矩阵（数学术语）_百度百科
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（数学术语）
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在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的或集合[1]
，最早来自于的及所构成的。这一概念由19世纪英国数学家首先提出。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如和准对角矩阵，有特定的快速运算。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考。在、等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
矩阵的研究历史悠久，和在史前年代已有人研究。
作为解决的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《》中，用分离法表示，得到了其。在过程中，使用的把某行乘以某一非零、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家（1683年）与的发现者之一（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，发现了[2]
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词[3]
英国数学家被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及和方程。还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家（F.G.Frohenius）于1898年给出的[2]
1854年时法国数学家（C.Hermite）使用了“”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。
无限维矩阵的研究始于1884年。在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究空间算子的有力工具[4]
矩阵矩阵的词源
矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，审查后，审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。
矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如f(x)=4x之类的线性函数的推广[3]
。设定基底后，某个向量v可以表示为m×1的矩阵,而线性变换f可以表示为行数为m的矩阵A，使得经过变换后得到的向量f(v)可以表示成Av的形式。
由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：
这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn
元素是的矩阵称为，元素是的矩阵称为。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵[5]
矩阵矩阵的基本运算
矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置[1]
矩阵的加法满足下列运算律(A，B，C都是同型矩阵)：
应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法[5]
矩阵的数乘满足以下运算律：
矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算[5]
把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵[5]
，这一过程称为矩阵的转置
矩阵的转置满足以下运算律：
矩阵的共轭定义为:
.一个2×2复数矩阵的共轭如下所示：
矩阵共轭转置
　　矩阵的共轭转置定义为：
，也可以写为：
。一个2×2复数矩阵的共轭如下所示：
矩阵矩阵的乘法
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵
，它的一个元素：
并将此乘积记为:
矩阵的乘法满足以下运算律：
左分配律：
右分配律：
矩阵乘法不满足。
矩阵矩阵的行列式
一个n×n的正方矩阵A的行列式记为
,一个2×2矩阵的行列式可表示如下：
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的乘积之和，即：
矩阵矩阵的特征值与特征向量
n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足
的标量以及非零向量[1]
。其中v为特征向量，
为特征值。
A的所有特征值的全体，叫做A的谱[7]
。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。[6]
矩阵矩阵的迹
矩阵A的对角元素之和称为矩阵A的迹(trace),记作
矩阵矩阵的正定性
n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量
函数值都是正数，就称A为正定矩阵。类似地还有半正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵等概念。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数[1]
矩阵矩阵的分解
矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积[7]
，矩阵的分解法一般有三角分解，谱分解，，满秩分解等。
矩阵三角分解
,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，U2是酉矩阵A=LU2 [7]
矩阵谱分解
谱分解（Spectral decomposition）是将分解为由其和表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对才可以施以特征分解[7]
矩阵奇异值分解
假设M是一个m×n阶，其中的元素全部属于K，也就是域或域。如此则存在一个分解使得
其中U是m×m阶；Σ是m×n阶；而V*，即V的，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值[7]
。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。
矩阵满秩分解
，若存在矩阵
，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解[1]
矩阵矩阵的特殊类别
矩阵对称矩阵
在中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。即
矩阵Hermitian矩阵
一个正方的复值矩阵
称为Hermitian矩阵，若A=AH即其元素
,换言之Hermitian矩阵是一种复共轭对称矩阵[1]
对一个实值矩阵，Hermitian矩阵与对称矩阵等价。
矩阵正交矩阵
一个实的正方矩阵
称为正交矩阵，若
矩阵酉矩阵
一个复值正方矩阵
称为正交矩阵，若
矩阵带型矩阵
，若矩阵满足条件aij=0,|i-j|&k，则矩阵A可以称为带型矩阵(banded matrix)[1]
