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正弦交流电路的相量表示法
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相量法在正弦交流电计算中的几个问题n
导读：相量法在正弦交流电计算中的几个问题，用相量法来分析计算正弦交流电时，为什么能用对应相量相加来计算，计算交流电路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础，并提出了用相量法（复数）来计算功率的方法，采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，讲解相量法分析计算正弦交流电路中，从而同频率的正弦量可以化为相应的相量（复数）来表示与计算，为什
相量法在正弦交流电计算中的几个问题
大家知道，用相量法来分析计算正弦交流电时，能把复杂的三角函数的加减与微分积分运算，化为简单的复数代数运算。但在传统教材中，对于两个同频率的正弦量相加，为什么能用对应相量相加来计算，阐述不是很清楚；计算交流电路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，却只采用了实数的方法。 本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础；并提出了用相量法（复数）来计算功率的方法，和用相量法来求解电感性电路中功率因数的提高的方法，采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，更加促进了相量法理论的统一与和谐。
一、相量法理论基础探讨
传统教材中，讲解相量法分析计算正弦交流电路中，一般分析电路中的e、i、u均为正弦量，它具有有效值、初相位、同频率的特征。然后讲解正弦量可以用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数来表示，从而同频率的正弦量可以化为相应的相量（复数）来表示与计算。在含有电容和电感的电路中，又巧妙的引入复数阻抗，从而把复杂的三角函数的微分积分运算转化为简单的复数乘除运算。但在论述两同频率正弦量相加减，为什么可以转化为其对应相量相加减来计算，阐述不是很清楚。下面就这个问题作深入的研究和证明，例子中只证明了电流i的相加，其实也适用也电压u与电动势e的相加，当然也适用于相减的情况。
（一）证明两同频率正弦量相加等价于两正弦理对应的相量相加 证明两同频率正弦量相加可以用相量式相加来表示。即证明如下问题： 已知：三个正弦交流量，i1=I12sin(wt+φ1)，i2=I22sin(wt+φ2)，i=I2sin(wt+φ)，且i1+i2=i 。证明 ?（另证明反过来I1??I2??I 。
?I1??I2??I，i1+i2=i也成立）
证：从i1+i2=i中套入已知的表达式，得
I12sin(wt+φ1) +I22sin(wt+φ2)= I2sin(wt+φ)
I1sinwtcosφ1 + I1coswtsinφ1+I2sinwtcosφ2+I2coswtsinφ2)
= Isinwtcosφ+ Icoswtsinφ
sinwt (I1cosφ1 +I2cosφ2)+ coswt(I1sinφ1+I2sinφ2)= sinwtI cosφ+ coswtIsinφ 从而可以推出以下两等式：
I1cosφ1 +I2cosφ2= I cosφ①
I1s i nφ1+I2sInφ2=I sinφ②
从②可以推出，
jI1sinφ1+jI2sInφ2=jIsinφ③
由①③两式左右分别相加，整理得
I1cosφ1 +I2cosφ2+ jI1sinφ1+jI2sInφ2= I cosφ+jIsinφ
I1（cosφ1 +jsinφ1）+I2（cosφ2 +jsInφ2）= I（cosφ+jsinφ）
第 1 页，共 4
j?1j?2?Ie?Ie?Iej据欧拉公式，可以化为：1 2
即 ?I1??I2??I
很明显，以上证明反过来也成立，故?I1??I2??I，i1+i2=i也成立。
（二）证明两正弦量相加用相量法计算与三角函数计算结果是一样的
已知：并联电路中，i1=I12 (sinwt+φ1)，i2=I22 (sinwt+φ2)，
求：i=I2sin(wt+φ)。（即求其中的Ｉ和φ，用I1 I2φ1φ2表示）
解：方法一：用三角函数式来计算
i=i1+i2=2[I1sin(wt+φ1)+I2sin(wt+φ2)] = 2(I1sinwtcosφ1+ I1coswtsinφ1+I2sinwt cosφ2+I2coswt sinφ2) =2[sinwt(I1cosφ1+I2 cosφ2)+ coswt(I1sinφ1+I2 sinφ2)] ①式
两个同频率的正弦量相加，得到的仍然是一个同频率的正弦量 i=2Isin(wt+φ) =2(sinwtIcosφ+ coswtIsinφ)
对比①式②式可得,
Icosφ= I1cosφ1+I2 cosφ2
Isinφ= I1sinφ1+I2 sinφ2
综合③式 ④式得出：
I?(I1cos?1?I2cos?2)2?(I1sin?1?I2sin?2)2
??I1sin?1?I2sin?2 I1cos?1?I2cos?2
方法二：用相量来计算
j?1j?2j????I?Ie，I?Ie，求I?Ie把已知条件化为相量得1 122
据并联电路特点：I???I1??I2?I1ej?1?I2ej?2
=I1cosφ1+jI1sinφ1+ I2cosφ2+jI2sinφ2
=I1cosφ1+ I2cosφ2+j(I1sinφ1+I2sinφ2)
把上面相量从代数式化为指数式得
?I?(I1cos?1?I2cos?2)2?(I1sin?1?I2sin?2)2e
