2:设v和w都是数域f上向量空间，且dimv=n，令B是v到w的一个线性映射，我们如此选取v的一个基；D1.......Ds，Ds+1......Dn使得D1......Ds是Ker（B)的一个基，证明：（1）B(Ds+1),......B(Dn）组成Im（B)的一个基。（2）dimker（B)+dimIm_百度作业帮
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2:设v和w都是数域f上向量空间，且dimv=n，令B是v到w的一个线性映射，我们如此选取v的一个基；D1.......Ds，Ds+1......Dn使得D1......Ds是Ker（B)的一个基，证明：（1）B(Ds+1),......B(Dn）组成Im（B)的一个基。（2）dimker（B)+dimIm
D1.......Ds，Ds+1......Dn使得D1......Ds是Ker（B)的一个基，证明：（1）B(Ds+1),......B(Dn）组成Im（B)的一个基。（2）dimker（B)+dimIm（B)=n.5.数域P上的所有n×n的上三角形矩阵构成的线性空间的维数是 . 二,判断对错..
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一线性空间的同构(基本概念)
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第七章线性变换7
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&&&&第七章线性变换&&&&7.1线性映射7.2线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值&&&&&&&&当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange,）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。---华罗庚（）&&&&&&&&7.1线性映射&&&&一、内容分布7.1.1线性映射的定义、例.7.1.2线性变换的象与核.二、教学目的:1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）．2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核．三、重点难点:判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核．&&&&&&&&7.1.1线性映射的定义、例&&&&设F是一个数域，V和W是F上向量空间.定义1设σ是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称σ是V到W的一个线性映射：①对于任意?,V,?(?)(?)(?).②对于任意a?F,V,?(a?)?a?(?)容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：③对于任意a,b?F和任意?,V,&&&&&&&&?(ab?)?a?(?)?b?(?)&&&&&&&&在②中取a?0，对③进行数学归纳，可以得到：（1）?(0)?0?（2）(a1?1?an?n)?a1?(?1)?an?(?n)例1对于R2的每一向量?x1,x2?定义x1,x1?x2,x1?x2R3σ是R2到R3的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射.例2令H是V3中经过原点的一个平面.对于V3的每一向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质，:V3到V3的一个线性映是?射.&&&&&&&&例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间的Fm每一向量&&&&?x1x2?xn?&&&&&&&&?规定：是一个m×1矩阵，即是空间Fm的一个向量，σ是到Fn的一个线性映射.Fm&&&&&&&&例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量ξ令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射.&&&&例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意定义V,?k?容易验证，σ是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个位似.特别，取k=1，那么对于每一V,都有,这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0，那么σ就是V到V的零映射.&&&&&&&&例6取定F的一个n元数列?a1a2?an?.对于Fn的每一向量?x1x2?xn?.规定?a1x1?a2x2?anxn?F容易验证，σ是Fn到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或Fn上一个线性型.例7对于F[x]的每一多项式f（x），令它的导数&&&&&&&&fx?与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身的一个线性映射.&&&&&&&&例8令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数&&&&&&&&所成的R上向量空间，对于每一f?xC?a,b?,规定&&&&x&&&&&&&&f?xf?t?dtaf?x仍是[a,b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，σ是C[a,b]到自身的一个线性映射.&&&&&&&&7.1.2线性变换的象与核&&&&定义2设σ是向量空间V到W的一个线性映射,(1)如果VV,那么?(V?)?{?(?)|V?}叫做V?在σ之下的象.(2)设WW,那么{V|?(?)?W?}叫做W?在σ之下的原象.定理7.1.1设V和W是数域F上向量空间，而?:V?W是一个线性映射，那么V的任意子空间在σ之下的象是W的一个子空间，而W的任意子空间在σ之下的原象是V的一个子空间.