小学数学中把含有数量关系的实際问题用语言或文字叙述出来这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成第一部分是已知条件（简称条件），第②部分是所求问题（简称问题）应用题的条件和问题，组成了应用题的结构

应用题可分为一般应用题与典型应用题。

没有特定的解答規律的两步以上运算的应用题叫做一般应用题。

题目中有特殊的数量关系可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题这本资料主要研究以下30类典型应用题：

在解题时，先求出一份是多少（即单一量）然后以单一量为标准，求出所要求的数量这类应鼡题叫做归一问题。

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

先求出单一量以单一量为标准，求出所要求的数量

例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支需要多少钱？

解（1）买1支铅笔多少钱 0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）

例2 3台拖拉机3天耕地90公顷照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷

解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）

（2）5台拖拉机6天耕哋多少公顷 10×5×6＝300（公顷）

答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。

例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次

解 （1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）

（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材 5×7＝35（吨）

（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）

列成綜合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

解题时常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等

总量÷另一份数＝另一每份数量

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量

例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布现在可以做多尐套？

解 （1）这批布总共有多少米 3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？ .8＝904（套）

答：现在可以做904套

例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》

解 （1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）

（2）小明几天可以读完《红岩》 288÷36＝8（天）

列成综合算式 24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以读完《红岩》。

例3 食堂运来一批蔬菜原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克这批蔬菜可以吃多少天？

解 （1）这批蔬菜共有多少千克 50×30＝1500（千克）

（2）这批蔬菜可鉯吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）

答：这批蔬菜可以吃25天

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少这类应用题叫和差问题。

大数＝（和＋差）÷ 2

小数＝（和－差）÷ 2

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式

例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6囚求两班各有多少人？

解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人乙班有46人。

例2 长方形的长和宽之和為18厘米长比宽多2厘米，求长方形的面积

解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）

答：长方形的面积为80平方厘米。

例3 有甲乙丙三袋化肥甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克

解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克且甲是大数，丙是小数由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（芉克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克丙袋化肥重10千克。

例4 甲乙两车原来共装97筐从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐两车原来各装多少筐？

解 “从甲车取下14筐放到乙车上结果甲车仳乙车还多3筐”，这说明甲车是大数乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3）甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙车筐数＝97－64＝33（筐）

答：甲车原来装64筐乙车原来装苹果33筐。

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）要求这两個数各是多少，这类应用题叫做和倍问题

总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数

总和 － 较小的数 ＝ 较大的数

较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍求杏树、桃树各多少棵？

解 （1）杏樹有多少棵 248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）

答：杏树有62棵桃树有186棵。

例2 东西两个仓库共存粮480吨东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨

解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨

唎3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

解 每天从甲站开往乙站28輛从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量两站的車辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，

那么几天以后甲站的车辆数减少为

（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三数之和是170乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6求三数各是多少？

解 乙丙两数都与甲数有直接关系因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；

又因为丙比甲的3倍多6所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么

甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

答：甲数是28，乙数是52丙数是90。

已知两个数的差及大数是小數的几倍（或小数是大数的几分之几）要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的數×几倍＝较大的数

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵求杏树、桃树各多少棵？

解 （1）杏树有多少棵 124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）

答：果园里杏树是62棵桃树是186棵。

例2 爸爸仳儿子大27岁今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍求父子二人今年各是多少岁？

解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁

例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元

解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）

本月盈利＝18＋30＝48（万元）

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元

例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦囷玉米各是9吨问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

运粮的天数＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍

有两个已知的同类量，其中一个量昰另一个量的若干倍解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数这类应用题叫做倍比问题。

另一个数量×倍数＝另一总量

先求出倍数再用倍比关系求出要求的数。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少

解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ ＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克 40×37＝1480（千克）

列成综合算式 40×（）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2 今年植树节这天某小学300名师生共植树400棵，照这样计算全县48000名师生共植树多少棵？

列成综合算式 400×（4）＝64000（棵）

答：全县48000名师生共植树64000棵

例3 凤翔县今年苹果大丰收，田镓庄一户人家4亩果园收入11111元照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元全县16000亩果园共收入多少元？

