他图书都丰富。因此我已经决定将本书用作教材。” 　　——Sun-Joo Shin，圣母大学 　　本书是数理逻辑方面的经典教材，以可读性强而著称，在美国大学中采用率极高，麻省理工学院、加州大学伯克利分校、哥伦比亚大学、康奈尔大学等众多名校均用它作为教材。本版章节组织更加灵活，增加了与计算机科学相关的主题（比如有限模型），还增加了一些示例和阐释文字，更适合本科生和研究生数理逻辑课程使用。
内容简介　　本书是数理逻辑方面的经典教材。书中涵盖了命题逻辑、一阶逻辑、不可判定性以及二阶逻辑等方面的内容，并且包含了与计算机科学有关的主题，如有限模型。本书特点是：内容可读性强；组织结构更灵活，授课教师可根据教学需要节选本书的内容；反映了近几年来理论计算机科学对逻辑学产生的影响；包含较多的示例和说明。本书适合作为计算机及相关专业本科生和研究生数理逻辑课程的教材。
作者简介　　恩德滕哈佛大学博士，师从著名哲学家Hilary Putnam。曾任教于加州大学伯克利分校。现为加州大学洛杉矶分校数学系兼职教授，该校“逻辑学论坛”主席，曾担任《符号逻辑学会评论》杂志的主编。除本书外，他还著有另外两本广受好评的教材Elements of Set Theory和Linear Algebra。
目录　　CHAPTER ZERO Useful Facts about Sets　1 　　CHAPTER ONE Sentential Logic　11 　　CHAPTER TWO　First-Order Logic　67 　　CHAPTER THREE　Undecidability　182 　　CHAPTER FOUR　Second-Order Logic　282 　　SUGGESTIONS FOR FURTHER READING　307 　　LIST OF SYMBOLS　309 　　INDEX
谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词.
概述　　形式逻辑的最根本部分，也是最基本的逻辑系统或理论。在谓词逻辑中，除研究复合命题的命题形式、命题联结词的逻辑性质和规律外，还把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分，研究由这些非命题成分组成的命题形式的逻辑性质和规律。谓词逻辑把命题逻辑作为子系统，但为了研究方便，同时也由于它具有某些重要的特殊性质，命题逻辑通常又作为一个独立的系统先研究，而在谓词逻辑部分则集中研究由非命题成分组成的命题形式和量词的逻辑性质与规律。只包含个体谓词和个体量词的谓词逻辑称为一阶谓词逻辑，简称一阶逻辑，又称狭义谓词逻辑。此外，还包含高阶量词和高阶谓词的称为高阶逻辑。谓词逻辑也分为经典的谓词逻辑和非经典的谓词逻辑，后者包括作为子系统的非经典的命题逻辑。经典的一阶谓词逻辑是谓词逻辑的基本部分。第一个完整的谓词逻辑系统是G.弗雷格在1879年建立的。K.哥德尔等人系统地研究了谓词逻辑的元逻辑问题，证明了重要的定理。
谓词与量词　　h谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。谓词是用来刻画个体词的性质或事物之间关系的词. 　　个体词分个体常项(用a,b,c,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F,G,P,…表示. 　　注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题. 　　h量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词（∨），表示“所有的”或“每一个”；存在量词$，表示“存在某个”或“至少有一个”.
注意事项　　在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点： 　　(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变. 　　(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域. 　　(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义. 　　谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应. 　　在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。一般地，使用全称量词"，特性谓词后用&；使用存在量词$，特性谓词后用&U.
公式与解释　　h谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式. 　　例如"x(F(x)&G(x))，$x(F(x)&UG(x))，"x"y(F(x)&UF(y)&UL(x,y)&H(x,y))等都是谓词公式. 　　h变元与辖域，在谓词公式"xA和$xA中，x是指导变元，A是相应量词的辖域. 在"x和$x的辖域A中，x的所有出现都是约束出现，即x是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效. 　　h换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变. 　　h代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号. 　　h解释(赋值)，谓词公式A的个体域D是非空集合，则 　　(1) 每一个常项指定D中一个元素； 　　(2) 每一个n元函数指定Dn到D的一个函数； 　　(3) 每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词； 　　按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值. 　　在有限个体域下，消除量词的规则为：如D={a1,a2,…,an}，则 　　h谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A取真值1，公式A为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A取真值0，公式A为永假式；至少有一个解释使公式A取真值1，公式A称为可满足式.
命题形式　　最简单的命题，即所谓原子命题，都可以分析为个体词和谓词两类成分。例如,在“5是素数”、“7大于3”这两个命题中，5、7和 3是个体词，“是素数”、“大于”是谓词。在逻辑中，一个论域中的元素称为个体，个体词是表示个体的符号；表示某个论域中的一个特定个体的符号称为个体常项或个体常元，个体常项也就是它所表示或指称的那个个体的名字；不表示某一确定论域中的特定个体的个体词，称为个体变项或个体变元，用符号x,y,z和x1,y1,z1,…表示；个体变项取任一论域中的任一个体为值。谓词是表示个体的性质和个体之间关系的符号。个体的性质也称一元关系，表示个体的性质即一元关系的称为一元谓词。两个个体之间的关系称为二元关系，n个个体之间的关系称为n元关系。表示二元关系的为二元谓词，表示 n元关系的为 n元谓词。如“是素数”就是一元谓词，“大于”是二元谓词,“在…之间”是三元谓词。表示某一论域中的特定的性质或关系的称为谓词常项或谓词常元,“是素数”等都是谓词常项。不表示某一确定论域中的特定性质或关系的称为谓词变项或谓词变元。谓词变项用符号F,G,H和F1，G1，H1，…表示。谓词变项也分为一元的、二元的、…,n元的，等等。谓词变项的元数可以明晰地标示出来，如F1表示F是一元的，G2表示G是二元的，但也可以不这样做。在一公式中，一个谓词变项后面跟的个体变项的个数,就表示这个谓词变项的元数。例如,F(x)中F是一元的，G(x,y)中G是二元的，H(x1,x2,…,xn)中H是n元的。