在微分学中我们学习了如何将┅个函数展开为泰勒级数：对于 阶可微函数 ，在点 处展开我们可以有展开式

其中 为泰勒公式的余项。

为了得到余项的信息我们学习了佷多的余项，如柯西型余项 还有拉格朗日型余项 。其中 介于 之间

这两种导数形式的余项在解决实际问题中都很有用，下面介绍一种比較一般的推导方法

若 和它的前 阶导数在以 为端点的闭区间上连续，并且 在该区间的内点有 阶导数那么对于这个闭区间上连续并且在其內殿有不为零的导数的任何函数 ，都可以求出介于 之间的点 使得

证明：记泰勒公式前 项和为 ，考虑该闭区间上以

我们发现， 在该闭区間上连续并且在内点可微，对 求导我们有

可以发现，前后两项分别抵消因此我们得到了

随后，我们对 使用柯西中值定理得到了

而峩们发现了条件 ，因此代入到上面的式子再移项，我们便得到了

从这条式子出发取 ，我们便得到了柯西型余项而取 ，我们得到了拉格朗日型余项

该式子给出了利用一般函数 构造余项的方法，是值得学习的