简述旋转矩阵三重积分的几何意义义

50矩阵分析几何意义的整理
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50矩阵分析几何意义的整理
矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理;这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章,有些内;一、矩阵的特征值概述:矩阵特征值要讲清楚需要从线;二、线性空间和矩阵的几个核心概念:;空间(space):空间的数学定义是一个集合,在;我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间,我们所生;(1)有很多(实际上是无穷多个)位置点组成;(2)这些点之间存在着相对关系;(3
矩阵分析几何意义和透彻理解PCA的一些整理这是几篇很不错的文章集合在一起的一篇文章,有些内容来自blog,有些来自文献和教程,解决了我遇到很多疑问,感谢把它推荐给我的人。前四部分来自早期几篇blog,把空间描述的形象且易懂,适合我们这些非数学专业的人搞明白一些抽象的问题。一、矩阵的特征值概述:矩阵特征值要讲清楚需要从线性变换入手,把一个矩阵当做一个线性变换在某一组基下的矩阵,最简单的是数乘变换,求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换,特征值就是这个数乘变换的变换比。这样的一些向量就是特征向量,其实我们更关心的是特征向量,希望把原先的线性空间分解成一些向量相关的子空间的直和,这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行,这和物理中研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理。 自相关矩阵最大特征值和特征向量并没有和原来的哪个信号一一对应,而且特征分解本身的含义相当于对原来的信号做了这样的正交分解。使得各个分量之间相互不相关,也就是K―L展开,每一个特征值相当于原来各个信号导向矢量的线性组合,因此不能仅仅从某个特征矢量中直接对应原来某个信号的特征。二、线性空间和矩阵的几个核心概念:空间(space):空间的数学定义是一个集合,在这个集合上定义某某概念,然后满足某些性质,就可以被称为空间。我们所生活的空间是一个三维欧几里德空间,我们所生活空间的特点:(1)有很多(实际上是无穷多个)位置点组成(2)这些点之间存在着相对关系。(3)可以咋空间中定义长度、角度。(4)这个空间可以容纳运动(从一个点到一个点的移动,而不是微积分意义上的“连续”性运动)第(4)点是空间的本质特征,(1)、(2)两点是空间的基础而非性质,第(3)点在其他空间也行并不具备,自然更不是关键的性质。只有第(4)点是空间的本质。把三维空间的认识拓展到其他空间。事实上,不管是什么空间,都必须容纳和支持在其中发生的符合规律的运动(变换)。我们会发现,在某种空间中往往会存在一种相对应的变换,比如:拓扑空间中有拓扑变换,线性空间中有线性变换,仿射空间中有仿射变换,其实这些变换都只不过是对应空间允许的运动形式而已。例1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间,也就是说,这个线性空间中每一个对象是一个多项式。如果我们以X0,X1,X2,…..,Xn为基,那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量,其中的每一个分离ai其实就是多项式Xi-1项系数。值得说明的是,基的选取有多种方法,只要所选取的那一组基线性无关就可以。例2.闭区间[a,b]上的n阶连续可微函数全体,构成一个线性空间。也就是说,这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数,根据魏尔斯拉斯定律,一定可以找到最高次不大于n的多项式函数,使之与该函数的差为0,也就是说完全相等。这样就把问题归结为L1了。三、线性代数的一个最根本问题――线性空间中的运动,被称为线性变换。也就是说,你从线性空间中的一点运动到任意的另外一点,都可以通过一个线性变换来完成。在线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用某个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间的任何一个运动(变换)。而使某个对象发生相对运动的方法,就是用代表那个运动的矩阵,乘以代表那个对象的向量,简而言之,在线性空间中选定基之后,向量刻画对象,矩阵刻画对象的运动,用矩阵与向量的乘法施加运动。甚至可以说:“矩阵的本质是运动的描述”。在此不作详细说明,有兴趣的读者可以看看齐民友教授写的《重温微积分》,读了这部书的开头部分,就可以搞明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。四、理解矩阵:在《理解矩阵》的文章里,“运动”的概念不是微积分中连续性的运动,而是瞬间发生的变换。比如物理学中量子的跃迁,物理上矩阵是线性空间里的跃迁的描述。1.用数学用语描述变换,其实就是空间里从一个点(元素/对象)到另一个点(元素/对象)的跃迁。趣味逸事:描述一个三维对象只需要三维向量,但是所有的计算机图形学变换都是4*4的,这是因为在计算机图形学里的应用的图形变换,实际上是在仿射空间而非向量空间中进行。想想看,在向量空间里相应一个向量平行移动后仍是相同的那个向量(向量空间只是一个线性空间,没有定义内积,即长度),而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为是同一个东西,所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射空间的矩阵表示根本是4*4的。2.线性变换:线性变换究竟是一种什么样的变换?答:线性变换就是从一个线性空间V的某一点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。也就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点,而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点。不管怎样变换,只要变换前后都是线性空间中的对象,这个变换就一定是线性变换,也就是一定可以用非奇异矩阵来描述(用非奇异矩阵去描述的一个变换一定是线性变换。)3.什么是基:浅显的理解是只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了,虽然浅显,但目前对于我们基本够用,注意是“坐标系”不是“坐标值”。这样一来,选定一组基就是说在线性空间里选定一个坐标系。4.矩阵的完善:讲了前面那么多内容,现在可以把矩阵定义完善了。“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中,只要我们选定一组基,那么对于任何一个线性变换,都能用一个确定的矩阵来加以描述。”理解“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中,只要我们选定一组基,那么对于任何一个线性变换,都能用一个确定的矩阵来加以描述。”这句话的关键在于把“线性变换”和“线性变换的描述”区别开。一个是那个对象,一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中,一个对象可以有多个引用,每个引用可以叫不同的名字,但都是指同一个对象。