同一个符号，比如F，在不同的公式中可以表示不同元数，但在一个复杂的公式中，同一符号的几处出现是同一个谓词变项。应用个体变项和谓词变项,“5是素数”、“7大于3”这两个原子命题的形式可分别表示为F(x)和G(x,y)这两个公式。一般地陈述n个个体间有某关系的原子命题的形式，用一个 n元谓词变项后面跟n个个体变项的公式表示,该公式为: F(x1,x2,…,xn)。表示原子命题的形式的公式称为原子公式。除了个体词和谓词，组成命题的成分还有量词。量词是命题中表示数量的词，它分为全称量词和存在量词。例如，在“所有阔叶植物是落叶植物”、“有的水生动物是肺呼吸的”这两个命题中的“所有”、“有的”都是量词,其中前者是全称量词,后者为存在量词。在汉语中,“所有”、“一切”、“凡”等表示全称量词,“有的”、“有”、“至少有一”等表示存在量词。全称量词是在符号凬后跟一个个体变项(比如x),表示为(凬x)，读作：“对任一x”，“所有x”。存在量词在符号ヨ后跟一个个体变项（比如x），表示为(ヨx)，读作：“有一x”，“存在一x”。在一个公式前面加上量词，称为量化式,如(凬x)F(x)和(ヨx)F(x)，就分别称为全称量化式和存在量化式。(凬x)F(x)表示“所有x，x是F,即一切事物都是F”；(ヨx)F(x)表示“有一x,x是F,即有一事物是F”。从原子公式出发，应用量词和命题联结词塡、∧、∨、→和凮就可以构造出表示各种复杂的命题形式的公式。
例子　　例如，“所有阔叶植物是落叶植物”这一命题形式的公式为： (凬x)(F(x)→G(x))； “有的水生动物是肺呼吸的”这一命题形式的公式为： (ヨx)(F(x)∧G(x))。 “一切自然数有大于它的自然数”、“每人都有一个父亲”这类命题，具有更复杂的公式，即： (凬x)(F(x)→(ヨy)(F(y)∧G(x,y))) 谓词逻辑中的这种命题形式比命题逻辑更为复杂，其数量也非常多，相应的公式的数目是无穷的。公式的解释谓词逻辑的公式可以分为普遍有效的、可满足的和不可满足的三类。普遍有效的公式表达谓词逻辑的规律。为了刻划公式的普遍有效性和可满足性，首先需要说明对公式的解释。一个解释由一个非空个体域D和一个赋值υ组成，对每一个体变元x,υ都赋与D中的一个个体为值，如果对个体变元 x1,x2,…,xn,υ分别赋以D中的个体 a1,a2，…,an为值，υ对个体变元的n元组（x1,x2,…,xn）所赋之值即为(a1,a2,…,an)；对n元谓词变元 F,υ赋与F的值是D中的一个n元关系。令A为一个原子公式 F(x1,x2,…,xn)，υ(A)即υ【F(x1,x2,…,xn)】的值可以为1(即真),也可以为0（即假）。如果 (x1,x2,…,xn)所赋之值 (a1,…,an)属于F所赋之值，υ(A)的值为1,否则为0。υ(A)的值为 1，也就是公式A在此解释下是D中的真命题。每一赋值 υ也给出一个真值赋值。令A、B是任意的公式。υ(塡A)的值为1,当且仅当υ(A)的值为0。υ(A∧B)的值为1,当且仅当υ(A)和υ(B)的值都为1。υ(A∨B)的值为1,当且仅当υ(A)或υ(B)的值为1。υ(A→B)的值为1, 当且仅当υ(A)的值为0或υ(B)的值为1。υ(A凮B)的值为1，当且仅当υ(A)和υ(B)的值相同。 υ(凬x)A(x)的值为1,当且仅当，设A的赋值已经给定, 对每一D中的个体a，A(a)的值为1,即(凬x)A(x)是真的,当且仅当, 设A的赋值已给定，对于D中的每一个体 a，A(a)真。υ(ヨx)A(x)的值为1, 当且仅当, 设A的赋值已给定, 有 D中的个体a，使得A(a)的值为1。 一个公式 A称为可满足的，如果有一不空的个体域D和赋值υ，在此解释下，A为真。 一个公式 A称为普遍有效的，如果对任一解释，也就是对任一不空的个体域和任一赋值，A都真。A普遍有效也就是A常真，记为FA。 显然，一个公式 A是普遍有效的，当且仅当，它的否定塡 A是不可满足的。一个不可满足的公式是常假的，也称为矛盾的。这里所说的个体域、解释、赋值、真假、普遍有效性和可满足性等概念，都是语义概念。
公理系统　　谓词逻辑的普遍有效的公式为数无穷，在一定意义上它们都是逻辑规律。为了系统地研究这类规律,需要对它们作整体的考虑,将它们总括在一个系统之中。谓词演算或者一阶谓词演算就是这样的系统。谓词演算是把谓词逻辑公理化和形式化而建立的形式系统。按照对作为演算出发点的初始符号、公理和变形规则的不同挑选，可以建立不同的谓词演算系统。在初始符号中有符号=的，称为带等词的一阶谓词演算，等词=是一个谓词常元；不带等词的系统就称为（一阶）谓词演算。构成一个谓词逻辑的公理系统的基本要素有：初始符号、形成规则、公理和变形规则等。对此，可以从一个不带等词的系统 F得到说明。 F的初始符号，包括个体变元、谓词变元、联结词和量词以及技术性符号四类。个体变元符号的小写拉丁字母为： x,y,z,x1,y1,z1,x2,…；谓词变元符号为大写拉丁字母，即：F,G,H,F1,G1,…。在原则上,对每一n≥1，应分别列出n元谓词变元，如：F1,G1,H1,…;F 2,G 2,H 2,…；等等。不过,省去上标1,2,…,n，在实践上不会产生混乱。联结词和量词符号为：塡、→、凬；技术性符号为括弧（，）和逗号，。形成规则规定怎样的符号序列或符号的组合是 F中的合式公式。合式公式经解释后是有意义的。用来描述和讨论 F系统的语言即元语言的符号有：小写希腊字母α，α1，…,αn，δ表示任意的个体变元；fn表示任意的n元谓词变元;大写拉丁字母X,Y表示任意的符号序列。这些符号称为语法变元。F的形成规则有4条：①如果fn是一n元谓词变元,α1,…,αn是个体变元，则fn(α1,…,αn)是一合式公式； 　　②　如果 X是合式公式，则塡X是合式公式。如果X、Y 是合式公式，则(X→Y)是合式公式； 　　③　如果X是合式公式，α是个体变元，则(凬α)X是合式公式； 　　④　只有适合以上①～③的是合式公式。合式公式简称公式。用字母A,B,C表示任意的公式。A,B,C也是语法变元，属于元语言。
量词辖域　　量词的辖域指一量词后的最短公式，表示一个量词在一个公式中的作用范围。例如,在公式 (凬y)【(凬x)F(x)→G(y)】中，(凬x)的辖域是公式F(x)，(凬y)的辖域是公式【(凬x)F(x)→G(y)】。变元α在一个公式A中的某次出现是约束出现，如果α的这次出现是在(凬α)中或（凬α）的辖域中；α在一公式 A中的某次出现是自由出现，如果α在A中的这次出现不是约束的。例如，在公式(凬y)【(凬(x)F(x)→G(y)】中, x和y的两次出现都是约束的；在公式【(凬x)F(x)→G(y)】中,x的两次出现是约束的,y的唯一一次出现是自由的。个体变元α可以在A中既有约束出现又有自由出现, 例如, (凬α)F(x)→G(x)。如果个体变元α在A中自由或约束出现,它在A中就是自由或约束出现的。δ对A(α)中的α是自由的, 如果在A(α)中α的自由出现不在(凬δ)的辖域中。 　　F的公理有无穷多条，并由5个公理图式给出，每个图式都代表无穷多条公理。公理图式用语法变元陈述这5个公理图式是： 　　① A→(B→A); 　　② 【A→(B→C)】→【(A→B)→(A→C)】; 　　③ (塡A→塡B)→(C塡A→B→A); 　　④ (凬α)(A→B)→【A→(凬α)B】，如果α在A中没有自由出现。 　　⑤ (凬α)A(α)→A(δ),如果δ对A(α)中的α是自由的。 　　该图式的A(α)是一合式公式,α是在其中有自由出现的个体变元，A(δ)则是用δ代替α在A(α)中的每处自由出现而得的公式。 　　根据④以下的公式都是公理： 　　(凬x)【F(y)→G(x,y)】→【F(y)→(凬x)G(x,y); 　　(凬x)【(凬x)F(x)→F(y)】→【(凬x)F(x) 　　→(凬y)F(y)】。 　　但公式(凬x)【F(x)→G(x,y)】→【F(x)→(凬x)G(x,y)】却不是公理，因为它不符合图式④中关于 x在F(x)中没有自由出现的规定。 　　