&&&&&&&&特别，向量空间V在σ之下的象是W的一个子空间，叫做σ的象,记为Im(?),即Im(?)(V).另外，W的零子空间{0}在σ之下的原象是V的一个子空间，叫做σ的核，记为Ker(?),即Ker(?)?{V|?(?)?0}.&&&&&&&&定理7.1.2设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么?:V?W(i)σ是满射?Im(?)?W(ii)σ是单射Ker(?)?{0}?证明论断(i)是显然的,我们只证论断(ii)如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量反过来设ker(σ)={0}.如果?,V而?(?)(?).那么?(?)(?)(?)?0,从而ker(?)?{0}.所以?,即σ是单射.&&&&&&&&如果线性映射?:V?W有逆映射1，那么是W到V的一个线性映射.建议同学给出证明.&&&&&&&&7.2线性变换的运算&&&&一、内容分布&&&&7.2.1加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式&&&&&&&&二、教学目的:&&&&掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的多项式.&&&&&&&&三、重点难点:&&&&会做运算.&&&&&&&&7.2.1加法和数乘&&&&令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换.我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设?,L(v),k?F,定义:加法:?:?(?)(?)数乘:k?:k?(?),那么是V的一个线性变换.可以证明:?和k?都是V的一个线性变换.&&&&&&&&证明令?，那么对于任意a,b?F和任意?,V,&&&&&&&&?(ab?)(ab?)(ab?)?a?(?)?b?(?)?a?(?)?b?(?)?a(?(?)(?))?b(?(?)(?))?a?(?)?b?(?).所以?是V的一个线性变换&&&&&&&&令k?，那么对于任意a,b?F和任意?,V,&&&&?(ab?)?k(?(ab?))?k(a?(?)?b?(?))&&&&?ak?(?)?bk?(?)?a?(?)?b?(?).&&&&&&&&所以kσ是V的一个线性变换.&&&&&&&&线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意?,?,L(v),以下等式成立:(1)?;(2)(?)?(?).令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意L(v)有：(3)&&&&&&&&?&&&&&&&&设L(v),σ的负变换－σ指的是V到V的映射:(?).容易验证，－σ也是V的线性变换，并且（4）()&&&&&&&&线性变换的数乘满足下列算律：&&&&&&&&(5)(6)(7)(8)&&&&&&&&k(?)?kk?,(k?l)kl?,(kl)k(l?),1?,&&&&&&&&这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.定理7.2.1L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.&&&&&&&&7.2.2线性变换的积设?,L(V),容易证明合成映射?也是V上的线性变换，即L(V).我们也把合成映射?叫&&&&做σ与τ的积，并且简记作στ。除上面的性质外，还有：(9)?(?),(10)(?)?,&&&&(11)(k?)?(k?)?k(),&&&&&&&&对于任意k?F,?,?,L(v)成立。&&&&&&&&证明我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设V.我们有&&&&?(?)(?)((?)(?))(?(?)(?))(?(?))(?(?))?(?)?(?)?(?)(?),&&&&&&&&因而（9）成立。&&&&&&&&7.2.3线性变换的多项式&&&&线性变换的乘法满足结合律：对于任意?,?,L(v),都有&&&&&&&&()?().&&&&&&&&因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂&&&&&&&&n?这里n是正整数。?n?0我们再定义?&&&&这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。&&&&&&&&进一步，设f(x)?a0?a1x?anx.是F上一个多项式，而L(V),以σ代替x，以a0?代替a0，得到V的一个线性变换&&&&n&&&&&&&&a0a1an?n.&&&&&&&&这个线性变换叫做当记作f(?).&&&&&&&&x时f(x)的值，并且&&&&&&&&（1）因为对于任意V,a0?(?)?a0?,我们也可将a0?简记作a0，这时可以写&&&&&&&&f(?)?a0?a1an?.&&&&n&&&&&&&&（2）带入法：如果f(x),g(x)?F[x],并且?(x)?f(x)?g(x)&&&&&&&&?(x)?f(x)g(x).&&&&那么根据L(V)中运算所满足的性质,我们有&&&&&&&&?(?)?f(?)?g(?)?(?)?f(?)g(?).&&&&&&&&7.3线性变换和矩阵&&&&一、内容分布&&&&7.3.17.3.27.3.37.3.4线性变换的矩阵坐标变换矩阵唯一确定线性变换线性变换在不同基下的矩阵―相似矩阵&&&&&&&&二、教学目的&&&&1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标．3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵。&&&&&&&&三、重点难点&&&&线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。&&&&&&&&7.3.1线性变换的矩阵&&&&现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一?1,?2,?,?n,个线性变换，取定V的一个基令?(?)?aaa?&&&&n&&&&&&&&?