课标教材与大纲教材的比较说明华中科技大学附属中学 彭树德引言： 引言：2003 年颁布的《普通高中数学课程标准（实验），标志着我国历史上力度最大的一次 》 改革开始了。它较为清晰地回答了我国的数学课程要改革什么、提倡什么、和需要做什么； 突出了人的发展，突出了数学教育的育人本质；提出了知识与技能、过程与方法、情感态度 与价值观有机结
合的基本理念，以及“提高作为未来公民基本数学素养，以满足个人发展 “提高作为未来公民基本数学素养， 与社会进步的需要” 与社会进步的需要”的课程总目标，把人的发展和社会的发展紧密得联系在一起，深刻地揭 示了数学教育的本质。那么为什么要进行这次课程改革呢？这还要从我国的课程现状说起：从我国的课程的现状来看，我们的数学课程内容比较系统，我们的学生基础知识、基本 技能比较熟练，这是联系实际、培养能力的基础，在常规的测试中也能够获得高分，我们的 教师在课程的实施中敬业精神强，对于数学思想方法的教学也较为关注，对逻辑思维能力、 空间想象能力、计算能力的培养也有自己的认识和做法。 同时我国的数学课程也存在着明显的不足： 一是课程的单一性， 课程设置单一，缺乏选择性；其次是课程目标的单一 课程目标的单一，更 一是课程的单一性，首先是课程设置单一 课程设置单一 课程目标的单一 多地关注“双基” ；再次课程内容得单一 课程内容得单一，课程内容缺少与学生的生活经验、社会实际的联 课程内容得单一 系，缺少数学各分支之间、数学与其它学科之间的联系，没有体现数学的背景和应用，没有 体现时代发展和科技进步与数学之间的联系，这种“掐头去尾烧中段”的内容安排，使学生 “掐头去尾烧中段” 感受不到数学有什么用，造成了学生对数学不感兴趣；如不等式的证明，比较法、综合法、 如不等式的证明， 如不等式的证明 比较法、综合法、 分析法、放缩法、构造法、方程法等是多种方法，学习后不知道有什么用处.所以新教程就 分析法、放缩法、构造法、方程法等是多种方法，学习后不知道有什么用处 所以新教程就 对其进行了改良，综合法、分析法作为一般性方法， 中的“推理与证明” 对其进行了改良，综合法、分析法作为一般性方法，就把它放在系列 2 中的“推理与证明” 去讲， 不等式选讲”中去讲（学生可以不选） 去讲，其他方法放在作为较高要求的系列 4-5 的“不等式选讲”中去讲（学生可以不选） ， 不等式的证明只是要求掌握 不等式的证明只是要求掌握 只是要a+b ≥ ab 的简单应用， 的简单应用， 较多地关注不等关系的现实存在及优 2化问题。 评价的单一性，只重视结果的评价，没有注意学生在数学活动中表现出来 化问题。再有就是评价的单一 评价的单一 的兴趣和态度的变化、学习数学的信心、独立思考的习惯、合作交流的意识、认知水平的发 展等对学生发展的全面考察。 二是忽视了数学课程的教育价值， 二是忽视了数学课程的教育价值，数学的教学不仅仅是使学生掌握数学的基础知识、 基本技能、基本思想，还应使学生具有表达清晰、思考有条理等理性思维的方式，使学生具 有求真务实的态度、锲而不舍的精神。但是在以往的课程中，我们的数学课程忽视了上述教 育价值，对人的理性思维和理性精神的培养缺乏高度的认识和实践。如对《数学 1》 集合 如 》 （ 与函数及应用）在课标中强调的教育价值是① 与函数及应用）在课标中强调的教育价值是①发展学生掌握数学语言和运用数学语言学习 数学、进行交流的能力； 发展学生对变量数学的认识， 数学、进行交流的能力；②发展学生对变量数学的认识，为此教材在这里不讲一元二次不 等式的解法、弱化定义域和值域的确定（还有人认为“求定义域”的提法欠妥， 等式的解法、弱化定义域和值域的确定（还有人认为“求定义域”的提法欠妥，因为定义 域伴随着函数的出现而同时出现了 ， 出现而同时出现了） 域伴随着函数的出现而同时出现了） 让学生更关注集合语言的应用和对函数概念的理解和 应用，就是为了体现着两个教育价值。 应用，就是为了体现着两个教育价值。此外我们的课程还忽视了学生独立思考能力和创新 意识的培养，教学活动中被动接受、死记硬背的现象较为突出，这是不利于学生发展和人才 培养的。 三是忽视对数学本质的认识和理解，存在过分形式化的倾向。如对函数概念的教学中， 三是忽视对数学本质的认识和理解，存在过分形式化的倾向。如对函数概念的教学中， 人为地强化了定义域和值域的训练，而对函数本质的探索、认识、 人为地强化了定义域和值域的训练，而对函数本质的探索、认识、理解和应用就显得不够 怎样理解 对应“为什么要有唯一性 。 理解“ 要有唯一性？ 还有在统计课程中， 更多的是计算统计量（ （如怎样理解 对应 为什么要有唯一性？） 还有在统计课程中， “ “ 更多的是计算统计量 众 （ 中位数、平均值、方差等） 而忽视了从样本估计总体的统计的基本思想， 数、中位数、平均值、方差等） 而忽视了从样本估计总体的统计的基本思想，忽视了让学 ，1生经历收集数据、整理数据、分析数据、从数据中获取信息做出判断的过程， 生经历收集数据、整理数据、分析数据、从数据中获取信息做出判断的过程，从而培养数 据分析能力。 据分析能力。所以，在我们的课程中，在进行“双基”教学的同时，要把握好数学的本质， 要处理好“从数学形态到教育形态”的转变。基于上述的分析，使我们了解到，改变数学课程，实施新的课程标准，势在 必行，同时我们下面要进行课标教材与大纲教材的比较，也将从这里切入。 从课程内容上比较 课标教材更能体现课程的基础性和选择性。 一． 从课程内容上比较，课标教材更能体现课程的基础性和选择性。 1.课程框架 课程框架比较 1.课程框架比较(1)课程整体框架比较 (1)课程整体框架比较 课程整体框架 与以往的高中数学课程相比，这次课程标准更加突出了基础性和选择性．根据《普通高 中课程方案（实验） 》关于课程结构和课程设置的要求，普通高中课程由学习领域、科目、 普通高中课程由学习领域、 普通高中课程由学习领域 科目、 模块三个层次构成．普通高中课程一共设置了八个学习领域（语言与文学、数学、 模块三个层次构成．普通高中课程一共设置了八个学习领域（语言与文学、数学、人文与 社会、科学、技术、艺术、体育与健康、综合实践活动） ，数学自身构成一个单独的学习领 社会、科学、技术、艺术、体育与健康、综合实践活动） ， 域．在数学课程这个领域中，不再划分科目，直接由模块构成．这模块又划分成必修和选修 两部分．其中，必修课程由 5 个模块构成，选修课程分成 4 个系列，各个系列由模块或专题 构成（如下图） ．(湖北省将它分为选修ⅠA, ⅠB, ⅠC,还有选修Ⅱ（校本类）). . .（2）模块与专题内容比较 模块与专题内容比较 ① 必修课程的 5 个模块，包括集合、基本初等函数、立体几何初步、平面解析几何 集合、 集合 基本初等函数、 体几何初步、 初步、算法、统计、概率、平面上的向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式等内 初步、算法、统计、概率、平面上的向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式 容，这些内容是每一个高中学生都要学习的．其中算法是新增加的，而向量、统计和概率是 近些年来不断加强的内容， 其他内容基本上都是以往高中数学课程的传统基础内容， 当然有 些内容在目标、重点、处理方式上发生了变化（详见《数学通讯》的系列文章，新教材解 （详见《数学通讯》的系列文章， 读之（ ） （ ） 月为之（ ） 以后还会陆续登出） 读之（1）---（12） 7 月为之（12） 以后还会陆续登出） 这些内容对于所有的高中学生来 ， ， ． 说，无论是毕业后直接进人社会，还是进一步学习有关的职业技术，或是继续升大学深造，2都是非常必要的基础． 以人教（A）版为例，其具体章节划分如下：?第一章：集合与函数的概念 ? 数学 1 ?第二章：基本初等函数（1）（指对幂函数） ?第三章：函数的应用 ??第一章：空间几何体 ? ?第二章：点、直线、平面之间的位置关系 数学 2 ? ?第三章：直线与方程 ?第四章：圆的方程 ? ?第一章：算法初步 ? 数学 3 ?第二章：统计 ?第三章：概率 ? ?第一章：解三角形 ? 数学 5 ?第二章：数列 ?第三章：不等式 ?② 选修课程分为 4 个系列， 以人教（A）版为例，其具体章节划分如下：?第一章：三角函数 ? 数学 4 ?第二章：平面向量 ?第三章：三角恒等变换 ?系列 1：?第一章：常用逻辑用语 ? 选修 1-1 ?第二章：圆锥曲线与方程 ?第三章：导数及其应用 ? ?第一章：统计案例 ? ?第二章：推理与证明 选修 1-2 ? ?第三章：数系的扩充与复数的引入 ?第四章：框图 ?系列 2：?第一章：常用逻辑用语 ? 选修 2-1 ?第二章：圆锥曲线方程 ?第三章：空间向量与立体几何 ? ?第一章：导数及其应用 ? 选修 2-2 ?第二章：推理与证明 ?第三章：数系的扩充与复数的引入 ? ?第一章：计数原理 ? 选修 2-3 ?第二章：概率 ?第三章：统计案例 ?系列 3：选修 3-1 数学史选讲 (湖北省选择修习 湖北省选择修习 湖北省选择修习) 选修 3-3 球面上的几何 选修 3-4 对称与群3选修 4-1 几何证明选讲 (湖北省选择修习 湖北省选择修习 湖北省选择修习) 选修 4-2 矩阵与变换 选修 4-4 坐标系与参数方程 (湖北省选择修习 湖北省选择修习 湖北省选择修习) 选修 4-5 不等式选讲 (湖北省选择修习 湖北省选择修习 湖北省选择修习) 选修 4-6 初等数论初步 选修 4-7 优选法与实验设计初步 选修 4-9 风险与决策 注：选修 3-2 信息安全与密码；选修 3-5 欧拉公式与闭区间分类；选修 3-6 三等分角与 数域扩充；选修 4-3 数列与差分；选修 4-8 统筹法与图论初步；选修 4-10 开关电路与布尔代 数。