根据图式⑤，以下的公式都是公理： 　　(凬x)F(x)→F(y); 　　(凬y)G(y)→G(y); 　　(凬x)F(x,y)→F(y,y); 　　(凬y)【F(y)→G(x,y)】→【F(y)→(凬y)G(y,y)】。 　　但 (凬x) 【F(x)→(凬y)G(x,y)】→【F(y)→(凬y)G(y,y)】不是公理。因为该公式的y对F(x)→(凬y)G(x,y)中的x不是自由的，不符合图式⑤的条件。 　　变形规则也称推理规则。变形规则的陈述，除使用语法变元，还使用语法符号儱。符号儱在一个公式的前面，表示紧接在儱后面的公式是定理。例如，儱A,表示A是定理。F的变形规则有两条，即：①分离规则,从A和A→B，可以推出B；②概括规则,从A,可以推出(凬α)A。 　　F中的一个证明，指一有穷公式序列A1,A2, …, An，其中的每一Ak(k=1,2,…,n)或者是一个公理，或者是由公式Ai和 Aj(i,jj=Ai→Ak)应用分离规则而得，或者是由公式Aj(jk=(凬α)Aj。一个证明也可以说是此证明的最后一个公式的证明。 F中的一个公式 B是F的定理，如果B有一个证明，或者说，存在一个证明 A1,A2,…，An，这个证明的最后一个公式An即是 B。根据这个定义，每一公理都是定理，即单独一个公理构成自身的一个证明。一个公式 B，如果存在它的一个证明,就说B是可证明的。一个公式是定理，当且仅当它是可证明的。一个公式B是由公式A1,A2,…,Am可推演的,记作：A1,A2,…,Am儱B。如果存在一个公式的有穷序列 C1,C2,…,Cn，其中每一 Ck(k=1,…,n)或者是一公理, 或者是A1,…,Am中的一个，或者是由Ci、Cj(i、jj=Ci→Ck)应用分离规则而得,或者是由Cj(jn是B。如m=0，则儱B当且仅当B是一定理。 　　F 的初始符号中不包括∧、∨、凮、ヨ这几个符号,但它们可以通过定义引入，即： 　　(A∨B)定义为(塡A→B)； 　　(A∧B)定义为塡(A→塡B)； 　　(A凮B)定义为(A→B)∧(B→A)； 　　(ヨα)A定义为塡(凬α)塡A。 　　关于谓词演算F,只涉及符号、符号序列、符号序列的变换等等，完全没有涉及符号、公式等的意义。这种不涉及符号、公式等的意义的研究，是语法的研究。定理、可证明性等概念，都是语法概念。而对符号、公式的解释,以及关于公式和它的意义的关系等等,都属于语义的研究。关于 F的解释称为标准解释或标准语义。在这个标准解释下,F的公理图式以及公理本身都是普遍有效的，而变形规则具有保持普遍有效性的性质，即从普遍有效的公式经应用变形规则而得到的公式也是普遍有效的。所以，F的定理都是普遍有效的。
谓词演算　　F有许多元逻辑定理或称元定理。不过元定理并不是F中的定理，而是关于F的定理，是对F这个系统的某些重要性质的研究的结果。重要的元定理有 3个：
可靠性　　①可靠性定理，表述为：如果儱A，则喺A。这条定理表明F的定理都是普遍有效的。
一致性　　②　一致性定理。这条定理表明 F是一致的，即不存在一个公式A，A和塡A都是定理。
完全性　　③　完全性定理，它表述为：如果喺A，则儱A。该定理表明,F在凡普遍有效的公式都是定理这一意义上是完全的。 　　可靠性定理表明，谓词演算 F对形式的反映是可靠的。设A是一个推理的前提的命题形式，B是结论的命题形式，这个推理的形式就是 A→B。F的定理都是普遍有效的,这就意味着F只反映有效的推理形式。而完全性定理则表明,F对有效推理的形式的反映是完全的。设A→B是一个有效的推理的形式,当A真时B一定真,A→B是普遍有效的，因而是F的定理。这两个定理也表明,对F来说，语法和语义是一致的、相符合的。也就是说,可证明性和普遍有效性是相符合的，一个公式是可证明的或是定理，当且仅当它是普遍有效的。
自然推理系统　　除了 F这样的形式系统，谓词逻辑还可用另一种方式系统化，即建立自然推理系统。例如，有一个与 F相应的自然推理系统，其初始符号和形成规则与F相同。在该系统的规则中,A、B是任意公式，A(α)、A(δ)也和FA1,…,An喩A1(i=1,…,n)。这是肯定前提规则； 　　(τ)如果г喩Δ喩（Δ不空）,则г喩A。这是演绎推理传递规则； 　　(→)如果г，塡A喩B，并且г，塡A喩塡B，则г喩A。这是否定词消去规则； 　　(→﹣)A→ B,A喩B。这是蕴涵词消去规则； 　　(→﹢)如果г,A喩B，则г喩A→B。它是蕴涵词引入规则； 　　(凾)(凬α)A(α)喩A(δ)，这是全称量词消去规则； 　　(刄)如果г喩A(α),α在 г中的公式中没有自由出现，则г儱(凬α)A(α )。这是全称最词引入规则。 　　规则(τ)表示，从г能推出Δ,从Δ能推出A，则从г能推出A,推出关系是传递的。规则(→)也称反证律。在这一自然推理系统中，符号∨、∧、凮和ヨ也可以通过定义引入，并导出相应的规则。 　　关于这个自然推理系统，有如下的结果：如果 A普遍有效,即喺A，则喩A；并且，如果喩A，则A普遍有效。在 F和这个自然推理系统之间，有如下关系：对任一公式A，如果A在F中可证,即儱A，则喩A；反之，如果A在自然推理中不需任何前提就能推出，即喩A，则 A在F中可证。这个自然推理系统也和 F一样具有可靠性、一致性和完全性。
参考书目　　胡世华、陆钟万：《数理逻辑基础》,科学出版社,北京，1981（上册），1982（下册）。莫绍揆：《数理逻辑教程》，华中工学院出版社，武汉，1983。
一阶逻辑是数学家、哲学家、语言学家使用的一种形式演绎系统。它有很多名字包括：一阶谓词演算、低等谓词演算、一阶逻辑的语言或。不像自然语言如英语，FOL使用由数学结构来解释的完全无歧义的。一阶逻辑是通过允许在给定的个体上的量化而扩展的系统。例如，在FOL中可陈述“所有个体都有性质P”。
处理简单的陈述性命题，一阶逻辑补充覆盖了和量化。例如下列句子：“苏格拉底是男人”，“柏拉图是男人”。在中，它们是两个无关的命题，比如指示为p和q。但是在一阶逻辑中，这两个句子将由同一个性质联系起来：Man（x），这里的Man（x）意味着x是个男人。在x = 苏格拉底时我们得到了第一个命题p，而在x = 柏拉图时我们得到了第二个命题q。这种构造在介入了量词的时候允许更加强力的逻辑，比如“对于所有x...”。例如，“对于所有x，如果Man（x）则...”。没有量词的话，所有在FOL中的有效论证在命题逻辑中也有效，反之亦然。
构成自的集合（通常有限的或的）和给定底层可演绎性关系从它们可演绎出的那些陈述。“一阶理论”通常意味着某个公理集合和“与之在一起的完备（和可靠）的一阶逻辑公理化”，它闭合在FOL的规则之下。（对任何这种系统FOL将引出同样的抽象可演绎性关系，所以我们在头脑中不需要有固定的公理化系统。）一阶语言有足够的表达能力来形式化两个重要的数学理论：集合论和。但是一阶语言不能无条件的表达的概念，即使它在一阶理论ZFC中在ZFC符号论的下是可表达的。这种想法可以用无条件的表达。
一阶逻辑的定义
谓词演算构成如下
形成规则（就是形成的递归定义）。
变换规则（就是推导定理的）。
或（可能是的）。
有两种类型的公理：逻辑公理，它是对于谓词演算有效的，和非逻辑公理，它是在特殊情况下为真的，就是说，在它所在的理论的标准解释中是真的。例如，非逻辑的在算术的符号主义标准解释下是真的，但是对于谓词演算它们不是有效的。
在公理的集合是无限的的时候，需要能判定给定的合式公式是否是一个公理的一个。进一步的，应当有可以判定一个推理规则的应用是否正确的算法。
"词汇表"构成如下
（或关系）的集合，每个都有某个价（或）≥1，经常指示为大写字母P, Q, R, ...。
的集合，经常指示为小写字母，开始于字母a, b, c, ...。
的集合，每个都有某个价≥ 1，经常指示为小写字母f, g, h, ...。
的有限集合，经常指示小写字母，结束于字母x, y, z, ...。
表示逻辑算子（或连结词）的符号：（）,
（），→（），↔（）。
表示量词的符号：（）,
左和右圆括号。
同一或等于符号 = 有时但不总是在词汇表中。
下面列出一些次要的变化：
