2012年全国中考数学(159套)选择填空解答压轴题分类解析汇编(15专题)专题2：几何问题_中考数学试题_作文网
您现在的位置：&&>>&&>>&&>>&正文
2012年全国中考数学(159套)选择填空解答压轴题分类解析汇编(15专题)专题2：几何问题
&&&热&&&&&★★★
2012年全国中考数学(159套)选择填空解答压轴题分类解析汇编(15专题)专题2：几何问题
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 11:40:05
　　2012年全国中考数学（159套）选择填空解答压轴题分类解析汇编　　专题2：几何问题　　一、选择题　　1. （2012上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【
】　　A． 外离
D． 内含　　【答案】D。　　【考点】圆与圆的位置关系。　　【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，　　∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，62=4，4＞3，即两圆圆心距离小于两圆半径之差，　　∴这两个圆的位置关系是内含。故选D。　　2. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【
】　　A.10
D.10或　　【答案】C。　　【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理　　【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：　　①如左图：　　∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10 。　　②如右图：　　∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=。　　因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或。故选C。　　3. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【
】　　A． 5
D． 16　　【答案】C。　　【考点】三角形三边关系。　　【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得104＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。　　4. （2012广东珠海3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为【
D．90°　　【答案】C。　　【考点】弧长的计算。　　【分析】根据弧长公式，即可求解　　设圆心角是n度，根据题意得，解得：n=60。故选C。　　5. （2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【
】　　A．90　　B．100　　C．110　　D．121　　【答案】C。　　【考点】勾股定理的证明。　　【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，　　所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。　　所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，　　因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。故选C。　　6. （2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再　　向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【
】　　A.（－2，3）
B.（－1，4）
C.（1，4）
D.（4，3）　　【答案】D。　　【考点】坐标平移。　　【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换。　　∵的顶点坐标是（1，1），　　∴点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，3）。故选D。　　7. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【
D．3　　【答案】B。　　【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。　　【分析】∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。　　根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。　　设DF=x，则EF=EG＋GF=1＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。　　在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：。　　∴DF= ，EF=1＋。故选B。　　8. （2012湖北咸宁3分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型　　摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形　　状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为【
】．　　A．
D．　　【答案】A。　　【考点】由三视图判断几何体。　　【分析】一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，即要这个几何体的三　　视图分别是正方形、圆和正三角形。符合此条件的只有选项A：主视图是正方形，左视图是正三角形，俯　　视图是圆。故选A。　　9. （2012福建泉州3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【
】　　A .EF>AE+BF
EF　　【答案】C。　　【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。　　【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。　　∵EF∥AB，∴∠HEO=∠IAE，EI=OD。　　又∵OD=OH，∴EI=OH。　　又∵∠EHO=∠AIE=900，∴△EHO≌△AIE（AAS）。∴EO=AE。　　同理，FO=BF。　　∴AE+BF= EO+FO= EF。故选C。　　10. （2012湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【
】　　A．1个
D．4个　　【答案】B。　　【考点】构成三角形的三边的条件。　　【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形。故选B。　　11. （2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【
】　　如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：　　为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．　　【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，　　∵AB是直径，∴∠ADB=90°。　　∵AB=AC，∴BD=DC。　　（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，　　∴∠BAD=∠CAD 。∴。　　∴BD=DE。　　∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。　　∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°，　　∴∠DCE=∠ABC= (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。　　∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。　　∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。　　∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。　　∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。　　（3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。　　在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴。　　又∵，∴。∴。　　又∵∠AGO=∠CGP，[w∴△AOG∽△CPG。　　∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙的切线。　　【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。　　【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。　　（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。　　（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知，由得， ，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。　　15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．　　（1）求证：△ADF≌△CBE；　　（2）求正方形ABCD的面积；　　（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3　　表示正方形ABCD的面积S．　　【答案】解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，　　∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。　　（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。　　又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。　　同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。　　∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。　　（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，　　由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，　　∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）?h1+h22=2h12+2h1h2+h22．　　【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。　　【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。　　（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF即可得出结论。　　（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知　　S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，从而得出结论。　　16. （2012山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．　　（1）求证：△ABE∽△ECF；　　（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；　　（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．　　【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．　　∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。　　∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。　　（2）△ABH∽△ECM。证明如下：　　∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。　　由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。　　（3）作MR⊥BC，垂足为R，　　∵AB=BE=EC=2，　　∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。　　∴∠MER=45°，CR=2MR。　　∴MR=ER=。∴EM=。　　【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。　　【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF。　　（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得　　△ABH∽△ECM。　　（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM= 即可求得答案。　　17. （2012山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．　　（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；　　（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．　　【答案】解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下：　　连接AP。　　∵AB=AC，∴。　　又∵，∴。∴PA是⊙O的直径。　　∵，∴∠1=∠2。　　又∵AB=AC，∴PA⊥BC。　　