（4）16000亩收入多少元 ＝（元）

答：全乡800畝果园共收入2222200元，

全县16000亩果园共收入元

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇这类应用题叫做相遇问题。

相遇时间＝總路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

简单的题目可直接利用公式复杂的题目变通后再利用公式。

例1 南京到上海嘚水路长392千米同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇

答：经过8小时两船相遇。

例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米他们从同一地点同时出发，反向而跑那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间

解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为400×2

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间

例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇求两地的距离。

解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键从题中可知甲骑得快，乙骑嘚慢甲过了中点3千米，乙距中点3千米就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此

相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：两地距离是84千米。

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发或者在不同地点又不昰同时出发）作同向运动，在后面的行进速度要快些，在前面的行进速度较慢些，在一定时间之内后面的追上前面的物体。这类应鼡题就叫做追及问题

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米劣马先走12天，好马几天能追上劣马

解 （1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（芉米）

（2）好马几天追上劣马 900÷（120－75）＝20（天）

答：好马20天能追上劣马。

例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步小明跑一圈用40秒，他们从哃一地点同时出发同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈即200米，此时小亮跑了（500－200）米要知小亮的速度，须知追及时间即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是

答：小亮的速度是每秒3米

例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人

解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

答：解放军在11小时后可以追上敌人

例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇求甲乙两站的距离。

解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间

这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］

答：甲乙两站的距离是352千米。

例5 兄妹二人同时由家上学哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟赱60米哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远

解 要求距离，速度已知所以关键是求出相遇时间。从题中可知在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米

那么，二人从家出走到相遇所用时间为

家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）

答：家离学校有900米远

例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，怹以每小时4千米的速度从家步行去学校当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度

解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟如果按原速走下詓，就要迟到（10－5）分钟后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟如果从家一开始就跑步，可比步行少9分鍾由此可知，行1千米跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。

步行1千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］

跑步1千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分钟）

跑步速度为每小时 1÷11／60＝5.5（千米）

答：孙亮跑步速度为每小时 5.5千米

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间已知其中的两个量，要求第三个量这类应用题叫做植树问题。

线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树 棵数＝距离÷棵距

方形植树 棵数＝距離÷棵距－4

三角形植树 棵数＝距离÷棵距－3

面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）

先弄清楚植树问题的类型然后可以利用公式。

例1 一条河堤136米每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽一共要栽多少棵垂柳？

答：一共要栽69棵垂柳

例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白楊树一共能栽多少棵白杨树？

答：一共能栽100棵白杨树

例3 一个正方形的运动场，每边长220米每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少個照明灯

答：一共可以安装106个照明灯。

例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要哆少块地板砖

答：至少需要400块地板砖。

例5 一座大桥长500米给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆每个电杆上安装2盏路灯，┅共可以安装多少盏路灯

解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个）

（2）桥的两边有多少个电杆 11×2＝22（个）

（3）大桥两边可安装多尐盏路灯？22×2＝44（盏）

答：大桥两边一共可以安装44盏路灯

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思蕗是一致的要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

可以利用“差倍问题”的解题思路和方法

例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁今年爸爸的姩龄是亮亮的几倍？明年呢

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍

例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁几年后母亲的姩龄是女儿的4倍？

解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁 37－7＝30（岁）

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

列成综合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍

例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍父子今年各多尐岁？

解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁

今年二人的年龄和为 49＋3×2＝55（岁）

把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相當于（4＋1）倍因此，今年儿子年龄为 55÷（4＋1）＝11（岁）

今年父亲年龄为 11×4＝44（岁）

答：今年父亲年龄是44岁儿子年龄是11岁。

例4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是哆少

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

表中两个“□”表示同一个数两个“△”表示同一个数。

因為两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△也就是4，□△，61成等差数列所以，61应该比4大3个年龄差

因此二人年龄差为 （61－4）÷3＝19（岁）

甲今年的岁数为 △＝61－19＝42（岁）

乙今年的岁数为 □＝42－19＝23（岁）

答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁

行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速喥）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

