第九章 异方差时间序列模型Contents第一节 第二节 第三节 第四节 问题的提出 ARCH模型 模型 GARCH模型 模型 其他GARCH模型 其他 模型第一节 问题的提出在自回归移动平均模型中，我们主要讨论平稳时间 序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一 时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同
时假 定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差， 即同方差。 ? 但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样 的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小 的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、 Fama,1965)。波动集群性表明股票报酬波动是时变的， 表明是异方差。 ? 异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的 无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区 间。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，xt = xt ?1 + ut其中ut为白噪声过程。年日元兑美元汇率 时间序列及差分序列见图1和图2。1606JPY ()4 2 0D(JPY) ()140120-2100-4 -680 200 400 600 800 00-8 200 400 600 800 00图1 日元兑美元汇率序列JPY()图2日元兑美元汇率差分序列(收益)D(JPY)8 Volatility of returns60 50640DJPY^2430 202100 200 400 600 800 000 200 400 600 800 00图3 收益绝对值序列 ()图4 D(JPY)的平方 ()这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化， 而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波 动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段 中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布 看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特 征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余 区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。 图6给出一个高峰厚尾分布实例。200Series: NDZ Sample 2 661 Observations 660150Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -4.37E-17 0.......000100500 -4 -2 0 2 4 6显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类 关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型 自回归条件异方差（ ） 自回归条件异方差 （Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1） 通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所 带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以 预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异 方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有 效性。为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：yt = γ 0 + γ1x1t +L + γ k xk t + ut L(1)如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的 期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：Et ?1 ( yt ) = γ 0 + γ 1 x1t + γ 2 x2t +L+ γ k xkt(2)由于yt的均值近似等于式（1）的估计值，所以式 （1）也称为均值方程。假设在时刻 ( t ?1 ) 所有信息已知的条件下，扰动 项ut的条件分布是：ut ~ N 0 , (α0 +α1ut2?1) (3)()也就是，ut遵循以0为均值，(α0+α1u2t-1 )为方差的正 态分布。 由于(3)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们 称它为ARCH(1)过程：var(ut ) = σ = α0 +α u2 t2 1 t ?1通常用极大似然估计得到参数γ0, γ1, γ2, ……, γk, α0, α1的有效估计。