知识点梳理
【图象与&a&、&b&、&c&的符号关系】
函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0），当y=0时，得到一元二次a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)。那么一元二次方程的根就是的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，{{b}^{2}}-4ac>0，方程有两个不相等的实数根；2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，{{b}^{2}}-4ac=0，方程有两个相等的实数根；3.当二次函数的图象与x轴无交点时，{{b}^{2}}-4ac<0，方程无实数根。综上，求一元二次方程a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)的根也就是求二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0）的值为0时自变量x的值，即y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0）与x轴的交点的横坐标，二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0）与x轴的交点的三种情况分别对应着一元二次方程a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)的根的三种情况。
的性质：1.&y=a{{x}^{2}}（a≠0）的图像是一条，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0,0）。（1）&二次函数图像怎么画？作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点（0,0）是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。（2）&二次函数y={{x}^{2}}与y=-{{x}^{2}}的图像和性质：2.&二次函数y=a{{x}^{2}}+k（a，k是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，只是位置不同。函数y=a{{x}^{2}}+k的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向上（或下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。3.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是（h，0），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，位置不同，函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a≠0）的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|h|个单位得到的。画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=0。4.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k），是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|k|个单位，再向上（下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=k。5.&二次函数的图像的画法：（1）&描点法，步骤如下：a．&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式。b．&确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。c．&在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。（2）&平移法，步骤如下：a.&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式，确定其顶点（h，k）。b.&作出函数y=a{{x}^{2}}的图像。c.&将函数y=a{{x}^{2}}的图像平移，使其顶点平移到（h，k）。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①...”，相似的试题还有：
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中①a＜0&&b＞0&&c＞0；&②4a+2b+c=3；&③；&④b2-4ac＞0；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大．正确的个数是()
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中①a＜0&&b＞0&&c＞0；&②4a+2b+c=3；&③；&④b2-4ac＞0；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大．正确的个数是()
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①a＜0&&b＞0&&c＞0；&②4a+2b+c=3；&③-＞2；&④b2-4ac＞0；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大．以上结论正确的有()(只填序号)知识点梳理
函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0），当y=0时，得到一元二次a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)。那么一元二次方程的根就是的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，{{b}^{2}}-4ac>0，方程有两个不相等的实数根；2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，{{b}^{2}}-4ac=0，方程有两个相等的实数根；3.当二次函数的图象与x轴无交点时，{{b}^{2}}-4ac<0，方程无实数根。综上，求一元二次方程a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)的根也就是求二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0）的值为0时自变量x的值，即y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0）与x轴的交点的横坐标，二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a\ne 0）与x轴的交点的三种情况分别对应着一元二次方程a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)的根的三种情况。
的性质：1.&y=a{{x}^{2}}（a≠0）的图像是一条，它的对称轴是y轴，顶点是原点（0,0）。（1）&二次函数图像怎么画？作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点（0,0）是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。（2）&二次函数y={{x}^{2}}与y=-{{x}^{2}}的图像和性质：2.&二次函数y=a{{x}^{2}}+k（a，k是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，只是位置不同。函数y=a{{x}^{2}}+k的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向上（或下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{x}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜0时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞0时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。3.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是（h，0），它与y=a{{x}^{2}}的图像形状相同，位置不同，函数y=a{{x}^{2}}+bx+c（a≠0）的图像是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|h|个单位得到的。画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=0。4.&二次函数y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k），是由抛物线y=a{{x}^{2}}向右（或左）平移|k|个单位，再向上（下）平移|k|个单位得到的。当a＞0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向上，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=k。当a＜0时，抛物线y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的开口向下，在对称轴的左边（x＜h时），曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边（x＞h时），曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=k。5.&二次函数的图像的画法：（1）&描点法，步骤如下：a．&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式。b．&确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。c．&在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。（2）&平移法，步骤如下：a.&利用配方法把二次函数y=a{{x}^{2}}+bx+c化成y=a{{\(x-h\)}^{2}}+k的形式，确定其顶点（h，k）。b.&作出函数y=a{{x}^{2}}的图像。c.&将函数y=a{{x}^{2}}的图像平移，使其顶点平移到（h，k）。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图...”，相似的试题还有：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象答下列问题：(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是_____；(2)当y＜0时，自变量x的取值范围时_____；(3)当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是_____．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)当x为何值时，y＞0；y＜0？(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．教师讲解错误
错误详细描述：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围；（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解析过程】
（1）由图象可知x1＝1，x2＝3．（2）由图象可知，不等式的解集为1＜x＜3．（3）由图象可知，当x＞2时，y随x的增大而减小．（4）要使方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，必有二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与直线y＝k的图象有两个交点，由图象可知，当k＜2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与直线y＝k的图象有两个交点，即方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根．
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京ICP备号 京公网安备（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=根号(x1+x2)2-4x1x2=根号(-b/a)2-4c/a=根号b2-4ac/a2=根号b2-4ac/|a|；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．-乐乐题库
& 抛物线与x轴的交点知识点 & “（2012o兰州）若x1、x2是关于一元...”习题详情
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（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-ba，x1ox2=ca．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2=√(-ba)2-4ca=√b2-4aca2=√b2-4ac|a|；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-兰州
分析与解答
习题“（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根与系数关系...”的分析与解答如下所示：
（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=√b2-4ac|a|，根据顶点坐标公式，得到CE=|4ac-b24a|=b2-4ac4a，列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=√3AE=√32AB，据此列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值．
解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．∵a＞0，∴AB=√b2-4ac|a|=√b2-4aca，又∵CE=|4ac-b24a|=b2-4ac4a，∴√b2-4aca=2×b2-4ac4a，∴√b2-4ac=b2-4ac2，∴b2-4ac=(b2-4ac)24，∵b2-4ac＞0，∴b2-4ac=4；（2）当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=√32AB，∴b2-4ac4a=√32×√b2-4aca，∵b2-4ac＞0，∴b2-4ac16a2=34a2，∴b2-4ac=12．
本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．
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（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根...