同样的,对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换,换一组基就可以得到另一个不同的矩阵,所以这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。这样一来,矩阵作为线性变换描述的一面,基本就说清楚了。但是在线性代数中,矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而作为变换矩阵,不但可以把线性空间中一个点给变换到另一个点去,而且也能够吧线性空间中的一个坐标系(基)变换到另一个坐标系(基)去。而且变换点与变换坐标系具有异曲同工的效果。(插曲)总结一下之前的主要内容:(1) 首先有空间,空间可以容纳对象的运动。一种空间对于一类对象。(2) 有一种空间叫线性空间,线性空间是容纳向量运动对象运动的。(3)运动是瞬时的,因此也被称为“变换”。(3) 矩阵是线性空间中的运动(变换)的描述。(4) 矩阵与向量相乘,就是实施运动(变换)的过程。(5) 同一个变换,在不同坐标系下表现为不同矩阵,但是它们的本质是一样的,所以值征值相同。在数学分析中,最要紧的概念是一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线和,这个概念是贯穿始终的,也是数学分析的精华。5. 如果一组向量是彼此线性无关的话,那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基,从而事实上成为一个坐标系体系,其中每一个向量都躺在一根坐标轴上,并且成为那根坐标轴上的基本度量单位(长度是1)。“对象的变换等于坐标系的变换”或者“固定坐标系下一个对象的变换等于固定对象所处的坐标变换。”例.把(1,1)点变换到(2,3)点有两种方法,第一种是当坐标系不变,点动,把(1,1)点挪到(2,3)点;第二种是点不动,坐标系动,把x轴的度量单位(单位向量)变换为原来的1/2,把y轴的度量单位(单位向量)变换为原来的1/3,方式不同,但是结果一样。6. “对坐标系施加变换的方法,就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变换的矩阵相乘。”如果搞明白了上述结论,则矩阵M*N,一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果,另一方面,把M当成N的前缀,当成N的环境描述,那就是说,在M坐标系度量下,有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系度量,其结果为坐标系M*N。在此,我们实际上已经回答了一般人在学习线性代数时最困惑的一个问题,那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。原因如下:(1) 从变换的观点看,对坐标系N施加M变换,就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。(2) 从坐标系的观点看,在M坐标系中表现为N的另一个坐标系,这也归结为,对N坐标系(基)的每一个向量,把它在I坐标系中找出来,然后汇成一股新矩阵。(3) 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定,那是因为在一个M中度量为a的向量,如果想要恢复在I中的真像,就必须分别于M中的每一个向量进行内积运算。7.矩阵运算的物理意义:如果把矩阵看成是一个2维坐标系离散值的几何,那么(1)矩阵加法A+B就是A的各个点作平移,平移的度量是B当中的点。(2)矩阵乘法A*B就是一种现象映射:如果A是x/y坐标系,B是y/z坐标系,那么结果就是x―&z的映射举个例子,A国家有三个城市,B国家有三个城市,C国家有两个城市,他们之间的道理状况用矩阵表示。――&B1,B2,B3A1
0――&C1,C2B1
1那么是从A国的每个城市出发经过B到C的每个城市,各自有多少条路线?答案:W*Q=[(2,1),(1,1),(2,1)]8. 关于映射:莱布尼茨说映射是一种2元关系,在1维的时候表现为函数的形式f(z)=z,在多维的时候可以写成矩阵乘法。当然限制条件是,矩阵能表示的是一个离散值的集合,当然方阵才有逆,方阵维数不变的N――&N的一一映射,所以可能有且只有一个反映射,或者吗,没有反映射。N――&M的不同维数映射无法得到反映射。到此,对矩阵已经有了较深入的理解,接下来内容就该讨论经常用到的特征值和特征向量了。五、特征值和特征向量的几何意义:一个变换的特征向量是这样一种向量,它经过这种特定变换后保持方向不变,只是长度伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx,就恍然大悟了,cx是方阵A对向量x进行变换后的结果,但显然cx和x方向相同),而且x是特征向量的话,ax也是特征向量(a是标量且不为零),所谓的特征向量不是一个向量,而是一个向量簇,另外,特征值只不过反映了特征向量在变换过程中伸缩倍数而已,对一个变换而言,特征向量指明的方向才是很重要,特征值不是那么重要,虽然我们求这两个量时,先求出特征值,但是特征向量才是更本质的东西。spectral theorem的核心内容如下:一个线性变换(用矩阵乘法表示)可表示为它的所有特征向量的一个线性组合,其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值,写成公式就是: 从这里可以看出,一个变换(矩阵)可由它的所有特征向量完全表示,而每一个向量对应的特征值,就代表了矩阵在这一向量上的贡献率――说的通俗点就是能量(power),至此特征值翻身做了主人,彻底掌握了对特征向量的主动,你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在了特征值手中。我们知道一个变换可以由一个矩阵乘法表示,那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵,而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示,用图来表示的话,可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度,这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间“特征”,而他们的特征值就表示了各个角度上的能量(可以想象成从各个角度伸出的长短,越长的轴就越可以代表这个空间,它的“特征”就越强,或者说显性,而短轴自然就成立隐性特征。),因此,通过特征向量或特征值在几何(特别是空间几何)及其应用中得以发挥。关于特征向量(特别是特征值)的应用实在是太多太多,比如PCA方法,选特征值最高的k歌特征向量来表示一个矩阵,从而达到降维分析+特征显示的方法;还比如Google公式的PageRank,也是通过计算一个用矩阵表示的图(这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联)的特征向量来对每一个节点打“特征值”分;再比如很多人脸识别,数据挖掘分析等方面都有应用。六、特征向量的物理意义:1.求特征向量的关系,就是把矩阵A所代表的空间进行正交分解,使得A的集合可以表示为每个a在各个特征向量上面的投影长度。例如:A是n*m矩阵,n&m,那么特征向量就是m个(因为秩最大是m),n个行向量在每个特征向量E上面有投影,其特征值V就是权重。那么每个行向量现在就可以写成Vn=(E1*V1n,E2*V2n,?,Em*Vmn),矩阵变成了方阵。如果矩阵的秩更小,矩阵的存储还可以压缩。再:由于这些投影的大小代表了A在特征空间各个分量的投影,那么我们可以使用最小二乘法,求出投影能力最大的那些向量,而把剩下的那些分量去掉,这样就最大限度地保持了矩阵代表的信息,同时可以大大降低矩阵需要存储的维度,简称PCA。