第二节 ARCH模型一、ARCH模型的定义 模型的定义若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p) 形式，其 随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型 描述， （1） xt = β 0 + β1 xt ?1 + β 2 xt ? 2 + ... + β p xt ? p + utσ t2 = E (ut2 ) = α 0 + α1ut2?1 + α 2ut2? 2 + ... + α q ut2? q（2）则称ut 服从q阶的ARCH过程，记作ut?ARCH (q)。 其中(1) 式称作均值方程，(2) 式称作ARCH方程。(1) 和 (2) 式还应满足如下条件。对于 (1) 式，为保证 平稳性，特征方程 1 ? β1 L + β 2 L2 + ... + β p Lp = 0 的根应在单位圆之外。xt 的条件期望是E ( xt xt ?1 ,..., xt ? p ) = β 0 + β1 xt ?1 + β 2 xt ? 2 + ... + β p xt ? pxt 的无条件期望（T→∞ 时）是 T→∞ β0 E ( xt ) = 1 ? β1 ? L ? β p 对于 (2) 式，由于ut2 的非负性，对αi应有如下约束， α 0 & 0, α i ≥ 0, i = 1,2,..., q σ t2 = α 0 。因为方 当全部αi = 0, i = 1, 2, …, q时，条件方差 σ t2是一个平稳过程， 差是非负的，所以要求α0 & 0。为保证 (2) 式的特征方程1 ? α1 L + α 2 L2 + ... + α q Lq = 0 的根应在单位圆之外。对αi, i = 1, 2, …, q的另一个约束是0 ≤ α1 + α 2 + ... + α q & 1 对（2）式求期望的：σ t2 = α 0 + α1 E (ut2?1 ) + α 2 E (ut2?2 ) + ... + α q E (ut2? q )= α 0 + α1σ t2?1 + α 2σ t2? 2 + ... + α qσ t2? q 当T→∞时： σ t2 = α 0 + α1σ 2 + α 2σ 2 + ... + α qσ 21 ? ∑i =1α i 2 可见若保证 σ t 是一个平稳过程，应该有约束0 ≤ (α1+α2+ …+αq)&1。 因为Var(xt)=Var(ut)= σ t2，所以上式可以用来预测xt的方差。q则无条件方差为：σ =21α0二、 ARCH模型的极大似然估计 模型的极大似然估计其中β=(β0 β1, …, βk-1)‘, xt=(1 x1, …, xk-1)’（xt的分 量也可以包括yt的滞后变量），ut?ARCH (q)。为计算方 便，假定已知yt , xt的T+q组观测值，从而保证估计参数 所用的样本容量为T。ut?ARCH (q)可以表示为： ARCH模型经常应用在回归模型中。 ' yt = x t β + u tut = ht vt其中vt?IID(0, 1)，vt与xt相互独立，2 2 所以有 σ t = E (ut ) = ht ，E(ut) = 0。yt服从正态分 布，概率密度函数为ht = α 0 + α 1u t2?1 + α 2 u t2? 2 + ... + α q u t2? q1 ( yt ? x t ' β ) 2 exp(? ) f ( yt xt , α i , β ) = 2ht 2πht 其中：ht = α 0 + α1 ( yt ?1 ? xt' ?1β ) 2 + α 2 ( yt ?2 ? xt' ?2 β )2 + ... + α q ( yt ?q ? xt' ?q β ) 2用参数β和α=(α0 α1 α2 … αq )' 组成参数向量γ， = ( ) γ 对数似然函数是:log L(r ) = ∑ log f ( yt γ )t =1 Tβ α大值。求log L(γ) 对 γ 的偏导数，T 1 T 1 T ( yt ? x t ' β ) 2 = ? log(2π ) ? ∑ log(ht ) ? ∑ 2 2 t =1 2 t =1 ht 求γ的极大似然估计量就是求 γ?使 logL(γ) 在γ= γ? 处获得极? log L(r) 1 T ? loght 1 T 1 ?( yt ? xt ' β )2 ( yt ? xt ' β )2 ?ht =? ∑ ? ∑[ ] ? 2 ?γ 2 t =1 ?γ 2 t =1 ht ?γ ht ?γ 1 T 1 ?ht 1 ?( yt ? xt ' β )2 ut2 ?ht ] = ∑[? ? + 2 2 t =1 ht ?γ ht ht ?γ ?γ 1 T ut2 ? ht ?ht 1 ?( yt ? xt ' β )2 = ∑[ 2 ? ] 2 t =1 q ht ?γ ht ?γ?ht = ?γ ? (α 0 + ∑ α j ut ? j )2 j =1?γq ?ut2? j ?α 0 q ?α j 2 = +∑ ut ? j + ∑ α j ?γ ?γ j =1 ?γ j =1q ? ? 0? ? 0 ? ? 0 ? ? 2 xt ? j ut ? j ? ? ? 2∑ α j xt ? j ut ? j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j =1 0 ? q 1? ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ?0? + ?u2 ? + ? 0 ? + α ? ?=? ? = 0 ? ∑ j? ut2?1 ? ? ? t ?1 ? ? ? ? ? M ? j =1 ? M ?M? ? M ? ? ? ? ? M ?u2 ? ?0? ? 0 ? ? ? ? ? 0 2 ? ? ? ? ? t ?q ? ? ? ? ? ut ? q ? ?? ? ? T ? 2 ? ( yt ? xt' β ) 2 ?u ? h = ∑? t 2 t ?