(?2)?a12?1?a22?2?an2?n&&&&………………………………………&&&&&&&&?(?n)?a1n?1?a2n?2?ann?n&&&&&&&&设&&&&&&&&?a11a12a21a22Aa?n1an2&&&&&&&&?a1n?a2nann&&&&&&&&N阶矩阵A叫做线性变换σ关于基{?1,?2,?,?n}&&&&的矩阵.上面的表达常常写出更方便的形式:&&&&&&&&(1)?(?1,?2,n)?(?(?1),?(?2),?,?(?n))?(?1?2n)A&&&&&&&&7.3.2坐标变换&&&&设V是数域F上一个n维向量空间,{?1,?2,?,?n}(是它的一个基,ξ关于这个基的坐标是x1,x2,?,xn),而σ(ξ)的坐标是(y1,y2,?,yn).问:(y1,y2,?,yn)和(x1,x2,?,xn),之间有什么关系?&&&&设&&&&x1?1?x2?2?xn?n&&&&?x1x2(?1,?2,?,?n).xn?&&&&&&&&因为σ是线性变换，所以&&&&?(?)?x1?(?1)?x2?(?2)?xn?(?n)&&&&?x1x2(?(?1),?(?2),?,?(?n)).xn?&&&&&&&&（2）&&&&&&&&将（1）代入（2）得&&&&?x1x2(?)?(?1,?2,?,?n)A.xn?&&&&&&&&?最后，等式表明，(?)关于(?1,?2?,?n)的坐标所组成的列是&&&&&&&&?x1x2?A.xn?&&&&&&&&综合上面所述,我们得到坐标变换公式：定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基{?1,?2,?,?n}的矩阵是&&&&&&&&?a11a12a21a22Aa?n1an2&&&&&&&&?a1n?a2nann&&&&&&&&如果V中向量ξ关于这个基的坐标是(x1,x2,?,xn)，而σ(ξ)的坐标是(y1,y2,?,yn)，&&&&?y1y2ynx1x2?Axn?&&&&&&&&那么&&&&&&&&例1在空间V2内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量?1,?2作为V2的基.令σ是将V2的每一向V量旋转角θ的一个旋转.σ是2的一个线性变换.我们有?1?1cos?2sin?,?21sin?2cos?.&&&&所以σ关于基1,?2?的矩阵是&&&&?cos?sin?sin?cos?&&&&&&&&设V2，它关于基1,?2?的坐标是?x1,x2?,而的坐标是?y1,y2?.那么&&&&?y1cosysin2?sin?x1cos?x2&&&&&&&&7.3.3矩阵唯一确定线性变换&&&&引理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，{?1,?2,?,?n}是V的一个基，那么对于V中任意n个向量?1,?2,?,?n，有且仅有V的一个线性变换σ，使得:?(?i)ii?1,2,?n&&&&&&&&x1?1?x2?2?xn?n证设是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ：?(?)?x1?1?x2?2?xn?n&&&&&&&&我们证明，σ是V的一个线性变换。设那么(x1?y1)?1?(x2?y2)?2?(xn?yn)?n.于是?(?)?(x1?y1)?1?(x2?y2)?2?(xn?yn)?n.?(x1?1?x2?2?xn?n)?(y1?1?y2?2?yn?n)(?)(?).设&&&&&&&&y1?1?y2?2?yn?n?V&&&&&&&&a?F.那么&&&&&&&&?(a?)(ax1?1?ax2?2?axn?n)?ax1?1?ax2?2?axn?n?a(x1?1?x2?2?xn?n)?a?(?).&&&&&&&&这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条件：?(?i)ii?1,2,?n如果τ是V的一个线性变换，且&&&&&&&&?(?i)i&&&&&&&&i?1,2,?n&&&&&&&&那么对于任意x1?1?x2?2?xn?n?V.&&&&?(?)(x1?1?x2?2?xn?n)?x1?(?1)?x2?(?2)?xn?(?n)?x1?1?x2?2?xn?n(?),&&&&&&&&从而&&&&&&&&?.&&&&&&&&■&&&&&&&&定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，{?1,?2,?,?n}是V的一个基，对于V的每一个线性变换σ，令σ关于基{?1,?2,?,?n}的矩阵A与它对应，这样就得到V的全体线性变换所成的集合L（V）到F上全体n阶矩阵所成的集合Mn(F)的一个双射，并且如果?,L(v),而A，B则(3)A?B,aaA,a?F,(4)?AB&&&&{证设线性变换σ关于基?1,?2,?,?n}的矩阵是A。那么是(F)AL(V)到Mn的一个映射。&&&&&&&&反过来，设&&&&?a11a12a21a22Aa?n1an2?a1n?a2nann&&&&&&&&是F上任意一个n阶矩阵。令?j?a1j?1?a2j?2?anj?n,j?1,2,?,n.由引理7.3.2，存在唯一的L(V)使&&&&?(?j)j,j?1,2,?,n.&&&&&&&&显然σ关于基{?1,?2,?,?n}的矩阵就是A.这就证明了如上建立的映射是L(V)到Mn(F)的双射.&&&&&&&&设A?(aij),B?(bij).我们有&&&&(?(?1),?(?2),?,?(?n))?(?1,?2,?,?n)A(?(?1),?(?2),?,?(?n))?(?1,?2,?,?n)B.&&&&&&&&由于σ是线性变换,所以&&&&?n?n?bij?i?bij?(?i),i?1,2,?,n.?i?1?i?1&&&&&&&&因此&&&&&&&&((?1),(?2),?,(?n))?(?(?1),?(?2),?,?(?n))B?(?1,?2,?,?n)AB.&&&&&&&&}所以στ关于基{?1,?2,?,?n的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。□&&&&&&&&推论7.3.4设数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ关于V的一个取定的基的矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩1阵就是.A?1&&&&1证设σ可逆。