矩阵三角矩阵
在中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形[1]
矩阵相似矩阵
在中，相似矩阵是指存在相似关系的。相似关系是两个矩阵之间的一种。两个n×nA与B为相似矩阵存在一个n×n的P，使得：
矩阵相合矩阵
,并且C非奇异，则矩阵
称为A的相合矩阵。其中线性变换
称为相合变换[1]
矩阵Vandermonde矩阵
Vandermonde矩阵（范德蒙矩阵）的命名来自Alexandre-Théophile Vandermonde的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出关系的[1]
或以第i行第j列的关系写作：
矩阵Hadamard矩阵
Hadamard矩阵（阿达马矩阵）是一个，每个元素都是 +1 或 -1，每行都是互相正交的。
n阶的阿达马矩阵H满足：
。这里In是n×n的[1]
矩阵矩阵的范数
矩阵的范数主要包括三种主要类型：诱导范数，元素形式范数和Schatten范数[1]
满足以下要求：
则称该映射为
上的矩阵范数。
矩阵诱导范数
诱导范数又称
矩阵空间上的算子范数(operator norm)，定义为：
常用的诱导范数为p-范数：
p范数也称为明克夫斯基 p范数或者
范数。特别的，当
时，对应的诱导范数分别为[1]
矩阵元素形式范数
矩阵按照列的形式，排成一个
的向量，然后采用向量范数的定义，即得到矩阵的元素形式范数，表式如下：
矩阵Schatten范数
Schatten范数是用矩阵的定义的范数，定义为：
为对应矩阵的奇异值。
矩阵物理应用
线性变换及对称
线性变换及其所对应的，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在中，是由狭义相对论的所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含及更通用的的具体表示，在的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用来表述。描述最轻的三种时，需要用到一种内含SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──的基础正是SU(3)。还有（CKM矩阵）：在中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
量子态的线性组合
1925年海森堡提出第一个模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在中也能见到。例如就是用来刻画量子系统中“纯”的线性组合表示的“混合”量子态[8]
另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为，其中记录了所有可能的粒子间相互作用[9]
矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加[10]
。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解[11]
在里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何。采用近轴近似（英语：paraxial approximation），假若光线与光轴之间的夹角很小，则或反射元件对于光线的作用，可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的、光线跟光轴之间在（英语：principal plane）的垂直距离）。这矩阵称为（英语：ray transfer matrix），内中元素编码了光学元件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。
由一系列或反射元件组成的光学系统，可以很简单地以对应的矩阵组合来描述其光线传播路径[12]
在里，传统的网目分析（英语：mesh analysis）或节点分析会获得一个，这可以以矩阵来表示与计算。
张贤达．矩阵分析与应用：清华大学出版社，2014年
克莱因, 莫里斯; 著，张理京、张锦炎、江泽涵译, 《古今数学思想》第三卷, 上海科学技术出版社, 2002, ISBN 7-
The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester
董可荣, 矩阵理论的历史研究, 《山东大学》, 2007
同济大学数学系．线性代数：高等教育出版社，2007年
Brown, William A., Matrices and vector spaces, New York, NY: M. Dekker, 1991, ISBN 978-0-
黄廷祝，钟守铭，李正良．矩阵理论：高等教育出版社，2003年
Bohm, Arno．Quantum Mechanics: Foundations and Applications：Springer，2001
Weinberg, Steven．The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations：Cambridge University Press，1995
Wherrett, Brian S.．Group Theory for Atoms, Molecules and Solids：Prentice–Hall International，1987
Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J．Mathematical methods for physics and engineering：Cambridge University Press，1997
Guenther, Robert D.．Modern Optics：John Wiley，1990数学上50kn是什么意思
物理力学50千牛（KN）
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50千牛 。这是力的单位。你要是换算成吨的话就是5吨。因为重力10n/kg
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古代数学，起源于人类早期的生产活动，产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。我国古代把数学叫算术，又称，最后才改为数学。
古代数学中西解析
从中西古代数学文化史的比较意义上分析，形成中西古代数学的两种倾向：逻辑演绎倾向和机械化算法倾向，其作用与构造差异主要是由文化系统赋予的文化层次及其的差异造成的，这两种倾向的对立统一就构成了数学自身内在的矛盾运动和发展动力。
数学文化史的研究表明，人类古代数学作为文化系统中一个操作运演的子系统，从一开始就具有双重功能（或称为双重特性），即数量性的功能和神秘性的功能（注：王宪昌，《》，出版社，1990年第58-70页。）。而不同民族文化中的数字或数学都在特定的文化氛围中有某些神秘性，而且不同民族文化中的数学神秘性发展的道路是各不相同的。
在的发展中，原始数学始终沿着神秘性和数量性的双重功能统一性继承的轨道向前发展。与神秘性的结合，使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界的普遍性地位，这正是古希腊数学完全脱离实际问题，追求逻辑演绎的严谨性的文化背景。