γ ht t =1 ? ? ? ? ?? ? q ?- 2∑ α jx t - j ut - j ? ? ? j=1 1 ? 1 ? 2 ?? ? ut ?1 ? ht ? M ? ? 2 ? ? ut ? q ? ?? ? ? ?? 2 x t ut ? ? ? ? 2 xt ut ? ? ? 0 ?? = ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?γ 在上式为零条件下求到的 γ? 即是 γ 的极大似然估计量。? 具有一致性。三、 ARCH模型检验 模型检验在均值方程（回归模型或时间序列模型）的误差 项中是否存在自回归条件异方差应该进行假设检验。检 验ARCH可以使用F、LM、LR、W统计量。下面介绍F、 LM检验。 1、自回归条件异方差的LM检验。 ① 建立原假设 H0：α1=α2=…= αq=0 （不存在ARCH） α ARCH H1：α1, α2 , …, αq 不全为零 在原假设成立条件下，OLS估计量是一致的、有效 的；在备择假设成立条件下，OLS估计量是一致的，但 不是有效的。 先介绍使用LM统计量检验H0。因为计算LM统计 量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤 是：yt = x 't β + ut ，求u t ，计算 u t2。 ? ? ② 估计 ③ 估计辅助回归式? u t2 = α0? ? ? + α 1 u t2? 1 + α 2 u t2? 2 + ... + α q u t2? q + v t④ 用第3步得到的可决系数R2构成统计量LM = T R2。其 中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有LM = TR 2 ~ χ 2 ( q ) 2 若LM& χ α ( q ) ，接受H0。 (q 2 若LM & χ α ( q ) ，接受H1。注意：辅助回归式中要有常数项α0。 注意：2、自回归条件异方差的F检验。 ① 建立原假设 H0：α1=α2=…=αq=0 （不存在ARCH） H1：α1, α2 , …, αq不全为零 u t ，计算 ut2。 ? ② 估计yt= xt‘β+ut，求 ? ?t2估计2个辅助回归式 ③ 用u ? 约束模型，同方差） （约束模型，同方差） ut2 = α 0 + vt? ? ? ut2 = α 0 + α1ut2?1 + α 2ut2? 2 + ... + vt （非约束模型，存在 非约束模型，存在ARCH） ）④ 构造F统计量，在原假设成立条件下有( SSEr ? SSEu ) / q F= ~ F( q ,T ? q ?1) SSEu /(T ? q ? 1)注意：辅助回归式中要有常数项α0。 注意： 若F & Fα,(q,T–q-1)，接受H0。 若F & Fα,(q,T-q-1)，接受H1。3、自回归条件异方差的LR检验。 ① 建立原假设 H0：α1=α2=…=αq=0 （不存在ARCH） H1：α1, α2 , …, αq不全为零 u t ，计算ut2。 ? ② 估计yt= xt‘β+ut，求 ? ?t2估计2个辅助回归式，并计算极大似然函数 ③ 用u 值LogLr和LogLu? ut2 = α 0 + vt （约束模型，同方差） 约束模型，同方差） ? ? ? ut2 = α 0 + α1ut2?1 + α 2ut2? 2 + ... + vt （非约束模型，存在 非约束模型，存在ARCH） ）r u④ 用LogLr和LogLu构造LR统计量，在原假设成立条 件下有 LR = ?2(log L ? log L ) ~ χ 2 ( m)若 LR & χ (m) ，接受H0。 若 LR & χ 2 (m) ，接受H1。2如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH 模型的阶数q进行检验。对此可采用t检验。4、自回归条件异方差的Q检验。 残差平方意味着方差，若存在自相关，说明存在 自回归条件异方差。四、ARCH模型检验（EViews操作案例） 模型检验（ 操作案例） 模型检验 操作案例0.8日元兑美元汇率值（1427个）序列（JPY）见图。 极小值为81.12日元，极大值为147.14日元。其均值为112.93 日元，标准差是13.3日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑 1美元。1998年8月达到147.14日元兑1美元。JPY显然是一个 非平稳序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益，见图9.2。因 D(JPY) D(JPY) 为D(JPY)是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。150 JPY 140 130 120 110 100 90 80 250 500 750
2 0 -2 -4 -6 -8 250 500 750
D(JP Y)通过相关图和偏自相关图分析，应该建立 AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下：? DJPYt = 0.0541DJPYt ? 2 ? 0.0859 DJPYt ?3 + ut (2.0) (-3.3)R2=0.01，DW=1.91，Q(15)=8.66 D(JPY) Residuals 4 2 0 -2 -4 -6 -8 250 500 750
方法1： 方法 ：通过Q检验考察AR(3) 模型中是否存在自回归条件异 方差。方法2： 方法 ：ARCH的LM检验。 在均值方程估计窗口， 检验。 阶检验式检 在均值方程估计窗口，选ARCH的LM检验。用1阶检验式检 的 检验 验。 ? ? ut2 = 0.685 + 0. (9.4) (9.9) R2=0.0643,T=1423( SSEr ? SSEu ) / m (10173.1 ? ) / 1 F= = = 97.59 SSEu /(T ? K )