在教材的编写过程中就已经被删除了。 必修课程和选修课程的各个系列全都划分成模块或专题，是为了方便学生选择课程内 容、制定学习计划．其中，必修课程、选修系列 1 和系列 2 的每一个模块，都安排了 36 课 时（约半个学期成为一学段 约半个学期成为一学段 约半个学期成为一学段）的学习内容，选修系列 3 和系列 4 的每一个专题，都安排了 18 课时的学习内容．每个学生在学期开始时，可以根据自己的学习基础和发展方向，选择 不同模块的内容，制定各自不同的学习计划，还可以在学习一个阶段之后，根据自己的学习 情况，调整、变更学习计划．这样就为不同学生的发展打好不同的基础，提供了充分的选择 (3)数学探究、数学建模、数学文化。 数学探究、 数学探究 数学建模、数学文化。 为了促进学生更加主动地钻研数学， 培养学生提出问题、 分析问题和解决问题的能力， 养成应用数学的意识和习惯，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值， 《标准》明确提 出了数学探究、 数学建模和数学文化等新的学习内容和学习方式， 并对其教学提出了具体的 要求．这些内容不但可以结合有关数学内容，设计成相对集中的课题研究、建模活动或数学 文化研究活动，而且还应注意到，这些新的学习方式应当贯穿于整个高中数学课程，渗透在 各个模块的教学过程中．例如，在教学新内容时，就可以联系学生已有的基础，引导学生经 历主动探究、归纳发现、抽象概括的过程，来获取新知识．在教学某个数学知识时，就可 在教学某个数学知识时， 在教学某个数学知识时 以联系知识发生发展的背景，研究有关的数学文化． 以联系知识发生发展的背景，研究有关的数学文化． 的教学来说明数学文化在课堂教学中的渗透： 下面以必修 5《数列》第一节的教学来说明数学文化在课堂教学中的渗透： 《数列》第一节的教学来说明数学文化在课堂教学中的渗透 初识“形数理论” ① 初识“形数理论” ： 传说古希腊毕达哥拉斯（Py-thagoras,越公元前 传说古希腊毕达哥拉斯（Py-thagoras,越公元前 570 年-约公元前 500 年）学派的数学 家经常在沙滩上研究数学问题， 它们在沙滩上画点或用小石子来表示数。 比如他们研究过 家经常在沙滩上研究数学问题， 它们在沙滩上画点或用小石子来表示数。 比如他们研究过 1， 10，……，由于这些数可以用三角形的点阵表示，它们就称其为三角形数；类似地， 3，6，10，……，由于这些数可以用三角形的点阵表示，它们就称其为三角形数；类似地， 1，4，9，16，……，被称为正方形数，因为这些数能够表示为正方形。 有意思的是，2009 （有意思的是 ， ， ， ，……，被称为正方形数，因为这些数能够表示为正方形。 有意思的是， （ 就是以它为模型来命题的。 这种用图形来研究数的过程， ）这种用图形来研究数的过程 年湖北高考数学试卷第 10 题，就是以它为模型来命题的。 这种用图形来研究数的过程， ） 在数学史上称为“形数理论” 在数学史上称为“形数理论” 。系列 4：4②“形数理论”的应用： ②“形数理论”的应用： 形数理论 如果对于教材的这一段引入到此为止，显然只停留在数学文化应用的较低层次， 如果对于教材的这一段引入到此为止，显然只停留在数学文化应用的较低层次，即只 在数学课堂上讲点数学史以提高学生兴趣而已。如果能够“ 在数学课堂上讲点数学史以提高学生兴趣而已。如果能够“在历史脉络中比较数学家所提 供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思想弹性” 供的不同方法，拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力和思想弹性” 中学数学中的数学 （ ，这样才是应用数学文化的较高层次 史） 这样才是应用数学文化的较高层次，既要将数学史融入数学教学。 ，这样才是应用数学文化的较高层次，既要将数学史融入数学教学。 如 在 “ 等 差 数 列 前 n 项 和 ” 的 教 学 中 ， 可 以 用 三 角 数 来 推 导1+ 2 + 3 +L+ n =1 n(n + 1) ，并从毕达哥拉斯的做法中体会“倒序相加”的方法。从正方 并从毕达哥拉斯的做法中体会“倒序相加”的方法。 22形数中，探究出“ 形数中，探究出“1 + 3 + 5 + L + (2n ? 1) = n ”③“形数理论的”拓展： 形数理论的”拓展： 当然，对于教材引入部分的“形数理论”能让学生理解到他的应用， 当然，对于教材引入部分的“形数理论”能让学生理解到他的应用，体会到古代数学 的思想方法，已经彰显出了数学文化的内涵，但如果能在上一个层次， 家的思想方法，已经彰显出了数学文化的内涵，但如果能在上一个层次，把数学家的思想 做进一步的拓展，就能让学生逐步领悟数学文化的精髓。 做进一步的拓展，就能让学生逐步领悟数学文化的精髓。 n 项 和 ” 的 旁 批 中 ， 给 出 了 等 式 如 “ 等 比 数 列 前 “1 + 2 + 3 + L + n =2 2 2 21 n(n + 1)(2n + 1) ” 没有给出证明）就可以用三角形数来证明。 （没有给出证明）就可以用三角形数来证明。 6n n n-1nn-1n-2nn-12nn-1n-221①数字和为 1 + 2 + 3 + L + n2 2 22② 顺时针旋转 12005n n-1 n 2n+12n+1 2n+1n-2n-1n2n+12n+12n+123n2n+12n+12n+1123n-1n2n+12n+12n+12n+12n+1③ 顺时针旋转 1202 2 20④对应圈的数字和故有： 故有： 3(1 + 2 + 3 + L + n ) = (2n + 1)(1 + 2 + 3 + L + n) ，2即：1 12 + 22 + 32 + L + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 2.课程内容比较 课程内容比较与以往的高中数学课程相比， 《标准》选定的必修内容以及选修系列 1 和系列 2，的学 习内容，基本上覆盖了 1997 年制定，又于 2002 年修改审定的《全日制普通高级中学数学教 学大纲》的内容， 只是根据时代的要求，增加了算法初步、 推理与证明、框图这样的新内容， 在概率统计方面， 对于统计思想及其应用和随机概念有所加强． 与此同时对有些传统的内容 作了删减，或在要求和侧重点方面有所调整．例如，削弱了三角函数恒等变换的证明；不等 式中减少不等式证明的内容， 而侧重介绍不等关系中优化的思想； 立体几何中减少综合证明 的内容，重在对于图形的把握，发展空间观念，运用向量方法解决计算问题；微积分初步中 不再系统地讲极限概念，只通过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用．这 样的调整， 将使得学生把精力更多地放在理解数学的思想和本质方面， 更加注意数学与现实 世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自 觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或在工作、生活中应用 数学，打下更好的基础。 （1）部分内容的增加和减少 ） 模块 数学 3（必修） 选修 1-2 选修 2-2 选修 4-1 大纲教材 选修Ⅱ 增加内容 算法初步 推理与证明、框图 推理与证明 几何证明选讲 删减的部分 极限 课时数 12 12+6=18 8 18 课时 12内容的必修 地位的调整 （2） 部分内容的必修、选修地位的调整 ） 部分内容的必修、选修地位 教学内容在大纲教材的情况 统计： （选修Ⅰ，选修Ⅱ） 简易逻辑：必修 圆锥曲线方程：必修 排列、组合、二项式定理：必修 （3）部分内容的知识点的调整 ） 模块 教学内容6教学内容在课标教材的情况统计：必修（数学 3） ；统计案例（选修 1-2， 选修 2-3） 常用逻辑用语：选修 1-1，选修 2-1. 圆锥曲线方程：选修 1-1，选修 2-1. 计数原理：选修 2-3 增加的知识点 删减的知识点数学 1 数学 2 数学 2 数学 3 数学 3 数学 4基本初等函数 （Ⅰ） 立体几何初步 平面解析几何初步 概率 统计 基本初等函数 （Ⅱ）幂函数 三垂线定理及逆定理 空间直角坐标系 几何概型 茎叶图 余切、正割、余割函数的 概念， 已知三角函数值求 角，反三角函数符号。 线段定比分点、 平移公式 分式不等式 全称量词与存在量 词 定积分与微分基本 定理 条件概率、超几何 分布。 独立性的检验 柱坐标系与球坐标 系 在课标教材中的位置 （数学 1） 基本初等函数 （Ⅰ） （数学 2） 平面解析几何初步 （数学 5）不等式数学 4 数学 5 数学 1-1，2-1 数学 2-2 数学 2-3 数学 2-3 数学 4-4平面向量 不等式 常用逻辑用语 导数及其应用 概率 统计 坐标系与参数方程（4）部分内容知识点的位置调整 ）部分内容知识点的 知识点 在大纲教材中的位置 函数的奇偶性 两点间的距离 简单线性规划 反证法 数学归纳法 （必修）三角函数 （必修）平面向量 （必修） 直线和圆的位置关系（必修）9（A）直线、平面、 （选修 1-2， 2-2） 推理与证明 简单几何体 选修（Ⅱ）极限 （选修 2-2） 推理与证明， （选 修 4-5）不等式选讲 降低要求 反函数的处理： 只要求以具体函数为例 进行解释和直观理解， 不要求一般性的 讨论反函数的形式化得定义， 也不要求 求已知函数的反函数。 