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广东省2015年中考数学复习配套课件：专题训练九《尺规作图》(共24张ppt )
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76初中数学尺规作图专题讲解
初中数学尺规作图专题讲解；张远波；尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直；平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先；初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们；⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法；历史上，最著名的尺规作图不
初中数学尺规作图专题讲解张远波 尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题. 平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径r?1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴ 正多边形作法
?只使用直尺和圆规，作正五边形.
?只使用直尺和圆规，作正六边形.
?只使用直尺和圆规，作正七边形――这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ?只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.
?问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑?波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB?BC?CA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？m 【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD或OE；⑵ 作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是发射塔的位置.
【例2】 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线y?x?3上求一点P，使?AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？ 【解析】 首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在y?x?3上；二是?AOP必须是等腰三角形.其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OA?OP时，以O点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点P1、P2；当OA?AP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当PO?PA时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点P3，所以总计这样的P点有3个. 【例3】 设⊙O与⊙O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r的圆，使其与⊙O及⊙O'外切.rr 【分析】 设⊙M是符合条件的圆，即其半径为r，并与⊙O及⊙O'外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以O为圆心以R?r为半径的圆上，又在以O'为圆心以R'?r为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若⊙O与⊙O'相距为b，当2r?b时，该题无解，当2r?b有唯一解；当2r?b时，有两解.【解析】 以当⊙O与⊙O'相距为b，2r?b时为例：⑴ 作线段OA?R?r，O'B?R'?r.⑵ 分别以O，O'为圆心，以R?r，R'?r为半径作圆，两圆交于M1,M2两点. ⑶ 连接OM1，OM2，分别交以R为半径的⊙O于D、C两点. ⑷ 分别以M1，M2为圆心，以r为半径作圆.∴⊙M1,⊙M2即为所求.【思考】若将例3改为：“设⊙O与⊙O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r(r?R)的圆，使其与⊙O内切，与⊙O'外切.”又该怎么作图？ ⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法. 【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..1的直角三角.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周. ⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为.）⑷ 【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知?ABC的面积.11【分析】 设?ABC的底边长为a，高为h，关键是在于求出正方形的边长x，使得x2?ah，所以x是a22与h的比例中项.【解析】 已知：在?ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h，求作：正方形DEFG，使得：S正方形DEFG?S?ABCAhBDCMNa 作法：1⑴ 作线段MD?a；2⑵ 在MD的延长线上取一点N，使得DN?h；⑶ 取MN中点O，以O为圆心，OM为半径作⊙O； ⑷ 过D作DE?MN，交⊙O于E， ⑸ 以DE为一边作正方形DEFG. 正方形DEFG即为所求. 【例6】 在已知直线l上求作一点M，使得过M作已知半径为r的⊙O的切线，其切线长为a.al 【分析】 先利用代数方法求出点M与圆心O的距离d，再以O为圆心，d为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt?OAB，使得：?A?90?，OA?r，AB?a.⑵ 以O为圆心，OB为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2. M1，M2即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求. 若此圆与直线l相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的⊙O的切线，其切线长为a. ⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径. 【例7】 已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.求作：正?ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.AabaD'bBDcC 【分析】 假设?ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作AD?b于D，将?ABD绕A点逆时针旋转60?后，置于?ACD'的位置，此时点D'的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作?BAC?60?，B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：包含各类专业文献、应用写作文书、行业资料、外语学习资料、各类资格考试、高等教育、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、76初中数学尺规作图专题讲解等内容。　
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