基本（primitive）符号（算子和量词）的集合经常变化。有些符号可以被省略并被接受为简写；比如 (P ↔ Q)是 (P → Q)
(Q → P)的简写。在另一方面，有可能包含其他算子作为基本算子，比如真值常量⊤（"真"）和⊥（"假"）－它们是0元算子－或（P | Q）。需要的基本符号的极小数目是一，但是如果我们把自身限制于上述列出的算子，我们就需要三个；比如&、∧和∀就足够了。
某些旧的书籍和论文使用符号φ ⊃ ψ表示φ → ψ，~φ表示&φ，φ & ψ表示φ ∧ ψ，和大量的表示的符号；比如∀x φ可以被写为 (x)φ。
等式有时被认为是一阶逻辑的一部分；如果是这样，等号包含在词汇表中，而它们的行为在语法上如同二元谓词。这种情况有时叫做有等式的一阶逻辑。
常量实际上同于0价的函数，所以有可能并且是便利的省略常量并允许函数有任何价。但是传统上只对至少1价的函数使用术语"函数"。
在上述关系的定义中必须有至少1价。有可能允许0价关系；它们可以被认为是。
对放置括号有很多不同的约定；例如，你可以写∀x或 (∀x)。有时使用冒号或句号来替代圆括号使公式免除歧义。一个有趣但非常不常用的约定是""，这里忽略所有圆括号，在其参数之前写∧、∨等等，而不是在它们中间。波兰表示法是简约和优雅的，但因为不适合人类阅读而少用。
有一个技术观察，如果有表示有序对的2元函数符号（或表示有序对的投影的二元谓词符号），则可以完全分配元数& 2的函数或谓词。当然有序对或投影需要满足那些自然公理。
常量、函数和关系的集合通常被认为形成了一个语言，而变量、逻辑算子和量词通常被认为属于逻辑。例如，群论的语言由一个常量（单位元素），一个1价函数（反），一个2价函数（积），和一个2价关系（等于）组成，等号可以被包含在底层的逻辑中而被忽略。
形成规则定义项，公式和自由变量。
项的集合按如下规则递归的定义：
任何常量是项。
任何变量是项。
n ≥ 1个参数的任何表达式f(t1,...,tn)（这里的每个参数ti都是项，而f是n价的函数符号）是项。
闭包条款：其他东西都不是项。
（通常叫做wff或只是）按如下规则递归的定义：
简单和复杂谓词如果P是n ≥ 1价的关系而ai是项，则P(a1,...,an)是合式的。如果等式被认为是逻辑的一部分，则 (a1 = a2)是合式的。所有这个公式都被称为是。
归纳条款I:如果φ是wff，则&φ是wff。
归纳条款II:如果φ和ψ是wff，则 (φ → ψ)是wff。
归纳条款III:如果φ是wff而x是变量，则∀x φ是wff。
闭包条款：其他东西都不是wff。
因为&(φ → &ψ)逻辑等价于 (φ ∧ ψ)，(φ ∧ ψ)经常用做简写。(φ ∨ ψ)和 (φ ↔ ψ)也是同样的道理。还有∃x φ是&∀y &φ的简写。 实际中，如果P是2价关系，我们经常写"a P b"替代"P a b"；例如，我们写1 & 2而不是&(1 2)。类似的，如果f是2价函数，我们有时写"a f b"替代"f(a b)"；例如，我们写1 + 2而不是 +(1 2)。经常省略某些圆括号，如果不导致歧义的话。
有时声称"P(x)对精确的一个x成立"是有用的，这可表达为∃!x P（x）。还可以表达为∃x (P（x）∧ ∀y (P（y）→ (x = y))）。
在术语中，公式实现内置“布尔”类型，而项实现所有其他类型。
原子公式如果φ是原子公式则x在φ中是自由的，当且仅当x出现在φ中。
归纳条款I: x在&φ中是自由的，当且仅当x在φ中是自由的。
归纳条款II: x在 (φ → ψ)中是自由的，当且仅当x在φ中是自由的或者x在ψ中是自由的。
归纳条款III: x在∀y φ中是自由的，当且仅当x在φ中是自由的并且xǂy。
闭包条款：如果x在φ中不是自由的，则它是。
例如，在 x
y (P(x) Q(x,f(x),z)）中，x和y是约束变量，而z是自由变量，而w不是二者因为它没有出现在任何公式中。
有序阿贝尔群的语言有一个常量0，一个一元函数−，一个二元函数 +，和一个二元关系≤。所以
0, x, y是原子项
+(x, y), +(x, +(y, −(z))）是项，通常写为x + y, x + y − z
=(+(x, y), 0)，≤（+(x, +(y, −(z))), +(x, y)）是原子公式，通常写为x + y = 0, x + y - z ≤ x + y
(∀x ∃y ≤（ +(x, y), z））∧（∃x =(+(x, y), 0)）是公式，通常写为 (∀x ∃y x + y ≤ z) ∧ (∃x x + y = 0)
设 t是项。φ(x)是可能包含x作为自由变量的公式。
φ(t)可定义为把自由变量x替代为t的结果，但前提是必须没有任何t在φ(x)中是约束的。
若非如此，则x替代成t之前，必须先把φ中的约束变量，改为不同于t的符号。
例如把公式φ(x)假定为∀y:y ≤ x（"x是极大的"）。
若用t代换x，则φ(t)即∀y:y ≤ x就表示t是极大的。
这里举个错误的例子，若在φ(x)中含有约束变量y的状况下，不去修改φ(x)中含有约束变量y，直接把x代换成y，代换结果如下
∀y:y ≤ y
如此一来即成为跟φ(x)意义完全不同的公式。
正确的演算方法为先把φ(x)中的约束变量用到y的地方改成不同于y的符号，好比z
即把 ∀y:y ≤ x 改成 ∀z:z ≤ x，这两命题的意义一致。
再把x代换成y，即为 ∀z:z ≤ y
所以 φ(y) 表示 ∀z:z ≤ y，而不是 ∀y:y ≤ y
忘记这个条件是声名狼籍的犯错误原因。
充当推理的唯一规则。
叫做的推理规则是谓词演算的特征。它可以陈述为
这里的Z(x)假定表示谓词演算的一个已证明的定理，而∀xZ(x)是它针对于变量x的闭包。谓词字母Z可以被任何谓词字母所替代。
下面描述一阶逻辑的公理。如上所述，一个给定的一阶理论有进一步的非逻辑公理。下列逻辑公理刻画了本文的样例一阶逻辑的一种演算。
对于任何理论，知道公理的集合是否可用算法生成，或是否存在算法确定合式公式为公理，是很有价值的。
如果存在生成所有公理的算法，则公理的集合被称为的。
如果存在算法在有限步骤后确定一个公式是否是公理，则公理的集合被称为的或“可判定的”。在这种情况下，你还可以构造一个算法来生成所有的公理：这个算法简单的（随着长度增长）一个接一个的生成所有可能的公式，而算法对每个公式确定它是否是个公理。
一阶逻辑的公理总是可判定的。但是在一阶理论中非逻辑公式就不必需如此。
下列四个公理是谓词演算的特征：
它们实际上是：表达式W表示对于其中任何wff，x不是自由的；而表达式Z（x）表示对于任何wff带有额外的约定，即Z（t）表示把Z（x）中的所有x替代为项t的结果。
等式和它的公理
在一阶逻辑中对使用等式（或恒等式）有多种不同的约定。本节总结其中主要的。不同的约定对同样的工作给出本质上相同的结果，区别主要在术语上。
对等式的最常见的约定是把等号包括为基本逻辑符号，并向一阶逻辑增加等式的公理。等式公理是
x = y → f(...,x,...) = f(...,y,...)对于任何函数f
x = y →（P(...,x,...) → P(...,y,...)）对于任何关系P（包括 = 自身）
其次常见的约定是把等号包括为理论的关系之一，并向这个理论的公理增加等式的公理。在实际中这是同前面约定最难分辨的，除了在没有等式概念的不常见情况下。公理是一样的，唯一的区别是把它叫做逻辑公理还是这个理论的公理。
在没有函数和有有限数目个关系的理论中，有可能以关系的方式定义等式，通过定义两个项s和t是相等的，如果任何关系通过把s改变为t 在任何讨论下都没有改变。例如，在带有一个关系∈的集合论中，我们可以定义s = t为∀x (s ∈ x ↔ t ∈ x) ∧ ∀x (x ∈ s ↔ x ∈ t)的缩写。这个等式定义接着自动的满足了关于等式的公理。
在某些理论中有可能给出特别的等式定义。例如，在带有一个关系 ≤的偏序的理论中，我们可以定义s = t为s ≤ t ∧ t ≤ s的缩写。