仅要求认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征，对棱柱、正棱锥、球 的性质有掌握变为不做要求。 知道最小二乘法 的思想 不要求使用真值表（5） 部分内容知识点教学要求的调整 ） 模块 数学 1 教学内容 函数概念与 基本初等函 数（Ⅰ） 立体几何初 步 统计 常用逻辑用 语 提高要求 分段函数要求简 单应用数学 2数学 3 选修 1-1， 2-17（6）相同内容的课时调整 ） 大纲教材 集合、简易逻辑 课 时 14 课标教材 集合（必修） 、常用 逻辑用语（选修 1-1，2-1） 函数概念与基本初 等函数（Ⅰ） 课 时 4 8 32 必修、 选修课时增减 （+、 -） 必修-10，选修+8.函数（必修） 三角函数30 46必修+2 必修-14基本初等函数（Ⅱ） 16 三角函数（必修） 、 三角恒等变换（必 8 修） 、解三角形（必 8 修） 平面解析几何初步 （必修） 圆锥曲线与方程 （选修 1-1） 圆锥曲线与方程 （选修 2-1） 立体几何初步（必 修） 空间向量与立体几 何（选修 2-1） 18 12直线和圆的方程（必 修）22必修-4 必修-18，选修+12圆锥曲线方程 （必修） 1816 18选修+16 必修-189（A）直线、平面、 简单几何体（必修） 9（B）直线、平面、 简单几何体（必修） 不等式（必修） 排列组合二项式定理 （必修） 统计（选修Ⅰ）3636 22 18 912选修+12 必修-6 选修+18 必修-18，选修+14 必修+16 选修+5 必修-4 选修+8 内容不单独设置， 渗透在每 一个模块和专题中， 高中阶 段至少完成一次完整的数 学探究活动。16 不等式（必修） 不等式（选修 4-5） 18 计数原理（选修 2-3） 统计（必修） 统计案例（选修 1-2） 概率（必修） 统计与概率（选修 2-3） 数学探究是与必 修、选修课程并列 的课程内容。 14 16 14 8 2212 概率（必修） 统计与概率 （选修Ⅱ） 14 研究性学习课题（必 修） 研究性学习课题（选 修Ⅰ） 研究性学习课题（选 修Ⅱ） 导数（选修Ⅰ） 导数（选修Ⅱ） 123 6 15 18 导数及其应用（选 修 1-1） 导数及其应用（选 修 2-2）816选修+124选修+8具体来讲： 具体来讲： ①函数的变化：课标教材删减了反函数的一般性的概念，只是在对数函数x y = log a (a & 0且a ≠ 1) 与 指 数 函 数 y = a x 的 图 像 之 间 的 关 系 研 究 之 后 ， 说 明x y = log a (a & 0且a ≠ 1)是 y = a x 的反函数；增加了用二分法求方程近似解的内容；增加了“函数模型”一节内容；一段时期被删除的幂函数再次列入教学内容。课标教材将函数概念 置于映射之前，在研究了函数的概念、图像及表示方法后再给出映射的概念。大纲教材在函 数一章前先学习了一元二次不等式、 简单的绝对值不等式的解法， 课标教材将这部分内容后 移了。从整体分析，特别是对文科学生来讲，导数内容的加强势必对函数部分的学习，尤其 是处理单调性、值域、最值等问题的方法与技能的侧重点产生较大影响。 立体几何的变化： ②立体几何的变化：从理念上讲，课标教材中，立体几何初步是在学习完必修 1 后在 必修 2 中分 2 章出现的，内容分为空间几何体的结构、三视图和直观图、球的表面积和体积 （了解） ；空间点、线、面的位置关系；这样的安排，使学生先认识了空间几何体的结构特 征，并且能画出实物图，同时也了解了空间点、线、面的位置关系，学生的认知过程是由感 性认识上升到理性认识的，更符合学生的认知规律。课标教材更注重知识的实用性，如学完 第一章学生能画出学校的直观图， 学习三视图对以后学习理工科的学生更具有实用性； 从呈 现方式上讲，大纲教材是以图形的位置关系为主线，从局部到整体展开几何内容，课标教材 以图形的结构特征为主线，按照从整体到局部的方式展开几何内容。然后引入向量的方法， 为学生解决夹角问题开阔了思路，避开了辅助线添加的难处。同时对平行、垂直等关系的判 断定理和性质定理的导出和证明采用了直观验证、 合情推理和演绎推理相结合的方法让学生 主动参与探索知识的发生过程， 使学生在获得知识的同时培养学生的探究精神和获取知识的 方法，课标教材对图形面积和体积的计算以及证明的训练力度有所减弱，需引起注意，但 课标教材对图形面积和体积的计算以及证明的训练力度有所减弱， 课标教材对图形面积和体积的计算以及证明的训练力度有所减弱 需引起注意， 学生在获取知识的方法上有所增强，这是课改的一个亮点。 学生在获取知识的方法上有所增强，这是课改的一个亮点。从内容上讲，增加了三视图、 台体的表面积和体积；降低了异面直线所成的角的计算以及二面角大小的计算；删除了（或 在选修课体现）三垂线定理及其逆定理、多面体及其欧拉公式以及点面距离、线面距离、面 面距离的定义等内容。又由于文科没有“空间向量机立体几何”这一章，所以在高考中，文 科的计算只有面积和体积，无角和距离的计算，其要求和难度有所降低，但对能力的考查进 一步加强，能力的内涵更加丰富，可见对选修文科的学生还是有一定的要求的。 解析几何的变化： ③解析几何的变化：直线与圆的方程主要有如下的变化---不再求“直线到直线的角” “两条直线的夹角” ，不再对两条相交直线的位置关系做定量的精确研究，只对两条直线的 特殊位置（平行、垂直）进行研究，且放在直线方程之前；线性规划问题移到必修 5 不等式 一章，参数方程与圆的参数方程移到选修 4-4 中，曲线与方程移到选修 2-1 圆锥曲线之前， 增加了直线与圆的位置关系、 圆与圆的位置关系、 直线与圆的方程的简单应用和空间直角坐 标系的概念等内容，这不仅充实了学习的内容，同时也增强了知识间的联系和应用价值。圆 锥曲线方程主要是降低了要求，如文科的双曲线和抛物线从“掌握”变成了“了解” ，理科 的双曲线也从“掌握”变成了“了解” 。 不等式的变化： ④不等式的变化：大纲教材中在理论阐述、证明及解不等式的技巧训练，课标教材则 强调不等式的实际背景和实际应用， 把不等式作为刻画现实生活中不等关系的工具， 作为刻 画优化问题的一种数学模型。 在必修 5 中， 内容有一元二次不等式的解法， 并突出了与函数、 方程的关系，删除了高次不等式、幂指对不等式（主要在函数的单调性中讨论） ，增加了算 法在解一元二次不等式中的应用；将线性规划列入不等式中， ；还有基本不等式的证明与应 用，不等式的证明教以前降低。另外在选修 4-5《不等式选讲》中，增加了平均不等式（以 往只要学生知道） 、柯西不等式、排序不等式、数学归纳法与不等式等，突出了不等式的应9用。 ⑤文理科课程内容差异： 文理科课程内容差异： 课程内容差异 在选修系列 1 和系列 2 中，有些内容是相同的，如常用逻辑用语、数系的扩充与复数 的引人；有些内容从标题来看是相同的，但是在内容的要求上有所区别，如圆锥曲线与方程 没有“曲线与方程”这一节，对求轨迹要求低一些） 、导数及其应用（系列 1 没有 （系列 1 没有“曲线与方程”这一节，对求轨迹要求低一些） 、 （ 定积分、微积分基本定理、定积分的简单应用） 、统计案例、推理与证明（系列 1 没有数学 定积分、微积分基本定理、定积分的简单应用） （ 归纳法） ；还有一些内容分别安排在不同的系列中，如框图（就是流程图）只在选修系列 1 如框图（ 归纳法） ； 如框图 就是流程图） 中才有，而空间中的向量与立体几何、计数原理、 中才有， 中才有，而空间中的向量与立体几何、计数原理、概率只在选修系列 2 中才有，即文科对 立体几何的计算与证明只是停留在综合法上，且难度降低；概率不需要学习排列组合与二 立体几何的计算与证明只是停留在综合法上，且难度降低；概率不需要学习排列组合与二 项式定理、条件概率及独立事件同时发生地概率等。 项式定理、条件概率及独立事件同时发生地概率等。 详见《数学通讯》 月的增刊《高中数学新课程新增雨变动内容解析》 （详见《数学通讯》2009 年 7 月的增刊《高中数学新课程新增雨变动内容解析》 ）从教材编写的理念进行比较， 二． 从教材编写的理念进行比较， 进行比较 课标教材更能体现数学发展的规律及学生 的认知规律． 的认知规律．1.从“教材编写体例”比较，课标教材体现了“螺旋上升”的原则，更加符合学生的 从 教材编写体例”比较，课标教材体现了“螺旋上升”的原则， 认知规律。 认知规律。 比较必修与选修教材的相关内容，其课程设计和教程编排都体现了“螺旋式上升”的 原则，同时也“螺旋式上升”地呈现出数学的重要概念、定理和思想方法，这与大纲教材有 很大的不同。①以函数为例，在《数学 1》 以函数为例， （函数的概念与基本初等函数Ⅰ）《数学 4》 、 （三 以函数为例 角函数）《数学 5》 、 （数列）《选修 2-2》 、 （导数及其应用）中，分阶段、分层次逐步深入学 习函数内容，这样的安排就是“螺旋式上升”的。②以立体几何为例，对立体几何的学习， 以立体几何为例， 以立体几何为例 教材分别在必修的数学 2 和选修的 2-1 中也是分层次逐步展开的，在必修 2 中，以“空间几 何体” “点、直线、平面的位置关系”这两章内容，从整体到局部展开对立体几何的学习。 教材先让学生认识空间几何体、 三视图、和几何体的结构特征， 然后研究点、线、面得关系， 且在研究过程中，对平行和垂直的判断定理只需直观感知、操作确认，其证明放在选修 2-1 的空间向量中， 同时对角与距离的计算也后移在空间向量的应用中， 这样就使得立体几何的 难度分散，降低了综合法的难度，是学生对这一内容的学习循序渐进、螺旋上升。