因此，从数学文化史的意义上分析，发端于古希腊的西方数学不仅仅是一个数学意义的运演操作系统，更主要的是它作为一种文化系统中起主导作用的理性解释系统，或者称之为一种理性构造的规范模式。在西方文化中，西方数学解释宇宙的变化，引导理性的发展，参与物质世界的表述，任何学科的构建都必须按照文化理性的要求模仿和运用数学的模式。用数学解释一切是西方数学在与其适应的文化获取的价值观念。
在中国文化发展中，我国古代数学筹算操作的机械化运演形成的计算体系来源于作为原始数学的竹棍操作运演在历史进程中的演化。
中国古代是借助于竹棍为特定物进行数字、数学操作运演的民族。具有外算与内算的双重功能，即“算数万物”的算术性功能和神秘主义的解释性功能。
因此，中国古代数学不仅未形成以宗教、哲学的层次思辨自己的方法、结构形式，而是形成了专司具体数学问题的特征。中国古代数学在文化传统中的价值取向就是在筹算运演机械重复的条件下尽力构造简明的运演方法，准确迅速地解决实践提出的具体问题。
中国传统的价值观念以及筹算的技艺型价值取向，决定了的发展和构造模式，这种筹算数学的价值取向保证了中国古代特色的发展方向，注重数学实际应用的层次不断发展，机械化的计算技术和水平不断提高。中国古人借助于这一特殊工具，将各种实际问题分门别类，进行有效的布列和推演，在比率算法、“”术、开方术、、、、、垛积等等方面都取得辉煌成果，在宋元时期数学达到高潮。元代以后发展的制是筹算制的发展改革和继续，可以说，中国传统数学在数量关系上是以算筹制为主线贯穿一起，以提高机械化的计算技术来解决实际问题为目标的。同时，的传统特点也造就了一批传播和发展作为技艺数学的群体，这是促进发展的人才优势，尤其是在相对稳定的文化环境中，其传统价值观念发挥了重要作用。
从文化价值系统发展的阶段分析，我国的筹算体系和模式在宋元时期达到数学的高峰在很大程度上是算法机械化达到最高水平。和增乘开方法是对《九章》以来开方程序的重大提高和创造，的正负开方术又把增乘开方法发展到十分完备的境地，其也是在历代对“”推算基础上将“”问题解法发展到最一般的机械化程序。的更是对列方程算法的重大改进和突破，同时也是化思想的完美体现。从天元术到，是解一般向多元高次方程组发展的必然结果和要求。因此，我国在宋元时期算法机械化达到空前的高水平，是与传统价值观的要求相一致的，是我国筹算文化排列模式和变换技术长期积累后的自然发展，它是我国筹算体系下的数学计算以快速、准确、简洁解决一类具体问题而发展自己的操作运演的必然趋势和结果。
评判时不应当依据西方数学的评价模式和
由上文对中西古代数学文化史的比较意义上分析，中西古代数学的作用与构造差异主要是由文化系统赋予它的文化层次及其价值取向的差异造成的，可以说，西方数学著作的构造模式及其理性作用是不会在中国文化中出现的，因此，在古今数千年的数学发展中，形成不同时期、不同地域的中西数学的两种倾向：逻辑演绎倾向和机械化算法倾向都是历史文化中的必然。以古希腊《》为代表的逻辑演绎倾向和以《》为代表的机械化算法倾向交互作用，“轮流执政”，共同以各自的构造模式、思维方式、运演规律及结构特征对世界数学的发展作出了贡献。
从数学文化史的角度来说，中国技艺应用型的操作运演系统蕴育了算法机械化的成功。中国数学以区别于西方数学的独特风格和特点，在中世纪世界数学史、文明史上，灿烂的衰落之后，曾一度占据了世界数学研究的重心，直到14世纪初。中国传统数学的辉煌成就标志着筹算体系下的机械化算法的巨大成功，而元中期珠算盘和珠算术的应用和发展是我国机械化算法体系的继续，它是对计算工具的重大改进和发展，是对计算技术改革的历史必然。的普及应用，大大提高了计算速度和效率，简化了机械化的操作程序和繁琐步骤，适应了农业、手工业、商业的发展对数学中大量繁杂计算的实际需要，因此，算盘和珠算术的出现和普遍应用及其发展，同样既是中国传统数学的独特创造的伟大发明，同时又是对世界科技和文明的重大贡献。
然而，在对待中国传统数学和西方数学对世界科技和文明所作出的贡献这个问题上，长期以来，人们使用的数学评判标准多数却是在西方数学中形成的。这种中心论者认为当代数学的巨大成就是沿着自古希腊人以来所走过的唯一一条王者之路而发展来的。没有达到严格演绎的知识不能算为科学，只有西方数学与其他学科的关系是近代科学发展的关键性的必要条件。
西方中心论的评判标准的理论基础是西方数学哲学，自觉或不自觉地把西方数学的模式思维方式和，作为评价世界上不同国家和地区数学（包括中国的传统数学乃至东方数学）与科学的唯一标准。从数学文化史的研究表明，在对待与其他自然科学的基础上，这种判断和比较不是在对中国古代数学理性思辨的基础上形成的，忽略了中国竹棍式数学演化流变的文化特征与西方数学的文化差异。
总之，中西古代数学在其民族文化中价值观念的差异，是我们数学史研究中应当十分注意的问题。在人类文化史中，人们可以发现每一种文化系统都有其特定的数学发展和构造模式，对人类古代数学的比较，应从不同文化系统的数学模式中，提炼出人类古代数学的共有规律，并以此为来客观、公正地评价。中国古代数学是在中国文化中产生发展的，它不会也不可能按照西方数学的模式来发展，因此我们评判中国古代数学时就不应当照搬西方数学的评价。
在中西文化的差异中，我们深刻地体会到，西方数学的模式不会也不可能是人类数学的唯一发展模式，西方数学的价值标准不应该实际上也不可能成为人类古代数学唯一的评价标准。这正如像N.席文提问的那样：“为什么评判非欧文明史总是以其是否或接近于欧洲早期科学或近代科学的某些方面为试金石，为什么早期欧洲科学无需检验呢？”
古代数学历史起源
古代数学先秦时期
黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在中下游产生了第一个奴隶制国家──夏朝。其后有商、殷两代（约1500B.C-1027B.C）、及周朝（1027B.C-221B.C）。历史上又称公元前八世纪至秦王朝的建立（221B.C）为春秋战国时期。
据《易。系辞》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有制的，出现最大的数字为三万。
是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
用算筹记数，有纵、横两种方式：
表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当），并以空位表示零。为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为所取代，就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
在几何学方面《史记。夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“”这个（西方称毕氏定理）的特例。战国时期，齐国人着的《》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。 《》记载了等人的名家学说和、等辩者提出的论题，强调抽象的，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，”等。这些许多几何概念的定义、和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
此外，讲述，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。
古代数学汉唐时期
这一时期包括从到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。
秦汉是体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