谓词演算是的扩展，它定义了哪些一阶逻辑的陈述是可证明的。它是用来描述数学理论的。如果命题演算用一组合适的公理和一个单一的推理规则来定义（可以有很多不同的方式），则谓词演算可以通过增加一些补充的公理和补充的推理规则"全称普遍化"来定义。更精确地说，谓词演算采用的公理有：
来自命题演算的所有重言式（命题变量被替代为公式）。
上面给出的量词公理。
上面给出的等式公理，如果等式被认为是逻辑概念的话。
一个句子被定义为是在一阶逻辑中可证明的，如果可以通过从谓词演算的公理开始并重复应用推理规则"肯定前件"和"全称普遍化"来得出它。
如果我们有一个理论T（在某些语言中叫做公理的陈述的集合），则一个句子φ被定义为是在理论T中可证明的，如果
a ∧ b ∧ ... → φ
在一阶逻辑中对于理论T的某个公理a, b,...的有限集合是可证明的。
可证明性的一个明显问题是它好像非常特别：我们采用了显然随机的公理和推理规则的搜集，不清楚是否意外的漏掉了某个关键的公理或规则。确保这实际上不是问题：这个定理声称在所有模型中为真的任何陈述在一阶逻辑中都是可证明的。特别是，在一阶逻辑中"可证明性"的任何合理定义都必须等价于上述定义（尽管在不同的可证明性的定义下证明的长度可能有巨大差别）。
有很多不同（但等价）的方式来定义可证明性。前面的演算是""演算的一个典型例子，它有许多不同的公理但只有非常少的推理规则。谓词演算有非常少的公理但有许多推理规则。
文法上说谓词演算在现存的命题演算上增加了“谓词-主词结构”和。主词是给定的个体群组（）的一个成员的名字，而谓词是在这个群组上的，一元谓词在哲学中称为，在数学中称为，在中称为。
可证明的恒等式
可能增加的推理规则
一阶逻辑的元逻辑定理
下面列出了一些重要的元逻辑定理。
不像，一阶逻辑是不可判定性的。对于任意的公式P，可以证实没有，判定P是否有效，（参见）。（结论独立的来自于和。）
的判定问题是半可判定的。按所展示的，对于任何有效的公式P, P是可证明的。
（就是说，谓词只有一个参数的谓词逻辑）是可判定的。
转换自然语言到一阶逻辑
用自然语言表达的概念必须在一阶逻辑（FOL）可以为为其效力之前必须被转换到FOL，而在这种转换中可能有一些潜在的缺陷。在FOL中，意味着“要么p要么q要么二者”，就是说它是“包容性”的。在英语中，单词“or”有时是包容性的（比如，“加牛奶或糖？”），有时是排斥性的（比如，“喝咖啡或茶？”，通常意味着取其中一个或另一个但非二者）。类似的，英语单词“some”可以意味着“至少一个，可能全部”，有时意味着“不是全部，可能没有”。英语单词“and”有时要按“or”转换（比如，“男人和女人可以申请”）。
一阶逻辑的限制
所有数学概念都有它的强项和弱点；下面列出一阶逻辑的一些问题。
难于表达if-then-else
太奇怪了，（如典型定义的）带有等式的FOL不包含或允许定义if-then-else谓词或函数if(c,a,b)，这里的c是表达为公式的条件，而a和b是要么都是项要么都是公式，并且它的结果是a如果c为真，或者b如果它为假。问题在于FOL中，谓词和函数二者只接受（“非布尔类型”）项作为参数，而条件的明确表达是（“布尔类型”）公式。这是不幸的，因为很多数学函数是依据if-then-else而方便的表达的，而if-then-else是描述大多数计算机程序的基础。
在数学上，有可能重定义匹配公式算子的新函数的完备集合，但是这是非常笨拙的。 谓词if(c,a,b)如果重写为就可以在FOL中表达，但是如果条件c是复杂的这就是笨拙的。很多人扩展FOL增加特殊情况谓词叫做“if（条件，a, b）”（这里a和b是公式）和／或函数“ite（条件，a, b）”（这里的a和b是项），它们都接受一个公式作为条件，并且等于a如果条件为真，或b如果条件为假。这些扩展使FOL易于用于某些问题，并使某类自动定理证明更容易。 其他人进一步扩展FOL使得函数和谓词可以在任何位置接受项和公式二者。
类型（种类）
除了在公式（“布尔类型”）和项（“非布尔类型”）之间的区别之外，FOL不包括类型（种类）到自身的概念中。某些人争辩说缺乏类型是巨大优点 ，而很多其他人发觉了定义和使用类型（种类）的优点，比如帮助拒绝某些错误或不想要的规定 。想要指示类型的那些人必须使用在FOL中可获得的符号来提供这种信息。这么做使得这种表达更加复杂，并也容易导致错误。
单一参数谓词可以用来在合适的地方实现类型的概念。例如:
谓词Man(x)可以被认为是一类“类型断言”（就是说，x必须是男人）。谓词还可以同指示类型的“存在”量词一起使用，但这通常应当转而与逻辑合取算子一起来做，比如:
(“存在既是男人又是人类的事物”)。
容易写成，但这将等价与(“存在不是男人的事物或者存在是人类的事物”)，这通常不是想要的。类似的，可以做一个类型是另一个类型的子类型的断言，比如:
(“对于所有x，如果x是男人，则x是哺乳动物)。
难于刻画有限性或可数性
从得出在一阶逻辑中不可能刻画有限性或可数性。例如，在一阶逻辑中你不能断言的集合的性质，它声称实数的所有有界的、非空集合都有；这就需要了。
图可及性不能表达
很多情况可以被建模为节点和有向连接（边）的。例如，效验很多系统要求展示不能从“好”状态触及到“坏”状态，而状态的相互连接经常可以建模为图。但是，可以证明这种可及性不能用谓词逻辑完全表达。换句话说，没有谓词逻辑公式f，带有u和v作为它的唯一自由变量，而R作为它唯一的（2元）谓词符号，使得f在一个有向图中成立，如果在这个图中存在从关联于u的节点到关联于v的节点的路径。
For another well-worked example, see
Suber, Peter,
Manna, Zohar, Mathematical Theory of Computation, McGraw-Hill Computer Science Series, New York, New York: McGraw-Hill Book Company. 1974: &77-147, &&SPAN title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:book&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+Theory+of+Computation&rft.aulast=Manna&rft.aufirst=Zohar&rft.au=Manna, Zohar&rft.date=1974&rft.series=McGraw-Hill+Computer+Science+Series&rft.pages=&&wbr&77-147&rft.place=New+York,+New+York&rft.pub=McGraw-Hill+Book+Company&rft.isbn=0-07-&rfr_id=info:sid/zh.wikipedia.org:一阶逻辑"&&
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，2001, "Classical Logic I: First Order Logic," in Lou Goble, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
：" -- by Stewart Shapiro. Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.
, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for first-order logic.
：an ongoing online project to reconstruct mathematics as a huge first order theory, using first order logic and the
。 modernized and done right.
Podnieks, Karl.