又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。　　（2）连接OB，设PA交BC于点E。．　　由垂径定理，得BE=BC=6。　　在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。　　设⊙O的半径为r，则OE=8r，　　在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8r）2，解得r=。　　∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。　　又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，　　∴，即，解得：。　　【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。　　【分析】（1）根据当点P是的中点时，得出，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证。　　（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的长。　　18. （2012山东东营10分）　　（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；　　（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．　　（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：　　如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．　　【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，　　∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。　　（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。　　由（1）知△CBE≌△CDF，　　∴∠BCE＝∠DCF。　　∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，　　即∠ECF＝∠BCD＝90°。　　又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。　　∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，　　∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，　　∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。　　（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．　　在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。　　又∠CGA＝90°，AB＝BC，　　∴四边形ABCD 为正方形。 ∴AG＝BC。　　已知∠DCE＝45°，　　根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。　　∴10=4+DG，即DG=6。　　设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，　　在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。　　解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。　　∴AB=12。　　∴。　　∴梯形ABCD的面积为108。　　【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。　　【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。　　（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，从而可得GE=BE+GD。　　（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。　　19. （2012广西来宾10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．　　（1）求证：DE是⊙O的切线；　　（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．　　【答案】（1）证明：如图，连接OD，　　∵AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD。　　又OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA。　　∴AC∥OD。∴∠E+∠EDO=180°。　　又AE⊥ED，即∠E=90°，∴∠EDO=90°。　　∴OD为圆O的切线。　　（2）解：如图，连接BD，　　∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。　　在Rt△AED中，AE=4，AD=5，∴。　　又∵∠EAD=∠DAB，在Rt△ABD中，∴。　　∴，即圆的直径为。　　【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。　　【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得AC∥OD，由两直线平行同旁内角互补，得到∠E与∠EDO互补，再由∠E为直角，可得∠EDO为直角，即DE为圆O的切线。　　（2）连接BD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到∠ADB=90°。在Rt△AED中，由AE和AD的长，根据锐角三角函数定义求出cos∠EAD。又在Rt△ABD中，根据锐角三角函数定义得到 ，即可求出直径AB的长。　　20. （2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．　　（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；　　第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；　　第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．　　第三步，连接BD．　　（2）求证：AD2=AE?AB；　　（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．　　【答案】解：（1）如图：　　（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。　　又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。　　∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽Rt△ABD。　　∴AD：AB=AE：AD，∴AD2=AE?AB。　　（3）如图，连接OD、BC，它们交于点G，　　∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x，　　∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠ECG=90°。　　又∵∠CAD=∠DAB，∴。∴OD垂直平分BC。　　∴OD∥AE，OG=AC=x。∴四边形ECGD为矩形。　　∴CE=DG=OD－OG=x－x =x。∴AE=AC+CE=3x+x=4x。　　∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF。∴AE：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：x=8：5。　　∴。　　【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。　　【分析】（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E。　　（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB　　得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AE?AB。　　（3）连接OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对　　的圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有OD∥AE，OG=AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，从而计算出AE，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值。　　21. （2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接　　A、O1、B、O2．　　(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；　　(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；　　(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．　　【答案】解：（1）证明：∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A。　　∴四边形AO1BO2是菱形。　　（2）证明：∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB。　　∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°。　　∴△ACE∽△AO2D。∴，即CE=2DO2。　　（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D。　　∴。∴AD=2BD。　　∵S，∴。　　【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。　　【分析】（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。　　（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出，即可得出结论。　　（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出 ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。　　22. （2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足　　为D。　　（1）求证：∠EAC＝∠CAB；　　（2）若CD＝4，AD＝8：　　①求O的半径；　　②求tan∠BAE的值。　　【答案】（1）证明：连接OC。　　∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC。　　又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。　　∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。　　∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。　　（2）解：①连接BC。　　∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，　　∴∠ACB＝∠ADC＝90°。　　∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴。　　∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80，　　∴AB＝＝10。　　∴⊙O的半径为10÷2＝5。　　②连接CF与BF。　　∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，　　∴∠ABC＋∠AFC＝180°。　　∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。　　∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°，　　∴∠2＝∠DCF。　　∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。　　∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。　　∴
