几何是大自然的语言，一切学科的成熟标志就是用数学来精确表达其概念、思想和规律。古典物理定律的终极表现形式为偏微分方程，近现代物理定律具有几何化解释，例如重力等价于时空弯曲、夸克的分类联系着群论表示、宇宙基本常数取决于卡拉比-丘流形的拓扑等等。可以毫不夸张地说，几何是人类认识自然不可或缺的基本工具。人类并不仅限于认识自然，其终极目的更在于改造自然。改造自然的基本工具既包括人手的延长物，蒸汽机，又包括人脑的延长物，计算机。时代的发展促使人类不可避免地将深邃优美的几何理论和无坚不摧的计算机技术相结合。由此可见，几何计算化是人类历史发展的必然。撰文/顾险峰 (纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授，清华大学丘成桐数学科学中心访问教授)几何计算化面临的挑战几何计算化对于现代几何理论和计算机科学都提出了强有力的挑战。单纯从理论方面而言，就已经困难重重；考虑到计算机实现，我们不可避免地要渡过许多难以逾越的天堑：存在性与构造性证明首先，经典几何理论中的大量存在性证明都是基于抽象的拓扑方法，而非直接的构造法。从证明本身，我们只知道解的存在，但是无法具体找到解。这需要我们进一步发明新的构造性算法，往往构造性证明比存在性证明更加需要对几何现象的深刻理解和洞察。例如，我们考察布劳威尔不动点问题：假设我们有一杯咖啡，处于静止状态。我们轻轻搅拌咖啡，同时避免产生气泡和泡沫，然后抽离咖啡匙。咖啡继续旋转，随后缓慢终止。由不动点定理，我们知道存在一个分子，其初始的位置和终止的位置相重合。（当然，在搅拌过程中有可能离开初始位置，但是最后又回到初始位置。）这个定理的代数拓扑证明用到了同调群的概念，抽象深刻，令人惊叹，但是关于如何找到不动点没有任何实质性的帮助。相反，这个定理的组合证明 （Sperner's lemma），初等繁琐，平易近人，却给出了如何求解的具体步骤。再比如黎曼面的单值化定理，给定一个封闭的带黎曼度量的可定向曲面，存在一个和初始度量共形等价的度量，其诱导常值高斯曲率。十九世纪末，单值化定理被复变函数方法证明出来。但是这种方法只给出了存在性，却无法直接构造出常曲率度量。直至近百年后，Hamilton的Ricci 曲率流方法才给出构造性方法。图1直观展示了曲面单值化定理，亏格为零的曲面保角地变成球面；亏格为一的曲面可以保角地展开在平面上；高亏格的曲面可以周期性地展开在双曲平面上。对于大量的几何存在性定理，经典的理论只有抽象的证明，却没有构造性方法，寻求构造性的证明方法本身需要旷日持久的艰苦努力。 图1 单值化定理光滑结构对离散表示经典几何理论特别是微分几何和偏微分方程理论都是建筑在光滑微分结构之上。计算机内存有限，所有的数据结构都是离散的。如何用离散来计算连续，有限来表示无限，这本身就是难以调和的矛盾。一种方法是用离散来逼近连续，例如经典的有限元方法：在流形上的无穷维泛函空间中挑选有限维子空间，例如分片多项式样条函数空间，在子空间上求得近似解，然后增大子空间，使得近似解逼近连续解。另外一种方法更为直截了当，离散几何理论本身。例如Hamilton的曲面Ricci曲率流的理论是建立在光滑曲面上的，最近丘成桐学派建立了离散曲面上的Ricci流理论，这套理论是直接建立在离散的多面体曲面上的，并且和Hamilton的理论等价。图1显示了离散Ricci流方法得出的曲面单值化计算结果。再比如，经典的蒙日-安培方程理论和闵科夫斯基理论，最优传输理论都有深刻的渊源。表面上看，蒙日-安培方程本身需要函数的高阶光滑性，但是它的几何本质却是只需要连续性。丘成桐学派建立了离散蒙日-安培方程理论，利用凸几何的方法求解。图2给出了从曲面到平面圆盘的保持面积元的映射，其计算过程依赖于求解离散蒙日-安培方程。图2 蒙日-安培方程计算复杂度许多自然的几何和拓扑问题即便有计算方法，其算法都是具有指数级复杂度的。比如曲面上的复杂封闭曲线在同伦群中的最短表示问题。如图3所示，亏格为2的曲面上给定同伦群的基底，任给一条封闭曲线，其同伦类为同伦群中的一个元素，可以表示成基底的乘积，但是表示方法不唯一。在所有可能的表示方法中，求最短的表示。