/(1423 ? 2) TR 2 = 1421× 0.0643 = 91.42.4 检验是否存在 ARCH 效应的 EViews 操作（案例日元对美元汇率的建模研究） 操作（案例日元对美元汇率的建模研究） 检验和 检验。 方法 3、4：自回归条件异方差的 F 检验和 LR 检验。 、 ： 检验和 检验（命令： 用残差平方序列 1 阶自回归检验式做参数约束的 F 检验和 LR 检验（命令：sqres(-1)） ） 。 F=( SSE r ? SSEu ) / m (10173.10 ? ) / 1 = = 97.5 & F0.05 (1, 1422-2) = 3.8， ，
/(1422 ? 2) SSEu /(T ? k )过程。 接受 H1，残差为 ARCH 过程。~ ~ ? ? LR = - 2[logL( β , σ 2 )-log L( β , σ 2 )]= - 2(--(-)) = 94.45检验， 过程。 用残差平方序列 2 阶自回归检验式做参数约束的 F 检验， 结论同样是残差为 ARCH 过程。例 中国CPI模型的ARCH检验 中国CPI模型的 模型的ARCH检验本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上 年同月=100）减去100，记为cpit；解释变量选择货币政策变 量：狭义货币供应量M1的增长率，记为m1rt；3年期贷款利 率，记为Rt，样本期间是1994年1月～2007年12月。由于是月 度数据，利用X-12季节调整方法对 cpit 和 m1rt 进行了调整， X-12 结果如下：? cpit = 1.35cpit?1 ? 0.36cpit?2 + 2.68× m rt ?1 ? 0.06Rt ?2 + ut 1t = (19.5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 对数似然值 = -167.79 AIC = 2.045 SC =2.12这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。 但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的 “成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些 时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。因此计算残差平方?t2的自相关（AC）和偏自相关 （PAC）系数，结果如下：从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列 存在着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCH LM 检验，得到了在滞后阶数p = 1时的ARCH LM检验结果：从自相关系数和偏自相关系数可以看出： 从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶 ARCH效应。因此利用 效应。 模型重新估计模型， 效应 因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下： 模型重新估计模型 结果如下： 均值方程： 均值方程：? cpit =1.088cpit ?1 ? 0.13cpit ?2 + 3.098m rt ?1 ? 0.062Rt ?2 + ut 1z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85)方差方程： 方差方程：? ? σt2 = 0.186 + 0.648ut2?1z = (5.03) (3.214) R2=0.99 对数似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值 项的系数是统计显著的， 方差方程中的 项的系数是统计显著的 有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明 值都变小了， 有所增加，同时 和 值都变小了 这说明ARCH(1)模型能够更 模型能够更 好的拟合数据。 好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到 再对这个方程进行条件异方差的 检验， 检验 了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果： 时的统计结果： 了残差序列在滞后阶数 时的统计结果此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列 ，接受原假设， 此时的相伴概率为 不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了残差序列 不存在 效应，说明利用 模型消除了残差序列 效应 的条件异方差性。残差平方相关图的检验结果为： 的条件异方差性。残差平方相关图的检验结果为：自相关系数和偏自相关系数近似为0。 自相关系数和偏自相关系数近似为 。这个结果也说明 了残差序列不再存在ARCH效应。 效应。 了残差序列不再存在 效应第三节 GARCH模型 模型一、GARCH模型定义 模型定义扰动项ut的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量（特别 是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。 