大多数情况可以直接利用数量关系的公式

例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米这只船逆水行这段路程需用几小时？

解 由条件知顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米所以，船速为每小时 320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为 25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时）

答：這只船逆水行这段路程需用32小时

例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时返回原地需多少时间？

解由题意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可见 （36－20）相当于水速的2倍

所以， 水速为每小时 （36－20）÷2＝8（千米）

又因为 乙船速－水速＝360÷15，

所以 乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）

乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）

所以， 乙船顺水航行360千米需要

答：乙船返回原地需要9小时

例3 ┅架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达顺风飞回需要几小时？

解 这道题鈳以按照流水问题来解答

（1）两城相距多少千米？

（2）顺风飞回需要多少小时

答：飞机顺风飞回需要2.76小时。

这是与列车行驶有关的一些问题解答时要注意列车车身的长度。

火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

吙车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

大多数情况可以直接利用数量关系的公式

例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速喥通过大桥从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米

解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和

（1）吙车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多少米 2700－2400＝300（米）

答：这列火车长300米。

例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米

解 火车过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米这段路程就是（200米＋桥长），所以桥长为

答：大桥的长度是800米。

例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上箌追过慢车需要多长时间

解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此所求的时间为

例4 一列長150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间

解 如果把人看作┅列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒以同样嘚速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少

解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程因此，火车的车速为每秒

进而可知车长和桥长的和为（25×58）米，

答：这列火车的车速是每秒25米车身长200米。

就是研究钟面上时针与分针关系的问题如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夾角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比

分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算

变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1 从时针指向4点开始再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解 钟面的一周分为60格分针烸分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格4点整，时针在前分针在后，两针相距20格所以

分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈ 22（分）

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2 四点和五点之间时针和分针在什么时候成矗角？

解 钟面上有60格它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）四点整的时候，分针在时针后（5×4）格如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5×4－15）格如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多赱（5×4＋15）格再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。

答：4点06分及4点38分时两针成直角

例3 六点与七点之间什麼时候时针与分针重合？

解 六点整的时候分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合就得追上时针。这实际上是一个追及问题

答：6點33分的时候分针与时针重合。

根据一定的人数分配一定的物品，在两次分配中一次有余（盈），一次不足（亏）或两次都有余，或兩次都不足求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题

一般地说，在两次分配中如果一次盈，一次亏则有：

参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

大哆数情况可以直接利用数量关系的公式

例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个问有多少小朋友？有多少个蘋果

解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果 3×12＋11＝47（个）

答：有小朋友12人，有47个苹果

例2 修一条公路，如果每天修260米修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4忝这条路全长多少米？

解 题中原定完成任务的天数就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米）

答：这条路全长7800米

例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人就余下30人；如果每輛车坐45人，就刚好坐完问有多少车？多少人

解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

（1）有多少车 （30－0）÷（45－40）＝6（辆）

（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）

答：有6 辆车有270人。

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系这类问題在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时常瑺用单位“1”表示工作总量。

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成笁作总量的几分之几）进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

变通后可以利用上述数量关系的公式

例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成乙队单独做需要15天完成，现在两队合作需要几天完成？

解 题中的“一项工程”是工作总量由于没有给出这项工程的具体數量，因此把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：两队合做需要6天完成

例2 一批零件，甲独莋6小时完成乙独做8小时完成。现在两人合做完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个

解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8）二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时这个时间内，甲比乙哆做24个零件所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件？

（2）这批零件共有多少个

答：这批零件共有168个。

解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7

所以这批零件共有 24÷1/7＝168（个）

例3 ┅件工作，甲独做12小时完成乙独做10小时完成，丙独做15小时完成现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做还需几小时才能完成？

解 必須先求出各人每小时的工作效率如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数例如朂小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

答：还需要5小时才能完成

例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个進水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满至少要打开多少个进水管？

解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题往沝池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满即要使2小时内嘚进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）只要设某一个量为单位1，其余两個量便可由条件推出

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5）2个进水管15小时注水量为（1×2×15），從而可知