所谓公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的。
词语读音　　拼音：gōnglǐ 　　英文：axiom
词语释义　　1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。 　　2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。
基本解释　　1. [axiom]∶依据人类理性和愿望发展起来而共同遵从的道理 　　世界有强权,没有公理啊! 　　2. [self-generally acknowledged truth]∶经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题(如数字中的)
详细解释　　1. 社会上公认的正确道理。 　　《·吴志·张温传》：“竞言艳及选曹郎
，专用私情，爱憎不由公理。” 清 《礼笺序》：“经之说有不得悉穷。古人不能无待於今，今人亦不能无待於后世。此万世公理也。” 《倪焕之》十九：“世界有强权，没有公理啊！” 　　2. 在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的真理。如“等量加等量其和相等”，就是公理。
应用实例　　1) 《三国志·吴志·传》：“竞言艳（）及选曹郎徐彪，专用私情，憎爱不由公理。” 　　2) (a)传统三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定，便是公理。又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”，也属于这种不证自明的判断。 　　(b)在几何系统中下面所述的都是公理： 　　①等于同量的量彼此相等； 　　②等量加等量，其和相等； 　　③等量减等量，其差相等； 　　④彼此能重合的物体是全等的； 　　⑤整体大于部分（注：当集合内有无限个元素的时候，该公理的正确性有待讨论例如三角形的底边及底边。上的中位线，中位线的长度为底边的一半，但是在底边上选择任意一点与顶点连接，均会得到对应的中位线上的点，即——虽然中位线的长度为底边的一半，但是其集合内的元素个数和底边的一样多。） 　　以下是常用的等量公理： 　　1.等量加等量，和相等。即：如果a=b，那么a+c=b+c。 　　2.等量减等量，差相等。即：如果a=b，那么a-c=b-c。 　　3.等量的同倍量相等。即：如果a=b，那么ac=bc。 　　4.等量的同分量相等。即：如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。 　　5.等量代换。即：如果a=b，b=c，那么a=c。
公理系统　　在上，一个公理系统(axiomatic system，或称公理化系统，公理体系，公理化体系)是一个公理的集合，从这些公理可以逻辑地导出所有的。也可以说，公理系统是形式逻辑的一个完整体现。一个数学理论系统是由一个公理系统和所有它导出的定理组成的。比如：欧几里德《》中就规定了五条公理和五条公设，中的一切定理都可由这五条公理和公设推得。 　　由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的，就是基于这样的一个认识。 　　在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是不必证明的。因为公理是人们为了方便研究（某些方面也只有有了一个标准才能进行更深层的研究，这个标准就是公理）才人为设定的，若改变在逻辑上也能过得去，但有些早已成为运用习惯或在其上建立了一个理论体系不便再更变（如面积定义就是人为将一个范围数量化，不然你想，给你一个面，没有面积定义，你说它多大，“就这么大，就这么大”，你也只能这样说）；或有些是太一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导致一般性高度（如1+1=2）。 　　一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是。如公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些原始的概念作为定义其他概念的出发点，如中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。
公理集合论　　的主要分支之一，是用重建(朴素) 集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。E.F.F.策梅洛于1908年首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的，20世纪20年代A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗曾予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统,简记为 ZF。ZF 是一个，建立在有等词和属于关系“∈”的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有:外延公理、、无序对公理、、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、、正则（基础）公理。如果另加选择公理(AC)则所得到的公理系统简记为ZFC（见）。
公理化方法　　概括地说，的公理化方法是从少数原始概念和公理出发，遵遁逻辑建立几何学演绎体系的方法．用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成： 　　(1)原始概念的列举； 　　(2)定义的叙述； 　　(3)公理的列举； 　　(4)定理叙述和证明． 　　这四个组成部分不是独立地一部分一部分的叙述和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开。一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和构成的统一体．决定几何体系的基础是原始概念和公理，不同的基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、几何、拓扑学等等． 　　几何体系的逻辑结构，主要取决于公理提出的先后次序，同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同，可以产生不同的逻辑结构．例如，中学几何教材中的“外角定理”和三角形合同的“角角边定理”是在平行公理之后提出的，因此可根据“三角形内角和等于二直角”很容易给予证明．但在下面提到的所建立的欧氏几何的体系中，由于这两个定理是在平行公理之前提出的，就不允许使用“三角形内角和”定理．就是说同一欧氏几何可有多种逻辑结构，一个几何命题的证法不是通用的，它在这一逻辑结构中适用，而在另一个结构里可能不适用．
上，一个公理系统（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个的，从中一些或全部公理可以用来一起逻辑的导出。一个由一个公理系统和所有它导出的定理组成。一个完整描述出来的公理系统是的一个特例；但是通常完全角式化的努力带来在确定性上递减的收益，并让人更加无法阅读。所以，公理系统的讨论通常只是半角式化的。一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在中表述的那样。一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。
一个公理系统称为自洽（或称相容、一致性），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理导出一个命题及其逆命题的能力。
在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。一个系统称为独立的，若它的每个公理都是独立的。
虽然独立性不是一个系统的必要需求，自洽性却是必要的。一个公理系统称为完备的，若每个命题都可以导出或其逆可以导出。
公理系统的是一个定义严谨的，它给系统中出现的未定义术语赋予意义，并且是用一种和系统中所定义的关系一致的方式。具体模型的存在性能证明系统的自洽。
模型也可以用来显示一个公理在系统中的独立性。通过构造除去一个特定公理的子系统的正确模型，我们表明该省去的公理是独立的，若它的正确性不可以从子系统得出。
两个模型被称为，如果它们的元素可以建立一一对应，并且以一种保持它们之间的关系的方式。一个其每个模型都同构于另一个的公理系统称为范畴式的，而可范畴化的性质保证了系统的完备性。
第一个公理系统是。
公理化方法
公理化方法经常被作为一个单一的方法或着一致的过程来讨论。以为榜样，它确实在很多世纪中被这样对待：直到初叶，在欧洲数学和哲学中的遗产代表了智力成就（在几何学家的风格中，更几何的发展）的最高标准这件事被视为理所当然（例如在的著作中所述）。
这个传统的方法中，公理被设定为不言自明的，所以无可争辩，这在19世纪逐渐被扫除，这是随着的发展，的基础，的和在数学基础方面的工作，以及的公理方法作为研究工具的“新”用途而发生的。例如，在该世纪末第一个放到了公理化的基础上。一旦公理理清了（例如，必须存在），该课题可以自主的进展，无须参考这类研究的起源—。