因此 必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是 如果我们能够意识到方差方程不过是σt2的分布滞后模型，σ =α0 +α u +α u +L +α u L2 t 2 1 t ?1 2 2 t ?22 p t?p我们就能够用一个或两个σt2的滞后值代替许多ut2的滞后值， 这就是广义自回归条件异方差模型(Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity model，简记 为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设 定：一个是条件均值，另一个是条件方差。在标准化的GARCH(1,1)模型中：= xt′γ + ut 2 2 2 方差方程：σt = ω +αut ?1 + λσt ?1均值方程： yt 其中：xt是 (k+1)×1维外生变量向量，γ是(k+1)×1维系 数向量。 均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。 由于σt2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以 它被称作条件方差，也被称作条件方差方程 。条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）：ω 2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度 量从前期得到的波动性的信息：ut-12（ARCH项）。 3．上一期的预测方差： σt2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的 GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项 （括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是 GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方 差方程中不存在滞后预测方差σt2-1的说明。在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假 定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于 GARCH(1,1)，t 时期的对数似然函数为： 1 1 1 2 lt = ? ln( 2 π) ? ln σt ? ( yt ? xt γ)2 / σt2σt2 = ω +α( yt ?1 ? xt ?1γ)2 + λσt2?1 = ω +αut2?1 + λσt2?1 其中这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或 贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的 预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动 性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降 的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差 的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到 的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进 一步的巨大变化。222有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这 个模型： 1．如果我们用条件方差的滞后递归地替代方差方 程的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的 ∞ 加权平均： ωσ =2 t(1? β )+α∑φ u .j =1 j ?1 2 t? j我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似， 但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条 件方差。2．设vt= ut2?σt2。用其替代方差方程中的方差并整 理，得到关于扰动项平方的模型：ut2 = ω + (α + λ)ut2?1 + vt ? λvt ?1.因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1, 1)过程。 决定波动冲击持久性的自回归的根是α加λ的和。在很多 情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。高阶GARCH(p, q)模型 高阶 模型高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到 估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：q pσ = ω + ∑λjσ2 t j =12 t? j 2 t+ ∑α ui=12 i t ?i 2 t= α0 +α(L)u + λ(L)σ这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数， p&0并且, α(L)和λ(L)是滞后算子多项式。为了使GARCH(q, p)模型的条件方差有明确的定 义，相应的ARCH(∞)模型σt2 = θ0 +θ (L)ut2的所有系数都必须是正数。