这一问题对于图灵机模型而言是NP问题。再如，给定空间中两条扭结，判定它们是否同痕：亦即我们能否将其中的一条渐变成另外一条，形变过程中要求不剪断而又重新连接。这一问题如果用代数拓扑方法求解也是NP问题。目前，机器定理证明的主要方法是求多项式环中理想的一族生成元，生成元具有特殊的性质，满足一定的要求。主要的·计算工具是Groberner基底方法。这一方法的空间复杂度非常之高，虽然理论上可以广泛解决机器定理证明的问题，但是实际上作用非常有限。 图3 同伦群的计算问题线性对非线性线性方程现在已经研究得比较透彻，存在大量实用的算法和软件工具。工程中的线性偏微分方程，可以用差分法，傅里叶变换法或者有限元方法转化为线性方程。但是绝大多数自然的拓扑和几何问题都是非线性的，在这种情况下我们寻求变分法。在理想情况下，几何问题被转化为某一凸能量的变分从而使得计算变成凸优化。例如上文中提到的用曲率流方法来构造曲面的黎曼度量，实际上对应着凸能量（所谓熵能量）的优化；最优传输问题的蒙日-安培方程的解也是某种体积能量的极值解。当然，也存在大量的非线性几何问题，我们无法直接用凸能量的变分法处理，比如求高亏格闭曲面之间的泰西米勒映射（Teichmuller map），或周期映射的不变双曲度量等等。稳定性 许多拓扑和几何问题的解本身是不稳定的，这意味着微小的初始误差或过程中的计算误差将会使结果相差十万八千里。例如混沌问题，动力系统中的三体问题等等。这种不稳定性是问题本身的性质所决定，和计算方法的设计和选取无关。另外一种稳定性是由计算误差所引发。比如经典计算几何中的Delaunay三角剖分，平面族的包络，离散点的凸包问题。这些问题的几何本质清楚明晰，但是计算中的微小误差就会引发组合结构的崩溃，其内在原因在于计算机只能近似表达实数及其运算结果，而组合结构的搭建却需要绝对精确，不容误差的。对于只涉及代数运算的计算几何问题，一种解决方法是在有理数域上进行精确的代数运算，用软件表示长整数。这种方法速度缓慢，但是保证了计算的正确性。另外，许多几何计算需要在特殊的黎曼度量下展开，对于双曲度量而言，靠近双曲空间的边缘处，共形因子趋向无穷，微小的计算误差将会引发巨大的几何误差。几何理论的计算方法从计算方法角度而言，几何理论的计算方法非常丰富，大致可以分为如下几类：组合计算方法许多几何和拓扑对象可以被表示成图，图论的大多数算法可以归结为组合方法。例如布劳威尔不动点的构造性方法可以归结为图的染色问题（Spencer Lemma），如图4所示。计算拓扑的许多问题，如流形的同伦群和同调群，都可以归结为组合计算问题，例如判定复杂拓扑曲面上一条封闭曲线是否能够缩成一个点等等。 图4 （Spener's walk）组合方法计算不动点我们计算的主要对象是几何流形和拓扑空间，绝大多数情况下我们需要将它们离散化。最为常见的离散化方法就是三角剖分。这里涉及到两个基本问题：三角剖分是否存在；如若存在，如何选取最优剖分。光滑流形存在三角剖分，但是一般高维拓扑流形不见得可以被三角剖分。那么是否所有拓扑流形都可以用光滑流形来替代呢？米尔诺的微分拓扑理论揭示了拓扑结构和微分结构之间的巨大差别，从而在理论上否定了用光滑流形逼近拓扑流形的可能。如果存在三角剖分，如何根据问题本身来选取最优方案？例如如何三角化一张光滑的带度量的曲面，使得离散曲率收敛于光滑曲率？离散法丛理论给出了具有普遍意义的指导，离散共形映射和Delaunay Refinement算法给出了具体的计算流程。图5显示了这一方法的计算示例。高维流形的离散化依然具有很多尚未解决的开放问题。 图5 保持曲率测度的三角剖分符号计算方法符号计算将数学符号作为计算对象，通过对符号进行运算得到结论。例如一些偏微分方程存在形式通解，
