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如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∴∠B=30°，∴OA=12OB=3，由勾股定理得：AB=3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴(3)2+（3-OC）2=OC2，∴OC=2=BC，答：OC=2，BC=2．（2）①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2-t，CQ=t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP=60°，∠HPC=30°，∴CH=12CP=12（2-t），HP=32（2-t），∴S△CPQ=12CQ×PH=12×t×32（2-t），即S=-34t2+32t；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，∴CZ=3，CP=t-2，OQ=t-2，∠NOC=60°，∴∠GPO=30°，∴OG=12OP=12（4-t），PG=32（4-t），∴S△CPQ=S△COQ-S△OPQ=12×（t-2）×3-12×（t-2）×32（4-t），即S=34t2-3t+3．④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=12BC=1，有勾股定理得：BM=3，∵OB=23，∴OM=23-3=3=CK，∴S=12PQ×CK=12×2×3=3；综合上述：S与t的函数关系式是：S=-34t2+32t(0＜t≤2)34t2-3t+3(2＜t≤4)；．（3）如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB=90°，∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°-30°=60°，①OM=PM时，∠MOP=∠MPO=30°，∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，∴OP=2OQ，∴2（t-2）=4-t，解得：t=83，②PM=OP时，此时∠PMO=∠MOP=30°，∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在；③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，OP=4-t，∠QOP=60°，∴∠OPG=30°，∴GO=12（4-t），PG=32（4-t），∵∠AOC=30°，OM=OP，∴∠OPM=∠OMP=75°，∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，∴PG=QG=32（4-t），∵OG+QG=OQ，∴12（4-t）+32（4-t）=t-2，解得：t=6+233综合上述：当t为83或6+233时，△OPM是等腰三角形．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交..”主要考查你对&&直角三角形的性质及判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直角三角形的性质及判定
直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。 直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。（2）（AB)2=BD·BC。（3）（AC)2=CD·BC。性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则&&& BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
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