2. 特征向量的物理含义:举个例子,对于x,y平面上的一个点(x,y),我对它作线性变换,(x,y)*[1,0;0,-1],分号代表矩阵的换行,那么得到的结果就是(x,-y),这个线性变换相当于横轴x做镜像。我们可以求出矩阵[1,0;0,-1]的特征向量有两个[1,0]和[0,1],也就是x轴和y轴。什么意思呢?在x轴上的投影,经过这个线性变换,没有改变。在Y轴上的投影,乘以了幅度系数-1,并没有发生旋转。两个向量说明了这个线性变换矩阵对x轴和y轴这两个正交基是线性不变的,对于其他的线性变换矩阵,我们也可以找到类似的,N个对称轴,变换后结果,关于这N个对称轴线性不变。这N个对称轴就是线性变换A的N个特征向量。这个是特征向量的物理含义所在。所以矩阵等价于线性变换A。对于实际应用的矩阵算法,经常需要求矩阵的逆:当矩阵不是方阵时候无解,这是需要用到奇异值分解的办法,也就是A=PSQ,P和Q是互逆的矩阵,而S是一个方阵,然后求出伪逆值。同时A=PSQ可以用来降低A的存储维数,只要P是一个瘦长方形矩阵,Q是宽扁型矩阵。对于A非常大的情况可以降低存储量好几个数量级。3. 特征值有什么特性?说明可以分解成N维特征向量的投影上面,这N个特征值就是各个投影方向上的长度,由于n*n矩阵A可以投影在一个正交向量空间里面,那么任何N维特征向量组成的矩阵都可以是线性投影变换矩阵,那么I就是一个同用的线性变换矩阵。所以对于特征值m,一定有是构成了一个没有线性无关向量的矩阵Aa=ma两边同乘以I得到包含各类专业文献、专业论文、幼儿教育、小学教育、高等教育、各类资格考试、中学教育、外语学习资料、应用写作文书、50矩阵分析几何意义的整理等内容。 
 线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系 数学系数 052 蒋春 摘要:通过对二元线性方程组,三元线性方程组,四元线性方程组有关系数矩阵,增广矩阵 的秩的分析,对其列...   矩阵的秩与行列式的几何意义_理学_高等教育_教育专区。线性代数...并且注意到,由上述 分析,交换矢量的顺序,面积的值取负号,这也就是为什么行列式...  特征向量的几何意义 长时间以来一直不了解矩阵的特征值和特征向量到底有何意义 (...“特征值” 分;再比如很多人脸识别,数据流模式挖掘分析等方面,都有应用,有 ...   对合矩阵的判定及几何意义_理学_高等教育_教育专区。对合矩阵的判定及几何意义对合矩阵一、 矩阵, 为对合矩阵的充要条件: 设 A 为 n × n 矩阵,则下列...   矩阵的秩与行列式的几何意义_数学_自然科学_专业资料。矩阵的秩与行列式的几何...并且注意到,由上述 分析,交换矢量的顺序,面积的值取负号,这也就是为什么行列式...  一是矩阵奇异值分解的几何意义, 二是对称阵在几何上的特 点。我们知道奇异值分解在计算广义逆、主成分分析和相关性分析中都有广泛应用,它说的 是任何矩阵(不仅...  可以用矩阵来研究线性变换的几何意义,但矩阵只是研究线性变换的几 何意义的工具...我们做具体分析,假设对于线性空间 U 中的线性变换 f ,它在一组基 ? 1 , ...  的矩阵 , 它在正交变换理论中起着十分重要的作用 ...平面几何”.他接着开发了分析三维物体的“立体几何... 合同矩阵等概念, 以合乎逻辑的形式整理了不变因子...   对合矩阵的判定及几何意义 隐藏&& 任意一个矩阵,如果有三个性质(对称矩阵,正交矩阵,对合矩阵)中的任意两个性质,则必有第三个性质。
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一.四元组基础
Q(x,y,z,w),其中x,y,z用来确定旋转轴,w为旋转的角度
Q=w+xi+yj+zk,i,j,k为三个虚轴的单位分量
c=a × b=&
| i&&&&j&&&& k|&
|a1 &b1 &c1|&
|a2 &b2 &c2|&
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
c也为一个向量,且c的长度为|a||b|sin(theta),垂直于a和b所在的平面,方向由右手法则来判定,用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向
1.四元组相乘:
Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)
Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)
Q1*Q2=(w1*w2-&v1,v2&,w1*v2+w2*v1+v1xv2)
( w1+x1i+y1j+z1k)*( w2+x2i+y2j+z2k)
&=w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2+
&(W1*x2+x1*w2+y1*z2-z1-y2)i+
(y1*w2+w1*y2+z1*x2-x1*z2)j+
(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2)k
&&&&&&&&对于其中的轴部分,假如v1//v2,则有v1
x v2=0(平行向量的叉乘结果为0)
2.四元组的点乘,点乘积为数值:
Q1.*Q2=w1*w2+&v1,v2&=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2;
&&&&&&&&s为一实数,q为四元组,则有sq=qs
p=(w,v),则p*=(w,-v)
(pq)*=q*p*
N(q)=w2+x2+y2+z2
q-1=q*/N(q)---------------à显然可得qq-1=(1,0)
二.使用四元数旋转向量
假如有一表示向量的四元组q=(w,v),对其应用旋转量p后的结果为:
&&&&&&&q’=pqp-1=(w,v’)
从上可以看出,计算的结果q’的实部和q的实部是相等的,并且有N(v)=N(v’)
如果N(q)=1,则可以令q=(cosa,usina),u也为一个单位向量,则q’是q绕u旋转2a个弧度的结果
假如S(q)表示q的实部,则有2S(q)=q+q*
2S(pqp-1)= pqp-1+( pqp-1)*=pqp*+(pqp*)*=pqp*+pq*p*=p(q+q*)p*=2S(q)
(这里由于p是单位四元数,所以有p-1等于p*)
欧拉角到四元数的转换
&定义pitch, yaw, roll分别为绕X轴、Y轴、Z轴的旋转弧度
float p = pitch * PIOVER180 / 2.0;
float y = yaw * PIOVER180 / 2.0;
float r = roll * PIOVER180 / 2.0;
float sinp = sin(p);
float siny = sin(y);
float sinr = sin(r);
float cosp = cos(p);
float cosy = cos(y);
float cosr = cos(r);
this-&x = sinr * cosp * cosy - cosr * sinp *
this-&y = cosr * sinp * cosy + sinr * cosp *
this-&z = cosr * cosp * siny - sinr * sinp *
this-&w = cosr * cosp * cosy + sinr * sinp *
normalise();
三.使用matlab进行相关计算
计算两个向量v1和v2之间的旋转量四元数p,使得v1应用p后到达v2
假如v1转到v2的旋转轴为v,旋转角为theta,则q=[v*cos(theta/2)&sin(theta/2)]
Matlab代码:
function q=vector2q(v1,v2)
%..normalize....