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经过分析，习题“（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根与系数关系...”主要考察你对“抛物线与x轴的交点”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
抛物线与x轴的交点
求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
与“（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根与系数关系...”相似的题目：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是&&&&ac＜0ab＞04a+b=0a-b+c＞0
已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。&&&&
写出一个与x轴只有一个交点的二次函数&&&&．
“（2012o兰州）若x1、x2是关于一元...”的最新评论
该知识点好题
1已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，化简√(a+c)2+√(c-b)2的结果为①c，②b，③b-a，④a-b+2c，其中正确的有（　　）
2已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
3抛物线y=mx2+x和y=nx2+x与x轴正半轴分别交于点A和点B．若点A在点B的右边，则m与n的大小关系为（　　）
该知识点易错题
1（2013o株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（　　）
2抛物线y=-x2+√2x+7与坐标轴的交点的个数为（　　）
3如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b＞-1，②3a+b＞0，③a+b＜-2，④a＞0，⑤a-b＜0，其中结论正确的个数是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=根号(x1+x2)2-4x1x2=根号(-b/a)2-4c/a=根号b2-4ac/a2=根号b2-4ac/|a|；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2012o兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=根号(x1+x2)2-4x1x2=根号(-b/a)2-4c/a=根号b2-4ac/a2=根号b2-4ac/|a|；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．”相似的习题。请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点∴方程组{y0=ax21+bx1+c①,y0=ax22+bx2+c②} 且x1≠x2．①-②得a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．∴x1+x2=-b/a又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-b/2a，∴直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=x1+x2/2为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．-乐乐题库
& 二次函数图象上点的坐标特征知识点 & “请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（...”习题详情
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请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）&是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x22为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0）&是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点∴{y0=ax21+bx1+c①y0=ax22+bx2+c②且&x1≠x2．①-②得&a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．∴x1+x2=-ba又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-b2a，∴直线x=x1+x22为此抛物线的对称轴．（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2）&是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=x1+x22为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，...”的分析与解答如下所示：
（1）由题意得出{y0=ax21+bx1+c①y0=ax22+bx2+c②且x1≠x2，再由直线的对称轴得出结论：自变量取x1，x2时函数值相等．（2）由题意求得b，得出二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．再由（1）得，当x=2012时的函数值为2011．
解：（1）结论：自变量取x1，x2时函数值相等．证明：∵M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c上不同的两点，由题意得{y1=ax12+bx1+c&&①y2=ax22+bx2+c&&②且x1≠x2①-②，得y1-y2=a（x12-x22）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．∵直线x=x1+x22是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，∴x=x1+x22=-b2a．∴x1+x2=-ba．∴y1-y2=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，即y1=y2；（2）∵二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，∴由阅读材料可知二次函数y=x2+bx-1的对称轴为直线x=20112．∴-b2=20112，b=-2011．∴二次函数的解析式为y=x2-2011x-1．∵20112=2012+(-1)2，由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．∵当x=-1时的函数值为（-1）2-2011×（-1）-1=2011，∴当x=2012时的函数值为2011．
本题是一道阅读题，考查了二次函数的性质和图象上点的特点，综合性较强，难度较大．
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请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），...
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经过分析，习题“请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，...”主要考察你对“二次函数图象上点的坐标特征”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）．①抛物线是关于对称轴x=-b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
与“请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，...”相似的题目：
抛物线y=x2-4x-5与y轴交点坐标为&&&&．
在抛物线y=x2-4x-4上的一个点是（　　）（4，4）（-12，-74）（3，-1）（-2，-8）
如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．若点（-12，y1）、（2，y2）是抛物线上两点，试比较y1与y2的大小：y1&&&&y2．
“请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（...”的最新评论
该知识点好题
1如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（　　）
2已知一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，x2+x1=-ba，x2．x1=ca．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2），若abc=4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（　　）
3已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点可能在（　　）
该知识点易错题
1二次函数的图象通过A（1，0）和B（5，0）两点，但不通过直线y=2x上方的点，则其顶点纵坐标的最大值与最小值的乘积为（　　）
2已知一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，x2+x1=-ba，x2．x1=ca．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2），若abc=4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（　　）
3已知A（x1，2002），B（x2，2002）是二次函数y=ax2+bx+5（a≠0）的图象上两点，则当x=x1+x2时，二次函数的值是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点∴方程组{y0=ax21+bx1+c①,y0=ax22+bx2+c②} 且x1≠x2．①-②得a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．∴x1+x2=-b/a又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-b/2a，∴直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=x1+x2/2为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．”的答案、考点梳理，并查找与习题“请阅读下面材料：若A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．有一种方法证明如下：①②证明：∵A（x1，y0），B（x2，y0）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点∴方程组{y0=ax21+bx1+c①,y0=ax22+bx2+c②} 且x1≠x2．①-②得a（x12-x22）+b（x1-x2）=0．∴（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0．∴x1+x2=-b/a又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-b/2a，∴直线x=x1+x2/2为此抛物线的对称轴．（1）反之，如果M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线x=x1+x2/2为该抛物线的对称轴，那么自变量取x1，x2时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数y=x2+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．”相似的习题。}