正六边形的面积公式一定比五边形大对不对

&img data-rawheight=&3264& data-rawwidth=&2448& src=&/dc553badc3_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2448& data-original=&/dc553badc3_r.jpg&&&br&就像图上一样,从上面看是五边形和六边形为主的
随便一答,抛个砖气泡在单独存在时有一个自发地向外尽量扩张的态势,所以基本是球形的,如果你单独吹出一个气泡,我相信它一定是球形的而当有很多个气泡时,互相的接触限制了它们这样扩张(跟细胞的接触抑制一个道理),而且接触面是平的,因为互相的作用力。而各个细胞……对不起,气泡,相互围绕,互相之间又是地位同等的。围绕一个气泡,各气泡的形态又要大致相同,同时气泡还有个向外扩张的态势,六边形其实是最好的选择(因为它的对称属性,相同朝向即可无缝拼接),至于五边形和更多边行,实际上是气泡太多而地方太小啦。。。随意拼接
我也抛块砖。知乎第二答献给可爱的泡泡~ 先上一张为去年 CYPT 比赛做实验的时候拍的美图。
事实上,一位叫做尤瑟夫·普拉托 (Joseph Plateau) 的比利时物理学家也发现了题主所说的这种结构。(这位普拉托大大就是发现视觉暂留现象的那一位哦。)他把这种结构总结成了普拉托定律 (Plateau's Laws):
皂液膜由完全光滑的表面组成。皂液膜的任一部分的平均曲率在同一片膜上的每一点上都是常数。皂液膜表面的交界一定是由三个表面相接构成的曲线,称为“普拉托边界”,交界处两两表面形成的平面交角都是 120°。普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个交点,在交点处,四个边界线两两之间的交角都相同,为 109.47 ,如同正四面体的中心与四个顶点连接的连线两两之间所构成的交角一样。(Wikipedia: )任何不满足普拉托定律的结构都会很快地变化成普拉托定律所描述的样子。请注意,普拉托定律是所有泡泡都要满足的,无论泡泡的大小是否均一。而大小均一的泡泡还会遵循另一种结构:Weaire–Phelan 结构。这是在 1993 年,都柏林三一学院的 Denis Weaire 大神和他的学生 Robert Phelan 提出的。(顺带膜拜一下 Weaire 大神,为了当时比赛和现在写这个题目查到的靠谱文献基本全是他写的......) Weaire-Phelan 结构由等积的十二面体和十四面体交替构成,长这个样子:(图片来自维基百科)据传说水立方的设计灵感就是源于这个结构哦~但是,这些结构为啥是这样的呢?
答案的根本在于楼上几位答主也提到过的,表面张力。表面张力很直观的一个作用就是,使得液体的表面总是试图获得最小的面积,就好像它是一层弹性的薄膜一样。普拉托定律描述的这个结构就是寻找最小表面积得到的结果。在 1976 年,约翰·泰勒 (Jean Taylor) 用几何测度论 (geometric measure theory) 的方法给出了这个结论的数学证明。
他的论文在这里:
Taylor, Jean E. (1976), "The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces",
Annals of Mathematics, Second Series 103 (3): 489–539, doi:10., MR 0428181.请自便。反正我看不懂╮(╯▽╰)╭。 而 Weaire-Phelan 结构也遵循着表面积最小的原则。事实上它的发现就是源于 Kelvin 爵士在 1887 年提出的这么一个问题,the Kelvin problem: 如何用最小的表面积把空间分割为体积相等的小空间?不过其实我主要是来扯别的的╭(╯^╰)╮ 题主你知道吗,泡泡其实可以有别的形态!比如这样:
这也是去年我们学校的队伍参加 CYPT 时拍的一张照片。这是一张俯视图。看它们圆滚滚的样子!一定不符合普拉托定律...... 是的,2014 年的 IYPT 有一道题目叫做 Bubble Crystal,泡泡晶体。去年我在我们队里负责这道题。这道题的内容和这个问题有一点相关性,但是说的并不是同一件事。题目是这样的:
A large number of very small, similar air bubbles float on the surface of a soapy liquid.