③以统计 以统计 为例， 在必修 3 中介绍了统计学中的抽样方法、 以样本估计总体特征的思想以及线性回归分 为例， 析后，又在选修 2-3 中以“统计案例”的形式，从实例出发，介绍了相关性检验和独立性检 验（假设性检验）的思想，即两个变量之间有无关系、关系是否密切或者误差对关系的影响 程度等。这种“螺旋式上升”的课程设计和教材编排兴起于“螺旋式”课程，此课程是有 这种“ 这种 螺旋式上升”的课程设计和教材编排兴起于“螺旋式”课程， 美国著名教育家、 心理学家布鲁纳在 20 世纪 60 年代提出的， 意指根据某一学科知识的概念 结构，以促进学生认知能力发展为目的的一种课程设计， “螺旋式”课程提供了一套具有逻 辑先后顺序的概念组合，让学生在一定时间内学习、探索一套逐步加深、拓宽的复杂概念体 系。 2.从“教学内容的定位”比较，课标教材更能揭示数学概念的本质。 揭示数学概念的本质。 从 教学内容的定位”比较，课标教材更能揭示数学概念的本质 数学的内容，数学的功能，数学的作用，正是这些基本问题构成了教材的主线。如果 我们只把一些知识按照某种方式罗列出来， 而忽视了这条主线， 教材也就失去了灵魂。 因此， 我们在编写教材的过程中，始终坚持教学内容的“准确定位” 比如函数。函数是什么呢？ 。比如函数 函数是什么呢？ 比如函数。 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 这就要求我们在教材中充分展示现实世界的 有关背景，揭示变量之间的依赖关系，尝试用函数去描述它。因此，我们不是在初中的基础 上，把自然语言直接转换为集合语言，而是给出三个具有代表性的实例，让学生体会数集之 间对应关系，再用集合与对应的语言来刻画它们。这里的实例，从所涉及的领域来讲，既有 来自自然科学的，也有来自社会现象的，还有来自日常生活的；从表现的形式来说，既有解 析式，也有表格，还有图象。提供这样的背景，是想让学生从这些丰富的素材中揭示函数的10本质。在讲函数的表示法时，我们除提供足够的实际问题让学生用适当的方法表示，使学生 体会函数概念的实质与其表示方法的辩证关系外， 还特别强调用图象来表示函数关系的重要 性和必要性， 要求学生能根据图象解释它的实际意义并研究其性质。 我们把函数的三种表示 方法放在同等的位置，认为它们都是基本的，既有联系又相互独立，在现代经济、科学和社 会生活中，都有不可替代的作用。在讲函数的单调性和最大值、最小值等重要性质时，我们 都注意从社会现象和自然现象出发（如物理学中的波意耳定律、 “菊花”烟花的形状等） ，既 说明问题来自现实的需要，又阐明用数学刻画现实问题的基本过程。 在关于函数的其他各章中， 我们始终贯穿了用函数描述现实世界变量关系 用函数描述现实世界变量关系这一思想。 比 用函数描述现实世界变量关系 如指数函数、 对数函数、 幂函数和三角函数所反映的都是现实世界中的某个重要的基本规律， 很多不同的问题都可以用同样的基本函数来刻画它。 我们认为， 只有把握了函数的这一本质 特征，才能真正理解函数的定义，认识函数的价值，体现函数的模型作用。进一步，这样处 理对让学生认识从现实中抽象出数学模型进而研究现实规律的数学方法也具有潜在的作用。 在教材定位上，我们始终注意从整个模块的功能与价值出发，强调：整体思考，独立定 位,相互呼应，留有余地。所谓整体思考，就是把每个模块放到整个高中数学课程目标中去 考虑，明确每一模块在整个高中数学中的地位和作用，它所承担的教育功能。独立定位，就 是充分认识每一模块都应该：①有明确的教育目标；②面对共同的核心问题；③构成模块的 各部分内容产生相同或相近的价值；④具有内在的逻辑联系。相互呼应，就是注意模块间的 联系。留有余地，就是在教师和学生达到基本要求的前提下，给他们提供发挥其创造性的空 间。上述想法，除了在“模块概述” 中得以表现外，更多的还体现在具体环节的处理上。 更多的还体现在具体环节的处理上。 更多的还体现在具体环节的处理上 3．从“素材的合理选取”上比较，课标教材更能反映数学与社会生活的联系。 素材的合理选取”上比较，课标教材更能反映数学与社会生活的联系 数学与社会生活的联系。 ． 课程改革的实践表明，除观念问题外，迫切需要解决的问题是课程资源，是有利于提高 学生数学素质的素材。 在本教科书的每一模块和专题中， 我们都强调用丰富的事例来说明问 题。以《数学 1》为例，它联系到的实际问题包括斜抛运动、臭氧空洞、恩格尔系数、经济 以 》为例， 增长率、C 测定、地震震级的测定、溶液酸碱度的测定、投资预测、人口的预测与控制、电 费计算、温度变化等。这些素材，涉及到社会生活和自然现象的方方面面，特别是环境、人 口、医疗、体育、现代技术等当今世界普遍关注的问题。还如，以确定居民月用水标准引入 统计学中的有关概念；从福利彩票、天气预报、遗传机理中加深对概率意义的理解等等。这 样做，不仅增强了教材的现代气息，还为教师开发课程资源提供了示范。 素材选取的关键，是有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理 解。所以在教学中我们还要注重素材的开发和利用，利用好不同版本的数学教材资源。比如 在鄂教版数学教材中，为了帮助学生理解集合间的基本关系，我们可以引进计算机视窗操 为了帮助学生理解集合间的基本关系， 为了帮助学生理解集合间的基本关系 作系统中“我的文档”这一素材。运用这一素材不仅可以说明全集与子集的概念，而且可以 让学生体会到包含和属于等思想，因为正是分级分类管理的现实需要，在“我的文档”中才 有了文件夹、 子文件夹和文件的概念， 它正好对应着全集、 子集和元素的概念及其相互关系。 特别地，尚未存放文件的“新建文档”是一个很好的空集模型，它为我们定义空集提供了直 观的支撑。为了帮助学生理解向量的加法，我们可引进了机器人行走的素材。学生容易理 为了帮助学生理解向量的加法， 为了帮助学生理解向量的加法 我们可引进了机器人行走的素材。 解，机器人从点 A 经点 B 到点 C，与从点 A 直达点 C，虽然走法不同，但最终的效果是一 样的。 在这样的基础上定义向量加法就非常自然了。 又比如算法， 为了让学生理解算法思想， 我们认为两方面的素材是必不可少的： 一是具有代表性的算法范例， 从中可以揭示算法的基 本特征和基本结构；二是最基本、最简单的程序设计语言，它能让学生对算法的思想加深理 解并为在计算机上实现奠定基础。 这样学生才能真正经历寻求具体问题的算法、 画出算法的 流程图、把流程图转化为计算机语言、最终由计算机解决问题的过程。只有在这一过程中， 学生才能真正理解算法的思想和体会算法的意义与作用。为此，我们适当地介绍了 BASIC 的几个基本语句，作为我们介绍算法的载体。它的目的不在于学习程序语言，而在于给算法11的学习提供一个支撑。 4．从“激发学生探究问题的意识”进行比较，课标教材更强调问题情境的合理设计。 激发学生探究问题的意识 进行比较，课标教材更强调问题情境的合理设计 探究问题的意识” 强调问题情境的合理设计。 ． 问题情境是教学得以展开的起点，是我们为了实现教学目标而营造的特定背景，是数 学学习、数学思维、数学活动的具体环境。通过创设问题情境，激起学生学习的内在需求， 其中包括求知需求、应用需求和审美需求。 章头语的设计，在于向学生展示数学背景， 章头语的设计，在于向学生展示数学背景，让学生初步了解本章研究的问题，从而产 生学好本章的欲望。比如《立体几何初步》的章头语，在给出空间几何体是几何学的重要组 成部分的基础上，提出了它在机械设计、建筑结构和航海测绘等方面有广泛的应用，由此激 发学生探索新知的愿望。 《解三角形》的章头语从嫦娥奔月讲起，引入 4 个测量问题，对激 发学生的学习兴趣很有好处。 《统计》的章头语通过我们经常面临的问题说明统计的意义与 任务，突出统计学的人文价值和现实功能，以利于激发学生的学习热情。 每一节的正文大多由问题构成， 每一节的正文大多由问题构成，如：对于空间两直线的位置关系，教科书由一道思考 题“同一个平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？”引入，通过两个实 例（教室和天安门的国旗杆）的分析，然后引导学生对长方体进行观察“如图，长方体 ，从而引 ABCD- A B C D 中，线段 A/ B 所在直线与线段 C C 所在直线的位置关系如何？” 出空间直线的三种位置关系， 并以一道探究题作为应用。 在后面的平行公理和等角定理的研 究中，也是以一道观察题、一道探究题、一道思考题为线索展开的。教材希望从问题出发， 引发学生的思考，从而实现自主探究的目标。 （如《数学 2》以问题形式出现的“观察”有 7 次， “思考”有 39 次， “探究”有 25 次， “阅读与思考”有 5 次， “探究与发现”有 2 次， “实 习作业”1 次， “？”---问号型的问题有 15 次，其中 P118 上连续三个“？”） 。 在旁批中，教材也设置了一些交流话题 设置了一些交流话题。 《数学 2》直线方程中，为加强斜截式 在旁批中，教材也设置了一些交流话题。比如， 参量的理解，给出旁批： “截距是距离吗？” ，在学生的思考过程中明确其区别；在对两点式 旁批“若点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 中有 x1 = x2 , 获 y1 = y2 ，此时过这两点的直线方程是什 1 么？”的思考过程中，可明了两点式的使用条件；在直线方程几种形式的应用过程中，我们 给出旁批“中点坐标公式” ，强化的是一般性的结论。这些旁批，与正文一道，实际上构成 了一种问题情境，有助于学生对一些数学现象作理性的思考。 5． 从“学生对数学过程的体验程度”进行比较，课标教材更注重展示数学活动的过 ，从 学生对数学过程的体验程度 进行比较，课标教材更注重展示数学活动的过 程度” ． ， 程。 