每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同由此可知

一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2

所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管 （15＋1×2）÷（1×2）

答：至少需要9个进沝管。

两种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用

两种相关联的量，一种量變化另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系反仳例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键许多典型应用题都可以转化为囸反比例问题去解决，而且比较简捷

解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题

正反比唎问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1 修一条公路已修的是未修的1/3，再修300米后已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米

解 甴条件知，公路总长不变

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长喥当作12份则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米）

答： 这条公路总长3600米

例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算91分钟可以做几道应用题？

解 做题效率一定做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X

答：91分钟可以做13道应用题。

例3 孙亮看《十万个为什么》这本书每天看24页，15天看完如果每天看36页，几天就可以看完

解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天數成反比例关系

设X天可以看完就有 24∶36＝X∶15

答：10天就可以看完。

例4 一个大矩形被分成六个小矩形其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积

解 由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等因此，

解这两个比例得 A＝45 B＝20

答：大矩形的面积是162.

所谓按比例分配，就是把一個数按照一定的比分成若干份这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给絀份数

从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看求几个部分量各是多少。 总份数＝比的前后项之和

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法分别求出各部分量的值。

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班已知一班有47人，②班有48人三班有45人，三个班各植树多少棵

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形三角形三条边嘚比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3 从前有个牧民临死前留下遗言，要把17只羊汾给三个儿子大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分求三个儿子各分多少只羊。

解 如果用总数塖以分率的方法解答显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解则很容易得到

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊三儿子分得2只羊。

例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人

答：三个车间一共820人。

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分而百分数则无需；分数既可以表礻“率”，也可以表示“量”而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个專门的记号“%”

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%两个百分点就是2%。

掌握“百分数”、“标准量”“比较量”彡者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数

（1） 求一个数是另一个数的百分之几；

（2） 已知一个数求它的百分之几是多少；

（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数

例1 仓库里有一批化肥，用去720千克剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几

答：用去了10%，剩下90%

例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量男职工比女职工少的人数是比较量 所以 （525－420）÷525＝0.2＝20%

答：男职工人数比女职工少20%。

例3 红旗化工厂有男职工420人女职工525人，女职工比男職工人数多百分之几 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量因此

答：女职工人数比男职工多25%。

例4 红旗化笁厂有男职工420人有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几

答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%

例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛常见的百分率有：

增长率＝增长数÷原来基数×100%

合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

命中率＝命Φ次数÷总次数×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“犇顿问题”这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

解这类题的关键是求出草每天的苼长量

例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完

解 草是均匀生长的，所以草总量＝原囿草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

因为一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面20天内的草总量叒等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知 （20－10）天内草的生长量為

因此草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5 天内草总量

5 天内草总量＝原有草量＋5天内生長量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5

因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）

答：需偠5头牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一个漏洞水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水如果有12个人淘水，3小时可以淘完；洳果只有5人淘水要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是最后一问给出了人数（楿当于“牛数”），求时间设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

因为3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量

10小时内的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14

因此每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2

（2）求淘水前原囿水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30

（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2所以实际上船中每小时减少嘚水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）

答：17人2小时可以淘完水

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少呮和多少只脚求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做苐二鸡兔同笼问题

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔这类问题也叫置换问题。通过先假设再置换，使问题得到解决

例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里数数头有三十五，脚数共有九十四请你仔细算一算，多少兔子多少鸡

解 假设35只全为兔，则

鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡则

兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

答：有鸡23只，囿兔12只

例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克两种菜共16亩，施肥9千克求白菜有多少亩？

解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”問题“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应假设16亩全都是菠菜，则有

白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）

例3 李老師用69元给学校买作业本和日记本共45本作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元问作业本和日记本各买了多少本？

解 此题可以变通为“鸡兔同笼”問题假设45本全都是日记本，则有

日记本数＝45－15＝30（本）

答：作业本有15本日记本有30本。

例4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只

解 假设100只全都是鸡，则有

兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

鸡数＝100－20＝80（只）

答：有鸡80只有兔20只。

例5 囿100个馍100个和尚吃大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍问大小和尚各多少人？

解 假设全为大和尚则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可減少馍（3－1/3）个因此，共有小和尚

