数学上如何计算两个数列之间的相似值比如1,3,5,6和2,3,5,6 的相似值 假设为1 因为只有首位相差1 而如果是1,3,6,5和2,3,5,6的话差异就变大了 因为5,6的位置都不一样了 也就是说相似度不但与数值_作业帮
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数学上如何计算两个数列之间的相似值比如1,3,5,6和2,3,5,6 的相似值 假设为1 因为只有首位相差1 而如果是1,3,6,5和2,3,5,6的话差异就变大了 因为5,6的位置都不一样了 也就是说相似度不但与数值
数学上如何计算两个数列之间的相似值比如1,3,5,6和2,3,5,6 的相似值 假设为1 因为只有首位相差1 而如果是1,3,6,5和2,3,5,6的话差异就变大了 因为5,6的位置都不一样了 也就是说相似度不但与数值大小差异有关,也与位置有关 ,在数学上有什么方法计算
协方差,参考/view/121095.htm&&&&&&&&&&&&
高考数学数列试题汇编
高考数学数列试题汇编重庆文1在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（　A　）A．2
D．8重庆理1若等差数列{}的前三项和且，则等于（　A　）A．3
D．6安徽文3等差数列的前项和为若（　B　）A．12
D．6辽宁文5设等差数列的前项和为，若，，则（　B　）A．63
D．27福建文2等比数列中，，则等于（　C　）Ａ．
Ｄ．福建理2数列的前项和为，若，则等于（　B　）A．1
D．广东理5已知数列{}的前项和，第项满足，则（　B　）A．
D．湖北理5已知和是两个不相等的正整数，且，则（　C　）A．0
D．湖南文4在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　B　）A．
D．湖北理8已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）A．2
D．5湖南理10设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（　B　）A．10
D．13辽宁理4设等差数列的前项和为，若，，则（　　）A．63
D．27宁夏文6已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　B　）Ａ．3
Ｄ．宁夏理4已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　D　）Ａ．
Ｄ．陕西文5等差数列{an}的前n项和为Sn，若（　C　）A．12
D．42四川文7等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　B　）A．9
D．12上海文14数列中， 则数列的极限值（　B　）Ａ．等于
Ｃ．等于或
Ｄ．不存在陕西理5各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（　C　）A．80
D．16天津理8设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　B　）Ａ．2
Ｄ．8重庆理14设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则_____.18天津理13设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　．3全国2文14已知数列的通项，则其前项和
．全国1理15等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．宁夏文16已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．江西理14已知数列对于任意，有，若，则
．4江西文14已知等差数列的前项和为，若，则
．7广东文13已知数列{}的前项和，则其通项
；若它的第项满足，则
8北京理10若数列的前项和，则此数列的通项公式为
；数列中数值最小的项是第
项．北京文10若数列的前项和，则此数列的通项公式为
．重庆理21已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且（1）求{}的通项公式；（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。又由an+1＝Sn+1- Sn＝，得an+1- an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。（Ⅱ）证法一：由可解得；从而。因此。令,则。因，故.特别的。从而，即。证法二：同证法一求得bn及Tn。由二项式定理知当c＞0时，不等式成立。由此不等式有＝。证法三：同证法一求得bn及Tn。令An＝，Bn＝，Cn＝。因，因此。从而＞。浙江理21已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（I）求，，，；（II）求数列的前项和；（Ⅲ）记，，求证：．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I）解：方程的两个根为，，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以时；当时，，，所以．（II）解：．（III）证明：，所以，．当时，，，同时，．综上，当时，．浙江文19已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，...)．(I)求及 (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．(I)解：方程的两个根为．当k＝1时，，所以；当k＝2时，，所以；当k＝3时，，所以；当k＝4时，，所以；因为n≥4时，，所以（Ⅱ）＝．天津理21在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：，，．由此可猜想出数列的通项公式为．以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．解法二：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．（Ⅱ）解：设，　　　①　　　　　　　　②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：．　　　　③由知，要使③式成立，只要，因为．所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．天津文20在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．（Ⅲ）证明：对任意的，．所以不等式，对任意皆成立．四川文22已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.（Ⅰ）用xx表示xn+1；（Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．（Ⅰ）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（Ⅱ）由，知，同理．　　　故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．从而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴∴当时，显然．当时，∴．　　　综上，．上海理20若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为"对称数列"。（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和解：（1）设的公差为，则，解得 ，数列为．（2），，当时，取得最大值．的最大值为626．（3）所有可能的"对称数列"是：① ；② ；③ ；④ ．对于①，当时，．当时，．对于②，当时，．当时，．对于③，当时，．当时，．对于④，当时，．当时，．上海文20如果有穷数列（为正整数）满足条件，，...，，即（），我们称其为"对称数列"．例如，数列与数列都是"对称数列"．（1）设是7项的"对称数列"，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项的"对称数列"，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的"对称数列"，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，数列为．（2）．（3）．由题意得 是首项为，公差为的等差数列．当时，．当时，．综上所述，陕西理22已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足（k=1,2,...，n-1）,b1=1.求b1+b2+...+bn.解：（Ⅰ）当，由及，得．当时，由，得．因为，所以．从而．，．故．（Ⅱ）因为，所以．所以．故．陕西文20已知实数列等比数列,其中成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128...).解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由，得，从而，，．因为成等差数列，所以，即，．所以．故．（Ⅱ）．山东理17设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．(I)验证时也满足上式，(II) ，，山东文18设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．解：（1）由已知得解得．设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为．（2）由于由（1）得又是等差数列．故．全国2理21设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．21．解：（1）由整理得 ．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故．那么，又由（1）知且，故，因此 为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以 ．由可得，即两边开平方得 ．即 为正整数．全国2文17设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．解：由题设知，则