在课标教材中，对数学活动的过程给予了特殊的关注。因为，只有在过程中，才能发 展学生的能力，激扬学生的情感，真正实现“三维” 目标。这里的过程，包括数学概念发 生发展的过程、思维过程、数学活动的过程等。其呈现方式有三种： 1）优先考虑以自然界和社会生活的客观规律以及人们认识和利用这些规律的具体情境 为背景，从现实问题中提练数学模型，并进行必要的解释，以适应课题的需要； 2）对具有重要历史意义的内容，则应着眼于数学的文化价值，再现历史镜头，从而引 人课题； 3）对不宜以上述方式为出发点的课题，应考虑依照数学本身发生发展的客观规律，引 导学生观察、实验、猜测、验证、推理和反思，从而引人这些内容； 根据实际情况， 即根据课题内容的特点和学生的认知习惯， 合理地选用上述方式或采取 更为有利的其他引人方式。这样的过程展示就体现了数学中概念发生、发展的多种可能性， 以保证不同章节的呈现方式符合教材本身的特点。 立体几何初步》 每个公理、定理和性质的引人， 在《立体几何初步》中，每个公理、定理和性质的引人，我们都始终坚持在现实生活 中选择恰当的实例，让学生去观察、感知和确认。这些实例，往往是学生非常熟悉的，如长/ / / //12方体、教室、工匠的操作，引导学生从中发现线面关系，并概括出一般规律。如讲两个平面 平行的判定定理时，首先提出问题： “三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所 在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？”进而， 在长方体中实施这个问题的探究，从而归纳出两个平面平行的判定定理。又如，在讲“多面 体概念时，先让学生观察，寻找它们的共同特征，再进一步思考，用简明的语言给出定义。 这种从对某种对象的特征的分析过渡到引人定义的过程是学生认知数学的过程， 从一定意义 上讲也体现了数学概念发生发展的过程。 数学 1》中讲指数概念的推广及其运算性质时 《 》中讲指数概念的推广及其运算性质时， 首先提出学生在初中已熟知的整数幂的运算性质对分数指数幂是否适用？以此为线索， 逐步 展开，依次探求正分数指数幂、负分数指数幂、有理指数幂、无理指数幂的定义。亲历这一 过程，无疑有助于学生领悟数学概念因自身矛盾而发展的规律。特别地，由于无理指数幂的 特殊性， 我们让学生利用计算器或计算机按一定顺序进行一系列计算， 感受 “逼近” 的过程， 让学生亲身体验“用有理数逼近无理数”的思想。 教科书关于数学活动过程的考虑还体现在整体布局上， 力求使每一个课题都能促进学生 的和谐发展。下面以《算法初步》为例作简要说明。这部分教材分为四步： 下面以《 下面以 算法初步》为例作简要说明。这部分教材分为四步： 第一步，从解一元一次方程等简单例子中归纳算法的特征，明确算法的含义，借助自然 语言叙述算法步骤 算法步骤； 算法步骤 第二步， 将算法由自然语言的描述过渡到用程序框图 程序框图描述。 借助程序框图分析算法的结 程序框图 构：顺序结构、条件结构、循环结构等。 第三步，将算法的程序框图描述转化为程序语言 程序语言 程序语言，以最基本的语句为载体，深化对算法 结构的认识。 第四步，算法举例。通过学生在数学学习或日常生活中经常遇到的，具有典型性和代表 性的例子，让学生进一步理解算法的思想。每个例子基本上都给出问题分析、程序框图和程 序语言，让学生体验从具体问题中抽象出算法，用程序框图描述、编写程序进而在计算机上 实现的全过程。我们认为，只有像这样面对广泛的问题并经历上述过程，特别是通过具体实 例的上机实现，才能真正理解算法思想及其作用。在这里，关于算法结构的介绍，不是一次 到位，而是螺旋上升的。这就把学生的认识水平从感性引向到了理性。 如“更相减损术”： “可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更 相减损，求其等也。以等数约之。 ”也就是说：任意给定两个正整数；判断它们是否 都是偶数。若是，则不断用2约简；若不是，以较大的数减较小的数，接着把所得的 差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止， 则这个等数就是所求的最大公约数。 算法步骤: 算法步骤 : 第1步，给定两个正整数 m,n,不妨设 m & n . 第2步，若 m,n 都是偶数，则不断用2约简之，使它们不同时是偶数，约简后的两 个数仍记为 m,n( m & n ). 第3步，求差 d = m ? n . 第4步，判断是否有 d = n .若是，则得到 d ? 2 (k 是约简整数的2的个数)；否则将kn,d 中较大者记为 m,较小者记为 n，重复第3步。 根据算法步骤，可得程序框图(图2)，并进而写出程序。 程序框图 ：13mn( m & n ) k=0 m=m/2,n=n/2,k=k+1m,nd=m-n m=n,n=d m=dd &n? d ≠n?d ? 2k算法程序 ： INPUT &m,n=&;m,n K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0m 2 n n= 2 m=k=k+1 WEND d=m-n WHILE d ≠ n IF d & n THEN m=d END IF IF d & n THEN m=n n=d END IF d=m-n WEND d=d*2^k PRINT d END 正是基于让学生“经历过程、体验过程”的考虑，本教科书还设置了《阅读与思考》 、 《探索与发现》《信息技术应用》栏目。 、 《数学 1》中的《阅读与思考----函数概念的发展过 程》描绘了函数整个的发展过程，是学生明白函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的14实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与 我们学习函数的过程是一样的； 《数学 4》中的《探究与发现-----利用单位圆中的三角函数研 究正弦函数、余弦函数的性质》就充分体现了从几何的角度研究三角函数性质的过程。也为 学生提供了一个探究过程的范例； 《数学 2》中的《信息技术应用-------用几何画板探究点的 轨迹：圆》为学生提供了一个实验、发现、猜想的环境，这种环境有利于我们经历用数学思 想验证猜想的过程。阅读、探究与技术应用与正文中的思考、探究相得益彰，让学生切身感 受到数学研究、数学思考、数学活动的基本过程。三．从课堂教学过程进行比较，使用课标教材更能增强教学的有效性。 从课堂教学过程进行比较，使用课标教材更能增强教学的有效性。1.从“课程的教学顺序及教学评价”进行比较，课标教材的使用与评价呈现出多元化 从 课程的教学顺序及教学评价”进行比较，课标教材的使用与评价呈现出多元化 与评价 趋势。 的趋势。 ①必修 1-5 是学生进人高中以后，首先学习的 5 个模块，这是学生毕业时应掌握的最基 本的数学内容， 也是学习其他选修课程的基础． 这些内容对于学生进一步了解现实世界中数 量变化之间的关系，把握空间图形的位置关系，通过收集和处理数据，分析事物发展变化的 规律，计算和解决生活或工作中的一些实际问题，是非常必需的． 必修课程的 5 个模块内容， 以数学 1 为基础， 其余的 4 个模块在不影响相关联系和知识 准备的条件下， 学校可以根据学生的选择和本校排课的具体情况进行安排， 原则上没有顺序 要求．如湖北可能采用 1-4-5-3-2。 简述其理由） ． 。 简述其理由） （ 必修 1-5 是高考的必考内容，同时也是“学业水平考试”的考试内容。 ②高中数学的选修系列 1 和系列 2，是在必修课程的基础上，为不同发展方向的学生设 置的数学课程．其中，选修系列 1 是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的，选 修系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的．这两个选修系列的内容，同样是 给学生的发展继续打基础，只是依据学生发展方向的不同，为学生打好不同的基础而设置 的．学生可以根据自己的发展志向，主动作出选择． 选修系列 1 和系列 2 中各模块的学习， 原则上没有先后顺序， 学校可以根据学生的选择 和本校排课具体情况进行安排． 选修系列 1 和系列 2 分别是文科和理科的高考内容。 ③为了使高中学生依据各自不同的兴趣和需要，了解更多、更广的数学知识，具有更 高的数学素养， 《标准》设置了选修系列 3 和系列 4 的学习内容．通过选修这些内容，学生 可以对于数学的科学价值、 应用价值和文化价值有更多的认识， 以满足他们今后在工作和生 活中对有关数学知识的需要． 选修系列 3 和系列 4 的内容，有些看起来很深奥，以往只有上大学才能够学到，例如 球面上的几何、对称与群、矩阵与变换等．现在把它们引人高中数学课程，并不是要把这 现在把它们引人高中数学课程， 现在把它们引人高中数学课程 些内容简化下放， 而是想抓住这些数学内容的精髓， 把它们的基本思想介绍给高中学生． 另 些内容简化下放， 而是想抓住这些数学内容的精髓， 把它们的基本思想介绍给高中学生． 外有些内容，例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式 例如数学史选讲、 例如数学史选讲 几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、 选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上， 选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上，进一步加深对已学知 识和相关知识的了解和认识 相关知识的了解和认识． 