只要α(L)和λ(L)没有相同 的根并且λ(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当 θ0=α0/(1-λ(L))，θ(L)=α(L)/(1-λ(L))的所有系数都非负 时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于 GARCH(1, 1)模型σt2 = ω +αut2?1 + λσt2?1这些条件要求所有的3个参数都是非负数。其他GARCH模型 第四节 其他 模型一、 IGARCH模型 模型对于ARCH(p) 模型和GARCH(p,q) 模型，在实际应用 q 中，条件0 ≤ ∑i =1α i ≤ 1q（保证可以转换成无限阶的ARCH过程）p0 ≤ ∑i =1α i + ∑i =1 λi ≤ 1（保证GARCH过程平稳 ）有时不能得到满足。下面以GARCH(1,1)模型为例进行 讨论。? λ 用α、 ?分别表示对α1, λ1的估计。有时会出现 ? ? α + λ ≈1 ? 甚至， + λ &1。例如Engle-Chowdury（1992）对IBM收 α ? 益率序列估计时，得如下结果，σ2 = α0 +α1ut2?1 + λ1σt2?1? ? yt = 0.00056 + ut ? ? ? ? σt2 = α0 + 0.053ut2?1 + 0.953σt2?12．回推 在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值 模型的回推初始方差时， 在计算 模型的回推初始方差时 来计算均值方程中的残差， 来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子2 2 ? ?2 σ 0 = u0 = λT σ 2 + (1? λ)∑λT ? j?1 (uT ? j ) j =0 T（6.1.30） ）其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计： 其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：1 T 2 ? ? σ 2 = ∑ut T t =1始化GARCH过程： 过程： 始化 过程2 2 ? σ 0 = u0 = σ 2（6.1.31） ）平滑参数λ为 至 之间的数值 之间的数值。 平滑参数 为0.1至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初（6.1.32） ）6.1.6 GARCH模型的残差分布假设 GARCH模型的残差分布假设 在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间 在实践中我们注意到，许多时间序列， 序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。 序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更 精确地描述这些时间序列分布的尾部特征， 精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项 ut的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般 的分布进行假设。 模型中的扰动项的分布， 模型中的扰动项的分布 会有3个假设 正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分 个假设： 会有 个假设：正态（高斯）分布、学生 分布和广义误差分 ）。给定一个分布假设 布（GED）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极 ）。给定一个分布假设， 模型常常使用极 大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布 种分布， 大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的θ 代表参数向量。 代表参数向量。 1．对于扰动项服从正态分布的 模型， ．对于扰动项服从正态分布的GARCH(1, 1)模型，它 模型 的对数似然函数为T 1 T 1 T 2 （ ） ln L(θ) = ? ln( 2 π) ? ∑ln σt ? ∑( yt ? xt′γ)2 σt2 6.1.33） 2 2 t =1 2 t =1的条件方差。 这里的σt2是ut的条件方差。2．如果扰动项服从学生t分布，GARCH(1, 1)模型的对数似 ．如果扰动项服从学生 分布 分布， 模型的对数似 然函数的形式就是T ?π(k ? 2)Γ(k 2)2 ? 1 T (k +1) T ? ( yt ? xt′γ)2 ? 2 ln L(θ) = ? ln ? ? ? ∑ln σt ? ∑ln?1+ σ 2 (k ? 2) ? 2 ? 2 ? Γ[(k +1) 2] ? 2 t =1 2 t =1 ? t ? ?（6.1.34） ） 这样，参数的估计就变成了在自由度k&2的约束下使对数似 这样，参数的估计就变成了在自由度 的约束下使对数似 然函数（ →∞时 学生t-分布接近于 然函数（6.1.34）最大化的问题。当k→∞时，学生 分布接近于 ）最大化的问题。 →∞ 正态分布。 正态分布。[注] 式（6.1.34）和（6.1.35）中的Γ( ?)代表γ 函数： 注 ） ）中的Γ 代表 函数： 是偶整数， 若N是偶整数，则 Γ(N/2)=1?2?3…[(N/2)-1]，有Γ(2/2)=1； 是偶整数 ? ? ， ； 是奇整数， 若N是奇整数，则 Γ(N 2) = π ? 1 ? 3 ? 5 L[(N 2) ?1] ， 是奇整数1 有 Γ( ) = π 。 22 2 23．