通过符号计算我们可以得到解的表达式。对于代数方程，多元线性方程组的通解可以用方程系数的代数运算求出，推广到多元多项式方程组，其解可以类似推导。当然，我们知道高阶代数方程不存在求根公式，但是通过对方程化简变形，我们可以极大的简化求解过程。或者等价地，我们可以计算多元多项式环中理想的满足特定条件的基底。符号计算的基本方法包括吴文俊方法和Grobner基底方法。由希尔伯特定理，我们知道所有的多项式理想都是有限生成，因此Grobner基底方法的收敛性得以保证。但是，迄今为止，人们并不清楚这些算法的时间和空间复杂度的上界，一些实例表明其上界远超指数级。符号计算完全精确，但是效率较低。符号计算广泛应用于机器人路径规划，数控机床中的样条曲面求交问题。大量的代数几何问题，代数数论问题，群论问题都是基于符号计算。特别地，到目前为止，符号计算是机器定理证明的最主要方法，它代表了“人工智能”方向最为智能的部分-数学推理。机器定理证明和人脑定理证明的多方面比较，例如洞察角度，深刻程度，几何直观，联想广度等等，这些都是饶有兴味的哲学科学问题。数值计算方法在几何计算方向占据统治地位的是数值计算方法，部分归因于大多数几何问题不存在解析解，只能用数值解加以近似。最为经典的自然是几何偏微分方程的有限元解法。流形经过三角剖分，函数被分片多项式函数所逼近，椭圆型微分算子被离散化成正定线性算子，偏微分方程被转化成线性方程组。在适当的三角剖分下，黎曼度量的信息反映在线性算子的各项系数（权重）上面。应用索伯列夫空间理论，可以证明离散数值解依照特定范数收敛于连续解。这种方法可以直接推广到计算曲面间调和映照，和计算曲面上调和微分构成的上同调群，从而进一步计算曲面间的共形映射，拟共形映射。给定曲率求曲面上相应的黎曼度量，并且和初始度量共形等价，这需要用到曲面Ricci曲率流的方法。Ricci曲率流可以看成是曲率的非线性热流方法，本质上这一方法可以转化为非线性凸优化问题。数值计算方法源远流长，种类繁多，思想迥异，博大精深。概率方法概率方法思想奇特，妙不可言，程序短小精悍，适于并行。脍炙人口的例子首推黎曼流形的热核计算问题。热核（heat kernel）是流形至为重要的等距不变量，其概率解释为从一点出发的布朗运动在给定时刻达到另外一点的概率。通过在流形上模拟数目庞大的随机行走，热核可以被精确的估算出来。几何中的任何概念，如果具有概率解释必然能够被概率方法计算出来：比如曲面边界的调和测度（harmonic measure），曲面的共形不变量-极值长度( extremal length )等等。概率方法对于无穷大曲面的几何问题具有独到的优势，例如通过随机行走的整体行为，我们能够判定无穷大空间的曲率符号等等。在实践中，不同方法的选取对于问题的求解具有决定性的影响。比如我们考察扭结同痕问题，我们可以采取代数拓扑的方法：在三维欧式空间中挖去扭结，计算剩余的补空间的同伦群。如果两个补空间的同伦群彼此同构，则两个扭结同痕。判断两个群是否同构需要采用符号计算的方法，这是一个NP难的问题。我们也可以采用所谓几何拓扑的方法，首先将补空间三角剖分，然后计算标准的双曲度量。如果两个补空间在各自的标准度量下等距同构，则两个扭结同痕。几何拓扑的方法用到组合和数值算法，计算起来更加实际可行。 图6 不同痕的扭结同时各种方法相辅相成，很多时候一个问题需要综合多种方法。比如我们求解闵科夫斯基问题，如图7所示，给定一个凸多面体各个面的法向量，和各个面的面积，将凸多面体构造出来。这一问题可以用变分问题的数值方法加上组合方法解出，我们将各个支撑平面的截距设为未知变量，在各个支撑平面的截距之和为常数的限制下极大化多面体的体积。依随截距的变化，多面体的组合结构随着变化。这种组合结构依随几何和拓扑的变化而变化是几何计算的一个显著特点。例如在Ricci曲率流的计算过程中，曲面的三角剖分依随黎曼度量的变化而变化，从而使组合结构和背景度量相互协调一致。 图7 闵科夫斯基问题总结和展望在人类历史长河之中，抽象艰深的几何理论只能被极少数的职业数学家所掌握，许多深刻的概念和定理只能被数学家所透彻领悟和审美。现代教育虽然有所改善，但是许多基本的概念，例如黎曼度量、上同调群、域的超越扩张，依然只能被专家所理解和使用。计算机技术的发展使得抽象的几何理论可以被转化为算法程序，人们即便无法理解艰深的理论，也能直接使用和感受。计算机将几何理论请出象牙塔，在社会实践中真正发挥它的巨大威力！目前，纯粹数学和计算机科学是两个分立的教育领域，年轻学子几乎不可能得到两方面充分的训练。两个领域的哲学思想，训练技巧，价值观念，生态环境天渊之别，这进一步割裂了他们之间的内在联系。