。∴DF＝＝2。　　∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。　　∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。　　∴BF＝＝8。∴tan∠BAD＝。　　【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。　　【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。　　（2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，　　从而可得⊙O的半径长。　　②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据　　相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值。　　23. （2012内蒙古呼和浩特8分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．　　（1）求证：∠PAC=∠B，且PA?BC=AB?CD；　　（2）若PA=10，sinP=，求PE的长．　　【答案】（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠PAO=90°，∠C=90°。　　∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°。∴∠PAC=∠B。　　又∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°。∴△PAD∽△ABC，∴AP：AB=AD：BC，　　∵在⊙O中，AD⊥OD，∴AD=CD。∴AP：AB=CD：BC。∴PA?BC=AB?CD；　　（2）解：∵sinP=，且AP=10，∴。∴AD=6。∴AC=2AD=12。　　在Rt△ADP中，根据勾股定理得：。　　又∵△PAD∽△ABC，∴AP：AB=PD：AC。∴AB==15。∴AO=。　　在Rt△APO中，根据勾股定理得：。　　∴PE=OPOE= =5。　　【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。　　【分析】（1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PAO为直角，得到∠PAD与∠DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，得到∠DAO与∠B互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△APD与△ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂径定理得到AD=CD，等量代换可得证。　　（2）在Rt△APD中，由PA及sinP的值求出AD的长，再利用勾股定理求出PD的长，从而确定出AC的长，由（1）两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB的上，求出半径AO的长，在Rt△APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OPOE即可求出PE的长。　　24. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．　　（1）求证：BC是⊙O的切线；　　（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；　　（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．　　【答案】解：（1）证明：连接OB，　　∵OB=OA，CE=CB，　　∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。　　又∵CD⊥OA，　　∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。　　∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。　　∴BC是⊙O的切线。　　（2）连接OF，AF，BF，　　∵DA=DO，CD⊥OA，　　∴△OAF是等边三角形。　　∴∠AOF=60°。　　∴∠ABF=∠AOF=30°。　　（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，　　∴EG=BE=5。　　易证Rt△ADE∽Rt△CGE，　　∴sin∠ECG=sin∠A=，　　∴。　　∴。　　又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，　　由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。　　∴⊙O的半径为2AD=。　　【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。　　【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。　　（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。　　（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。　　25. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．　　（1）如图l，求证：PC=AN；　　（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．　　【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。　　∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。　　∵PQ⊥AB
MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。　　∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。　　∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。　　∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。　　（2）∵NP=2
PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。　　∴AM=AP=5。∴。　　∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。　　∴。　　∵，∴BC=6。　　∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。　　又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴。　　∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。　　∴，。　　过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。　　∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。　　∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。　　∴∠BPC=∠BFH。　　∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。　　∴。　　∴，。　　∴CT= 。∴ 。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。　　∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。　　∴。∴tan∠BDK=1。　　过K作KG⊥BD于G。　　∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。　　∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。　　∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。　　∴DQ=BQ－BD=6－。　　【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。　　【分析】（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。　　（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。　　26. （2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．　　（1）求证：BD是⊙O的切线；　　（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；　　（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．　　【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°。∴∠ABC+∠BAC=90°。　　又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。∴OB⊥BD。　　∴BD为⊙O的切线。　　（2）证明：如图，连接CE、OC，BE，　　∵OE=ED，∠OBD=90°，∴BE=OE=ED。　　∴△OBE为等边三角形。∴∠BOE=60°。　　又∵OD∥AC，∴∠OAC=60°。　　又∵OA=OC，∴AC=OA=OE。∴AC∥OE且AC=OE。　　∴四边形OACE是平行四边形。　　而OA=OE，∴四边形OACE是菱形。　　（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠OBD=90°。　　又∵OD∥AC，∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。　　∴，即。　　又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。　　∴，即。　　∴。　　【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。　　【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，　　而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切　　线。　　（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。　　（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的　　判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有，即，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则，即，然后求FG与FC的比即可。　　27. （2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。　　（1）求证：AM=AN；　　（2）设BP=x。　　①若，BM=，求x的值；　　②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；　　③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。　　【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，　　∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。　　∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。　　（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，　　∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。　　解得x=或x=。　　②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。　　∵△ADM≌△APN，∴。　　∴。　　如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。　　在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，　　∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。　　∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。　　∴。　　∴。　　∴。　　∴当x=1时，S的最小值为。　　③连接PG，设DE交AP于点O。　　若∠BAD=150，　　∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。　　∵△APD和△APE都是等边三角形，　　∴AD=DP=AP=PE=EA。　　∴四边形ADPE是菱形。　　∴DO垂直平分AP。　　∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。　　∴∠PGA =900。　　设BG=t，　　在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。　　∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。　　∴当BP=2－2时，∠BAD=150。　　猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。　　∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。　　∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。　　设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。　　又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。　　∵DH=AD=2a，　　∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，　　HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。　　∵，　　，　　∴。　　∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。　　【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。　　【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。　　（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。　　②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，　　用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。　　③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。　　求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。　　28. （2012福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．　　（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）　　（2）通过观察、测量、猜想：=
