8763人阅读
在关于投影矩阵的部分,根据Strang的授课内容,我进行简单的归纳总结.知道了投影矩阵是什么,有什么用.
这篇文章仍然是关于投影矩阵的一个应用.
什么是正交矩阵和Gram-Schmidt正交化,相信学过线性代数的朋友们都知道.
这里,我只想说标准正交化和标准正交矩阵带来的好处.
标准正交化(orthonormal)的定义是:如果向量q1,q2,...,qn满足下式
则q1,q2,...,qn是标准正交的
我们很容易得出,如果一个矩阵Q的列向量是标准正交的,那么Q'Q=I.如果Q还是个方阵,那么就称矩阵Q是正交矩阵.且有Q'Q=I & ==& &Q' = Q-1
鉴于正交矩阵这个优良的特性,如果一个向量b投影到Q上,Q是正交阵的话,投影矩阵就变得简单了:
P=Q(Q'Q)-1Q'=QQ'=I,对于最小二乘问题Q'Qx=Q'b,可简化为x=Q'b,即
下面要说下Gram和Schmidt给我们带来的Gram-Schmidt正交化方法,它使得矩阵分析变得简单.
假设在R2空间内的两个相互独立的向量a,b,他们共同生成了R2空间,如下图所示
向量a和b的方向都是任意的,但是二者并不垂直,a的方向不是一定为水平的,这里只是为了好看起见
我现在想找两个向量A,B,他们不仅相互独立,且正交,也就是A和B生成的空间与a和b生成的空间一样,但是A和B是垂直的.
怎么办呢,之前学过的投影矩阵似乎能帮上忙,如下图
图中e是和a垂直的,e=b-xa(如果这个不明白怎么来的,请大家看投影矩阵系列的三篇文章)\
所以,我们取A=a,B = b-xA=b - A'b/(A'A) * A
R3空间中的正交化公式同理可以简单推出:
然后,我们把向量A,B,C normalize一下(Stang说这可能是他所记得的Schmidt对此公式的唯一贡献)
由此,引出了重要的矩阵分解中的QR分解
我们假定A = [a1 a2],那么A可以分解为一个正交阵(Q)和一个上三角阵(R)的乘积
说实话,上面这个式子我到现在也还没弄明白到底是怎么来的,有谁能告诉我吗
等式右边q1,q2,q3与三维数组的第一列相乘得到a,第二列得到b,第三列怎么得到c的呢,我实在没看出来,如果谁看出来,麻烦告诉我下
版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。
* 以上用户言论只代表其个人观点，不代表CSDN网站的观点或立场
访问：49439次
排名：千里之外
原创：14篇
评论：23条
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(3)(1)(7)(3)“正交矩阵的行列式为正负1”什么意思_百度作业帮
“正交矩阵的行列式为正负1”什么意思
“正交矩阵的行列式为正负1”什么意思
正交阵：AA^T=E,取行列式为|A||A^T|=1,由于|A^T|=|A|,因此|A|^2=1,于是|A|=1或－1.
正交阵：AA^T=E，取行列式为|A||A^T|=1，由于|A^T|=|A|，因此|A|^2=1，于是|A|=1或－1.——来源于网友“mschen19”.非正交矩阵与正交矩阵区别_百度作业帮
非正交矩阵与正交矩阵区别
非正交矩阵与正交矩阵区别
如果：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.）或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为单位正交阵,则满足以下条件:1) AT是正交矩阵2)（E为单位矩阵）3) A的各行是单位向量且两两正交4) A的各列是单位向量且两两正交5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R6) |A| = 1或-1正交矩阵通常用字母Q表示.举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]则有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基；1.方阵A正交的充要条件是A的行（列) 向量组是单位正交向量组；3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；4.A的列向量组也是正交单位向量组.5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵.在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为 +1,则我们称之为特殊正交矩阵通过正交矩阵作正交变换所得几何图形可保持模不变,而非正交矩阵所作变换不能做到这一点,这便是正交矩阵的优良特性.
你的意思是正交矩阵是可逆矩阵?
非正交矩阵不可逆，用来干吗用的？
可逆矩阵:指A为方阵,且IAI不等于0;正交矩阵:指A为方阵,且A'A=E.正交矩阵必是可逆矩阵,但可逆矩阵不一定是正交矩阵为什么方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量?不好意思,我写漏了,还有两两正交的条件_百度作业帮
为什么方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量?不好意思,我写漏了,还有两两正交的条件
为什么方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量?不好意思,我写漏了,还有两两正交的条件
将A表示成列向量的形式A=(a1,a2,...,an)则 A 为正交矩阵 A^TA= E ( ) = E
= 0,若 i≠j; = 1,若 i=j A的列向量组是标准正交向量组 .注:A的列向量都是单位向量 不能推出 A 正交.
为什么i=j时,=1就可以推出A的列向量都是单位向量呢?
即 a1,...,an 是单位向量
为什么若 i=j,
即 a1,...,an 是单位向量呢?