但是，几何计算化顺应历史的洪流，它正在隐蔽而坚定地发展着，生机无限，势不可挡。我们坚信，历史潮流，浩浩荡荡，顺之者昌，逆之者亡。几何计算化必将改变教育和科学，改变工业和医疗，改变人类文明的进程…… 欢迎个人转发分享，刊物和机构如需转载，请联系授权事宜：。更多精彩文章：您可以回复“目录”，接收往期文章目录和每一篇的获取方式，也可以返回主页点击屏幕下方子菜单获取最新文章、往期文章或直达赛先生微博。谢谢！关于我们▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃《赛先生》由百人传媒投资和主办，全球范围内邀请顶尖科学家轮值担任主编。关注请加微信号：iscientists 或扫描下方二维码。
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&img src=&/3cc69e967e099273cebda_b.jpg& data-rawwidth=&1084& data-rawheight=&208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1084& data-original=&/3cc69e967e099273cebda_r.jpg&&&br&题目：如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=1，E是BC的中点，∠AED=120度。&br&求：AD长度的最大值是多少？&br&做了很久都搞不定，一个初中老师问的，我真的想选择死亡。帮帮我啊，无论用什么方法都可以了，用博士生知识也行。起码给我个思路和结果。谢谢了&br&==============================================================&br&觉得简单的，可以自己算算先。还有，我不是博士，我就算是博士，也承认自己真的很无知。&br&我自己的几个思路：&br&思路一：建立坐标系，E为零点，A、D设想是两个圆的动点，配合余弦定理使用120度角&br&思路二：等距离延长AE到M点，连接CM，这样就可以把中点和AB利用起来了&br&思路三：考虑三角形AED的外接圆圆心O，那么∠AOD就是120度，三角形AOD就是等腰三角形，AD=OA*cos30度来思考，求OA最大值&br&思路四：向量法配合线性代数，因为A、D在坐标系中的位置是有规律的，但是线性代数表示已经忘光，不知道这个思路怎样。&br&思路五：运用计算机编程，使用matlab（不知道可不可以，虽然我不会用）进行AD的轨迹分析，因为∠AEB和∠DEC的最大值是确定的（也就是相切的时候），所以可以把点A从（-2，0）来开始进行定角120度的移动，边界控制就是∠DEC最大相切的时候。但是，matlab表示一般，正在自学。&br&思路五：不知道图论可以可以做出来，懂得同学，谢谢了。&br&以上思路，都是想到一半，然后不知道怎么往下进行，有更好的思路或者解答，请不令赐教。&br&最后想说，请动手坐坐先，不要嘴上觉得简单，但就是做不出来。执行力何在？&br&&b&★★★★★初中老师问的，不一定是初中知识。但也或许是初中知识，因为他也没有答案。也许这是个错误的题目，但是也起码证明他的错误所在。&/b&&br&&b&===============================================================&/b&&br&&b&感谢大家的回答和支持。&/b&&br&我说一下我自己的一个觉得可行的思路吧。&br&以E为零点，建立坐标系，A（x1，y1）和D（x2，y2）的坐标是圆的方程表示。&br&可以表示出AE和DE的长度。&br&然后三角形AED中利用余弦定理，可以表示出AD的长度，是用x1和x2来表示的，所以我们只要找到x1和x2的关系就可以了。&br&利用向量夹角的公式或者三角函数利用120度角可以得到x1和x2的关系等式，但是是一个不规范的关系等式（即不能直接用x2表示x1）。&br&x2是有一个值域的。