len1=sqrt(v1*v1');
len2=sqrt(v2*v2');
v1=v1/len1;
v2=v2/len2;
angle=v1*v2';
axis=cross(v1,v2);
alen=sqrt(axis*axis');
axis=axis/
t=acos(angle);
q(1)=axis(1)*sin(t);
q(2)=axis(2)*sin(t);
q(3)=axis(3)*sin(t);
q(4)=cos(t);
计算出了q之后,可以获得对应的旋转矩阵,旋转矩阵的计算
Matlab里面的矩阵是以列为主顺序的
function r=q2rot(q)
r=zeros(3,3);
r(1,1)=1-2*y*y-2*z*z;
r(1,2)=2*x*y+2*w*z;
r(1,3)=2*x*z-2*w*y;
r(2,1)=2*x*y-2*w*z;
r(2,2)=1-2*x*x-2*z*z;
r(2,3)=2*z*y+2*w*x;
r(3,1)=2*x*z+2*w*y;
r(3,2)=2*y*z-2*w*x;
r(3,3)=1-2*x*x-2*y*y;
同时,也可以根据四元数来计算欧拉角
function R=q2euler(q)
t11=2*(w*x+y*z);
t12=1-2*(x*x+y*y);
R(1)=atan2(t11,t12);
t2=2*(w*y-z*x);
R(2)=asin(t2);
t31=2*(w*z+x*y);
t32=1-2*(y*y+z*z);
R(3)=atan2(t31,t32);
计算出来的欧拉角rx,ry,rz,分别为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角,假如有:
Rotq=q2rot(q)
R=q2euler(q)
[rotx roty rotz]=Rotation(R)
可以发现Rotq==rotz*roty*rotx
从这里可以看出,上面使用四元数这样计算出来的旋转矩阵的旋转顺序分别是X轴、Y轴和Z轴的
qz=[0 0 -sin(ra) cos(ra)] %绕z旋转-90度
qy=[0 sin(ra) 0 cos(ra) ] %绕y旋转90度
qyz=qmult(qy,qz)
r=q2euler(qyz)
上面的r得出的结果为
r = -1.5708&&&0.0000&&-1.5708
也就是说其几何意义变成先绕X轴旋转-90度,再绕Z轴旋转-90度,而根据qy和qz的相乘我们实际进行的操作却是先绕Z轴旋转-90度,再绕Y轴旋转90度,但是结果却是这两种操作等价,这说明由四元数到欧拉角可以有多个解
两个四元数,假如它们的方向是相反的,用它们作用于向量得到的新向量的值仍然相等
q1=[0....862594];
arm=[-8...36776];
rot1=q2rot(q1);
rot2=q2rot(q2);
v1=rot1*arm'
v2=rot2*arm'
上面计算出来的v1等于v2
四元数的余弦值为它们的内积
假如余弦值小于0,则需要将其中的一个取反,因为上面我们知道一个四元数和它的反方向的四元数对一个向量起相同的作用
四元数的相乘,代表旋转的累积
rotp=q2rot(p);
rotq=q2rot(q);
rotpq=q2rot(pq);
rotmul=rotp*
这里rotpq与rotmul相等
四.OGRE中Quaternion类的几个函数
1.四元数到旋转向量
void Quaternion::ToRotationMatrix (Matrix3& kRot) const
1 - 2*qy2 - 2*qz2
2*qx*qy - 2*qz*qw
2*qx*qz + 2*qy*qw
2*qx*qy + 2*qz*qw
1 - 2*qx2 - 2*qz2
2*qy*qz - 2*qx*qw
2*qx*qz - 2*qy*qw
2*qy*qz + 2*qx*qw
1 - 2*qx2 - 2*qy2
2.旋转量到四元数
根据1中的表格,有:
4 *(1-qx2-qy2-qz2)&= 1 + m00 + m11 + m22
又qw2=1-qx2-qy2-qz2,可得
4 *qw2= 1 + m00 + m11 + m22
这里解qw必须保证1 + m00 + m11 + m22&=0,如果不是的话,就构造其他的等式来计算,OGRE中分成两种情况,一种是m00
+ m11 + m22&=0,就可以直接先解出qw,否则的采用另外的等式计算
3.Local axis
Vector3 xAixs(void)
取得旋转矩阵的第一列,旋转矩阵和一个向量相乘的话,第一列的数据均和向量的x分量相乘
Vecotr3 yAxis(void)
取得旋转矩阵的第二列,旋转矩阵和一个向量相乘的话,第二列的数据均和向量的y分量相乘
Vecotr3 zAxis(void)
取得旋转矩阵的第三列,旋转矩阵和一个向量相乘的话,第三列的数据均和向量的z分量相乘
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高中数学是全国学习的一门学科。包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分学&&&&科数学包&&&&含《不等式》《数列》等
内容子交并,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。
复合函数式出现,性质法则辨,若要详细它,还须将那定义抓。
指数与,两者互为。非1的,1两边增减变故。
函数好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和无
正切函数角不直,角不平;其余函数集,多种情况求。
两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为,Y=X是
求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的。
幂函数性质易记,指数化既约;函数性质看指数,奇母奇子,
奇母偶子,偶母非奇偶函数;图象第一内,函数增减看正负。三角函数是函数,象限符号注。,周期奇偶增减现。
同角关系很重要,化简证明都需要。顶点处,从上到下弦切割
中心记上1,连结顶点三角形;向下三角和,关系是对角,
顶点任意一函数,等于后面两根除。就是好,负化正后大化小,
变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半倍,奇数化余偶不变,
将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的值,化为单角好求值,
余弦积减积,换角变形众公式。须同名,互度变。
计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。
逆反原则作指导,升幂降次和差积。的证明,思想指路明。
万能公式不一般,化为有理式居先。顺用和逆用,变形运用加巧用
1加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范
三角反函数,实质就是求角度,先求,再判角取值范围
利用,形象直观好换名,简单三角的,化为最简求解集解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。
高次向着低次代,步步要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。
证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。
直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则。
还有,以及。图形函数来帮助,画图。等差等比两数列,N项和。两个有限求极限,顺序换。
数列问题多变幻,方程化归整体算。比较难,错位相消巧转换,
取长补短法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:
一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化:
首先验证再假定,从 K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一,横纵坐标实。
对应复上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。
箭杆的长即是模,常将数形来结合。三角式,相互转化试一试。
代数运算的实质,有i运算。i的次慕,四个数值周期现。
一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,相等来转化。
利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,,
减法三角法则判;乘法的运算,逆向顺向做,伸缩全年模长短。
三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用,极方便。
辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与,
两个不会为实数,比较大小要不得。实数很密切,须注意本质区别。加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。
两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出,应用问题须转化。
排列组合在一起,先选后排是常理。特殊和位置,首先注意多考虑。
不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合,定义证明建模试。
关于二项式定理,杨辉三角形。两条性质两,函数赋值变换式。点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。
高中《立体几何》垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。
立体几何辅助线,常用垂线和平面。概念很重要,对于解题最关键。
异面二面角,射影公式活。性质三,解决问题一大片。有向直线圆,双曲,,称典范。
笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。
两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定法,实为方程组思想。
三种类型集大成,画出求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。
四件工具是法宝,坐标思想参数好;不能丢,旋转变换复数求。