The bubbles will arrange themselves into a regular pattern similar to a crystalline
lattice. Propose a method to obtain bubbles of a consistent size, and investigate the
formation of such a bubble crystal.
翻译成中文是这样的:
大量非常小的、相似的气泡漂浮在肥皂液的表面上时,泡泡会自动排列成规则的、类似与晶格的结构。
提出一种获得大小一致的泡泡的方法,并研究此类泡泡晶体的形成。
最初发现这种“泡泡晶体”的是剑桥大学卡文迪许实验室的威廉·布拉格爵士 (Sir William Lawrence Bragg) 和 John Nye 教授。他们发现,诶,这些泡泡怎么长的这么眼熟呢......他们不约而同地想起了一个东西:金属晶体。通俗一点理解,金属晶体就是(人们想象中)金属内部原子排列的样子啦。其中六方堆积晶体的样子,和这些泡泡的排列方式简直一模一样!。(图片来自网络,侵权删除~)它们二者还有另外一个相似点:它们都会偶尔出现缺陷。金属晶格缺陷有很多种,包括空位、填隙、替位等等。示意图(非六方堆积的晶格示意图...找不到好看的图好忧桑):
(图片来自网络,侵权删除~)再看看上面那张泡泡的图,就会发现泡泡也会偶尔出现这样的缺陷。所以 Bragg 和 Nye 二位教授就想,可不可以用这种“泡泡晶格”来模拟金属晶格,进行一些研究呢? 于是有了这篇论文:然后 IYPT 组委会想,可不可以用这种泡泡晶格来出道题呢......╮(╯▽╰)╭
在去年准备比赛的过程中,我们对这种泡泡晶格进行了全(粗)面(浅)的研究。 大致分为这三方面: 一、如何使泡泡稳定存在? 二、如何控制相同大小? 三、为何排列整齐? 但我觉得如果在此全部说一遍就跑题太严重了......所以还是说一个和题主的问题有点关系,也困扰了我很久的问题吧。 为啥有的泡泡就是六边形的,有的就是圆形的???(指俯视图)这个问题真的困扰了我非常久,并且直到现在还没有完全弄明白,很希望得到高人指点。当时为了查这个问题的答案,连续两天跨越京城到国图去找 Weaire 大神的专著 The Physics of Foams,还体验了一下国图基藏阅的高端服务。但是请允许我先给 Weaire 先生跪一下..... 那本书上对这个现象的解释是这样的:有一个控制着泡泡形状的物理量,叫做含水率 (liquid fraction)。具体定义记不清了,待我去查证一下来补,不过就是字面意义的含水率。符合普拉托定律的泡泡含水率都较低,一般在5%以下;含水率高的泡泡,也就是湿泡泡 (wet foam),是不符合普拉托定律的,也就是"圆形的"。然后 Weaire 先生说了,含水率超过 36% 的泡沫就不算 foam 了,算 bubbly liquid (泡液流),所以我们在这不讨论......于是仍然自力更生,经过一段时间的琢磨(以及和可爱的小伙伴们的吵架),我们发现有个明显和它成负相关的变量: 大小。参考大小,本答案第一张图片里的泡泡直径约10mm,第二张图里的泡泡直径约2mm,Bragg 和 Nye 二位教授论文中的泡泡直径不到1mm......至于为什么大小会影响泡泡形状呐,我也只能YY一下:同等厚度的液膜,对于体积更小的泡泡来说,所占的比例就越大,于是含水率就越高......但是含水率又是啥?该如何增加一坨泡沫的含水率?为什么临界值是36%?不知道,求点醒。所以各位看官你们明白了嘛,我就是来秀图 + 求打脸的 =w=:D
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可以的 一定要教材拼才行
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