令关于所取定的基的矩阵是B。由（7），&&&&&&&&?1?AB.&&&&&&&&然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I所以AB=I.同理BA=I.所以B?A?1.&&&&&&&&.&&&&&&&&反过来，设A,而A可逆。由定理7.3.3，有L(v)使A?1.于是&&&&&&&&?AA?1?I.&&&&注意到（5），可以看出.同理有逆，而1.□&&&&&&&&.所以σ&&&&&&&&我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:1.取定n维向量空间V的一个基之后,在映射:A之下,n?nL(V)?F(作为线性空间)&&&&&&&&研究一个抽象的线性变换σ,就可以转化为研究一个具体的矩阵.也就是说,线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.2.我们知道,数域F上一个n维向量空间V同构于Fn,V上的线性变换&&&&&&&&?:?(?)&&&&?x1x2?n转化为F上一个具体的变换:?xnx1x2?Axn?&&&&&&&&也就是说,线性变换都具有上述形式.&&&&&&&&7.3.4线性变换在不同基下的矩阵――相似矩阵&&&&定义：设A，B是数域F上两个n阶矩阵.如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式&&&&&&&&B?TAT成立，那么就说B与A相似，记作：A~B.n阶矩阵的相似关系具有下列性质：1.自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为A?I?1AI.&&&&2.对称性：如果A~B，那么B~A；因为由B?T?1AT得A?TBT?1?(T?1)?1BT?1.&&&&&&&&?1&&&&&&&&3.传递性：如果那么&&&&&&&&A~BA~C&&&&?1&&&&&&&&且&&&&&&&&B~C&&&&?1&&&&&&&&事实上，由B?TAT和C?UBU得&&&&C?(U?1T?1)A(TU)?(TU)?1A(TU).&&&&&&&&设线性变换σ关于基{?1,?2,?,?n}的矩阵是A,σ关于基{?1,?2,?,?n}的矩阵是B,由基{?1,?2,?,?n}到基{?1,?2,?,?n}的过渡矩阵T,即:&&&&&&&&{?1,?2,?,?n}?{?1,?2,?,?n}T&&&&&&&&定理7.3.4在上述假设下,有:?1&&&&&&&&B?TAT&&&&&&&&即:线性变换在不同基下的矩阵是相似的.反过来,一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵.证明留做练习&&&&&&&&7.4不变子空间&&&&一、内容分布&&&&7.4.1定义与基本例子7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简7.4.3进一步的例子&&&&&&&&二、教学目的&&&&1．掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法．2．会求给定线性变换的一些不变子空间．&&&&&&&&三、重点难点&&&&验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。&&&&&&&&7.4.1定义与基本例子&&&&令V是数域F上一个向量空间,σ是V的一个线性变换.定义V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变,如果?(W)?W.如果子空间W在σ之下不变，那么W就叫做σ的一个不变子空间.&&&&&&&&注意:子空间W在线性变换σ之下不变,指?(W)?W,即:?(?)?W,?W并不能说:?(?),?W&&&&&&&&例1V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变.&&&&&&&&例2令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)&&&&的像Im(σ)之下不变.例3V的任意子空间在任意位似变换之下不变.例4令σ是V中以某一过原点的直线L为轴，旋转3一个角θ的旋转，那么旋转轴L是σ的一个一维不&&&&&&&&变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二&&&&维不变子空间.&&&&&&&&例5令F[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，:f(x)?f?(x)是求导数运对于每一自然数n，?令Fx表示一切次数不超过n的多项式连同零多项[x]式所成的子空间.那么Fx在]不变.[xσ&&&&&&&&设W是线性变换σ的一个不变子空间.只考虑σ在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变换，称为σ在W上的限制，并且记作?这样，对于|w.任意W,&&&&&&&&?|w(?)(?)然而如果W,那么?|w(?)没有意义。&&&&&&&&7.4.2不变子空间和线性变换的矩阵化简&&&&&&&&设V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基?1,?2,?,?r,再补充成V的一个?基1,?2,?,?r,?r?1,?,an.由于W在σ之下不变，所?(?1),?(?2),?,?(?r)?1,?2,?,?r以仍在W内，因而可以由W的基线性表示。我们有：&&&&&&&&?(?1)?a11?1?a21?2?ar1?r,&&&&?(?r)?a1r?1?a2r?2?arr?r,&&&&&&&&?(?r?1)?a1,r?1?1?ar,r?1?r?ar?1,r?1?r?1?an,r?1?n,&&&&?(?n)?a1n?1?arn?r?ar?1,n?r?1?ann?n.&&&&&&&&?A1A3?因此，σ关于这个基的矩阵有形状A?oA?,?2?a11?a1r?这里A1是?|w关于W的基?a?arrr1?&&&&&&&&?1,?2,?,?r的矩阵，&&&&而A中左下方的O表示一个(n?r)?r零矩阵.