已知函数f(x)=(1\2)x^2-ax+(a-1) Lnx,a&1。_百度知道
已知函数f(x)=(1\2)x^2-ax+(a-1) Lnx,a&1。
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f(x)=1/2x-ax+（a-1）lnx（a于1）f(x)=1/2*(x-a)^2-1/2*a^2+(a-1)lnxf&#39;(x)=x-a+(a-1)/x=(x^2-ax+a-1)/x=(x-1)(x-(a-1))/x（1）1&a&=2<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad&a-1&=1,<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&x&=a-1f&#39;(x)&=0,f(x)单调递增a-1&x&=1f&#39;(x)&=0,f(x)单调递减x&1f&#39;(x)&0,f(x)单调递增(2)a&2a-1&1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&x&=1f&#39;(x)&=0,f(x)单调递增<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&x&=a-1f&#39;(x)&=0,f(x)单调递减x&a-1f&#39;(x)&=0,f(x)单调递增
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已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a&－1.如果对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)&0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f′(x)&0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1&a&0时，令f′(x)＝0，解得x＝ .
则当x∈(0, )时，f′(x)&0；
x∈( ，＋∞)时，f′(x)&0.
故f(x)在(0, )上单调递增，在( ，＋∞)上单调递减．
(2)不妨假设x1≥x2.而a&－1，
由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
从而&#8704;x1，x2∈(0，＋∞)，
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于&#8704;x1，x2∈(0，＋∞)，f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.①
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4.
①等价于g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
即＋2ax＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立．
从而a≤＝＝－2.
故a的取值范围为(－∞，－2]．
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