②由②得，，，因为，解得或．当时，代入①得，通项公式；当时，代入①得，通项公式．全国1理22已知数列中，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．解：（Ⅰ）由题设：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（）当时，因，，所以，结论成立．（）假设当时，结论成立，即，也即．当时，，又，所以　　．也就是说，当时，结论成立．根据（）和（）知，．全国1文21设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．辽宁理21已知数列，与函数，，满足条件：，.（I）若，，，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．江西理22设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（3）求数列的通项．解：（1）据条件得
①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）方法一：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．（2）方法二：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得即　　　　　　②由②左式，得，即，因为两端为整数，则．于是　　　　③又由②右式，．则．因为两端为正整数，则，所以．又因时，为正整数，则　　　　④据③④，即时，成立．由1，2知，对任意，．江西文21设为等比数列，，．（1）求最小的自然数，使；（2）求和：．解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数．（2）因为，............①，............②得：所以．江苏理20已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，，所以（2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。湖南理21已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，...．（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增解：（I）当时，由已知得．因为，所以．
...... ①于是．
......②由②－①得．
...... ③于是．
④由④－③得，
...... ⑤所以，即数列是常数数列．（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，，，数列是单调递增数列且对任意的成立．且．即所求的取值集合是．（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以时，，从而，所以在和上都是增函数．由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以．取，因为，所以．所以，即弦的斜率随单调递增．解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，．故，即弦的斜率随单调递增．湖南文20设是数列（）的前项和，，且，，．（I）证明：数列（）是常数数列；（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．20．解：（I）当时，由已知得．因为，所以． ..............................①于是． .........................................................②由②－①得：．...................................................③于是．............................................................④由④－③得：．.........................................................⑤即数列（）是常数数列．（II）由①有，所以．由③有，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．所以，，．由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）湖北理21已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证，求证，；（III）求出满足等式的所有正整数．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立．（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有．解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，，．　　①（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；（）假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以．于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当，时，，，而由（Ⅰ），，．（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，即有．　　　　　②又由（Ⅱ）可得，与②式矛盾．故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．湖北文20已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I）证：由，有， ．（II）证：，，，．是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）得，，于是．当时，．当时，．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列．（III）由（II）的类似方法得，，，．．下同解法1．广东理21已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,......）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；（3）记（n=1,2,......），求数列{bn}的前n项和Sn。解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，......，（n=1,2,......），（3），而，即，，同理，，又广东文20已知函数，、是方程的两个根()，是的导数设，，.(1)求、的值；(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和．(1)
得(2)又数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;福建理21等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．福建文21数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分．解：（Ⅰ），，．又，数列是首项为，公比为的等比数列，．当时，，（Ⅱ），当时，；当时，，............①，...........................②得：．．又也满足上式，．北京理15，文科16数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．解：（I），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．安徽理21某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，...是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，......，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，
①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．安徽文21某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,...是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为n(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,......，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.　（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，