扰动项的分布为广义误差分布（GED）时， ．扰动项的分布为广义误差分布（ ） GARCH(1, 1)模型的对数似然函数的形式为 模型的对数似然函数的形式为? Γ(3 r)( yt ? xt′γ) ? 1 T ? Γ(1 r) 2 ln L(θ) = ? ln? ? Γ(3 r)(r 2)2 ? ? 2 ∑ln σt ? ∑? ? ? 2 ? σt2Γ(1 r) t =1 t =1 ? ?3 T T r2? ? ? ? （6.1.35） ）2这里的参数r 就是一个正态分布。 这里的参数 & 0。如果 = 2，那么 。如果r ，那么GED就是一个正态分布。 就是一个正态分布6.1.7 ARCH-M模型 ARCH金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更 高的平均收益， 高的平均收益 ， 其原因在于人们一般认为金融资产的收益应 当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。 当与其风险成正比 ， 风险越大， 预期的收益就越高。 这种利 用 条 件 方 差 表 示 预 期 风 险 的 模 型 被 称 为 ARCH 均 值 模 型 (ARCH-in-mean)或 ARCH-M回归模型 。 在 ARCH-M中我们 回归模型。 或 回归模型 中我们 把条件方差引进到均值方程中: 把条件方差引进到均值方程中yt = xt γ + ρσ + ut2 t（6.1.38） ）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件 模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件 标准差： 标准差：yt = xt γ + ρσt + ut yt = xt γ + ρ ln(σ ) + ut2 t（6.1.41） ） （6.1.42） ）或取对数ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险 模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险 紧密相关的金融领域。 紧密相关的金融领域 。 预期风险的估计系数是风险收益交易 的度量。例如，我们可以认为某股票指数， 的度量 。 例如 ， 我们可以认为某股票指数 ， 如上证的股票指 数的收益率（ 依赖于一个常数项及条件方差(风险 风险)： 数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差 风险 ：returet = γ + ρ ln(σ ) + ut2 tσt2 = ω +α1ut2?1 + β1σt2?1这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示） 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为 GARCH-M模型。 模型。 模型
异方差时间序列模型——提供以文本文档的格式的各类文档免费下载和在线浏览。python科学计算
资产价格可以用以下方程表示：
dx = adt + bdz
a，b是常数。
x是资产价格，dx就是资产价格在微小时间变化段dt内的变动，比如股票价格的波动率Stock Price
Volatility，z就是所谓维纳过程（Wiener
Process），他的物理含义是资产价格x变动的随机项。根据维纳过程的性质，波动率是正比例于时间间隔的，方差为1.0+T,T是时间间隔，在股市上预测股价的跌涨和幅度是一种愚蠢的行为。所以，问题的提法是个关键，说明投资者的思路是否正确
在shell上转换到ipython命令行：ipython -p
scipy（或者pylab）直接输入scipy模块进入交互的加强的python命令行。在ipython命令行，用？命令可以查看ipython的使用方法；用%magic命令可以查看ipython的magic函数；help(obj)还是python的帮助命令，像obj?一样可以查看obj的帮助信息。
如使用%logstart
-fourier.py命令，可以在当前目录里创建一个跟交互命令同步的脚本-fourier.py，以后可以编辑使用。
matplotlib是一个独立的python/scipy的一个扩展包，用了给科学和工程数据作图的。输入pylab模块，能实现全部流行的数学软件matlab的命令。下面是一个傅立叶变换的作图题例，傅立叶变换是把波形分解成若干个简单的正弦或者余弦函数的和，在信号处理上有用。
$ ipython -pylab
Python 2.5.1 (r251:54863, May
Type "copyright", "credits" or "license" for more information.
IPython 0.7.3 -- An enhanced Interactive Python.
-& Introduction to IPython's features.
-& Information about IPython's 'magic' % functions.
-& Python's own help system.
object? -& Details about 'object'. ?object also works, ?? prints more.
Welcome to pylab, a matplotlib-based Python environment.
For more information, type 'help(pylab)'.
In [1]: %logstart
Activating auto-logging. Current session state plus future input saved.