西汉末年（公元前一世纪）编纂的天文学著作《》在数学方面主要有两项成就：（1）提出勾股定理的特例及普遍形式；（2）测太阳高、远的陈子测日法，为后来的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。
《》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年（公元一世纪）。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、、、盈不足、和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如值制、今有术、等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中和的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《》做了详尽的注释。刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《》，应用解决有关测量的问题。刘徽其中一项重要的工作是创立，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。 《》 、 《》 、 《》就是这个时期的作品。《孙子算经》给出“”问题，导致求解一次组问题；《张丘建算经》的“百鸡问题”引出三个未知数的不定方程组问题。
、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《》注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：（1）计算圆周率精确到后第六位，得到3.1415926&π&3.1415927，并求得π的为22/7，为355/113；（2）得到祖日桓定理（幂势既同，则积不容异）并得到球；（3）发展了与的解法。
隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初撰《》，主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖的计算问题。
唐朝在方面有长足的发展。656年设立，设有算学博士和助教，由等人编纂注释《》 （包括《》、《》、《》、《》、《》、《》、《缉古算经》、《》、《》和《缀术》），作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。
此外，隋唐时期由于历法需要，创立出二次，为宋元时期的高次内插法奠定了基础。而唐朝后期的计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。
古代数学宋元时期
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪（宋、元两代），筹算数学达到极盛，是空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：的《黄帝九章算法细草》（11世纪中叶），刘益的《》（12世纪中叶），的《》（1247），的《》（1248）和《》（1259），的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（），朱世杰的《》（1299）和《》（1303）等等。
宋元数学在很多领域都达到了，甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：
数值解法；
与，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；
，即一次组的解法，现在称为中国剩余定理；
和，即高次和高阶求和。
另外，其他成就包括解法新的发展、解的研究、（）的研究、（）具体的应用、的出现等等。
这一时期民间也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
古代数学西学时期
这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除外出现全面衰弱的局面，当中涉及到珠算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。
明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至的《直指算法统宗》 （1592）问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。
隋及唐初，和天文学知识曾传入中国，但影响较细。到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专著。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《》前6卷（1607），其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外，《几何原本》课本中绝大部分的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有编译的《大测》（2卷，1631）、《割圆八线表》（6卷）和的《测量全义》（10卷，1631）。在徐光启主持编译的《》（137卷，）中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。
入清以后，会通中西数学的杰出代表是，他坚信中国传统数学“必有精理”，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有和等人。
清康熙帝爱好科学研究，他“御定”的《》（53卷，1723），是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。
乾嘉年间形成一个以为主的，编成《四库全书》，其中数学著作有《》和宋元时期的著作，为保存濒于湮没的数学典籍做出重要贡献。
在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有“谈天三友”之称的、及作出不少重要的工作。在《垛积比类》（约1859）中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“”。这些工作较宋元时期的数学进了一步。、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《》46卷（），开数学史研究之先河。
1840年鸦片战争后，政策被迫中止。内添设“算学”，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《》后9卷（1857），使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷（1859）；《》18卷（1859）。与英国传教士合译《圆锥曲线说》3卷，与英国传教士合译《代数术》25卷（1872），《微积溯源》8卷（1874），《决疑数学》10卷（1880）等。在这些译著中，创造了许多和术语，至今仍在应用。
1898年建立，同文馆并入。1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。
古代数学近现代
这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。
