如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，且2α+β=90°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OA=6，sinβ=，求BC的长．【考点】．【专题】综合题．【分析】（1）连接OC，则可得出∠A=∠ACO，从而利用外角的知识可得∠BOC=2α，再由2α+β=90°可判断出∠OCB=90°，继而可判断出BC是⊙O的切线．（2）由（1）可得OC=OA=6，OC⊥BC，利用sinβ==可求出OB的长度，在RT△OBC中利用勾股定理可得出BC的长度．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=α，∵∠BOC=∠A+∠ACO=2α，∴∠BOC+∠B=2α+β=90°，∴∠BCO=90°，即OC⊥BC，∵C在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．（2）解：由（1）可得，OC=OA=6，OC⊥BC，在Rt△BOC中，sinβ=，∵sinβ=，∴=，∴OB=10，∴BC=2-OC2=2-62=8．【点评】此题属于圆的综合题目，本题的第一问解法不止一种，同学们可以发散思维，多思考几种证明方法，在第二问的解答中，关键是利用sinβ的值求出OB的长度，有一定难度．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.62真题：3组卷：10
解析质量好中差如图，在△ABC中，&C=60，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为$2\sqrt{3}$．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
试题及解析
学段：初中
学科：数学
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如图，在△ABC中，∠C=60&，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为$2\sqrt{3}$．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
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（1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．
解：（2）解法1：连接AE．
由（1）得$\frac{DE}{BA}=\frac{CE}{CA}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90&．
在Rt△AEC中，∵∠C=60&，∴∠CAE=30&；
∴$\frac{DE}{BA}=\frac{CE}{CA}=\frac{1}{2}$，即DE=2$\sqrt{3}$．
解法2：连接DO，EO．
∵AO=DO=OE=OB，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB；
∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠CED，∠B=∠CDE；
而∠CDE+∠CED=120&，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360&，
∴∠ODE+∠OED=120&
则∠DOE=60&，
∴△ODE为等边三角形；
∴DE=OB=2$\sqrt{3}$．
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本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的性质等知识的综合应用能力．
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答案不给力（1）如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD= BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD,AD= BC,∴AD=BD=DC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个_百度作业帮
（1）如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD= BC．求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD,AD= BC,∴AD=BD=DC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个
求证：∠BAC=90°．证明：∵BD=CD,AD= BC,∴AD=BD=DC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理,请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2,这边上的中线长为1,另两边之和为1+ 根号3,求这个三角形的面积．
1、你做的正确2、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 3、设这个三角形两直角边的长为a、b ,根据上边的定理可知是直角三角形,且斜边为2,则a²+b²=2²,a+b=1+√3,所以（a+b）²=(1+√3)²所以 a²+2ab+b²=4+2√3所以2ab=2√3所以ab/2=√3/2这个三角形的面积为√3/2
如果一个三角形一边上的直线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2、首先者个三角形是直角三角形设a+b=1+√3，c=2，a²+b²=4（a+b）²-2ab=4，ab=√3，面积=1/2ab=√/2
AD怎么会等于BC呢，等于½BC吧。
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如图,已知∠a和线段a,(1)求作:△ABC,使∠A=∠a,∠B=2∠a,AB=a(2)若在求作△ABC中,BC=a/2,求证：△ABC是直角三角形
如图,已知∠a和线段a,(1)求作:△ABC,使∠A=∠a,∠B=2∠a,AB=a(2)若在求作△ABC中,BC=a/2,求证：△ABC是直角三角形
1）（2）如图所示：（3）在△BDE和△CDE中,∠DEB＝∠DEC＝90° ∠DBC＝∠DCB DE＝DE ,∴△BDE≌△CDE（AAS）．解已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．-乐乐题库
& 旋转的性质知识点 & “已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，...”习题详情
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已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=3&时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2012-南京联合体二模
分析与解答
习题“已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋...”的分析与解答如下所示：
（1）根据矩形性质得出DP=BC，根据三角形中位线求出DE=3，即可得出答案；（2）①根据旋转得出AE=EF=BE，得出∠FAE=∠EFA=12α°，∠EFB=∠EBF=90°-12α°，求出∠AFB的度数，即可得出答案；②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，求出BE=EG，∠GME=∠EKB=90°，∠GEM=∠BEK，根据AAS证△GME≌△BKE，推出GM=BK，求出BK，根据三角形的面积公式求出即可．
解：（1）∵四边形BCDF是矩形，∴DP=BC=6，∵点D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE=12BC=3，∴EP=6-3=3，故答案为：3；（2）①∵点E是边AB的中点，∴AE=BE，∵根据旋转的性质可得，BE=EF，∴BE=EF=AE，在△BEF中，∠BEF=α°，可得∠EBF=∠BFE=12（180°-α°）=90°-12α°，在△AEF中，可得∠EAF=∠AFE=12∠FEB=12α°，∴∠BFE+∠AFE=90°-12α°+12α°=90°，∴△ABF是直角三角形；②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，∵点D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠EDC=90°，∵∠C=90°，EK⊥BC，GM⊥DE，∴∠M=∠EKB═90°，EK∥DC，∴∠MEK=∠EDC=90°，∴∠MEB+∠BEK=90°，∵EG⊥AB，∴∠GEB=90°，∴∠GEM+∠MEB=90°，∴∠GEM=∠BEK，∵将点B绕点E逆时针旋转到G，∴EG=BE，在△GME和△BKE中∵{∠M=∠EKB∠GEM=∠BEKEG=BE，∴△GME≌△BKE（AAS），∴GM=BK，∵∠C=∠EKC=∠EDC=90°，∴四边形DCKE是矩形，∴DE=CK=3，∴GM=BK=6-3=3，∴△DEG的面积为12DE×GM=12×3×3=92．
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的中位线定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．
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已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点...
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经过分析，习题“已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋...”主要考察你对“旋转的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋...”相似的题目：
（2011o宁德）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕A点逆时针旋转90°后，B点对应点的坐标为&&&&．
如图，以△ABC中AB、AC边分别向外作正方形ADEB、ACHF，连接DC、BF，试猜测：（1）CD与BF相等吗？请说明理由．（2）CD⊥BF吗？请说明理由．（3）利用旋转的观点：在此图中，△ADC可以看作是△&&&&绕旋转中心&&&&点，按&&&&方向旋转&&&&（填旋转角）得到的．
知图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，△AEC按顺时针方向转动一定角度后成△AFB．（1）图中哪一点是旋转中心？（2）旋转了多少度？（3）指出图中的对应点、对应线段和对应角．
“已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，...”的最新评论
该知识点好题
1如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，下列说法：①将△ADC绕C点顺时针旋转60°可得△CBE②将△ADC逆时针旋转60°可得△ABE③将△ADC绕点A逆时针旋转60°可得△ABE④将△ABE绕点A顺时针旋转60°可得△ADC，其中正确的有（　　）
2如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
3（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）
该知识点易错题
1一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）
2下列说法正确的是（　　）
3（2012o犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF=12S△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=____时，四边形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转．①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．”相似的习题。}