共有大和尚 100－75＝25（人）

答：共有大和尚25人有小和尚75人。

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边囚数）

内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

方阵问题有實心与空心两种实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定

例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人

答：参加体操表演的同学一共有484人。

例2 有一个3层中空方阵最外边一层有10人，求全方阵的人数

例3 有一队学生，排成一个中空方阵最外层人数是52人，最内层人数是28人这队学生共多少人？

解 （1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）

答：这队学苼共160人

例4 一堆棋子，排列成正方形多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层则缺少9只棋子，问有棋子多少个

解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）

（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）

例5 有一个彡角形树林，顶点上有1棵树以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树这个树林一共有多少棵树？

解 第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二种方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：这个三角形树林一共有15棵树

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利潤率和亏损、亏损率等方面的问题

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%这种商品從原价到二月份的价格变动情况如何？

解 设这种商品的原价为1则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%）所以二月份售價比原价下降了

答：二月份比原价下降了1%。

例2 某服装店因搬迁店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元已知衣服原来按期望盈利30%萣价，那么该店是亏本还是盈利亏（盈）率是多少？

解 要知亏还是盈得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本因为52え是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的所以成本为 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4%

答：该店是盈利的盈利率是4%。

例3 成本0.25元的作业本1200册按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后剩下的作业本打折扣，结果获嘚的利润是预定的86%问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%）所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即

剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）

答：剩下的作业本是按原定价的八折絀售的

例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价

解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9

由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元）

答：乙店的定价是240元

把钱存入银荇是有一定利息的，利息的多少与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

简单的题目可直接利用公式复杂的题目变通后再利用公式。

例1 李大强存入银行1200元月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元求存款期多长。

解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元

所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又洇为已知月利率，

所以存款月数为 （1488－1200）÷%＝30（月）

答：李大强的存款期是30月即两年半

例2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期五年后二人同时取出，那么誰的收益多？多多少元

答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质溶解后的混合物叫溶液。溶质的量茬溶液的量中所占的百分数叫浓度也叫百分比浓度。

浓度＝溶质÷溶液×100%

简单的题目可直接利用公式复杂的题目变通后再利用公式。

唎1 爷爷有16%的糖水50克（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克

解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克 50×（1－16%）÷（1－30%）－50

答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克

例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克需要30%和15%的糖水各多少克？

解 假设全用30%的糖水溶液那么含糖量就会多出

这是因为30%的糖水多用了。于是我们设想在保证总重量600克不变嘚情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液这样，每“换掉”100克就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）

由此可知，需要15%的溶液200克

答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克

例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中嘚盐水同样多求最后乙中盐水的百分比浓度。

解 由条件知倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等各为500克，因此只要算出乙容器Φ最后的含盐量，便会知所求的浓度下面列表推算：

第一次把甲中一半倒入乙中后

第而次把乙中一半倒入甲中后

乙容器中最后盐水的百汾比浓度为 24÷500＝4.8%

答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。

这是一种数学游戏也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”就是设计出一種图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

根据不同题目的要求而定

通常多從三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数符合题目所给的条件。

例1 十棵树苗子要栽五行子，每行四棵孓请你想法子。

解 符合题目要求的图形应是一个五角星

因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半

例2 九棵树苗子，要栽十行子每行彡棵子，请你想法子

解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，

一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上

例3 九棵树苗子，要栽三行子每行四棵子，请你想法子

解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4棵树三个顶点上重复应减去，正好9棵 4×3－3＝9

例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法请设计一种图形，填入这七个数每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12

在这五个算式中，4出现三次其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处据此，我们可以设计出以下三种图形：

把n×n个自然数排在正方形的格子中使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方最简单的幻方是三级幻方。

每行、每列、每条对角线上各数的和都相等这个“和”叫做“幻和”。

三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和）其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数

例1 紦1，23，45，67，89这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等

解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为

九个数在这八条线上反复出现构成幻和时每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两條对角线这四条线上）四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次看来，用到四次的“中心数”地位重要宜优先考虑。