①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．辽宁文20已知数列，满足，，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ｉ）解：由题设得，即（）易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．（II）解：由题设得，令，则．易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为．由解得，求和得日期：等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果...数列中任意相邻两个数的差的相关内容日期：腹中两个月的宝宝长什么模样 这时我们可以看到宝宝的额头、耳、鼻和嘴，他上肢的腕、手指，和下趾的脚、脚趾已开始发育，骨骼也逐渐强健起来了，心脏已经成形，有的宝宝开...日期：怀孕前两个月 ◇这个月你可以整理你的居室环境，以方便你怀孕后的行动。 ◇把可能绊脚的物品重新归置，留出最大的空间。 ◇经常使用的物品要放在你站立时方便取放的地方，清理一下床下与衣柜上的东西，调整一下厨房用品的...日期：乳母睡卧时需注意两个方面 正在哺乳的妈妈很辛苦，白天除了哺育和护理小宝宝外，夜里，如果听到孩子的哭声，还要爬起来喂他，很少能一觉睡到自然醒。 有时为了哺乳方便，婴儿和母亲往往睡在同一处，这时妈妈们在睡卧时需要注意两个方面： 1、不要压着婴儿：婴儿的自我...日期：新概念三：爱的环路从两个月大开始建立 大约在婴儿8周大的时候，一件奇迹似的事情发生了。小宝宝的视力开始进步了，第一次，他可以清楚地看到你，并且直接和你做眼神的接触。这个初次的视觉经验在社交与感情能力的发展上扮演着重要的角色。 加州大学教授舒尔指出，“母亲充日期：读懂护理好你两个月的宝宝 宝宝能做的*运动机能 宝宝已经有一点点控制手和腿的能力，他常常会用单一的方式动弹自己的手和腿。你可以这么做 让宝宝仰卧在小床上，当他感到舒服时，你可以一边对他微笑、一边用柔和的声音和他说...日期：咿咿呀呀的两个月 两个月的宝宝已开始注意周围的世界了。首先宝宝开始喜欢您的声音，他会聚精会神地在屋里跟随您的声音。您的不同声调会使他着迷，对您的歌声、尖声他都有反应，就象您面...日期：２０２ 两个皇帝当俘虏 由于东京军民的坚决抵抗，金将宗望被迫退兵。种师道向宋钦宗建议，在金兵渡黄河退 却的时候，发动一次袭击，把金兵消灭掉。这本来是个好主意。但是宋钦宗不但不同意，反 而把种师道撤了职。 金兵退走以后，宋钦宗和一批大臣...
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[高二数学]高考数学数列专项复习
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& 2013年新人教版高中数学精品论文集：等差数列前n项和公式的两个侧重 新人教A版必修5
2013年新人教版高中数学精品论文集：等差数列前n项和公式的两个侧重 新人教A版必修5
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资料类型：地区联考
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资料概述与简介
函数与方程的思想方法概述
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。
方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。
函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。
高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。
第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；
第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；
第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；
第四层次：构造方程或不等式求解问题。
其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。
经典例题：
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
构造函数，运用函数的性质
例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值；
（2）解不等式。
分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。
（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。
解析：（1）令，
的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。
（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。
2.选定主元，揭示函数关系
例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是
分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。
解析; 且，，即。①
当时，不定式①不成立。
当时，设。
即故的取值范围时。
点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。
3．选取变元，确定函数关系
例3．函数的值域是
分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。
解析：由，设，
点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。
4.利用二项式定理构造函数
例4：求证：。
分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。
解析：令，展开式中的系数，又
其中的系数为，故=。
点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。
5.用函数的思想方法解数列题
例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。
分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
所以为增函数，且
由题意得。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。
6.建立函数关系解应用题
例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。
解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为
由，设容器的容积为y(m),则有
整理得，求导，得
解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。
答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。
点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。
方程的思想
方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。
解方程或分析方程的解
例7.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。
分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。
解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得
故。经验算，上述两组数符合题意。
点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。
2通过换元构成新的方程
例8.关于的方程恒有解，求的取值范围。
分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。
解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，
（方法二）设
综上可得，。
点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。
3.构造方程求解
例9.设函数，且存在使得成立。
⑵若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。
分析：对于⑴小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。
解析：⑴由题意
的图像的对称轴为，
。由，代入直线方程，得
当且仅当。
点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。
函数与方程相互转化的思想
解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。
例10.已知抛物线
⑴当为何值时，抛物线与轴有两个交点？
⑵若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；
⑶如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。
分析：⑴令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；
⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；
⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。
解析：⑴令据题意，须，
所以m的取值范围是
点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。
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