所以，现在在数学以及它所影响的领域中至少有3种“模式”的公理化方法。用讽刺描述法，可能的态度有：
接受我的公理，你就必须承担它们的后果。
我拒绝你的公理之一并且采纳另外的模型（I reject one of your axioms and accept extra models）。
我的公理集定义了一个研究领域。
第一种情况定义了经典的。第二种采用了博学点，一般化这个口号;它和概念可以和应该用某种内在的自然的广泛性来表达的假设是一致的。第三种在数学中有显著的位置，特别是在基于的课题中。
很显然公理化方法在数学之外是有局限性的。例如，在中，导致不可接受的结论的公理很可能被大量拒绝；所以没有人真的统一上面的第一个版本。
一个模型称为是具体的，如果所赋予的意义是现实世界中的对象和关系，而不是像抽象模型那样基于另外的公理系统。
Eric W. Weisstein, Axiomatic System, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
几何公理体系的基本问题
　　　　Geometry Axiomatics，fundamental problems in 　　几何公理体系的3个基本问题。包括公理体系的相容性、独立性和完备性。是D.希尔伯特在《几何基础》一书中为完善欧几里得几何公理系统、各公理组间的逻辑关系而提出的。①相容性。在公理系统中如果不能推导出两个互相矛盾的命题（即互为反命题的命题），这个公理系统就称为相容的或无矛盾的，也称和谐的。一个公理体系如果有矛盾，它在逻辑上就不正确，更谈不上在现实中的应用，这种公理体系就不能成为一种理论，因此要求任何公理体系必须是相容的。靠演绎法不能证明公理体系的相容性，因为已推证出若干条命题无矛盾，也不能保证再往下推不会出现矛盾，所以需要利用构造模型的方法，只要能找到这个公理体系的一个模型(或实现)，就证明了该公理体系必是相容的。欧几里得几何的相容性可借助解析方法将它归结为算术的相容性，即构造欧几里得几何公理体系的算术模型（或实数模型）。②独立性。公理体系的独立性是指该公理体系中的每条公理都有其存在的必要，即每条公理都不是其余公理的推论。否则，将此条公理去掉，不会影响该公理体系的结论。所以独立性的问题就是在保留同样多的推论的前提下，公理体系中公理个数最少问题。证明某一条公理独立性问题，即构造一个模型满足其他所有公理而不满足该条公理。③完备性。公理体系的完备性就是该体系中有足够个数的公理，以之为依据可推导出该体系的全部结论。例如，欧几里得在《几何原本》中所列公理，作为欧氏几何公理体系是不够的，而希尔伯特公理体系则是完备的公理体系。即它所刻画的几何空间是唯一的。如何证明，仍须用构造模型的方法，即证明该公理体系的所有模型都同构（逻辑结构相同）。如欧几里得几何公理体系完备性的证明，即由该体系的每一模型都与实数模型同构而得到它的所有模型同构。　　对任何一个公理体系要求它必须是相容的，最好是独立的，至于完备性则可根据需要而定。例如，欧几里得几何体系是相容的、独立的并且是完备的，所以欧几里得几何有丰富的内容，它刻画了欧几里得空间，而绝对几何体系是不完备的，但它却既适合欧几里得几何也适合罗巴切夫斯基几何（非欧几何）。
现代数学发展中的数理逻辑问题
在第二章中我们讨论了从数字、运算到牛顿数学的发展过程，实际上这就是从纯粹数学的理念发展到逻辑数学的过程，但是那里主要讨论的是经典数学和经典数学以前的问题。从人类思维发展的历史过程可以看出，在数学、物理学和逻辑学的发展过程中，起主导作用的是物理学，或者说是自然科学，从自然科学获得的理念，返回到人的思维中，才是使数学和逻辑学发展的原动力。在数学上我们已经经历了初等数学、经典数学和现代数学三个发展阶段，数学自身的发展也是纯数学与逻辑数学辩证的发展过程。在一定意义上说，没有“约定”就没有数学，这就像没有假设就没有物理学，没有玄思式的哲学思维就没有逻辑学一样。数字和数字的规则本身就是一种约定，中华文明中的“阴符”和“阳符”也许是现存的人类对于数字的最早的约定，0-9则是从古印度人经过阿拉伯人到全人类对于数字的约定，这大概是人类最伟大的约定。但是单有人类的思维理念，它的本身是不会自己发展的，需要从大自然中返回的理念才能够发展。数学就是纯粹理念，她也需要从物理学中返回的理念，在相互间“否定”和“再否定”的过程中发展，否定的是“约定”和“假设”，发展的是纯粹理念和物质运动规律本身。当“假设”和“约定”在辩证的发展过程中合二而一的时候，这个“一”就是“公理”，而数学体系的背后就是物质世界的漂亮的身影。数理逻辑就是不仅要用玄思式的逻辑语言来讨论人类的认知过程，而是要对上面的数学体系f{x,y,z,…}进行深入的分析。为了是它与20世纪的物理世界的相一致，牛顿的古典分析已是无法胜任这一任务了，这就是希尔伯特所发展的H空间的现代数学的意义。18世纪以后物理学，主要是电磁场理论的发展，人类实践面对的是比牛顿时代的物理世界复杂的物质存在及其运动形式，所以必须更加深入研究形式量体系，而且迫切需要增加新的逻辑基元。它不再是牛顿数学的，单一层次上的数字运算或分析所能够解决的，而希尔伯特的现代数学为我们提供了分析这样多层次的逻辑前提下的数学体系的可能性。但是希尔伯特数学形式体系是在约定论的基础上产生的，所以我们并不是说不能对它进行“否定和批判”，把桌子、板凳、啤酒瓶“约定”作为“空间”的元素是没有意义的，我更讨嫌数学上“空间”这个名词，它把数学理念和物理实在混淆了，把整个数理逻辑搞得混乱不堪。但是这是历史遗留下来的痕迹，是从非欧空间开始形成的逻辑混乱，经过爱因斯坦的相对论，直到现代数学和现代物理学所凝固起来的历史遗产。就好像现在很多在政体上早已进入先进的民主政体的国家，仍然保留着封建时代的帝国和王室的名称那样。我们的任务不是去讨论和否定那些形式上的东西，而是如何在“否定”和“批判”的辩证的思维发展过程中，逐步把它改造成逻辑数学，就像希尔伯特在欧氏几何上所做的那样。这是一项非常复杂而繁重的工作，我想没有数学家的参与大概也是很难做好的工作。这里只能从物理上和逻辑上提出一些基本的想法。尽管我们说必须保留数学上的“空间”这个名词，但是我们觉得还是应该把“空间”这个名字归还给与物理实在的存在形式相联系的原初理念，我们应该尊重原初理念。而把希尔伯特的纯数学元素的集合称为“H空间”。免得以后两种完全不同理念用一个相同的名字造成麻烦。数学既要反映物质世界，又要保持数学本身在数字和运算体系上的保持逻辑完整性和自洽性的特点。这大概是现代数学遇到的根本问题。但是现代数学提供了有层次地分析数学体系的可能性，这就是现代数学作为数学发展方向的基本点。根据“H空间”的概念，我们可以把物理学的数学体系f{x,y,z,…}改写为：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (22)算子方程的形式。Fi表示我们待求的物理量，通常把它称为场空间。它是建立在复杂的形式体系上，这个形式体系也就是自变量体系。这个自变量体系又分两个层次，时间和空间是实数空间,它们之间既相互分离，又有相互联系。这种联系不应该是人为假设的，而是取决于算子。它的空间是一个三维的矢量，三维矢量空间与实数空间之间的关系同样取决于算子的运算形式。它还有一个表示与具体的物质模型相联系的逻辑基元，这个逻辑基元是以i的序列的形式出现的。Jj为类似的源空间， Ri为场空间，R’j为源空间，t为时间。这里还仍然是在牛顿的物理框架下，即仍然只有牛顿框架下的三个逻辑基元。但是是麦克斯韦方程组的算子，方程组中时间和空间之间的有了麦克斯韦方程组中的那种相互联系的形式，它们都是逻辑量，空间是矢量，下标i和j表示还存在物质量。这里所指的牛顿的框架是指物质的模型仍是牛顿的粒子模型，所以不论待求的场还是激励的源，都是物质的逻辑基元的i或j序列。实际上表示麦克斯韦电磁场理论的算子，正是我们要研究的问题，在经典场论下一般都把算子写成对于矢量函数的四维拉普拉斯算子的形式或对于空间和时间的矢量偏微分方程：□2=▽2+=&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (23)这里的物质量i和j的含义很模糊，在实际的物理体系中还有运动方程，上面只是场方程。场方程在物理上类似于牛顿理论的力方程。在运动方程中，可以清楚看到作为序列形式的物质量的物理含义。而实际上麦克斯韦场方程组中，对于物质的逻辑基元的定义是不明确的，我们需要引入新的逻辑基元来表达场的物质运动形式。这些要在电磁场理论中更加详细的讨论。我们这里只是在讨论现代数学怎样与物理实在联系起来成为逻辑数学的问题，也就是说希尔伯特的现代数学是怎样来分层次地处理逻辑基元问题的。在这里可以通过把“H空间”可以分离为“子空间”的现代数学的特殊的数理逻辑演绎方式，对于不同的逻辑基元一层一层地分离成独立的“子空间”，对于每一种逻辑基元根据它的物理性质可以在各自的在H空间中一层一层地分离为相应的子空间。这样既保持了数学只处理数字关系的功能，又可以赋予不同的数字以不同的逻辑关系，来表示不同的物理性质。这里包括：1.时间和空间的分离这在第二章中初步讨论过，主要通过复数空间的理论进行时间和空间的分离，但是这种分离的逻辑问题还需做大量的工作。实际上对于相干波于与非相干波、对于低频的与极高频率的情况，它们的数理逻辑形式都是完全不同的，即有限论域并不一致。现在的信息科学上所用的经典电磁场理论是建立在简谐振荡的有限论域下的，已经有了大量的感性材料。