&&&&&&&&由此可见，如果线性变换σ有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V的基，可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果V可以写成两个非平凡子空间的W1与W2直和：?W1?W2,那么选取VW1的一个基?1,?2,?,?r和W2的一个基?r?1,?,an.凑成V的一个基?1,?2,?,?n,当W1与W2都在σ之下不变时，容易看出，σ关于这样选取的基的矩阵是&&&&?A1A?o?o,A2&&&&&&&&这里A1是一个r阶矩阵,它是?|w1关于基?1,?2,?,?r&&&&&&&&的矩阵，而A2是nCr阶矩阵，它是?|w2关于基?r?1,?,an的矩阵。&&&&一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W1,W2,?,WS的直和，并且每一子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的一个基，σ关于这个基的矩阵就有形状&&&&?A10?A2..0As&&&&&&&&这里Ai是?|Wi关于所取的Wi的基的矩阵.&&&&&&&&例6令σ是例4所给出的V3的线性变换.显然V3是一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在σ之下不变.取L的一个非零向量?1，取H的两个彼此正交的单位长度向量?2,?3,那么?1,?2,?3是V3的一个基，而σ关于这个基的矩阵是&&&&0?10cos0sin?sin.cos?0&&&&&&&&7.4.3进一步的例子&&&&例7如果W1,W2是两个子空间，那么W1?W2,W1?W2仍是一个子空间.证：1.任取W1?W2,Wi(i?1,2)(?)?Wi(?)?W1?W22.任取W1?W2,Wi(i?1,2)(?)?Wi(?)?W1?W2&&&&&&&&W是f(?)?子空间证：W是子空间，那么&&&&&&&&例8如果W是子空间，那么对任何f(?)?an?n?an?n?1?a1a0I&&&&&&&&?(W)?W2(W)(W)?W&&&&k(W)?W(k?1,2,?,n)?f(?)(W)?W&&&&&&&&例9判定下列子空间在给定的σ下是否为不变子空间&&&&&&&&?:F3?F3,?(x1,x2,x3)?(x1?x2,x1?x2?x3,0),（1）W?{(x1,x2,0)|x1,x2?F}&&&&&&&&?:F3?F3,?(x1,x2,x3)?(0,x1?x2,x2?x3),（2）W?{(x1,x2,0)|x1,x2?F}&&&&&&&&（3）D:F[x]?F[x],D(f)?f?(x),W?Fn[x]（4）J:R[x]?R[x],J(f(x))f(x)dx,W?Fn[x]&&&&x&&&&&&&&解&&&&&&&&0&&&&&&&&(1)是.(x1,x2,0)?W,?(?)?(x1?x2,x1?x2,0)?W&&&&(2)否.(1,1,0)?W,?(?)?(0,2,1)?W(3)是.f(x)?Fn[x](f)?n(f?)?n?1?n(f)?Fn[x]&&&&1n?1x?Rn[x],(4)否.f(x)?x?Rn[x]0xdx?n?1即J(f(x))?W&&&&nxn&&&&&&&&例10σ是V上一个线性变换，W是?1,?2,?,?s生成的子空间：?L(?1,?2,?,?s).则.W&&&&&&&&W是不变子空间(?i)?W(i?1,2,?,s)&&&&证：?(W)?L(?(?1),?(?2),?,?(?s))必要性：W中不变子空间，&&&&?(W)?L(?(?1),?(?2),?,?(?s))?W(?i)?W(i?1,2,?,s)&&&&&&&&充分性：如果W(?i)?W,而L(?(?1),?(?2),?,?(?s))是包含&&&&?(?1),?(?2),?,?(?s)的最小子空间，?(W)?L(?(?1),
?(?2),?,?(?s))?W&&&&&&&&例11&&&&&&&&设σ是V上的线性变换，α是V上的非零向&&&&&&&&量，且?,?(?),?,?k?1(?)线性无关，但?,?(?),?,?k?1(?),?k(?)L线性相关.那么(?,?(?),?,?k?1(?))是包含α的最小不变子空间.证(1)?k(?)可由?,?(?),?,?k?1(?)线性表出,因此k?1L?k(?)?L(?,?(?),?,?k?1(?))这样，(?,?(?),?,?(?))&&&&&&&&的生成元在σ下的象?(?),?2(?),?,?k(?)全部属&&&&于L(?,?(?),?,?k?1(?)).所以L(?,?(?),?,?k?1(?))是一个σ不变子空间&&&&&&&&（2）对任何包含α的不变子空间W，W(?),?2(?),?,?k?1(?)?W故L(?,?(?),?,?k?1(?))?W，即L(?,?(?),?,?k?1(?))包含W的一个最小子空间.&&&&&&&&例12设?1,?2,?3,?4是V的一给基,σ在?1,?2,?3,?4下的矩阵为&&&&?1?1?12??2?2?1?&&&&&&&&求包含?1的最小子空间.&&&&&&&&?1,?(?1),?2(?1)的坐标为（用“()”表示解算取坐标）&&&&?1100?(?1)?,(?(?1))?A(?1)?,02?01?&&&&&&&&?1100?2(?(?1))?A(?(?1))?A?23?14?&&&&&&&&(?1),(?(?1)),(?2(?1))在F4中线性无关&&&&&&&&?1?1000?32(?(?1))(?(?1))?A39?4?1?&&&&&&&&?1,?(?1),?2(?1),?3(?1)的坐标排成的行列式为：&&&&00?&&&&&&&&因此&&&&&&&&11?2(?1)1?2??3?3?4?4?&&&&&&&&L?1,?2,?3?是包含?1的最小子空间.注意到?1,?2,?3与?1,?3,?4是等价向量组，因此&&&&L?1,?2,?3L(?1,?3,?4)&&&&&&&&一.内容分布7.5.1引例7.5.2矩阵特征值和特征向量的定义7.5.3特征值和特征向量的计算方法7.5.4矩阵特征值和特征向量的性质二.教学目的1.理解特征值和特征向量的概念2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质三.重点难点矩阵的特征值和特征向量的求法及性质&&&&&&&&7.5.1引例&&&&在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设x0是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测y量单位)，0是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位).