解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。1. 集合
(约4课时)
(1)集合的含义与表示
①通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。
②能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间与相等的含义,能识别给定集合的。
②在具体情境中,了解与的含义。
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2. 函数概念与基本初等函数
(约32课时)
①进一步体会函数是描述之间的依赖关系的重要数学,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解的概念。
②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
③了解简单的,并能简单应用。
④通过已学过的函数特别是,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解的含义。
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质(参见例1)。
①(细胞的分裂,考古中所用的C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念和意义,能借助或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型(参见例2)。
(3)对数函数
①理解对数的概念及其运算性质,知道用能将一般对数转化成或常用对数;通过阅读材料,了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。
②通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a&0,a≠1)。
(4)幂函数
通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 的图象,了解它们的变化情况。
(5)函数与方程
①结合二次函数的图象,判断根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。
②根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
(6)函数模型及其应用
①利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用。
(7)实习作业
根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(、伽利略、笛卡儿、、莱布尼茨、等)的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流。具体要求参见的要求。(约18课时)
(1)几何体
①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②能画出简单空间图形(、球、、、等的简易组合)的,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图。
③通过观察用两种方法(平行与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式。
④完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求)。
⑤了解球、棱柱、、台的表和体积的计算公式(不要求记忆公式)。
(2)点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
◆公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
操作确认,归纳出以下判定定理。
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。
操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单。(约18课时)
(1)直线与方程
①在中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。
(2)圆与方程
①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
(3)在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。
①通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式。(约12课时)
(1)算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中(如组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句:经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想。
(3)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。(约16课时)
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中,学会用方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画、频率折线图、茎叶图(参见例1),体会它们各自的特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差。
③能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如、标准差),并作出合理的解释。
④在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异。
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
(3)变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出,并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量相关的过程。知道的思想,能根据给出的系数公式建立线性回归方程(参见例2)。(约8课时)
(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
(2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。
(3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
(4)了解的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率,初步体会几何概型的意义(参见例3)。
(5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。(约16课时)
(1)任意角、
了解任意角的概念和,能进行弧度与角度的互化。
(2)三角函数
①借助单位圆理解(正弦、余弦、正切)的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( 的正弦、余弦、正切),能画出 的图象,了解三角函数的周期性。
③借助图象理解、在 ,正切函数在 上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。
④理解同角三角函数的基本关系式:
⑤结合具体实例,了解 的实际意义;能借助计算器或计算机画出 的图象,观察参数A,ω, 对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。(约12课时)
(1)平面的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解和向量相等的含义,理解向量的几何表示。
(2)向量的线性运算
①掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。
②掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
(3)平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
(4)平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
(5)向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。(约8课时)
(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。
(2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出、和差化积、,但不要求记忆)。(约8课时)
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握、,并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。(约12课时)
(1)数列的概念和简单表示法
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、),了解数列是一种特殊函数。
(2)等差数列、
①理解等差数列、等比数列的概念。
②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。
③能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题(参见例1)。
④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。(约16课时)
(1)不等关系
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。
(3)二元一次不等式组与简单问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决(参见例3)。
(4): 。
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(参见例4)。
函数的性质 指数和对数
(1)定义域、值域、对应法则