中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有1903年留日的，1908年留美的，1910年留美的和，1911年留美的，1912年留法的，1913年留日的和留比利时的熊庆来（1915年转留法），1919年留日的等人。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。随着留学人员的回国，各地大学的有了起色。最初只有北京大学1912年成立时建立的数学系，1920年在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学（今南京大学）和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，、成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有（1927）、陈省身（1934）、华罗庚（1936）、许宝　（1936）等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的（1920），美国的（1934）、（1934）、维纳（1935），法国的阿达马（1936）等人。1935年成立大会在上海召开，共有33名代表出席。1936年《中国数学会学报》和《》相继问世，这些标志着中国研究的进一步发展。
古代数学主要著作
古代数学《张丘建算经》
《》三卷，据考，约成书于公元466～485年间.,北魏时(今山东临清一带)人,生平不详。的应用、各元素互求以及“”等是其主要成就。“百鸡术”是世界著名的问题。13世纪意大利《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西&&算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。
古代数学《四元玉鉴》
朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”。朱世杰数学代表作有《》（1299）和《》（1303）。《算学启蒙》是一部通俗，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“”（多元列式与消元解法）、“垛积法”（求和）与“”（高次）
古代数学《黄帝九章算经细草》
：〈〈黄帝细草〉〉
中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，这一发展的序幕是“”（二项展开表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉，原书佚失，但其主要内容被（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“”。〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。
贾宪三角在西方文献中称“”，1654年为法国数学家 B·帕斯卡重新发现。
古代数学《数书九章》
：〈〈〉〉
秦九韶（约），字道吉，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至，不久死于任所。秦九韶与、、朱世杰并称。他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的〈〈数书九章〉〉。〈〈数书九章〉〉全书共18卷，81题，分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易）。其最重要的数学成就——“”（一次组解法）与“正负开方术”（数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界上占有突出的地位。
古代数学《测圆海镜》
：《》——开元术
随着数值求解技术的发展，列方程的方法也相应产生，这就是所谓“开元术”。在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述开元术的是李冶的《》。
李冶（）原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年被蒙古军所破，遂隐居治学，被聘为，仅一年，便辞官回家。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的就是说明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一部数学著作《》（1259），也是讲解开元术的。
古代数学《九章重差图》
： 《》 《》 《九章重差图》
263年左右，六会发现当圆内接的变数无限增加时，多边形的面积则可无限逼近，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与
合体而无所失矣。”刘徽采用了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想，创立了“”
《重差》原为《》的第十卷，即后来的《海岛算经》，内容是测量目标物的高和远的计算方法。重差法是测量数学中的重要方法。
：（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。他当时就把率 精确到小数点后7位(3.1415926&圆周率&3.1415927)，比西方领先了1500年，并得出355/113的，22/7的。写书《缀术》，记载了他计算圆周率的方法，不过已经失传。
古代数学数学名言
数统治着宇宙。 ——
数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。 ——C·F·高斯
上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。 ——L·克隆内克
上帝是一位算术家 ——雅克比
一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。——维尔斯特拉斯
纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀德海
可以数是属统治着整个量的世界，而算数的则可以看作是数学家的全部装备。——麦克斯韦
数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。——史密斯
无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——D·希尔伯特
发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。——C·G·达尔文
宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。——J·H·京斯
这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。——A·N·怀德海
给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——A·L·柯西
纯数学是魔术家真正的魔杖。——诺瓦列斯
如果谁不知道的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。——
整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯克霍夫
一个数学家越超脱越好。——无名氏
数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果。——A·埃博
近现代以来，我国对于数学领域的研究取得的成果并不大，只有老一辈的等伫立在世界数学的最高峰，但是年轻一辈没有突出的数学大家。}