若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为x1和y1.它们之间的关系为&&&&&&&&?x1?3x0?y0(1)y1?2x0?2y0&&&&写成矩阵形式，就是&&&&&&&&?x131x0?y22y?(2)01&&&&&&&&?x1?记?1y1?&&&&&&&&?x031?，?0?，A?22?，y0?&&&&&&&&即(2)式可写成?1?A?0(3)设当前的&&&&&&&&?0?(1,1)&&&&&&&&T&&&&&&&&，则&&&&&&&&?x1?44?1?.1&&&&即A?0?4?0，由此可以预测若干年后的污染水平与工业发展水平。由上例我们发现，矩阵A乘以向量?0恰好等于?0的4倍，倍数4及向量?0即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量.&&&&&&&&7.5.2特征值和特征向量的定义&&&&定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是F中的一个数，如果存在V中非零向量α，使得A那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量.&&&&&&&&?31?例A?22&&&&?31141?解:因221?44?1&&&&&&&&注1：α是A的属于λ的特征向量，则&&&&&&&&?c(c?0)，cα也是A的属于λ的特&&&&征向量&&&&&&&&?31的一个特征值，?1?是A的属于4的特征向量.A所以4是?221?&&&&&&&&?313123?又223?124?3&&&&?3?故也是A的属于4的特征向量.?3?&&&&&&&&1练习1?)解：C.?22?16?2?A.61?2k1(1)如果向量是矩阵的特征向量，&&&&&&&&B.D.2则k=__________&&&&&&&&?1???&&&&&&&&?131?(2)设Ak1，下列向量中可以成为A的1k?1?(1)解：?22?3?k&&&&&&&&特征向量的是（&&&&?1?A.?2?&&&&&&&&?1213?&&&&）&&&&&&&&?1?&&&&&&&&?2&&&&&&&&√&&&&&&&&3?B.?2?&&&&&&&&?4?C.1?&&&&&&&&?0?D.?1?&&&&&&&&7.5.3特征值和特征向量的计算方法&&&&1?&&&&λ是A的特征值&&&&&&&&0.使A&&&&&&&&?0.(?I?A)0.?(?I?A)X?0有非零解?I?A?0.&&&&λ是注2：A的特征值&&&&&&&&?λ是方程&&&&&&&&?I?A?0的根.&&&&&&&&2?&&&&&&&&α是A属于λ的特征向量&&&&&&&&?0且A?0.(?I?A)0.是(?I?A)X?0的非零解。&&&&&&&&注3：α是A属于λ的特征向量是(?I?A)X?0的非零解。&&&&&&&&?a11a12a21a22定义2：Aa?n1an2&&&&&&&&?a1n?a2nann&&&&&&&&a11&&&&?a21fA(?)I?A?an1&&&&&&&&?a12?a22an2&&&&&&&&?a1n?a2n?&&&&&&&&?ann&&&&&&&&称为A的特征多项式。?I?A?0称为A的特征方程，&&&&&&&&?I?A称为A的特征矩阵。&&&&&&&&例1设&&&&&&&&?13?A?，求A的全部特征值、特征的量。?22?&&&&&&&&解：1?A的特征多项式为&&&&?I?A?1&&&&?2?3&&&&&&&&2&&&&&&&&2?34?(4)(1)?0&&&&&&&&A的特征值为?1?4，?2＝－1&&&&&&&&2对于?1?4,解(4I?A)X?0&&&&?&&&&&&&&即&&&&&&&&?3?3x1x0222?&&&&&&&&?3?31?11?由于2?2?00?得基础解系?11?&&&&&&&&A的对应于?1?4的全部特征向量为c1?1(c1?0)&&&&&&&&对于?21,解(?I?A)x?0&&&&即由于&&&&2?3x1x02?32?&&&&32??&&&&&&&&得基础解系&&&&&&&&?3?221?&&&&&&&&A的对应于?21的全部特征向量为c2?2(c2?0)&&&&&&&&注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：&&&&&&&&?1?3?一类为c1(c1?0)，一类为c2?12?&&&&问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？&&&&&&&&问题2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如&&&&何？&&&&&&&&求A的全部特征值和特征向量的方法：&&&&1.计算特征多项式?I?A2.求特征方程?I?A?0的所有根，即得A的全部特征值3.对于A的每一个特征值?i，求相应的齐次线性方程组(?iI?A)X?0的一个基础解系?i1,?i2,?,?is，则A的属于?i的全部特征向量为&&&&&&&&?1,?2,?,?n&&&&&&&&c1?i1?c2?i2?cs?is（c1,c2,?,cs&&&&&&&&不全为零&&&&&&&&）&&&&&&&&?001?例2：求矩阵A010?的特征值和特征向量。?100?&&&&&&&&解&&&&&&&&A的特征多项式&&&&I?A?0&&&&?10?10?(1)2(1)&&&&&&&&1&&&&0&&&&&&&&?&&&&&&&&?A的特征值为?12?1，31.&&&&?10?对于?12?1，解?x3&&&&&&&&?10?110?1?000??&&&&?01?得基础解系:?11?,?2001?&&&&&&&&A的属于特征值1的全部特征向量为c1?1?c2?2(c1,c2不全为零)&&&&10?1101?对于?31，解?0?20?010?10?1000?&&&&1?得基础解为?301?&&&&&&&&A的属于特征值C1的全部特征向量为c3?3(c3?0)&&&&&&&&7.5.4特征向量和特征值的性质&&&&性质1A与A?有相同的特征值&&&&分析：要证A与A?有相同的特征值&&&&&&&&只须证fA(?)?fA?(?)