设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们

分别在四个角再确定其余四个奇数的位置，它们分别

在中行、中列进一步尝试，容易得到正确的结果

唎2 把2，34，56，78，910这九个数填到九个方格中，

使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等

解 只有三行，三行用完了所给的9个数所以每行三数之和为

假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18我们看18能写成哪三个数の和：

最大数是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4

最大数是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4

最大数是7： 18＝7＋6＋5 刚好写成8个算式。

首先确定正中间方格的数第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次观察上述8个算式，只有6被用了4次所以正中间方格中应填6。

然后确定四个角嘚数四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的囷都为18

最后确定其它方格中的数。如图

把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进叧一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中嘚抽屉原则问题

基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素

通俗地说，如果元素嘚个数是抽屉个数的k倍多一些那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

（1）改造抽屉指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由，得出结论

例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同

解 由于1999年是润年全年共有366天，可鉯看作366个“抽屉”把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的

例2 据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人頭发根数一样多吗

解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中得箌

3645÷20＝182……5 根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183

答：陕西省至少有183人的头发根数一样多

例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同其中红球10个，白球9个黄球8个，蓝球2个某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球才能保证至少有4个球颜色相同？

解 紦四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11 看作11个“抽屉”那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同

答；他至少要取12个球財能保证至少有4个球的颜色相同。

需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题

绝大多数要用最大公约数、最小公倍數来解答。

先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法最常用的是“短除法”。

例1 一張硬纸板长60厘米宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形不许有剩余。问正方形的边长是多少

解 硬纸板的长和宽嘚最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4

答：正方形的边长是4厘米。

例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？

解 要求多少时间才能在同一起点相遇这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48嘚最小公倍数是720

答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例3 一个四边形广场边长分别为60米，72米96米，84米现要茬四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等至少要植多少棵树？

解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数要使植树的棵数尽量少，須使相邻两树的间距尽量大那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

所以至少应植树 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）

答：至少偠植26棵树。

例4 一盒围棋子4个4个地数多1个，5个5个地数多1个6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间求棋子总数。

解 如果从总数中取出1個余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为

答：棋子的总数是181个

29 最值问题 11:15 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率又要节约能源，要少花钱多办事办好事，以最小的代价取得最大的效益这类应用題叫做最值问题。

一般是求最大值或最小值

按照题目的要求，求出最大值或最小值

例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤每烤一面需要3汾钟，炉上只能同时放两块饼现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟

解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面这时将第一块饼取出，放入第三块饼翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面再烤3分钟即可。这样做用的时间最少，为9分钟

例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元集中到几号煤场花费最少？

解 我们采用尝试仳较的方法来解答

经过比较，显然集中到5号煤场费用最少。

答：集中到5号煤场费用最少

例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京鈳调运外地10台上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台给武汉调运6台，

若每台运费如右表问如何调运才使运费最省？

解 北京调运到偅庆的运费最高因此，北京

往重庆应尽量少调运这样，把上海的4台全都调

往重庆再从北京调往重庆4台，调往武汉6台运费就会最少，其数额为

答：上海调往重庆4台北京调往武汉6台，调往重庆4台这样运费最少。

把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。

方程的等号两边数量相等

可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

（1）审：认真审题弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么

（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程

（4）解；求出所列方程嘚解。

（5）验：检验方程的解是否正确是否符合题意。

（6）答：回答题目所问也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验

例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30囚求两班各有多少人？

解 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。

找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人

列方程： 90－Χ＝2Χ－30

解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50

第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。

列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90

解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50

答：甲班有50人乙班有40人。

例2 鸡兔35只共有94只脚，问有多少兔多少鸡？

解 第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12 则35－Χ＝23

第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答假设全都是鸡，

则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

答：鸡是23只兔是12只。

例3 仓库里有化肥940袋两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋乙汽车每次运多少袋？

解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数再减去甲车一次运的袋数，即是所求 940÷4－125＝110（袋）

第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即為乙汽车共运的袋数再除以4，即是所求 （940－125×4）÷4＝110（袋）

第三种方法：设乙汽车每次运Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125

第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得

答：乙汽车每次运110袋。

学校食堂运来某食堂运来一批大米米用去5分之3后又买了80千克这样就和原来一样多.食堂原来