优选法与实验设计初步、 识和相关知识的了解和认识．还有一些内容，例如优选法与实验设计初步、风险与决策、 优选法与实验设计初步 风险与决策、 它们反映了数学与现实世界的紧密联系与广泛应用，通过介绍这些数学知识， 等，它们反映了数学与现实世界的紧密联系与广泛应用，通过介绍这些数学知识，可以加 深学生对数学的力量、数学应用价值的认识． 深学生对数学的力量、数学应用价值的认识．这些内容的教材编写和教学，并不要求很严 格的系统性， 但是又不是像有些通俗介绍那样只是简单地讲讲故事， 而是想让学生对它们的 基本内容和基本思想方法有一个初步的了解． 选修系列 3 和系列 4 这两个系列，在教学要求上是有所区别的．选修系列 3 的专题，主 要是以通俗易懂的语言， 深人浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想， 以开阔学生 视野，从数学的发展或从一个具体的数学分支，来认识数学的魁力和价值．选修系列 3 的专 选修系列 题学习结束后，学生都要完成一个学习报告，概括一下本专题的基本内容， 题学习结束后，学生都要完成一个学习报告，概括一下本专题的基本内容，总结自己学习15后的体会． 后的体会．选修系列 3 的评价，可以采用定性与定量相结合的方式进行，但不列人高等院校 招生考试的命题范围．选修系列 4 的专题，虽然也是要深人浅出地介绍各个专题的主要内 选修系列 的专题， 但同时还要求学生能够运用其中的数学知识，计算、证明或处理一些问题． 容，但同时还要求学生能够运用其中的数学知识，计算、证明或处理一些问题．选修系列 4 的专题学习结束后， 学生除了要写学习报告之外， 还应能够运用所学知识解答一些简单的问 题，高等院校的招生考试也可以根据招收专业的需要，选择选修系列 4 中某个专题的内容 高等院校的招生考试也可以根据招收专业的需要 高等院校的招生考试也可以根据招收专业的需要， 来命题． 、 来命题．以湖北省为例，作为选修ⅠB，全省规定在“选修 3-1 数学史选讲”“选修 4-1 几 何证明选讲”“选修 4-4 坐标系与参数方程” 、 、 “选修 4-5 不等式选讲”中选择一个模块中 的两个专题进行修习。 所以一般在系列 4 中选择， 在高考中， 有两种模式， 一是设置选做题， 二是不列为高考内容。如 2009 年高考中： 广东： （二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题） 广东： 13 ． 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 若 直 线 l1 : ? （? x = 1 ? 2t , (t为参数) 与 直 线 ? y = 2 + kt.? x = s, l2 : ? （ s 为参数）垂直，则 k = ? y = 1 ? 2 s.14． （不等式选讲选做题）不等式．x +1 x+2≥ 1 的实数解为．15．(几何证明选讲选做题）如图 4，点 A, B, C 是圆 O 上的点， 且AB = 4, ∠ACB = 450 ，则圆 O 的面积等于．海南、宁夏： 海南、宁夏：选做题（22 ~ 24 题，考生只能从中选做一题） （22）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲w.w.w. k.s.5. u.c.o.m如图，已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H， ∠B = 60 ，F 在 AC 上，0（1）证明：B,D,H,E 四点共圆： （2）证明： CE 平分 ∠DEF 。 且 AE = AF 。 （23） （本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 ： ?w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m? x = ?4 + cos t , ? x = 8 cos θ , （t 为参数） C 2 ： ? ， （ θ 为参数） 。 ? y = 3 + sin t , ? y = 3sin θ ,（1）化 C 1 ，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t =π2，Q 为 C 2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线? x = 3 + 2t , C3 : ? ? y = ?2 + t（t 为参数）距离的最小值。w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m（24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原 点的距离，y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. （1）将 y 表示成 x 的函数； （2）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m16、 、 福建 21、本题（1）（2）（3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 题作答，满 分 14 分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中， （1） （本小题满分 7 分）选修 4-4：矩阵与变换 已知矩阵 M ? 的坐标 （2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ?w.w.w. k. s.5.u.c.o.m? 2 ?3 ? ? 所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A ‘(13,5),试求 M 的逆矩阵及点 A ? 1 ?1 ?? x = ?1 + 2 cos θ ? y = 2 + 2sin θ( θ 为参数 )试判断他们的公共点个数（3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 解不等式O2x-1O&OxO+1 江西： 、 、 江西：请考生在第（22）（23）（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明讲 已知 ? ABC 中， AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 AC 上的点 （不与点 A,C 重合） ， 延长 BD 至 E。 （1） 求证：AD 的延长线平分 ∠ CDE；w.w.w. k.s.5. u.c.o.m（2） 若 ∠ BAC=30， ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ，求? ABC 外接圆的面积。 （23） （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角 坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ cosw.w.w. k. s.5.u.c.o.m（θ ?π3）=1，M,N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点。w.w.w. k. s.5.u.c.o.m（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。 （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f ( x ) =| x ? 1| + | x ? a | 。 （1） 若 a = ?1, 解不等式 f ( x ) ≥ 3 ； （2）如果 ?x ∈ R , f ( x ) ≥ 2 ,求 a 的取值范围。w.w.w. k. s.5.u.c172.从“课堂教学的策略”进行比较，课标教材使得“问题 发现”的过程教学方式成为 课堂教学的策略”进行比较，课标教材使得“问题-发现 发现” 一种必然的选择。 一种必然的选择。 “问题―发现”的过程教学思想，即将知识的发生、发展、发散的过程用一组阶梯式的 问题串起来，让学生在这些问题的解决过程中去发现，从而优化学生的思维品质，提高学生 发现问题和解决问题的能力。这种教学策略的实施，既是实现新的课程理念的需要，也符合 国际上流行的教育教学理论的要求。首先在问题的解决过程中，有合作学习、有自主探究、 有过程领悟、有数学本质的体验、有思维能力（合情推理与演绎推理）的提升，这些都是新 的课程理念所要求的；另一方面，建构中有过程（瑞士心理学家、哲学家皮亚杰是建构主义 的先驱，他强调学习的过程是学生主动建构的过程，其认知结构通过同化或顺应而得到发 展） 、最近发展区有过程（前苏联心理学家维果茨基提倡在现有发展水平与潜在的发展水平 之间有一最近发展区，使得“现有----潜在”通过“最近”转化，而推动思维发展。、再创 ） 造中也有过程（荷兰教育教育家弗洛登塔尔从教育的角度，强调教学的过程就是学生“再发 现”知识的过程，与美国心理学家布鲁纳倡导的“发现法”一样，其用意也在于使学生成为 知识的发现者，即使这一知识在教材上已存在） ，所以说，过程教学也是实践新的教学思想 的体现。