得出：I?Isin?1?I2sin?11I1cos?1?I2cos?2(I1cos?1?I2cos?2)2?(I1sin?1?I2sin?2)2
第 2 页，共 4
Isi?n?Isi?n2
??ar112 I1co?1s?I2co?2s
方法三：用相量图来分析
从相量图来看，电流的有效值与初相位计算
方法，与上面的方法安全一致。
可以看出，合正弦量的有效值I等于两分正弦量
实部与虚部分别相加，再分别取平方后相加，最
后求平方根。合正弦量的初相位就是φ。 实际中常用实数结合相量图来进行分析计算。
结论：以上证明，清楚说明了同频率两正弦量相加减可以用它们对应的相量相加减来表示与计算。
二、用相量法来计算正弦交流电路的功率
j?2j?1??已知：正弦交流电中，电压为U?Ue，电流为I?Ie，u与i的相位
差为φ=φ1―φ2，S为视在功率，Q为无功功率，P为有功功率。
I的共轭复数为解：设S*为复功率，电流???Ue定义复功率S?*j?1?Ie?j?2， Ie?j?2?UIej(?1??2)?UIej?
则复功率的模就是视在功率S?|S*|?UI
复功率的实部就是有功功率P?Re(S*)?UIcos?
复功率的虚部就是无功功率Q?Im(S*)?UIsin?
电压、阻抗、功率三角形
结论：引入复功率以后，各种功率计算更加有规律可循。
三、相量法求解交流电路中功率因数的提高
已知：某电感性交流电路中，电路电压为u，原电流为iL，u与iL的相位差为φ1，频率为f，原电路功率为P=UILcosφ1。若要把功率因素从cosφ1提高到cosφ2。
求：电路中应并联的多
大的电容器C。
解： 第 3 页，共 4
方法一：实数计算法
并联电容前后，因电容器不做功，故并联前后电路的有功功率不变，即
P=UIL cos?1 =UI cos?2，从而求出IL和I
IL=P/（U cos?1）
I=P/（U cos?2）
从相量图可以看出：
I C= ILsin?1―Isin?2
又据纯电容电路特点，
XC=1/(2πfC)
综合①②③⑤⑥式得出
C= P/[2πf U2（tg?1― tg?2）]
方法二：相量计算法（即复数计算法）
设u的初相位为0，则iL、i和ic的初相位分别为-?1，-?2和90°。
据并联电路的电流关系，有?IL??IC??I
展开得：ILe?j?1?Icej90??Ie?j?2，
即 ILcos?1― jILsin?1 + jI C = Icos?2 ― jIsin?2
ILcos?1 ― j(ILsin?1 ― I C) = Icos?2― jIsin?2
据两复数相等的定义，可以推出，
（一）实部相等
ILcos?1= Icos?2，所以P=UIL cos?1 =UI cos?2
从而可以说明并联电容器后，电路中有功功率没有变，并可以求出IL和I
IL=P/（U cos?1）
I=P/（U cos?2）
（二）虚部相等 ―（ILsin?1 ― I C）=―Isin?2
I C= ILsin?1―Isin?2
①式和②式代入③式得：
I C=PL sin?1/（U cos?1）―P sin?/（U cos?2）=P/[U（tg?1― tg?2）] ④式 又据纯电容电路特点，
XC=1/(2πfC)
把⑤式和⑥式代入④式，解得：
C= P/[2πf U2（tg?1― tg?2）]
对比：用实数法来求解问题时，要判断出电路的总有功功率不变，还要从右边的相量图中推导出I C
I三者的关系，难度比较大。而用相量法，不用看右边的相量图，这些结论都可以从相量式中完全推导出来，只要判断一下三个电流的相位关系就可以了，降低许多难度，纯粹是数学公式的推导，也比较有规律。
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第八章相量法
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你可能喜欢相量的运算
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摘要: 　　 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。其相应的相量运算如下： 1.同频率正弦量相加减
得： 这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域。
　　 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。其相应的相量运算如下：
1.同频率正弦量相加减
这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域。
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。
相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析， 属于频域分析。
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
2.正弦量的微分，积分运算
（1）正弦量的导数是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以jω，即表示di/dt 的相量为：
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
（2）正弦量的积分结果为同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以jω，即表示∫idt 的相量为：
该相量的模为 I /ω ，辐角则滞后原相量π/2。
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