(2)单调性
对于任意x1,x2∈D
若x1&x2 f(x1)&f(x2),称f(x)在D上是增函数
若x1&x2 f(x1)&f(x2),称f(x)在D上是减函数
(3)奇偶性
对于函数f(x)的定义域内的任一x,若f(-x)=f(x),称f(x)是偶函数
若f(-x)=-f(x),称f(x)是奇函数
(4)周期性
对于函数f(x)的定义域内的任-x,若存在常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是(1)分数指数幂
数学 选修(约8课时)
(1)命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与。
②理解必要条件、充分条件与的意义,会分析四种命题的相互关系。
(2)简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
(3)全称量词与存在量词
①理解全称量词与存在量词的意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。(约16课时)
(1)圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、及简单性质。
③了解的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想。
了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的基本思想。
(3)椭圆、双曲线与抛物线
标准方程(a&b&0,c2=a2-b2)(焦点在x轴上)
焦点F1(-c,0),F2(c,0)
标准方程(a&0,b&0,c2=a2+b2)(焦点在x轴上)
焦点F1(-c,0),F2(c,0)
标准方程 y2=2px(p&0)(焦点在x轴正半轴上)
焦点F(p/2,0)(约12课时)
(1)空间向量及其运算
(2)空间向量的应用1. 导数及其应用
(约24课时)
(1)导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵(参见选修1-1案例中的例2、例3)。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
(2)导数的运算
①能根据导数定义求函数的导数。
②能利用给出的的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如 )的导数。
③会使用导数公式表。
(3)导数在研究函数中的应用
①借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系(参见选修1-1案例中的例4);能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调。
②结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
(4)生活中的优化问题举例。
例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用(参见选修1-1案例中的例5)。
(5)定与基本定理
①通过求曲边的面积、变力做功等,从问题情境中了解的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。
②通过变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系,直观了解微积分基本定理的含义(参见例1)。
2. 推理与证明
(约8课时)
(1)合情推理与演绎推理
①了解合情推理的含义,能利用归纳和等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用(参见选修1-2案例中的例2、例3)。
②体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。
③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(2)直接证明与间接证明
①了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
②了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点。
(3)数学归纳法
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
(4)数学文化
①通过对实例的介绍(如《》、《资本论》、《独立宣言》、),体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理和数学证明中的作用。
3. 的扩充与的引入
(约4课时)
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
(3)了解复数的代数表示法及其几何意义。
(4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。(约14课时)
(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理
总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
(2)排列与组合
理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组公式,并能解决简单的实际问题。
(3)二项式定理
能用计数原理证明二项式定理(参见例1);会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。(约22课时)
①在对具体问题的分析中,理解取有限值的及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
②通过实例(如彩票抽奖),理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用(参见例2)。
③在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题(参见例3)。
④理解取有限值的离散型随机变量均值、的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题(参见例4)。
⑤借助直观(如实际问题的直方图),认识曲线的特点及曲线所表示的意义。
(2)统计案例
①通过对 “肺癌与吸烟有关吗”的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用。
②通过对 “质量控制”“新药是否有效”的探究,了解实际推断原理和的基本思想、方法及初步应用(参见选修1-2案例中的例1)。
③通过对 “昆虫分类”的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
④通过对 “人的体重与身高的关系”的探究,了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
例1. 二项式定理的证明。
是n个 相乘,每个 在相乘时,有两种选择,选a或b,由分步计数原理可知展开式共有 项(包括),其中每一项都是的形式,0,1,……,n;对于每一项 ,它是由k个 选了a, 个 选了b得到的,它出现的次数相当于从n个中取k个a的组合数,将它们,就得二项展开式,这就是二项式定理。
例2.(1)班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球,20个,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球,摸到4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。
从30个球中摸出5个球的组合数为:;那么,
如果令X表示摸出红球的个数,则X服从N=30,M=5,n=10,m=4的超几何分布,那么
例3. 将一枚均匀硬币随机掷100次,相当于重复做了100次试验,每次有两个可能的结果(出现正面,不出现正面),出现正面的概率为 。
如果令X为硬币正面出现的次数,则X服从 的二项分布,那么
由此可以得到:“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为
在学习概率时会有一种误解,认为既然出现正面的概率为 ,那么掷100次硬币出现50次正面是必然的,或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。
例4. 据气象预报,某地区下个月有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01。设工地上有一台大型设备,为保护设备有以下三种方案。
方案1:运走设备,此时需花费3800元。
方案2:建一保护围墙,需花费2000元。但围墙无法防止大洪水,当大洪水来临,设备受损,损失费为60000元。
方案3:不采取措施,希望不发生洪水。此时大洪水来临损失60000元,小洪水来临损失10000元。试比较哪一种方案好。数学史选讲
早期与几何——计数与测量
◆纸草书中记录的数学()。
◆泥板书中记录的数学(两河流域)。
◆中国《》、(的图)。
◆十进位值制的发展。
◆毕达哥拉斯多边形数,从勾股定理到,不可公度问题。
◆欧几里得与《几何原本》,演绎逻辑系统,问题,,公理化思想对近代科学的深远影响。
◆的工作:求积法。
中国古代数学瑰宝
◆《》中的数学(方程术、、正负数)。
◆大衍求一术()。
◆中国古代介绍。
平面解析几何的产生——数与形的结合
◆函数与曲线。
◆的意义。
微积分的产生——划时代的成就
近代数学两巨星——欧拉与高斯
◆欧拉的数学直觉。
◆高斯时代的特点(数学严密化)。
千古谜题——伽罗瓦的解答
◆从到伽罗瓦(一个中数学家)。
◆几何作图三大难题。
◆近世代数的产生。
康托的——对无限的思考
◆无限集合与势。
◆罗素与数学基础()。
随机思想的发展
◆近代的缘起。
算法思想的历程
◆算法的历史背景。
◆计算机科学中的算法。
中国现代数学的发展
◆现代中国数学家奋发拼搏,赶超世界数学先进水平的光辉历程。
说明与建议
本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性,通过生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容,使体会数学的重要思想和发展轨迹。本专题的内容安排可以采取多种形式,既可以由古到今,追寻数学发展的历史;也可以从现实的、熟悉的数学问题出发,追根溯源,回眸数学发展中的重要事件和人物。例如,可以从“我们现在有多少种记数方法”出发,追溯历史上的记数法(的60、的12进制、计算机的以及10进制,二进制与中国的八卦)。又如,可以从熟悉的π入手,漫谈的成果,用随机数方法计算π,介绍和中国古代如何对待、目前计算机可以算π到点后多少位等问题。