下面以 “数学归纳法”为例，阐明这种教学策略的具体过程。数学归纳法（ 数学归纳法（一）教案 教学目标： 1.经历“数学归纳法”的发现过程，初步形成“归纳――猜想――证明”这一探索发现的思维方法， 培养理性思维的精神,认识有限与无限的辩证关系。 2.经历“数学归纳法”的应用过程，会用“数学归纳法”证明简单的有关正整数的数学命题. 教学重点： 理解数学归纳法的实质意义，初步掌握数学归纳法的证题步骤。 教学难点： 数学归纳法的发现过程。 教学方法：“问题-发现”法、计算机辅助教学。 教学过程： 创设情境， 1. 创设情境，提出问题n 的验证和分析， （问题 1：通过对 n = 1, 2, 3, 4, LL 的验证和分析，试比较 2 与 n + 2 的大小2）？） （ n ∈ N ）？）*探索交流， 2. 探索交流，发现新知 探究 1：（1）当 n 当n 当n 当n= 1 时， 21 & 12 + 2 ；= 2 时， 22 & 22 + 2 ； = 3 时， 23 & 32 + 2 ； = 4 时， 24 & 42 + 2 ， = 1, 2, 3, 4 时， 2n & n 2 + 2 。故当 n （2）当 n 当n 当n= 5 时， 25 = 32 & 27 = 52 + 2 ； = 6 时， 26 = 64 & 38 = 62 + 2 ； = 7 时， 27 = 128 & 51 = 7 2 + 2 ；18当n= 8 时， 28 = 256 & 66 = 82 + 2 LL ，n故可猜测，当 n ≥ 5 时， 2& n2 + 2思考：（1）象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。上述猜测（1）是 完全归纳；（2）是一种不完全的归纳。 （2）探究需要勇气和自信，但要不怕犯错误。数学家也会犯错误。（费尔马猜想的错误） （3）费尔马猜想的错误，说明什么问题？那我们如何解决不完全归纳法存在的问题呢？证明的难点在于要用有限的步骤解决无限的问题， （问题 2：证明的难点在于要用有限的步骤解决无限的问题，在数学的学习过程中或者 在日常生活中，有这样的例子吗？ 有学生给出“前人栽树，后人乘凉”的例子）--引出 在日常生活中，有这样的例子吗？（有学生给出“前人栽树，后人乘凉”的例子）--引出 递推的思想） 递推的思想） 比上面的实例，思考一下，要证明以上的猜想， （问题 3：类比上面的实例，思考一下，要证明以上的猜想，可将上述命题转化成一个 新的命题来证明，这个新命题是什么呢？） 的命题来证明，这个新命题是什么呢？）探究 2：① “已知 25 6& 52 + 2 ，求证 26 & 6 2 + 2 （不用直接计算法）”？ & 6 2 + 2 ，求证 2 7 & 7 2 + 2 （不用直接计算法）”？ & 7 2 + 2 ，求证 2 8 & 8 2 + 2 （不用直接计算法）”？“已知 2 “已知 2 ……7这还是一个无穷多个问题呀？怎么解决呢？） 多个问题呀 （问题 4：这还是一个无穷多个问题呀？怎么解决呢？）② 可以将其一般化： 可以将其一般化：“已知当 n 般化= k (k ≥ 5) 时，不等式成立，即 2 k & k 2 + 2 ，求证：当n = k + 1 时，不等式也成立，即 2 k +1 & (k + 1) 2 + 2 ？”2 k +1 = 2 × 2 k & 2(k 2 + 2) = (k + 1) 2 + 2 + (2 × 2 k ? (k + 1) 2 + 2) = (k + 1) 2 + 2 + (k ? 1) 2 & (k + 1) 2 + 2证明了这一般化得结论，猜想是不是就证明了呢？） （问题 5：证明了这一般化得结论，猜想是不是就证明了呢？）③ 证明的过程：（1）证明 n 取第一个数即 n=5 时，不等式成立； （2）假设 n= k (k ∈ N * , k ≥ 5) 时，不等式成立，证明 n = k + 1 时不等式也成立。（3）由（1）（2）可知，不等式对任意的大于 5 的正整数 n 都成立。这就是“数学归纳法”。 ④ 对于一般的与正整数 n 有关的数学命题 P(n),若要用数学归纳法来证明， 简说其主要的步骤：（1）证明 n 取第一个值 n0 （例如 n0 =1 或 2 等）时，命题 P(n)成立；（归纳的基础） （归纳的基础） （2）假设 n= k (k ∈ N * , k ≥ n0 ) 时，命题 P(n)成立（归纳假设），证明 n = k + 1 时命题也 （归纳假设）成立。（归纳的依据） （归纳的依据） （3）由（1）（2）可知，命题 P(n)对任意的大于 n0 的正整数 n ，命题 P(n)都成立。（从有限 （ 到无限） 到无限） 简单应用， 3. 简单应用，巩固方法 例：观察图形 ，导出一个与正整数 n 有关的恒等式，并用数学归纳法给予证明。197 5 3 1 n 证明：①当 n ②假设 n n= 1 时，左=1=右，故等式成立。即= k 时,等式成立1 + 3 + 5 + 7 + L + (2k ? 1) = k 2成立， 那么， 当n = k + 1 时 1 + 3 + 5 + 7 + L + (2k ? 1) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + 1) 2∴当 n= k + 1 时等式也成立。由①②的证明可得等式对一切正整数都成立。 思考：（1）解题的规范（可理解为三步） （2）学生错误分析：以下证明命题的方法是数学归纳法吗？ 假设 n= k 时,等式成立即1 + 3 + 5 + 7 + L + (2k ? 1) = k 2成立， 那么，1 + 3 + 5 + 7 + L + (2k ? 1) + (2k + 1) =∴当 n(k + 1)[1 + (2k + 1)] = (k + 1) 2 2= k + 1 时等式也成立。所以等式对一切正整数都成立。（3）只有第二步，没有第一步行吗？（不行。若只证第二步，则1 + 3 + 5 + 7 + L + (2n ? 1) = n 2 + 1 也成立，但这显然是错误的），故三步缺一不可。学生反思， 4. 学生反思，完善结构 （1）。从结果谈这节课的收获？（数学归纳法证明命题的步骤、关键。） （2）．从过程谈这节课的收获？（归纳法重在发现，数学归纳法重在证明。两者的结合，形成了“归 纳――猜想――证明”这一探索发现的思维方法。） 5.规范练习， 5.规范练习，培养能力 规范练习 （1）用数学归纳法证明： ①、 1 + 2 + 3 + L + n=n(n + 1) * （ n ∈ N ）； 2= a1 q n ?1 (n ∈ N * )②、首项为 a1 ，公比为 q 的等比数列的通项公式为： a n （2）用规范的书写将“通过对 n*= 1, 2, 3, 4, LL 的验证和分析，试比较 2n 与 n 2 + 2 的大小（ n ∈ N ）？”的解题过程写出来。 （3）已知 a1= 1, a n +1a n = a n ? a n+1 ，试求出 a 2 , a3 , a 4 ，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法进行证明。3. 从“课堂教学的有效性评价”进行比较，使用课标教材能讲出更多的“好课” 。 课堂教学的有效性评价”进行比较，使用课标教材能讲出更多的“好课” 评价 在新的课标理念下，评价一节课的好与坏，可以从以下三方面切入，视其所以（解读教 视其所以（ 视其所以 材和目标） 观其所由（教学方式） 察其所安（学法和学情） 、观其所由 、察其所安 。能够做到四个平衡，课堂教 材和目标） 观其所由（教学方式） 察其所安（学法和学情） 、 、 。20学才能算作有效，课也才能算作“好课” 。 超越”平衡。 （1）在教材的处理上， 尊重”与“超越”平衡。 ）在教材的处理上， 尊重” “ 如《数学归纳法》这节课，大纲教材把它放在极限的前面，作为一种方法来介绍。而新 教材将它放在“推理与证明”这一章，回归其本源，体现了其价值，形成了“归纳――猜想 ――证明”这一探索发现的思维方法。而教师对教材的处理正是顺应了这一变化，所以说使 用新教材可以讲出更多的好课。 那么新教材我们又怎样解读呢？新教材是“课程标准”的物化，所以对教材的解读， 应以课程标准为依据。 《课程标准》既是编写教材的依据，也是实施教学的依据。我们的教 材与传统教材相比，为什么会发生变化？为什么主要不是从数学本身的逻辑出发，而是从 为什么会发生变化？ 为什么会发生变化 为什么主要不是从数学本身的逻辑出发， 现实情境出发？为什么新增添的教学内容与大学教材中同一内容不同 教材中同一内容不同， 现实情境出发？为什么新增添的教学内容与大学教材中同一内容不同，而原有的基础知识 也按不同的视角展开？为什么我们曾经强调的某些东西不再重要，而出现了一些新的、 也按不同的视角展开？为什么我们曾经强调的某些东西不再重要，而出现了一些新的、被 认为是重要的东西？在教学时，这些问题决不只是停留在理论的层面，而是非常具体的。 认为是重要的东西？在教学时，这些问题决不只是停留在理论的层面，而是非常具体的。 比如， 函数》 为什么不先讲映射、再讲函数？从数学讲，函数不是映射的特例吗？ 比如，在《函数》中，为什么不先讲映射、再讲函数？从数学讲，函数不是映射的特例吗？ 为什么不在初中关于函数意义的逻辑来的描述上把它直接转换为用集合来定义？ 为什么不在初中关于函数意义的逻辑来的描述上把它直接转换为用集合来定义？后面这种 方式， 难道不也是在学生已有基础上进行的教学吗？又比如， 讲导数时， 为什么不讲极限？ 方式， 难道不也是在学生已有基础上进行的教学吗？