&br&利用matlab控制x2的点对应到x1的点，然后x1，x2对应到AD的长度，是不是就可以观测到AD的图像。这样就能知道AD的长度范围了。&br&有不对的地方，请指教。&br&===================================================================&br&一句话：自古知乎多大神，话不多说，感激之心不言。&br&一点想法：&br&第一、这道题目初中知识不可解，也许目前没有找到。&br&第二，没想到一道简单的几句话的题目一个上午三四个小时就有六千多的浏览量，看来还是有很多爱数学的人的。&br&第三，数学在于求知解惑，不在于求嘴犀利。&br&&b&&u&第四，望同学们寻找更多的解法，话说有同学可以用向量做一下吗？&/u&&/b&&br&=============那么，你真的看穿一切了吗？头脑风暴一下====================&br&从这道简简单单几句话的错题，不知道大家能联想到什么，联想到什么样的数学模型，和什么样的生活实际可以进行类似图形的建模。&br&最后这个，纯属头脑风暴，逻辑讨论。骚年们，爆发你们的小宇宙吧。&br&====================补充讨论中=================================&br&不知道这样子能不能有用，提供一个思路和角度&br&&img src=&/4b2cca8a9fd_b.jpg& data-rawwidth=&875& data-rawheight=&396& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&875& data-original=&/4b2cca8a9fd_r.jpg&&=====================答主补充另一个几何思路==========================&br&往另一个方向旋转，使得DE边和AE边贴合，这样题目转化为：&br&&img src=&/e5ba4cbe8ab334b44660_b.jpg& data-rawwidth=&567& data-rawheight=&458& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&567& data-original=&/e5ba4cbe8ab334b44660_r.jpg&&等边三角形边长为3，左侧圆半径为1，右侧圆半径为2，左右两侧的蓝线就是CD和AB。过顶点引射线交两圆，取较远的那个交点，长度分别记为p和q，由余弦定理可得AD^2=p^2+q^2+pq。&br&但是做到这一步就做不下去了，我猜想过三种情况，分别是与小圆相切，与大圆相切和过中间那个红点（就是两个圆的公切点），不过都不能达到最优解……&br&过中间那个红点的放大图如下：&br&&img src=&/f5dcc0e257cd9c829b81efcf2027681b_b.jpg& data-rawwidth=&1273& data-rawheight=&486& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1273& data-original=&/f5dcc0e257cd9c829b81efcf2027681b_r.jpg&&
题目：如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=1，E是BC的中点，∠AED=120度。求：AD长度的最大值是多少？做了很久都搞不定，一个初中老师问的，我真的想选择死亡。帮帮我啊，无论用什么方法都可以了，用博士生知识也行。起码给我个思路和结果。谢谢了==============================================================觉得简单的，可以自己算算先。还有，我不是博士，我就算是博士，也承认自己真的很无知。我自己的几个思路：思路一：建立坐标系，E为零点，A、D设想是两个圆的动点，配合余弦定理使用120度角思路二：等距离延长AE到M点，连接CM，这样就可以把中点和AB利用起来了思路三：考虑三角形AED的外接圆圆心O，那么∠AOD就是120度，三角形AOD就是等腰三角形，AD=OA*cos30度来思考，求OA最大值思路四：向量法配合线性代数，因为A、D在坐标系中的位置是有规律的，但是线性代数表示已经忘光，不知道这个思路怎样。思路五：运用计算机编程，使用matlab（不知道可不可以，虽然我不会用）进行AD的轨迹分析，因为∠AEB和∠DEC的最大值是确定的（也就是相切的时候），所以可以把点A从（-2，0）来开始进行…