以上所提供的内容仅仅是一种选择,本专题内容的安排可以根据具体情况,作适当调整。内容应突出所蕴涵的思想性,突出数学发展的轨迹,突出数学家刻苦钻研的科学精神。内容的选择要符合的接受水平,呈现方式应图文并茂、丰富多彩,引起的兴趣。
教学方式应灵活多样,可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。教师应鼓励对数学发展的历史轨迹。自己感兴趣的历史事件与人物,写出自己的研究报告。
信息安全与密码
初等的有关知识
了解和,模m的完全同余系和简化剩余系,和小定理,大数分解问题。
了解的定义和计算公式,及在判别中的应用,原根与指数,模p的原根存在性,离散对数问题。
数论在信息安全中的应用
了解通讯安全中的有关概念(如明文、密文、)和通讯安全中的基本问题(如保密、数字签名、、分配和共享)。
了解古典密码的一个例子:流密码(利用模m同余方式)。
理解公钥体制(单向函数概念),以及加密和数字签名的方法(基于大数分解的RSA方案)。
理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗-赫尔曼(Diffi-Hellman)方案。
理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔(ElGamal)算法。
了解在密钥共享中的应用。
球面上的几何
通过丰富的实际问题(如测量、航空、卫星定位),体会引入球面几何知识的必要性。
通过球面图形与形的比较,感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如,球面上的大圆相当于平面上的直线,球面上两点之间的最短距离是大的劣弧部分,球幂定理。
体会球面具有类似平面的对称性质。
了解球面上的一些基本图形:大圆、小圆、球面角、球面二角形(月形)、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形(简称球极三角形)。
通过球面几何与欧氏平面几何比较,探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上,并说明理由,由此理解球面三角形的全等定理s.s.s,s.a.s,a.s.a。
理解单位球面三角形的( ),由此体会球面三角形内角和大于180°。
了解球面三角形全等的a.a.a定理。
利用球面证明,体验球面几何与学的关系。
利用向量的叉乘()探索并证明球面余弦定理( )和球面上的勾股定理(即当 时的球面余弦定理),能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理 。
体会当球面无限增大时,球面接近于平面,球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
初步了解另一种模型——模型。
通过丰富的对称图形,体验日常生活和现实世界中存在着大量对称现象与总的特点。
了解刚体运动的基本性质和规律。
通过分析图形的不同对称性和刚体运动,寻求刻画不同图形对称性的思想,逐步形成图形对称变换的概念。
找出其所有对称变换。
逐步形成对称变换合成的概念,理解对称变换合成的封闭性。
通过操作认识对称变换满足结合律。
通过操作,理解恒等变换的概念,逆变换的概念及其性质,针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。
建立变换群的概念,并初步了解抽象群的概念。
能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学模型的对称群。
了解一种群的表示方法——乘法表示法。
了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。
了解在现实生活中的重要应用,如晶体分类定理。
考察其他形式的对称变换,如。通过二次、的求解过程,了解根的的含义,并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程解问题的科学史实,感受群论在中的重大作用。
欧拉公式与闭曲面分类
复习已学过的变换,并使用它们对平面图形分类
复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换,以及对平面图形分类。
在上述变换下,探索什么几何性质是不变的。
体会变换的一些基本特征:1-1对应,连续。
通过探索发现欧拉公式的过程,理解欧拉公式。
理解欧拉公式的拓扑证明。
使用欧拉公式解决一些问题(如探索正的个数)。
探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。
理解曲面三角剖分的概念。
会对一些曲面进行三角剖分,并能计算它们的欧拉示性数。
了解拓扑变换的直观含义。
知道一些拓扑不变量,并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类,了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
了解拓扑思想的一些应用(如平面布线问题、、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、)。
三等分角与数域扩充
了解古希腊三大几何作图问题,通过了解它们的正确提法。在不限于和直尺的前提下,了解三等分角的几种不同作法。
理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围。
给定线段a,b,会用尺规作图方法作出长为 的线段。
对于给定的任何已知线段,若把它作为单位长,则任一(正)是可作图的(即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段)。
通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性,了解有理数域和一般数域的概念。
设F是一数域, 且 。证明:集合 也是一个数域,且F是集合 的子集合。了解扩域的概念。
给出一些数域、扩域的具体实例。
给定长为a的线段,会用尺规作图方法作出长为 的线段。
学会把三等分角问题代数化。
证明:不能用尺规作图的方法三等分60度角。
用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”。
体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。
了解复数乘法的棣莫弗公式,会用代数方法讨论正十七边形是可作图的(即可用尺规作图方法作出正十七边形)。
几何证明选讲
复习的定义与性质,了解,证明直角三角形。
证明定理、圆的的判定定理及性质定理。
证明、的性质定理与判定定理、。
了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,体会平行投影;证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。
通过观察平面截圆锥面的情境,体会下面定理:
定理 在空间中,取直线 为轴,直线 与 相交于O点,其夹角为α, 围绕 旋转得到以O为顶点, 为的圆锥面,任取平面π,若它与轴 交角为β(π与 平行,记住β=0),则:
β&α,平面π与圆锥的交线为椭圆
β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线
β&α,平面π与圆锥的交线为双曲线。
利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切)证明上述定理(1)情况。
试证明以下结果:①在6中,一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行,记这个圆所在平面为π';②如果平面π与平面π'的交线为m,在5(1)中椭圆上任取一点A,该Dandelin球与平面π的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。(称点F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的,e为离心率。)
探索定理中(3)的证明,体会当β无限接近α时平面π的极限结果。
矩阵与变换、内容与要求
二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换
以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。
证明把平面上的直线变成直线(或点),即证明
通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如)的变换,认识到矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
变换的复合——二阶方阵的乘法
通过变换的实例,了解矩阵与矩阵的乘法的意义。
通过具体的几何图形变换,说明不满足交换律。
验证二阶方阵乘法满足结合律。
通过具体的几何图形变换,说明乘法不满足消去律。
通过具体图形变换,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,说明逆矩阵可能不存在。
会证明逆矩阵的唯一性和 等简单性质,并了解其在变换中的意义。
了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵。
二阶矩阵与二元一次方程组
能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。
会用的逆矩阵解方程组。
会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性,唯一性。
变换的不变量
掌握与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
会求二阶方阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)。
矩阵的应用
利用矩阵A的特征值、特征向量给出 简单的表示,并能用它来解决问题。
初步了解三阶或高阶矩阵。
了解矩阵的应用。
数列与差分
数列的差分
通过一些具体实例,理解数列差分的概念。
