极坐标系下二重积分的极角和极径如何判断啊，如题_考研吧_百度贴吧
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他的极径和极角如何求的
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polar coordinates
在平面内由
和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取
方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度
θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ&2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。
极坐标系 -
主条目：三角函数的历史
众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。家喜帕恰斯（190-120&BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，教授朱利安·科利奇（Julian&Coolidge）的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特&（Grégoire&de&Saint-Vincent）和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。
在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（Method&of&Fluxions）一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。在1691年出版的《博学通报》（Acta&eruditorum）（Acta&eruditorum）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。
实际上应用“极坐标”（polar&coordinate&system）这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳（Gregorio&Fontana）开始的，并且被18世纪的意大利数学家所使用。该术语是由乔治·皮科克（George&Peacock）在1816年翻译席维斯·拉克鲁克斯（Sylvestre&Fran?ois&Lacroix）的《微分学与学》（Traité&du&calcul&différentiel&et&du&calcul&intégral）[3][4][5]&一书时，被翻译为英语的。
亚历克西斯·克莱罗和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。
极坐标系 -
正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：（半径坐标）和（角坐标、极角或方位角，有时也表示为或）。坐标表示与极点的距离，坐标表示按方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。
比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(-3,240°)&和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240°&-&180°&=&60°）。
极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r,&θ）可以任意表示为（r,&θ&±&n×360°）或（-r,&θ&±&(2n&+&1)180°），这里n是任意整数。[7]&如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。
极坐标系 -
使用弧度单位
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π&rad=&360°。具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。&
极坐标系 -
极坐标系到直角坐标系的转化：
）间转换　极坐标系中的两个坐标 ρ和
θ可以由下面的公式转换为
下的坐标值
由上述二公式，可得到从直角坐标系中
y两坐标如何计算出极坐标下的坐标
θ=arctany/x ( x不等于0)
x= 0的情况下：若
θ= 90° (π/2 radians)；若
θ= 270° (3π/2 radians).
极坐标系 -
极坐标的方程
用极坐标系描述的
极坐标方程，通常表示为
r为自变量θ的
极坐标方程经常会表现出不同的
形式，如果
r(θ)，则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π?θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向
α°。圆方程为
r(θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在(
r0, φ) 半径为
a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，
方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为
a的圆。直线经过极点的
由如下方程表示θ=φ,其中φ为射线的倾斜角度，若 m为
，则有φ = arctan
m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线
。 这些在点（
r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为
r(θ)=r0sec(θ-φ)玫瑰线一条方程为
r(θ) = 2 sin 4θ的
极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：
r(θ)=a cos kθ
r(θ)=a sin kθ
k是整数，当
k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当
k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果
k为非整数，将产生圆盘（
）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量
a代表玫瑰线花瓣的长度。阿基米德螺线方程
r(θ) = θ for 0 & θ & 6π的一条
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ.改变参数
a将改变螺线形状，
b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ & 0，另一条θ & 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其
，就是另一条螺线。圆锥曲线椭圆，展示了半正焦弦
方程如下：r=L/(1-e cosθ)
l表示半正焦弦，
e & 1，曲线为
e = 1，曲线为
e & 1，则表示
e表示离心率，
p表示焦点到准线的距离。其他曲线由于
是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（
形式）简单得多。比如lemniscates, en:lima?ons, anden:cardioids。
极坐标系 -
复数的通常矩形形式为a&+&bi，在极坐标中也可以表示为两种不同的方式：等同于欧拉公式。[12]&复数在直角坐标系和极坐标系的转换通过以下公式实现：
复数的乘法、除法以及指数以及开方运算，在极坐标中会比在直角坐标中容易得多，他们分别是：
指数（棣莫弗定理，De&Moivre's&formula）:
极坐标系 -
矢量微积分&
微积分可适用于极坐标系下表达的等式。令为位置矢量，由&r&与随时间t变化的表达，是方向上的单位矢量，是以为起始顺时针旋转的角度单位矢量。第一和第二个位置的表达式是：
令为被一条连接焦点与曲线上一点的线所划分出的区域，则就是由和所构平行四边形区域的一半。
所以，整个区域就是关于时间的积分。
极坐标系 -
另见：开普勒行星运动定律
极坐标提供了一个表达开普勒行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。&开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即是常量。这些等式可由牛顿运动定律推得。在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导。
极坐标系 -
极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系和球形坐标系两个不同的坐标系。圆柱坐标系图柱坐标上的两点
与将直角扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系是在二维极坐标系的基础上增添了第三条用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。这第三条坐标通常表示为h。所以圆柱坐标表示为（r,&θ,&h）。
通过以下公式，圆柱坐标可用直角坐标表达：球坐标系球坐标表示的一个点P
球坐标系也可以运用坐标（ρ,&φ,&θ）扩展为三维，其中ρ是距离球心的距离，φ是距离z轴的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180°），θ是距离x轴的角度（与极坐标中一样）。这个坐标系被称作球坐标系，与用于地球的经度和纬度相似，纬度就是余角φ，取决于δ＝90°－φ，经度可通过l=θ-180°算得。[13]
通过以下公式，球坐标可用直角坐标表达：
万方数据期刊论文
浙江大学学报（工学版）
万方数据期刊论文
机械科学与技术
万方数据期刊论文
西安交通大学学报
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12（1）将直角坐标系下的二次积分化为极坐标形式的二次积分
提问时间： 14:40:23提问者：
为什么&的范围就没办法写
同学你好，你对极径的概念没有搞清楚。极径指的是从原点出发引一条直线，与积分区域相交的那段线段的长度。画出图形，你会发现，这条线段是先递增，再递减的，变化趋势不固定，要分成两部分计算的。根据极坐标中x=&cos&，y=&sin&&在0到&/4时，x是固定为1的，&=1/cos&=sec&。而在&/4到&/2区间，y是固定为1的，&=1/sin&=csc&。欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 09:30:28
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京公安备110-1081940把下面这积分化为极坐标形式下的二次积分_百度作业帮
把下面这积分化为极坐标形式下的二次积分
积分区域是半圆,化成极坐标为：r=2acosθ,(0≤θ≤π）原式=∫[0,π/2]dθ ∫[0,2acosθ ] (r^2*r)dr=∫[0,π/2]dθ [0,2acosθ [ r^4/4=(1/4)∫[0,π/2]dθ [0,2acosθ ] (cosθ )^4=(16a^4/4)∫[0,π/2]dθ [1+cos2θ)^2/4=a^4∫[0,π/2]dθ [1+2cos2θ+(cos2θ)^2]=a^4[θ+sin2θ+θ/2+(sin4θ)/8][0,π/2]=a^4(3/2*π/2+0+0）=3πa^4/4.
上面哥们基本对了，不过前面的Θ应该0<=Θ<=二分之兀下面还好应该是疏忽了第二节 二重积分(极坐标部分的计算09-4-12_百度文库
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第二节 二重积分(极坐标部分的计算09-4-12
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