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思路设角AEB为a,利用正弦表示AE和DE,利用余弦表示AD,然后解不等式即可高中知识卡在最后一步
初中的一个数学竞赛题，当年老师讲最值的时候拿出来镇过我们，貌似用三角函数
不知道托勒密定理及其推论算不算一个思路，只是记得初中的时候做一道平面几何题貌似也是求最值得问题做了很久做不出来翻答案，然后答案第一句，由托勒密定理及其推论可知。。。然后当时心里想托勒密定理及其推论是初中数学知识么托勒密难道不是天文学家然后就一直记得托勒密定理这条定理结果发现一直到大学微积分都没再见过这条定理╮(╯_╰)╭
这题你们都理解错了，不是用三角函数来解的。。。。我找了几个初中的学神。。。这个题是用函数来解的。。。设E为原点做直角坐标系，设其中一条射线为：AX=Y，用三角函数求另一条射线。然后分别并联两个圆的方程，要求两个方程同时有解可求A的范围。然后带入交点距离公式求A在范围内距离最大值即可。
向量和坐标配合初中简单方程的解法。我还真的尝试用中学生能做的方法求解了，但是实际上不对。按上面的一些答案，可以看出题目想让你得出AD最大不大于1/2BC + AB + DC的结论，实际上用很多方法能得出这个结论，但是AD=这个最大值，也就是6，在绘图时是不可能实现的。题主在问有没有用向量试过。设E为原点，EC方向为X轴，其实结合坐标，把题目等价转换后可以得出:设A横坐标为X,D横坐标为Y。最终等价转换AB距离、B坐标、C坐标、DC距离，结合向量夹角公式，也就是cos120度与向量AB，DC组成的公式，这道题目可以等价转换成：在已知-1/2 = (XY+sqrt(4-(X+3)^2) * sqrt(1-(Y-3)^2))/(sqrt(X^2+4-(X+3)^2)*sqrt(Y^2+1-(Y-3)^2))的情况下，求MAX((X-Y)^2 + (5-(X+3)^2-(Y-3)^2))的值。按中学生的思路是根据第一个等式求出Y和X的关系，然后带入MAX那个式子中求出结果。尽管已经尽量不使用三角函数和复杂的多元方程，第一个等式平方展开依然是一个高次二元方程，中学生估计基本解不出来。
奇怪，每个边的长度都能算出来，角度也确定了，为什么还有最大值和最小值啊？？看来我学的知识已经完全还给老师了。。。。
作为江苏学生，我只能说这种题目初中做过很多。这种题目不是江苏所有中学都做的，一般只有超级变态的学校才会选这种题目给学生练（压轴题或者倒数2、3题）。我初中绝壁做过这个题目，好多次，这在我们学校还不算最难的。要画好多辅助线，而且好像就是你提及的那个思路（在右下角补出一个三角形）。然后连接DM？
想当年做数学竞赛的时候，我平面几何学得很差，每次拿到二试试卷都是先看平面几何10分钟，没思路就先做其它题目……后来某次怒从心生，建立直角坐标系硬算一小时居然将答案算出来了。更奇特的是老师看到我的答案以后居然亲自一步步检验确认无误。从此以后老师都怕我做平面几何题了233333……今天突然发现居然有人邀请我回答平面几何的题目，实在是诚惶诚恐……
看似是几何问题，其实是函数问题。我是来秀叔的。
这个题目有错误吧，因为我的思路是用AutoCad将这个图画出来，可是想了很久才发现给了一个角度，是无法画出来的。我在想写给题在印刷出版的时候是如何出来的？我想打字的可能少少输入了个条件吧。个人想法！
我记得有个老师告诉我这么一句话:目标简单而明确，路途曲折而漫长。 初中没有几何求解的原则一个相似比例一个全等相等。共圆也就提供一个角度。构造的出来就能活，构造不出来就死吧。如果按照你的修改可以ec做等边，abe旋转到等边另一边看看。