又比如， 讲导数时， 为什么不讲极限？ 难道导数概念的建立可以回避极限吗？ 立体几何初步》 为什么只讲到点、 难道导数概念的建立可以回避极限吗？在《立体几何初步》中，为什么只讲到点、线、面 的位置关系而不涉及空间距离和线面角等内容 为什么只是对性质定理进行证明， 置关系而不涉及空间距离和线面角等内容？ 的位置关系而不涉及空间距离和线面角等内容？为什么只是对性质定理进行证明，而对相 操作确认” 这不是降低了理性思维的要求吗？还有， 《常 应的判定定理只要求 直观感知、 “直观感知、 操作确认” 这不是降低了理性思维的要求吗？还有， 常 ？ 《 用逻辑用语》中讲的逻辑知识与形式逻辑（或数理逻辑）是否一回事， 用逻辑用语》中讲的逻辑知识与形式逻辑（或数理逻辑）是否一回事，为什么它只讨论有 实际意义的命题而不关心抽象的形式结构？等等。只有认真研读《课程标准》 实际意义的命题而不关心抽象的形式结构？等等。只有认真研读《课程标准》 我们才能真 正理解这些，从而解除困惑。 正理解这些，从而解除困惑。学习《课程标准》不仅要弄清高中数学应该学习哪些内容，更 要弄清在内容处理上与传统方式有何不同，有哪些突破，充分挖掘两者的异同点。比如微积 比如微积 值得我们注意的至少有三点： 不讲极限概念而直接讲导数概念 限概念而直接讲导数概念。 分，值得我们注意的至少有三点：①不讲极限概念而直接讲导数概念。即直接通过实际背 景和具体应用实例，如速度、膨胀率、效率、 景和具体应用实例，如速度、膨胀率、效率、增长率等来认识平均变化率和瞬时变化率之 间的关系，从而抽象概括出导数的概念。 在内容选择上，把重点放在导数及其运用上， 间的关系，从而抽象概括出导数的概念。②在内容选择上，把重点放在导数及其运用上， 以体现导数解决实际问题的一般性和有效性。 在内容安排上， 以体现导数解决实际问题的一般性和有效性。③在内容安排上，更加关注微积分的现实背 基本思想和文化价值… 基于上述理由，我们还可以把《课程标准》与过去的教学 景、基本思想和文化价值… 大纲进行比较。比如，同样是立体几何，在内容选择、目标要求和内容编排等方面都有很 比如， 比如 同样是立体几何，在内容选择、 大的不同。在立体几何中，前者与后者相比，不仅增加了一些内容，如三视图， 大的不同。在立体几何中，前者与后者相比，不仅增加了一些内容，如三视图，删减的幅 度也较大；在能力定位上，增加了认识空间图形、运用图形进行交流和几何直观等能力； 度也较大；在能力定位上，增加了认识空间图形、运用图形进行交流和几何直观等能力； 与前者从直线、平面到简单几何体，即从局部到整体展开几何内容的顺序不同， 与前者从直线、平面到简单几何体，即从局部到整体展开几何内容的顺序不同，后者按从 整体到局部的顺序展开几何内容，即从空间几何体出发到点、 面之间的位置关系。 整体到局部的顺序展开几何内容，即从空间几何体出发到点、线、面之间的位置关系。这 样更符合学生的认知规律，即符合从几何直观到对空间本质结构理性认识的过程。 样更符合学生的认知规律，即符合从几何直观到对空间本质结构理性认识的过程。 我们要全面学习《课程标准》 ，不仅要学习“内容标准”和“教学建议” ，还要学习“课 程性质”“课程的基本理念”和“课程目标” 、 。因为只有站在这样的高度，我们才能把握课 程改革的方向， 真正从课程研究和建设的角度来审视我们的教材， 才能以本教科书为出发点， 创造性地进行教学。 结果” （2） 在目标的设置上， 过程”与“结果”平衡 ） 在目标的设置上， 过程” “ 过程和结果是辨证统一的。就其性质而言，结果通常只涉及到认知层面，它以“产品” 的形式存在，是封闭的、静态的；而过程则既涉及到认知层面，又渗透着活动主体的情感、 态度、意志等心理因素，它以“活动”的形式存在，是开放的、灵活的、发展变化的，他对 学生身心素质的形成与发展具有促进作用。 “没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的 结果，不追求结果的过程是缺乏价值和意义的过程” 。上面这一节课，学生在追寻“数学归 纳法”的过程中，探究出过程中的“递推”思想，学生既获得了结果，也经历了过程，同时21也体会到了数学归纳法的实质----递推思想。而注重知识发生的过程，揭示数学的本质，正 式课标教材的特点之一，所以说使用新教材可以讲出更多的好课。 那么怎样确定好一节课的目标呢？按照新的课程标准的要求， 教学要达到 “三维目标” ， 三维目标不是三维对立，而是三维统一。我们认为“过河式”的三维目标结构模型， 三维目标不是三维对立，而是三维统一。我们认为“过河式”的三维目标结构模型，能恰 当地反映三者之间的相互关系，在这、 过河人”经历“过河”这一过程中，以过程、 当地反映三者之间的相互关系，在这、“过河人”经历“过河”这一过程中，以过程、方 法为主线，将知识与技能，情感、态度与价值观有机得渗透其中，实现了三维的有机统一 了三维的有机统一， 法为主线，将知识与技能，情感、态度与价值观有机得渗透其中，实现了三维的有机统一， 从而有利于三维目标的设计、达成和生成。 河岸”----新旧知识与技能 新旧知识与技能， 此岸” 从而有利于三维目标的设计、达成和生成。“河岸”----新旧知识与技能，由“此岸”到 彼岸”就完成了知识、技能的达成和提升； 过河”----过程与方法 怎样过河， 过程与方法。 “彼岸”就完成了知识、技能的达成和提升；“过河”----过程与方法。怎样过河，要视 水情”而定，这是方法； 过河”这是过程； 河水”----情感 态度与价值观目标， 情感、 “水情”而定，这是方法；“过河”这是过程；“河水”----情感、态度与价值观目标， 河水是流动的、变化的，隐喻这“过河人”在经历过河时， 河水是流动的、变化的，隐喻这“过河人”在经历过河时，在不同的水情下会产生不同的 情感、态度与价值观。这样，知识与技能目标、情感、 情感、态度与价值观。这样，知识与技能目标、情感、态度与价值观目标就自然地融合在 过河”时的不同“水情”即过程与方法中了，且预设与生成能相辅相成，因为“水情” “过河”时的不同“水情”即过程与方法中了，且预设与生成能相辅相成，因为“水情” 是变化的。 是变化的。如上节课的目标就定位为：“1.经历“数学归纳法”的发现过程，初步形成“归 纳――猜想――证明”这一探索发现的思维方法，培养理性思维的精神,认识有限与无限的 辩证关系。2.经历“数学归纳法”的应用过程，会用“数学归纳法”证明简单的有关正整数 的数学命题.” 在方法的应用上， 探究” 接受”平衡。 （3） 在方法的应用上，“探究”与“接受”平衡。 探究学习比较开放，它更加重视学生学习动机和独立思考，更强调过程，在积累直接 经验、培养学生的创新精神和实践能力方面有其独到之处，但是，这种学习方式花费的时间 较多，接受性学习可以在较短的时间内让学生吸取更多的信息，在积累间接经验、传递系统 的学科知识方面， 其效率之高是其他学习方式无法比拟的， 但这种方法不利于学生形成爱质 疑、乐探究的的心理倾向。接受性的学习和探究性的学习作为两种对立的学习方式，在实际 的教学活动中，要注重两者的平衡。如本例中，探究主要在数学归纳法的形成过程中，而在 应用的过程中，要注意什么，就要靠老师的讲授了，课标教材中，探究处处可见，所以说使 用新教材可以讲出更多的好课。 那么在探究式的教学过程中，应注意一些什么呢？一是要以问题串的形式推进教学。 那么在探究式的教学过程中，应注意一些什么呢？一是要以问题串的形式推进教学。 二是要及时扑捉探究的时机，这种时机主要是在学生回答问题的过程中去寻找。三是教师 二是要及时扑捉探究的时机，这种时机主要是在学生回答问题的过程中去寻找。三是教师 要采用合理的激励机制，四是在探究中也要有接受。 要采用合理的激励机制，四是在探究中也要有接受。 在教学的过程中， 主体” 主导”平衡。 （4） 在教学的过程中，“主体”与“主导”平衡。 教学是一种教师价值引导和学生自主建构相统一的活动。一方面，教学蕴含着教师的 主观意趣，这种主观意趣内含着教师的价值选择和价值预设；另一方面，学生的精神世界时 自主地、能动地生成、建构的，而不是外部力量塑造而成的。过分强调前者，教学就会走向 机械灌输、被动接受；过分强调后者，教学就会走向无目标的误区，演变成一种信马由缰的 活动。因此在教学中，一方面我们应当承认学生是学习的主人，尊重学生在学习中的主体地 位，促进学生积极、主动地建构；另一方面，也要看到，教师相对于学生而言是闻到在先， 肩负着帮助学生增加自我价值感和追求成功的责任。 也就是说， 课堂教学还要在主体和主导 之间寻求一种平衡。在教师有目的的引领下，通过学生的自主探究、自主建构区不断地触摸 历史、感受文化、习得智慧、丰富人生、实现完善大脑、发展思维的终极目的。在这种主体 与主导相互平衡的课堂上， 学生在探究活动中个性得到张扬； 教师有价值的引导彰显其睿智。 数学课堂改革的一个基本要义是寻求“平衡” 诚如顾泠沅先生所说“ 数学课堂改革的一个基本要义是寻求“平衡”，诚如顾泠沅先生所说“搞理论要走一 点极端，搞实践应用必须“执其两端而用之 用之” 真理往往在两个极端之间。 点极端，搞实践应用必须“执其两端而用之”，真理往往在两个极端之间。”，这也正是 中庸》思想在实际教学中的应用。 《中庸》思想在实际教学中的应用。课标教材与大纲教材比较，其编排体系、编写理念和由此带来的课堂教学策 略都发生了许多变化，作为一线的教师，只有不断地学习新课标、研究新教材、22探求新教法，我们才能尽快地适应课程改革给我们带来的新的变化，并在这个过 程中，提升我们的专业素养和教学水平。23
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