，并结合图②证明你的猜想；（5分）　　（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，　　求的值．（用含α的式子表示）（5分）　　【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，　　∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。　　∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°―∠BGO，∠EPO=90°―∠BGO。　　∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。　　（2）。证明如下：　　如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，　　∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB。　　∵∠OBC=∠OCB =450，
∴ ∠NBP=∠NPB。　　∴NB=NP。　　∵∠MBN=900―∠BMN，
∠NPE=900―∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。　　∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。　　∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。　　∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。　　又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF ，即BF=BM。　　∴BF=PE， 即。　　（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，　　∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。　　由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。　　∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。　　∴。　　在Rt△BNP中，， ∴，即。　　∴。　　【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。　　【分析】（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。　　（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的结论。　　（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即可求得。　　29. （2012辽宁沈阳12分）已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.　　（1）求AP的长；　　（2）求证：点P在∠MON的平分线上；　　（3） 如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.　　①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；　　②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．　　【答案】解： (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q
∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4，　　∴AQ=AB=×4=2 ，∠APQ=∠APB=×120°=60°。　　在Rt△APQ中， sin∠APQ=　　∴AP= ＝4。　　（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，　　∴∠OSP=∠OTP=90°。　　在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，　　∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。　　又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。 ∴PS=PT。　　∴点P在∠MON的平分线上。　　（3） ①8+4 ②4+4＜t≤8+4。　　【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理　　【分析】（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。　　（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。　　（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。　　①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；　　②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。　　30. （2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.　　（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；　　（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；　　（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。　　【答案】解：（1）180°－2α。　　（2）EB=EF。证明如下：　　连接BD交EF于点O，连接BF。　　∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，　　∠ADC=180°－∠C=180°-α。　　∵AB=AD，∴∠ADB=（180°－∠A）=α。　　∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。　　由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。　　又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴，即。　　∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。　　∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。　　（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，　　则∠G=∠AEG=。　　∵AD∥BC，　　∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。　　∴∠EDF=∠G。　　∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。　　∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。　　∴△DEF∽△GBE。∴。　　∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。　　∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。　　∴。　　【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。　　【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：　　∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。　　又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。　　（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。　　（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。　　31. （2012辽宁鞍山12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的　　延长线交线段BC于点P，连AP、AG．　　（1）求证：△AOG≌△ADG；　　（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；　　（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．　　【答案】解：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，　　∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，　　∴△AOG≌△ADG（HL）。　　（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：　　由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP。　　∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。　　又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，　　∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。　　∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。　　∴PG=DG+DP=OG+BP。　　（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。　　又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。　　又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。　　在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，　　∴G点坐标为：（，0），CG=3。　　在Rt△PCG中，PC=，∴P点坐标为：（3，）。　　设直线PE的解析式为y=kx+b，　　则，解得。　　∴直线PE的解析式为y=x1。　　【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。　　【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG。　　（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。　　（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。　　32. （2012山东威海11分）　　探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。　　（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；　　（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。　　学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）　　【答案】解：（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。　　∴点E在线段AB的垂直平分线上。　　在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，　　∴△ABD≌△BAC（SSS）。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。　　∴点O在线段AB的垂直平分线上。　　∴直线EM是线段AB的垂直平分线。　　（2）相等。理由如下：　　∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。　　∴。∴。∴。　　∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。　　∴。∴。∴。　　∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。　　（3）作图如下：　　作法：① 连接AC，BD，两线相交于点O1；　　② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；　　③ 连接BG，AH，两线相交于点O2；　　④ 作直线EO2，交AB于点M；　　⑤ 作直线MO1。　　则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。　　【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。　　【分析】（1）一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC，从而得∠DBA=∠CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。　　（2）一方面由CD∥AB，得△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB，利用对应边成比例可得；另一方面由CD∥AB，得△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。　　（3）按（2）的结论作图即可。　　33. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB　　于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。　　(1)求证：P是线段AQ的中点；　　(2)若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。　　【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴。　　又∵C是弧的中点，∴。∴。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。　　