: ipython_log.py
Output logging : False
Raw input log
Timestamping
在缺省的情况下，这样将创建一个在当前目录上的文件，名字ipython_log.py，以后可以编辑修改。
In [2]:from scipy import *
In [3]:a = zeros(1000) #用zeros?查看：创建一个有1000个元素的数组
In [4]:a[:100] = 1
In [5]:b = fft(a)
#fft?查看：快速傅立叶变换函数的定义和用法说明
In [6]:plot(abs(b))
In [7]:show()
另一个例子：
from&scipy&import&arange,&special,&optimize
x = arange(0,10,0.01)
for k in arange(0.5,5.5):
y = special.jv(k,x)
f = lambda x: -special.jv(k,x)
x_max = optimize.fminbound(f,0,6)
plot([x_max], [special.jv(k,x_max)],'ro')
作图：参见
一般来说，可以根据scipy的文档学习计算，关于numpy的有时候需要参考旧的文档，有的早在2001年，那里的图形库还是用Tkinter，但是现在标准是用wxpython了。从可以了解scipy的一个概貌。我由摘要了一个帮助的目录：
scipy的帮助。可以用help(obj)，obj是模块和函数，也可以在ipython命令行上用help(obj)或者obj?都可以得到doctring，如果你想了解有哪些模块、函数和包就用dir(obj)等等。
作图和图像（Ploting and
Graphic）。作图工具类似于国内流行的matlab（当然大多数是盗版的），如前面我举的一个关于傅立叶变换的作图例子。
数学、统计学和科学计算处理能力。使用help(scipy)先了解个大概，包括主要的包组、主要函数；特殊函数如快速傅立叶变换等；其他有数值积分；插值函数（interpolate）；数据I/0；线性代数（linalg）；优化（optimize）；稀疏矩阵（sparse）；统计学（statistics），用from
scipy import stats输入；单元测试（unit test）等
我们说的资产价格包括有价证券的价格和商品价格，包括期货等衍生产品的价格。
马尔可夫过程（Markov Process）是一种过程，未来的行为只跟当前的状态有关而跟这种状态以前的状态和行为无关。这实际上我们假定，当前的状态包含了从前的所有信息，是从前系统作用交互的结果。资产价格的波动可以用所谓“维纳过程”（Weiner Process）来描述，维纳过程的物理模型是所谓的“布朗运动”（Brownian Motion）。Brownian Motion是爱因斯坦发现的，一个粒子在10－3—10－5cm的范围内运动，它的运动距离用均方距离描述：2& = （6kt/u）*t，这里k是常数，T是温度，u是期望位置。
我们从现在开始准备用scipy/numpy来描述这些过程以及他们的图像。
维纳过程是指一个变量z，z在描述资产价格的一般变动模式时，是作为最后一个随机干扰项或者叫做噪音干扰项的。在一个小时间段Δt变化中，Δz的行为具有两个性质的过程：
=&√Δt（&为从标准正态分布的随机变量中取的一个值）
对于任意两个小的时间间隔Δt，对应的两个Δz值互相独立
从以上性质1，我们知道：Δz的均值＝0；Δz的标准差＝√Δt、方差＝Δt；以上性质2，说明过程z符合Markov过程，就是前个z的值和后一个值没有因果关系。
我们scipy.stats里的函数获得均值为0，标准差为1.0的正态分布。首先构造一个数据点集，使用r_[]函数或者linspace函数。r_[－1：1：100j]就是把（－1，1）的区间分成100个等分并包含100，或者用arange（－1，1，0.01）就是从－1开始逐个加0.01一直到1并且不包含1；然后使用函数stats.norm.pdf()画出标准正态分布曲线：
$ ipython -pylab, -p scipy #输入pylab和scipy模块； $
plot(t,y)；
$ e = stats.norm.rvs(size=100,loc=0,scal=1) ；
$ t = arange(0,1,0.01) ；
$ y = e *&√t
$ plot(t,y)
scipy带的绘图板就会把y=y*t1/2绘制出来，我在本地机器上绘制出来并保存了，但是还不知道怎样复制、粘贴到这里来。It
is very cool!
一些注释：第2行是引用scipy.norm正态分布模块的随机变量函数rvs，size=100是样本大小，loc＝0是均值，scal=1是标准差，在ipython的命令行“help(stats.norm.rvs）“可以查看函数的使用方法，或者用stasts.norm.rvs？，注意查到的信息是不一样的，都有价值；第3行是构造样本空间的数据点，就是从0开始到1选100个数据点，每个间隔0.01就是0，0.01,0.02,0.03......，1总共100个
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