但是这一理论的有限论域的限制，使得大量的信息科学实践已经接近达到了极限。也就是说，在很多实际问题上，时域和频域之间所建立的那种逻辑关系已经超越了那个有限论域，而成了一种充满逻辑悖论的近似的数学关系，而不再是严格的自洽的数理逻辑体系。对于光的非相干波的研究，现在还处在不合理物理框架(即类似牛顿的空间的粒子模型)的束缚下，向着错误的方向发展着。计算电磁学的发展是对经典电磁场理论的极大的推动，它不仅大大提高了电磁波计算的范围和精度，而且也发现了经典电磁场理论在数理逻辑上的大量问题。这些逻辑上的问题不解决不仅会影响信息科学的发展，同样也会影响现代物理学的发展。只有建立在麦克斯韦方程组基础上的时空之间的既分离又联系的逻辑关系，才能够建立起与物理实在有合理联系的时间和空间的逻辑联系。而逻辑关系需要在对无限大域上广义函数的逻辑型制作更加深入的研究，而数值计算既能发现理论的问题，更会掩盖理论上的问题，从这点上来说，计算科学的发展也会成为理论发展的障碍，因为计算方法中的似是而非的近似关系的获得，会使人能够从逻辑混乱的理论中获得有一定精度的确定性的结果，从而障碍了寻找自洽逻辑的理论发展的正确道路。2.欧氏空间中矢量算子的处理&& 这是电磁场理论，也是力学理论中的一个主要问题。矢量空间的映射，自然要用一个并矢的算子，空间连续的矢量函数只有分离为标量算子和函数才能够进一步进行分析。这里主要涉及广义函数和矢量运算的理论。这个问题也是力学中张量分析的主要问题，但是力学比电磁场理论更加复杂，电磁场理论中可以建立一个仅仅考虑电磁力的有限论域，而力学中电磁力和牛顿引力不可分离地耦合在一起。我们在上面提到过的书中讨论了那些问题。我们得到最重要的一点就是场与波的分离，这一观点实际上首先是从计算电磁学中发现的。现在又可以从广义函数的逻辑界定中获得这样的理念。式(23)是经典理论和相对论中喜欢用的形式，但是这是不对的，不论从电磁场本征问题的数值计算还是从广义函数的逻辑界定都可以得出，电磁场的方程组应该是：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (24)电磁场是一个三维的矢量场，而边界条件有两类，一类是经典边界条件，即广义积分绝对收敛，这时传播常数k必须等于零，这类场是保守场，它等价于一个标量函数的场；因而上面的矢量波方程不是对完整的三维的矢量空间，而是三维矢量函数空间中的一个子空间，本身只是一个具有二维性的子空间。这个子空间就是对于电磁波的旋量场函数空间。从广义函数的逻辑性质来说，这个逻辑上的明确性是从边界条件获得的，它的无限大边界是建立在二维空间上的，所以整个空间内的矢量函数也只有二维的性质。要说清楚这个问题，即从数学的逻辑来说，三维矢量函数要满足无限大边界的逻辑明确性，不能从“群论”的观点分成九个“独立的群”而要考虑物理上表达的明确性，只能有三个独立的“子空间”。并且这三个的矢量函数空间不能从欧式空间上进行分离为三个标量函数空间，即不能在笛卡儿坐标上进行分离标量函数，因为这样分离的结果数学上是可以的，但物理上不符合场的特性。只能从矢量算子的角度分离成无旋的(保守的或经典的)和旋量的(非保守的或波动的)两类子空间。旋量函数空间是“二维”的，即每一个旋量函数空间还可以分离为两个标量函数空间，每个子空间都属于E类标量函数空间。这样电磁场理论就与粒子物理中的两类粒子——玻色子和费米子的概念相对应，但是现在关于两类场的理念不再是没有数学形式的量子的假定，而是有了明确的数学形式。这个明确的数学形式是指矢量波函数算子和矢量波函数空间的分离，可以建立严格的逻辑自洽性，即分离的不相交性和完备性。这些都是希尔伯特H空间理论所提供的逻辑方法和无限大域内的逻辑方法的结果。3.在H空间中的“范数”和“公理化”体系实际上不论从时间和空间分离中，还是从矢量偏微分算子和矢量函数空间分离成标量函数空间的过程中都离不开希尔伯特空间理论中的“赋范空间”和对于范数的四则运算的公理化规则。但是在那些过程中希尔伯特的现代数学的规则主要体现在子空间分离的过程的唯一性、不相交性和完备性的证明上了。在分离为标量函数空间以后，再进一步的工作就直接应用对于范数的四则运算的公理化规则了。标量的偏微分或微分方程的分析中，这些运算最后都可以转换为四则运算。有限元方法对齐次域上的本证问题的数值计算的一致收敛性的严格证明给希尔伯特的现代数学作出了最完满的结论。它对于20世纪的工程和技术的发展所发挥的作用实在是没有任何理论可以相比的。那些再高深的没有成为“公理”的约定论基础上的数学，实在无法与之相比。不论多少个被媒体吹捧的多么荣耀的奖项都无法与公理的追求相比。但是现在那些逻辑关系并没有为大多数人所认可，逻辑正处于最混乱的状况，正是最需要寻求“公理”的时候。但是从表面现象看来，好像大多数人来说，对于逻辑的追求总是比不上金钱和名利的追求那样有热情。我们相信这种情况的产生有一个历史的原因，长期以来打破牛顿逻辑框架的封闭性是发展科学的主要任务，人们似乎习惯了逻辑混乱的现实，尤其是信息科技的成就，更造成了人为虚拟的规则可以代替公理的假象。思维是人类的最基本的天性，追求思维的理性总有一天为重新获得它的应有的位置。4.物质模型和统计问题& 这个问题是与上面讨论的那些问题不同性质的问题。物质模型是与时空逻辑前提不同的一种逻辑前提，时空都具有实数空间的性质，即都具有逻辑上的连续性。是一对实数空间上描述物质世界运动规律的逻辑基元，而与物质模型相联系的逻辑基元，看起来总是以离散数集的形式出现的。而且现在还不完整，只有一个“质量”的基元，总是一种僵化的根源。但是科学总是要在并不合理的状况或前提下向前发展的。所以与这种物质模型相联系的数学方法也就成了发展自然科学和人类思维的一种极为重要的方法。这一方法就是统计的方法。当然这里所说的统计是一种比较广义的数学方法，我们只把它看成是对于大数量的离散的物质基元的一种普遍的抽象的数学方法。实际上现在世界上，特别像美国，统计已经成为比纯理论的分析“热”得多的学科。由于本人至今没有深入过任何一种统计的实际问题的研究。而统计的作用又是那么大，一方面推理性的逻辑发展为量化的数理逻辑，也许主要是靠统计的方法，人文科学上不要说了，政治学和经济学的基础大概就是统计。技术物理的发展主要也依靠统计，热力学、材料科学等都是以统计为主要手段发展出来的理论。我们只想说，应该给统计一个更好的逻辑理念，应该把统计同样界定为是有限论域下的一种逻辑方法。这大概是21世纪应该发展的一门主要的基础科学，因为21世纪的数理逻辑的发展，主要是与物质结构相联系的物理和数学问题的研究：首先是对于现在的没有数学基础的“粒子论”的否定，“玻色子”和“费米子”的两种粒子概念的确立是爱因斯坦的又一个科学功绩，但是它仍是没有数学明确性的。从逻辑上来说玻色子就是牛顿粒子的微观形式，而费米子则是波的微观形式。所以对于牛顿粒子的统计就是经典统计，对于费米子(实际上是原子波包)的统计就成了量子统计。当然这些统计都是有限论域的，经典统计只对理想气体和理想的绝热系统才是逻辑自洽的，在那种情况下没有非保守力和波的出现，而一把它用到实际的物理世界就得到宇宙热寂说的荒谬结论。同样对于费米子的统计得到了另一种的温度的定义，这种温度的定义实际上与经典统计下的温度只是在可以重合的区域的比对下，就从一种温度扩展到另一种温度了这种温度的扩展，既不是逻辑的，也不是精确的。当然在没有更合理描述方法的情况下，没有人反对这样的温度定义在物理实验中的应用，但是它并没有逻辑的内涵，在没有(当然不是绝对没有而是被忽略了)实体物质存在条件下的极低温和同样牛顿粒子运动被忽略的极高温下，温度的含义显然被扭曲了。统计提供了一种量化的普遍的方法，为人类思维的发展提供了条件，这一点是应该充分肯定的，没有统计就没有民主政治，也没有很多很多的应用物理学的产生。但是统计的公理性是有条件的。条件的最大好处就是在我们对上一个层次的逻辑关系尚没有完全搞清楚的情况下，就可以获得对于下一个层次的确定的结果。所以对于统计要特别强调两点：a) 统计的有限论域性。这里主要是指，统计可以把对于粒子的离散集合的数学方法和产生粒子的离散集合和上面一些层次的逻辑体系分离开来。就如上面所说我们通过1.到3.步的逻辑分析才得到对于粒子的物理性质的离散集合。我们可以通过严格的逻辑自洽的方法得到粒子性质的离散集合，也可以通过“假设”的，“约定”的方法得到对于物质性质的离散集合。在物质的逻辑基元还不完善的情况下，即使从量子力学的观念，粒子有“费米子”和“玻色子”，粒子间相互有力作用，或者没有力作用的；存在一种还是同时存在两种粒子等等，都没有搞清楚，并不影响我们向下一步，向着多粒子物理性质的统计特性的方向前进。但是这就使统计结果带有明显的有限论域性，它的合理性取决于前面的逻辑分析的合理性。b) 统计的大数量性。统计是对大数量粒子的，对于有限的几个粒子不存在统计的合理性，例如牛顿的太阳系的星体运动，一共只有八个星体，统计有什么意义呢？对于大数量的粒子，统计同样是一种必不可少的，有明确性的数学逻辑方法。数量越大，统计的结果越可靠，越少，就有较大的误差。这点上与极限的逻辑又相似之处，但是也会有它自己的特性，研究关于统计的逻辑问题，是数理逻辑今后发展的主要课题。c) 统计与量子力学的几率波。统计是逻辑的一部分，量子力学的几率波是对单个粒子的，完全不合逻辑的概念。所以，爱因斯坦对量子力学的批评还是完全对的。量子力学一旦离开物理实在，只在它的“波粒二象性”理念上的发展，是造成现代物理学和现代哲学的错误的主要原因。
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