&&&&注意到|?I?A|?|(?I?A)?|?|?I?A?|&&&&&&&&性质2A的属于不同特征值的特征向量线性无关。性质3A的主对角线上的元素的和称为A的迹，记作&&&&Tr(A)，则&&&&&&&&Tr(A)12n|A|1?2n&&&&&&&&注意到&&&&a11&&&&fA(?)?|?I?A|a21?an1?a12?a1n?a2n&&&&（*）&&&&&&&&a22&&&&?an2&&&&&&&&a11a22?ann?n?(a11?a22?ann)?n?1&&&&&&&&ann&&&&&&&&fA(?)?|?I?A|?(?1)(?2)?(?n)&&&&n?(?12n)?n?1（**）&&&&&&&&?(?1)?1?2n&&&&n&&&&&&&&在（*）和（**）中令λ=0&&&&&&&&|?A|?(?1)n|A|?(?1)n?1?2n&&&&&&&&?31?练习：求A?22?的特征值，特征向量。?&&&&&&&&解：A的特征多项式为&&&&fA(?)?|?I?A|?&&&&&&&&3&&&&?2&&&&&&&&?1&&&&&&&&2&&&&&&&&2?54?(1)(4)&&&&&&&&所以A的特征值为?1?1,?2?4对于?1?1，解&&&&?1?2?1x10,得?1?2?2?1x21?&&&&&&&&?1?1x11?对于?2?4，解?22x0,?21?2?&&&&&&&&小结&&&&1、定义1：设A是一个n阶矩阵，λ是F中的一个数，如果存在V中非零向量α，使得A那么称λ为矩阵A的一个特征值，α称为A属于特征值λ的特征向量.&&&&&&&&?λ是方程?I?A?0的根.3、α是A属于λ的特征向量是(?I?A)X?0的非零解。&&&&2、λ是A的特征值&&&&&&&&4、求A的全部特征值和特征向量的方法：&&&&1.计算特征多项式2.求特征方程?I?A?0的所有根，即得A的全部特征值?1,?2,?,?n3.对于A的每一个特征值&&&&&&&&的一个基础解系?i1,?i2,?,?is，则A的属于?的全部特征向量i为c1?i?c2?i?cs?i（c,c,?,c不全为零）&&&&12s&&&&&&&&(?iI?A)X?0&&&&1&&&&&&&&?i，求相应的齐次线性方程组&&&&&&&&2&&&&&&&&s&&&&&&&&5、3个性质。&&&&&&&&作业：P296&&&&&&&&1、（i）（iii）&&&&&&&&思考题：矩阵A的特征值由特征向量唯一确定吗？为什么？&&&&&&&&7.6可以对角化矩阵&&&&一、内容分布7.6.1什么是可对角化7.6.2本征向量的线性关系7.6.3可对角化的判定7.6.4矩阵对角化的方法及步骤二、教学目的1．掌握可对角化的定义与判断．2．熟练掌握矩阵对角化的方法步骤．三、重点难点可对角化的判断与计算。&&&&&&&&7.6.1什么是可对角化&&&&设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶逆矩阵T，使得T?1AT具有对角形式（1）&&&&100?00?20?00000?n&&&&&&&&(1)&&&&&&&&则说矩阵A可以对角化.我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性变换来研究矩阵.矩阵A可以对角化对应到线性变换就是:&&&&&&&&设σ是数域F上n(n?1)维向量空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式(1),那么说，σ可以对角化.&&&&很容易证明,σ可以对角化的充分必要条件是σ有n个线性无关的本征向量.这n个线性无关的本征向量显然构成V的基.因此，我们需要进一步研究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下σ有n个线性无关的本征向量.&&&&&&&&7.6.2本征向量的线性关系&&&&定理7.6.1令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果?1,?2,?,?n分别是σ的属于互不相同的特征根?1,?2,?,?n的特征向量，那么?1,?2,?,?n线性无关.证我们对n用数学归纳法来证明这个定理当n=1时，定理成立。因为本征向量不等于零。设n1并且假设对于n－1来说定理成立。现在设?1,?2,?,?n是σ的两两不同的本征值，?是属于i本征值?i的本征向量：&&&&(2)&&&&&&&&?(?i)i?i,i?1,2,?,n.&&&&&&&&如果等式&&&&(3)a1?1?a2?2?an?n?0.ai?F,&&&&a1?n?1?a2?n?2?an?n?n?0.&&&&&&&&成立，那么以?n乘（3）的两端得&&&&(4)&&&&&&&&另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，注意到等式（2），我们有(5)a1?1?1?a2?2?2?an?n?n?0.（5）式减（4）式得a1(?1n)?1?a2(?2n)?2?an?1(?n?1n)?n?1?0.&&&&?根据归纳法假设，1,?2,?,?n?1线性无关，所以ai(?in)?0,i?1,2,?,n?1.&&&&&&&&但?1,?2,n两两不同，所以a1?a2?an?1?0.代入（3），因为?n?0,所以an?0.这就证明了?1,?2,?,?n线性无关。□&&&&&&&&推论7.6.2设σ是数域F上向量空间V的一个线性?变换，1,?2,n是σ的互不相同的本征值。又设?i1,?,?isi是属于本征值?i的线性无关的本征向量,i?1,?,t,那么向量?11,?,?1s1,?,?t1,?,?tst线性无关.&&&&证先注意这样一个事实：σ的属于同一本征值λ的本征向量的非零线性组合仍是σ的属于λ的一个本征向量。&&&&&&&&现在设存在F中的数a11,?,a1s1,?,at1,?,atst,使得&&&&&&&&a11?11?a1s1?1s1?at1?t1?atst?tst?0.&&&&令&&&&则&&&&&&&&?i?ai1?i1?aisi?isi,i?1,?,t.&&&&&&&&?1t?0.&&&&&&&&由上面所说的事实，如果某一?i?0，则?i是σ的属于本征值?i的本征向量。因为?1,?2,t互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有?i?0,i?1,2,?,t.即&&&&ai1?i1?aisi?isi?0,i?1,?,t.