单位向量是满足
√ = 1 的向量
√ = √1 = 1, 所以 ai 的长度为1.
这个命题是错误的例如取单位向量e=(1,0,...,0)则矩阵(e;e;e;e;...;e)每个列向量都是单位向量，但是它不是正交阵不好意思, 我写漏了,还有两两正交的条件..而且，正交只代表垂直，不代表长度准确的描述应该是
因此也推导不出“单位”这个结论完整命题是 方阵A为正交阵的充分必要条...
而且，正交只代表垂直，不代表长度准确的描述应该是
因此也推导不出“单位”这个结论
完整命题是 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量,且两两正交.
这是“单位”正交阵才满足的条件，普通正交阵没有这么个“单位向量”的条件
同济5版线代教材的定义如下: 如果n阶矩阵A满足A^TA=E(即A^(-1)=A^T) 那么称A为正交矩阵,简称正交阵. 定义有错误???
至少不是很严谨，如果这个定义正确，就不需要单位正交阵的概念了。我不觉得正交的概念也限定了长度的大小。你可以看看它对正交的定义是什么正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵（转）复习一下！
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵
若一n行n列的&U
其中为n阶，为U的，则称其为幺正矩阵或酉矩阵。即，矩阵U为幺正矩阵，其共轭转置为其:
若幺正矩阵的元素都是实数，其即为。与正交阵G不会改变两个实向量的内积类似，
幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：
在中，正规矩阵&&是与自己的的，也就是说，&满足
其中&&是&&的。
如果&&是实系数矩阵，那么条件简化为&&其中&&是&&的。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个后变为，反过来所有可在经过一个后变为的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的、和都是正规的。同理，在实系数矩阵中，所有的、和都是正规的。两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵
　　n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary
　　一个简单的充分必要判别准则是：
　　方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
　　酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若一 n 行 n 列的&U&满足
其中为n阶，为U的，为酉矩阵或译幺正矩阵。即，矩阵U为酉矩阵，其共轭转置为其:
若酉矩阵的元素都是实数，其即为。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，
幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：
若为n阶方阵，则下列条件等价：
的列向量构成Cn上的一组
的行向量构成Cn上的一组
酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是，由知，幺正酉矩阵U可被分解为
其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意&n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个。
U&*&是酉矩阵
正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij
fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.
矩阵定义和相关符号
　　以下是一个 4 & 3 矩阵：
　　某矩阵
A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j]　或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。
　　在C语言中，亦以
A[j] 表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。
　　一般上构作的矩阵
　　给出一环
R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m& n 矩阵的集合。若 m=n，则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘
(请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R&&Rn
的自同态环。
则 M(n, R) 为一带的
R-。其上可以莱布尼茨公式定义
行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。
　　在百度百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或矩阵。
　　分块矩阵
　　分块矩阵
是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵
　　可分割成
4 个 2&2 的矩阵。
　　此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
　　特殊矩阵类别
　　是相对其（由左上至右下）对称,
即是 ai,j=aj,i。
　　埃尔米特矩阵（或自）是相对其主对角线以复共轭方式对称,
即是 ai,j=a*j,i。
　　特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对,
是 ai,j=ai+1,j+1。
　　所有列都是向量,
用于马尔可夫链。
　　矩阵运算　给出
m&n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m&n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i,
j] + B[i, j]。举例：
　　另类加法可见于矩阵加法.
　　若给出一矩阵
A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如
　　这两种运算令
M(m, n, R) 成为一实数，维数是mn.
　　若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如
A 是 m&n 矩阵和 B 是 n&p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m&p 矩阵，其中
　　(AB)[i,
j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n,
j] 对所有 i 及 j。
　　此乘法有如下性质：
= A(BC) 对所有 k&m 矩阵 A, m&n 矩阵 B 及 n&p 矩阵 C ("").
+ B)C = AC + BC 对所有 m&n 矩阵 A 及 B 和 n&k 矩阵 C ("分配律")。
+ B) = CA + CB 对所有 m&n 矩阵 A 及 B 和 k&m 矩阵 C ("分配律")。
　　要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵
A 及 B 使得 AB ≠ BA。
　　对其他特殊乘法，见。
六、其他性质
　　，转置。
　　矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
Rn 表示 n&1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn -& Rm 都存在唯一 m&n 矩阵 A 使得
f(x) = Ax 对所有 x & Rn。 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。 今另有 k&m 矩阵
B 代表线性变换 g : Rm&-& Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o
A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。
　　m&n矩阵
A 的转置是由行列交换角式生成的 n&m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有
i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其算子。转置有以下特性：
+ B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。
　　矩阵可看成二阶，
因此张量可以认为是矩阵和的一种自然推广。
七、矩阵卡
　　矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,横排是A\B\C\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字,在登录时必须通过矩阵卡的验证才可以进入游戏..。现广泛应用于各游戏公司和银行等的账号保密防盗。
　　类似于
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。}