级数综合题_百度知道
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因为|sgn(x-a_n)/2^n| ≤ 1/2^n, 由Weierstarss判别法, 该级数是一致收敛的.对a不属于{a_n}, 由各项在a连续, 知f(x)也在a连续.若a = a_n, 由a_i ≠ a_j, 可取a的邻域(a-δ,a+δ), 使a_1, a_2,..., a_(n-1),a_(n+1)都不在其中.前n+1项的部分和f_(n+1)(x)在(a-δ,a)上的取值比(a,a+δ)上小1/2^(n-1),而余下的项的和在-1/2^(n+1)与1/2^(n+1)之间, 故a点必为间断点.
能不能在详细点，没看懂
关于我用的符号没问题吧, ^表示乘方, _表示下标.连续的部分应该没问题吧, 用到连续函数一致收敛的极限仍连续.不连续的证明我之前证麻烦了, 这里给两种简单一些的新证法.证法一: f(x)-sgn(x-a_n)/2^n在a_n连续, 因为它是一列在a_n连续的函数的一致极限.但sgn(x-a_n)/2^n在a_n间断, 因此f(x)作为二者之和仍在a_n间断.证法二: g(x) = f(x)-sgn(x-a_n)/2^n是增函数, 因为各项都是增函数.对任意x & a_n, 有g(x) ≥ g(a_n), f(x) =
g(x)+sgn(x-a_n)/2^n ≥ g(a_n)+1/2^n.对任意x & a_n, 有g(x) ≤ g(a_n), f(x) =
g(x)+sgn(x-a_n)/2^n ≤ g(a_n)-1/2^n.f(x)在a_n的左极限 ≤ g(a_n)-1/2^n & g(a_n)+1/2^n ≤ 右极限, 故a_n为间断点.
证法一中为什么 f(x)-sgn(x-a_n)/2^n在a_n连续, 不太明白，另外证法二g(x) = f(x)-sgn(x-a_n)/2^n是增减增的模式，不是g(x)为增函数的充分条件吧
不好意思, 这个都是我写法上偷懒的问题.其实f(x)-sgn(x-a_n)/2^n = ∑sgn(x-a_k)/2^k, 右端求和是对所有k ≥ 1, k ≠ n.证法一因为去掉了sgn(x-a_n)/2^n这项, 右端各项都在a_n连续, 从而和式连续.证法二因为右端各项都是增函数, 所以和式为增函数.当初是想回避比较麻烦的求和符号, 所以用了f(x)-sgn(x-a_n)/2^n的形式.没想到引起误解, 实在抱歉.
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第04章解析函数的级数展开习题及其解答.doc9页
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第四章　解析函数的级数展开习题及其解答 4.1
判断级数的收敛性，绝对收敛性. 1)
由实数项级数收敛的狄离赫利判别法可知与均收敛.故由复数项级数收敛充，所以非绝对收敛.
2)因，而收敛，即收敛，于是收敛，且为绝对收敛. 注 由此两题可见，对于复数项级数，绝对收敛收敛；而收敛≠＞绝对收敛.2)可作为此种情况的例子. 4.2
幂级数能否在处收敛，而在=3处发散？说明理由. 答
不可能.因为若在处发散，则由Abel定理，在一切满足的处级数均为收敛，显见，=3满足此不等式故不可能在=3处发散. 4.3
求极限，其中，并由此判断复数项级数的敛散性. 解
设.注意. 所以
将代入得 由复数项级数收敛的定义可知，收敛于.即 注 1.这里的即为复数项级数的部分和序列，求之极限中利用了的结论.由极限存在得收敛结论，这是最基本的方法. 4.4
证明：若收敛，则收敛(这时称绝对收敛). 证
设，则.由正项级数比较判别法，收敛，均收敛，又由实数项级数知识知与收敛.于是由复数项级数收敛的充要条件得收敛. 注 若收敛，称绝对收敛.则本题的结论说明复数项级数绝对收敛，则必收敛.证明方法用的是实数项级数对应的统一性质.应注意收敛≠＞收敛，故不能由发散推出发散. 4.5
设极限存在，证明下列三个级数有同一收敛半径：；；. 证
设，则级数收敛半径为，(0)，由收敛幂级数性质，在内，对可逐项积分、逐项求导，所得结果收敛半径不变.故知及收敛半径仍为. 在＝0时，收敛半径.上述性质仍成立. 4.6
将下列函数展为幂级数，并求收敛半径.
展为的幂级数 解
在处解析，且以为奇点，故可知其Taylor展式的收敛半径. 设，将展为的幂级数，再代入即可得所求(由展式唯一性保证). 因为
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