&&&&&&&&然而?i1,?,?isi线性无关，所以&&&&&&&&ai1?aisi?0,i?1,?,t.&&&&即?11,?,?1s1,?,?t1,?,?tst线性无关。□&&&&&&&&7.6.3可对角化的判定&&&&定理7.6.3令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果σ的特征多项式f?(x)在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使σ就关于这个基的矩阵是对角形式.证这时σ的特征多项式f?(x)在F[x]内可以分解为线性因式的乘积：f?(x)?(x1)(x2)?(xn),&&&&&&&&?i?F且两两不同。对于每一个?i,选取一个本征?向量?i,i?1,?,n.由定理7.6.1,1,?2,?,?n线性无关，因而构成V的一个基,σ关于这个基的矩阵是&&&&&&&&100?00?20?0.?000?n&&&&&&&&将上面的定理转化成矩阵的语言,就是:&&&&&&&&定理7.6.4令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的&&&&特征多项式fA(x)在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T，使&&&&100?00?20?01TAT0000?n&&&&&&&&注意：推论7.6.4的条件只是一个n阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件。下面将给出一个n阶矩阵对角化的充分必要条件。定义：设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，λ是σ的一个特征根，令则有因而是V的一个子空间.这个子空间叫做σ的属于特征根λ的特征子空间.&&&&&&&&V{V|?(?)?}VKer()&&&&&&&&现在令V是数域F上一个n维向量空间，而σ是V的一个线性变换，设λ是σ的一个本征值，?是σ的V属于本征值λ的本征子空间，取V?的一个基?1,?,?s并且将它扩充为V的基，由7.4，σ关于这个基的矩阵有形如&&&&&&&&IsA?O?&&&&&&&&A1A2&&&&&&&&这里Is是一个s阶的单位矩阵。因此，A的特征多项式是&&&&&&&&fA(x)?&&&&&&&&(x)IsO&&&&&&&&?A1xIn?s?A2&&&&&&&&?(x)sdet(xIn?a?A2)?(x)sg(x)&&&&由此可见，λ至少是fA(x)的一个s重根。如果线性变换σ的本征值λ是σ的特征多项式f?(x)的一个r重根，那么就说，λ的重数是r。设λ是σ的一个r重本征值，而σ的属于本征值λ的本征子空间的维数是s。由以上的讨论可知：?r,即sσ的属于本征值λ的本征子空间的维数不能大于λ的重数。&&&&&&&&定理7.6.5令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，σ可以用对角化的充分且必要的条件是(i)σ的特征多项式的根都在F内;(ii)对于σ的特征多项式的每一根λ,特征子空间V?的维数等于λ的重数.&&&&?证设条件(i),(ii)成立，1,?2,?,?t令是σ的一切不同的本征值，它们的重数分别是s1,s2,?,st，有&&&&s1?s2?st?n&&&&&&&&dimV?i?si,i?1,2,?,t&&&&&&&&在每一个本征子空间V?i里选取一个基?i1,?,?isi。&&&&&&&&?由推论7.6.2，11,?,?1s1,?,?t1,?,?tst线性无关，因而构成V的一个基，σ关于这个基的矩阵是对角形式：&&&&1?1?t00ts1个?st个&&&&&&&&(6)&&&&&&&&反过来，设σ可以对角化，那么V有一个由σ的本征向量所组成的基。适当排列这一组基向量的次序，?11,?,?1s1,?,?t1,?,?tst可以假定这个基是&&&&&&&&而σ关于这个基的矩阵是对角形（6）。于是σ的特征多项式&&&&&&&&f?(x)?(x1)s1?(xt)st&&&&因此σ的特征多项式的根?1,?2,?,?t都在F内，并且?i的重数等于si,i?1,2,?,t。然而基向量?i1,?,?ist显然是本征子空间V?i的线性无关的向量,所以si?dimV?i.但dimV?i?si&&&&&&&&因此dimV?i?si,i?1,2,?,t&&&&&&&&□&&&&&&&&将上面的定理转化成矩阵的语言,就是:推论7.6.6设A是数域F上一个n阶矩阵，A可以对角化的充分必要条件是(i)A的特征根都在F内;(ii)对于A的每一特征根λ，秩(?I?A)?n?S这里S是λ的重数.□例1矩阵&&&&&&&&?11?A?01不能对角化，因为A的特征根I是二重根，而秩（I－A）=1.&&&&&&&&7.6.4&&&&&&&&矩阵对角化的方法及步骤&&&&&&&&１．先求出矩阵A的全部特征根.２．如果A的特征根都在F内，那么对于每一特征根λ，求出齐次线形方程组&&&&?x10x20?(?I?A)x0n?&&&&&&&&的一个基础解系.３．如果对于每一特征根λ来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于λ的&&&&&&&&重数，那么A可对角化，以这些解向量为列，作一个n阶矩阵T，由定理7.6.5的证明可知，T的列向量线形无关，因而是一个可逆矩阵，并且T?1AT是对角形矩阵.&&&&2?13例2矩阵A?2?2236?1?&&&&&&&&的特征多项式是&&&&x?32?3?2x?2?61?2?x3?12x?16?(x?2)2x?1&&&&&&&&特征根是2，2，－4.&&&&&&&&对于特征根－4，求出齐次线性方程组7?21x102?2?2x2?0?3?6?3x03?&&&&2?1?,?,1?的一个基础系?3?3?&&&&&&&&对于特征根2，求出齐次线性方程组&&&&?2x2?0?3x30&&&&&&&&的一个基础解系{(?2,1,0),(1,0,1)}.&&&&&&&&由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以A可以对角化.取&&&&?132T3?1201001?&&&&&&&&那么&&&&&&&&4001TAT020002?&&&&&&&&
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