这个回答没有证明，只是说考试方法，我也给不了证明，也不保证正确。我来说一说如果是选择题/填空题我会怎么蒙，毕竟应试考试没有必要每道题都会，只要对了就好。对于初中高中的难度，不可能会出现不是整数的角度，所以。。。。不说直接上图原来是个正三角形。原来是个正三角形。就酱。
有些惊恐，，我是不是做过？！怎么大家讨论的这么刁钻了初中不会让你算数的啊喂！
有个思路是用复平面来做，今晚没时间了，周末仔细算一下。哪位算出来了，不妨直说吧：）所求是D-A的模的最大值，不是照片中的D-A。那个\rho也不仔细求出，给出\theta之间的关系是关键的步骤之一。有个思路是用复平面来做，今晚没时间了，周末仔细算一下。哪位算出来了，不妨直说吧：）所求是D-A的模的最大值，不是照片中的D-A。那个\rho也不仔细求出，给出\theta之间的关系是关键的步骤之一。
经@郭城 指正，等号取不到···角ABE和DCE不可能同时为120度。就是说AB'C'D四点不可能共线。我觉得大家可能想复杂了吧~沿AE翻折得到三角形AEB'沿DE翻折得到三角形DEC‘∵BE=EC=EB’=EC‘∴∠B'EC’=∠AEB+∠DEC=60°∴三角形BEC为等边三角形∴B'C‘=BE=3∵AB=AB’=2，DC=DC‘=1∴AB’+B'C‘+DC’=2+3+1=6∴AD最大值为6
目前好像还没有人贴“解析解”（数值解是4.8）那我就发一下吧： Root[57+0 #^2+ #^4+ #^6- #^8- #^10+ #^12- #^14+4373516 #^16-258508 #^18+8284 #^20-140 #^22+#^24&,4]可见，这是一个一元廿四次方程的根（同时也是一元十二次方程的根的算术平方根），看来确实是初中题目Mathematica代码：MaxValue[{Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2],x1 x2+y1 y2==Cos[2Pi/3] Sqrt[x1^2+y1^2] Sqrt[x2^2+y2^2],(x1+3)^2+y1^2==4,(x2-3)^2+y2^2==1},{x1,y1,x2,y2}]//RootReduce或者GroebnerBasis[{res==Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2],x1 x2+y1 y2==Cos[2 Pi/3] Sqrt[x1^2+y1^2] Sqrt[x2^2+y2^2],(x1+3)^2+y1^2==4,(x2-3)^2+y2^2==1},x2,{x1,y1,y2}]Reduce[{First@%==0,res&0},res,{x2},Reals]顺带把最小值也算出来了
完全欺骗我的感情……还觉得可能是AE=ED，∠B=∠C=60°的时候AD最大 (AE=ED时倍长AE至F，DEF为等边三角形，由托勒密定理的逆定理可得DEFC共圆，可知∠B=∠C=60°，在BA延长线上截取AG=CD再用全等也能证出∠B=∠C=60°)，还想这么漂亮的结果一定有漂亮的几何证法，结果裤子都脱了，你就给我看这个……看这个……看这个……
设角DEC为x，那么显然1. sin(x) &= 1/3，否则C到ED的距离大于12. sin(60-x) &= 2/3，否则B到AE的距离大于1然后，通过简单的计算可以发现，x可能的取值范围是18..，有1度多的范围！x基本只能在非常小的范围内活动。根据经验，这题可能是出错了。。那么，有没有可能在边界处（即1或者2取等号时）取得最大值呢？如果这样的话，也可以较容易地将答案求出来。但是事实并非如此，以下y是AD长度，最大值并非在端点处取得。从图中可见最大值是4.915多一点点（有人已经给出更精确的数值了）。总之，这个题目非常诡异，x的变化范围非常小，最值点完全不是特殊值，很可能是错题。
已有帐号？
无法登录？
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