理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义,结合数列(作为函数)的图象,了解差分与数列的增减、极值、数列图象的凹凸的关系。
一阶线性差分方程
通过一些具体实例,体会方程 是十分有用的。
理解方程 中,当b=0(即方程为齐次方程)时,其解为等比数列;当k=1(即差分为常数)时,其解为等差数列。
认识方程 的通解、特解,了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系;能给出方程 的通解公式。
(二元)一阶线性差分方程组
通过一些实例,认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型。
了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系。
给定初值,会用求一阶线性差分方程组的解;能写出求解的算法框图。
对给定的具体方程组,能初步讨论当n→∞时,解(数列)的变化趋势(收敛、发散、周期)。
通过具体实例(如种群增长等),体会方程 是十分有用的数学模型。借助计算工具,用迭代法分别对k取一些特殊值(如0&k≤1,1&k≤3,k=3.4,k=3.55,k=3.7)的情形,讨论 的变化,初步了解问题的复杂性。
学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题。
初步体会连续变量离散化的思想,能用它来讨论一些简单的问题。
坐标系与参数方程
回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用。
通过具体例子,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。
能在中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。
能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画时选择适当坐标系的意义。
借助具体实例(如看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、中刻画空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别。
通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物的参数方程,体会参数的意义。
分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程。
举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性。
借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线),了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。
通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际中应用的实例(例如,是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。
不等式选讲
回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。
理解的几何意义:
认识的几种不同形式。理解它们的几何意义。
用参数讨论柯西不等式的一般情况:
用向量方法讨论。
了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题。
会用数学归纳法证明:
( ,n为大于1的正整数)。
了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平、柯西不等式求一些特定函数的极值。
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。
坐标向量相乘:向量A(X,Y)向量B(Z,K)求A乘B → A·B=XZ+YK
初等数论初步
认识带余除法,理解同余和剩余类的概念及意义,探索剩余类的运算性质(加法和乘法),并且理解它的实际意义。体会运算与传统的数的运算的异同(会出现零)。
理解整除、和素数的概念,了解确定素数的方法(筛法),知道素数有无穷多。
了解表示的整数的整除判别法,探索整数能被3、9、11、7等整除的判别法。会检查整数、乘法运算错误的一种方法。
探索利用求两个整数的最大公的方法,理解互素的概念,并能用辗转相除法证明:若a能整除bc,且a,b互素,则a能整除c。探索和的性质。了解。
理解一次的模型,利用辗转相除法求解一次不定方程。并尝试写出程序框图,在条件允许的情况下,可上机实现。
通过实例(如韩信点兵),理解一次同余方程组模型。
理解大衍求一术和孙子定理的证明。
理解和欧拉定理及其证明。
费马小定理:当m是素数,a、m互素时, 。
欧拉定理:当a、m互素时, ,其中 是 中与m互素的数的个数。
了解数论在密码中的应用——公开密钥。
优选法与试验设计初步
感受在现实生活中存在着大量的优选问题。
掌握分数法、及其适用范围,可以利用计算机(或计算器)进行试验,并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题,体会优选的思想方法。
了解{ },理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明,通过连分数知道 和的关系。
知道对分法、爬山法、分批试验法,以及目标函数为多峰情况下的处理方法。
了解多因素优选问题,了解处理双因素问题的一些优选方法,进一步体会优选的思想方法。
感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。
理解运用正交解决简单问题的过程,了解正交试验的思想和方法,并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。
统筹法与图论初步
通过实例了解统筹问题的思想及其应用的广泛性。
通过实例理解统筹法中的基本概念。
通过实例掌握绘制统筹图的方法。
学会计算统筹图中的参数:事项最早开始时间和最迟到达时间,工序的时差。
学会寻找统筹图的关键路,掌握寻找关键路的算法,理解关键路的重要性。
会用统筹方法分析和处理简单的实际问题。
了解图的基本概念和图在刻画实际问题中关系的作用。
了解图的生成树,掌握求图的生成树和最小生成树的算法。
了解图的最短路问题,掌握求图的最短路的算法。
了解一些图论的其他问题,并知道。
风险与决策
从日常生活及经济活动中的实例分析,形成重视风险的意识、理解风险决策的必要性和重要性,理解风险决策的概念。
理解损益函数与损益矩阵,探索决策的途径与方法,理解决策结论的意义。
学会用决策树表示需要决策问题的有关信息,能用反推决策树的方法进行决策。
理解风险决策灵敏度分析的意义,会进行决策的灵敏度分析。
了解型决策及其决策方法。
开关电路与布尔代数
通过开关电路知道电路和电路的两种状态以及它们的数学表示。知道什么是两个电路的并联和串联,什么是逆反电路,以及它们的状态是怎样确定的。
通过对开关电路的分析,认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的。掌握状态和状态的运算两个概念。
通过状态和状态的运算,抽象出布尔代数、电路函数和电路多项式的概念。感悟从实际问题抽象、概括为数学问题的过程和用数学理论解决实际问题的思想方法。
理解任意电路都可以用一个电路函数来表示,而电路函数又都可以用一个电路多项式实现。
通过命题演算的学习,了解什么是命题和命题的取值。认识什么是两个命题的“或命题”和“且命题”,什么是一个命题的“非命题”(“否定命题”),这些新命题的取值是怎样确定的。
比较开关电路与命题演算的关系,并能尝试用简单的例子说明。比较与有理数系中的运算,考虑它们之间的共同点、不同点和相似之处。
第一部分 前言
课程的基本理念
课程设计思路
第二部分 课程目标
第三部分 内容标准
必修课程  数学1  数学2  数学3  数学4  数学5
选修课程 系列1,系列2说明  系列1  系列2  系列3,系列4说明  系列3  系列4
数学探究、、数学文化数学探究  数学建模  数学文化
第四部分 实施建议
教材编写建议
一、正确地理解概念
我国从20世纪50年代以来,中学数学教学大纲虽经历多次修订,但都有一个共同的指导思想,这就是搞好三基。并强调指出,正确理解是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题,恰好是把掌握数学基础,即的正确理解,给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力,为了“减负”,淡化甚至回避一些较难理解的基本概念;另一方面,“”式的应试策略,使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的。说是为了减负,其实南辕北辙,老师、学生的压力都增加了。
没有“过程”的教学,因为缺乏为纽带,概念间的关系无法认识,概念间的联系难以建立,导致学生的数学认知结构缺乏整体性。
二、对不同的概念,要采取不同的方法
有的只需在例题教学中实施概念教学。比如:的概念是描述性的,不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比,重点突出的两个本质特征在:关联性和不确定性。
有的先介绍概念产生的背景,然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,提炼出本质属性。
有的要联系其它概念,借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。
三、在新旧概念之间掌握概念
数学中有许多概念都有着密切的联系,如段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将的每一个取值,与唯一确定的对应起来:另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。
从历史上看,初中给出的定义来源于,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图像、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。优能中学专家认为分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个多次接触的较长的过程。
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