∵AB是直径．∴∠ACB=90°。　　∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。　　∴PA=PQ，即P是AQ的中点。　　（2）∵，∴∠CAQ=∠ABC。　　又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴。　　又∵AQ=，BA=10，∴。　　设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，，解得k=2。　　∴AC=6，BC=8。　　根据直角三角形的面积公式，得：AC?BC=AB?CH，∴6×8=10CH。∴CH=。　　又∵CH=HE，∴CE=2CH=。　　【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。　　【分析】（1）首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点。　　（2）首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长。　　34. （2012四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．　　（1）求证：KE=GE；　　（2）若=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；　　（3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．　　【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。　　∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。　　∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。　　又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。　　∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。　　（2）AC∥EF，理由如下：　　连接GD，如答图2所示。　　∵KG2=KD?GE，∴。　　又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。　　∴∠E=∠AGD。　　又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。　　（3）连接OG，OC，如答图3所示。　　由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=。　　∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。　　∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CKCH=t。　　在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。　　设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r3t，CH=4t，　　由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。　　∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。　　在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，　　∴FG=。　　【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。　　【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。　　（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。　　（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。　　35. （2012广西钦州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．　　（1）求证：EF是⊙O的切线；　　（2）求证：AC2=AD?AB；　　（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．　　【答案】解：（1）证明：连接OC，　　∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。　　∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。　　∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。　　∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线。　　（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，　　∴∠BCA=∠ADC=90°。　　∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。　　∴。∴AC2=AD?AB。　　（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.　　∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。　　∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。　　由勾股定理得：DC=，　　∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDAS扇形OCA=×（2+1）×。　　【考点】圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。　　【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可。　　（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案。　　（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案。　　36. （2012广西贵港11分）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且　　∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3。点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H。　　（1）直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长；　　（2）设PH＝x，PC＝y，求y关于x的函数关系式；　　（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值。　　【答案】解：（1）AC=4；AD=3，⊙O半径的长为1。　　（2）在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。　　∵∠C=90°，PH⊥AB，∴∠C=∠PHA=90°。　　∵∠A=∠A， ∴△AHP∽△ACB。∴，即。　　∴，即y与x的函数关系式是。　　（3）如图，P′H′与⊙O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。　　∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，　　∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。　　∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，　　∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。　　∴四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。　　∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y。　　又由（2）知，，∴，解得。　　【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。　　【分析】（1）连接AO、DO，EO，FO，设⊙O的半径为r，　　在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，　　∴⊙O的半径r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1。　　∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，　　∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。　　又∵AD、AF是⊙O的切线，∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。　　（2）通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。　　（3）根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值。　　37. （2012贵州安顺12分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．　　（1）求∠B的大小；　　（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．　　【答案】解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，　　∴∠C=65°40°=25°。　　∴∠B=∠C=25°。　　（2）过点O作OE⊥BD于E，则DE=BE，　　又∵AO=BO，∴OE=AD=×6=3。　　∴圆心O到BD的距离为3。　　【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。　　【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。　　（2）利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。　　38. 2012云南省7分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．　　（1）求证：四边形BMDN是菱形；　　（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．　　【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO。　　∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN。　　∴△BNO≌△DMO（AAS）。∴ON=OM。　　∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。　　∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形。　　（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD。　　设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8－x。　　∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=900。　　在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2，即x2=（8－x）2+42，解得：x=5。　　答：MD长为5。　　【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。　　【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，根据OB=OD和AD∥BC推出△BNO≌△DMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。　　（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出　　x2=x2－16x＋64＋16，求出即可。　　39. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．　　（1）当点G与点D重合时，求x的值；　　（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．　　【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。　　∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。　　∵BC=4，∴x= AB= BC=4。　　（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。　　∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴。　　∴。∴。　　∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，　　∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得，　　即。　　两式相加，得。　　又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，。　　∴，解得（已舍去负值）。　　∴。　　∴在Rt△CEF中由勾股定理得。　　∴。∴。　　【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。　　【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。　　（2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。
数学录入：admin&&&&责任编辑：admin&
上一篇数学： 下一篇数学：
【字体： 】【】【】【】【】【】
　　网友评论：（只显示最新10条。评论内容只代表网友观点，与本站立场无关！）}