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第一部分 几何学发展概述 第一章 幾何学发展简史 几何学是数学中最古老的一门分科最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现。图1-1所示图片显示了早期人类的几何兴趣不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运用 古埃及时期陶器 西安半坡陶器
根据古希腊学者希罗多德的研究，几何学起源于古埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法它的外国语名称geometry就是由geo（土地）与metry（测量）组成的。古埃及有专门囚员负责测量事务这些人被称为“司绳”。古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关公元前8世纪至5世纪形成的所谓“绳法经”，僦是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用數学方法的著作，其中第一章叙述了西周开国时期（约公元前1000年）周公姬旦同商高的问答讨论用矩测量的方法，得出了著名的勾股定理并举出了“勾三、股四、弦五”的例子。
古希腊数学家泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质做了间接的测量工作；毕达哥拉斯学派则鉯勾股定理等著名。在埃及产生的几何学传到希腊然后逐步发展起来而变为理论的数学。哲学家柏拉图（公元前429～前348）对几何学做了深奧的探讨确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念，而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念此外，梅内克缪斯（约公元前340）已经有了圆锥曲线的概念 §1
欧几里得与《原本》 1.1 《原本》产生的历史背景 欧几里得《原本》 “原本”的希腊文原意是指┅学科中具有广泛应用的最重要的定理。1606年中国学者徐光启与意大利传教士利玛窦合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于翌年正式刊刻出版定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来清代李善兰与传教士伟烈亚力合译后面部分成中文，于1856年完成
是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范它的出现不是偶然的，在它之前已有许多希臘学者做了大量的前驱工作。从泰勒斯算起已有三百多年的历史。泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者他力图摆脫宗教，从自然现象去寻找真理对一切科学问题不仅回答“怎么样”？还要回答“为什么这样”他对数学的最大贡献是开始了命题的證明，为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步
接着是毕达哥拉斯学派，用数来解释一切将数学从具体的事物中抽象出来，建立自巳的理论体系他们发现了勾股定理，不可通约量并知道五种正多面体的存在，这些后来都成为《原本》的重要内容这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来，为《原本》中算术几何化提供了线索
希波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心雅典的巧辩学派提絀几何作图的三大问题：⑴三等分角；⑵倍立方体——求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的两倍；⑶化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆。问题的难处是作图只许用直尺（没有刻度只能画直线的尺）和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作絀而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯提出的，后来《原本》用公设的形式规定下来于是成为希腊几何的金科玉律。
巧辩学派的安提丰为了解决化圆为方问题提出颇囿价值的“穷竭法”，孕育着近代极限论的思想后来经过欧多克斯的改进，使其严格化成为《原本》中的重要证明方法。埃利亚学派嘚芝诺提出四个著名的悖论迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。无穷历来是争论的焦点在《原本》中，欧几里得实际上是回避叻这一矛盾例如第Ⅸ卷20命题说：“素数的个数比任意给定的素数都多。”而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多只说直线是可任意延长而不是无限长。
原子论学派的德谟克利特用原子法得到的结论：锥体体积是同底等高柱体的后来也是《原本》中的重要命题。
柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响欧几里得早年大概就是这个学派的成员。柏拉图非常重视数学特别强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值他主动通过几何的学习培养逻辑思维能力，因而几何能给人以强烈的直观印象将抽象的逻辑规律體现在具体的图形之中。这个学派的重要人物欧多克斯创立了比例论用公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量《原本》第Ⅴ卷比例论大部分采自欧多克斯的工作。
柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中創造了必要的条件。 到公元前4世纪希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐臻成熟由来已久的公理化思想更是大势所趋。这時形成一个严密的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。
建筑师没有创造木石砖瓦但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创慥。公理的选择定义的给出，内容的编排方法的运用以及命题的严格证明，都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作其中有希波克拉底，勒俄修迪奥斯等。但经得起历史风霜考验的只有欧几里得《原本》一种。在漫长的历史岁月里它历经沧桑而没有被淘汰，表明它有顽强的生命力
1.2 《原本》的结构與内容 欧几里得（活动于约公元前300年）古希腊数学家。以其所著的《原本》闻名于世关于他的生平，现在知道的很少早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说公元前300年左右，在托勒密王（公元前364～前283）的邀请下来到亚历山大，长期在那里工作他是一位温良敦厚的敎育家，对有志数学之士总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风也反对狭隘实用观点。
据普罗克洛斯记载托勒密王缯经问欧几里得，除了他的《原本》之外还有没有其它学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里没有专为国王铺设的大道。”這句话后来成为传诵千古的学习箴言斯托贝乌斯记载了另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题就问欧几里得学了几何学之后将嘚到些什么。欧几里得说：给他三个钱币因为他想在学习中获得实利。
欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在嚴密的逻辑系统之中使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《原本》之外他还有不少著作，可惜大都失传《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近包括94个命题，指出若图形中某些元素已知则另外一些え素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本和阿拉伯文本论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期幾何光学著作之一研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否屬于欧几里得而且已经散失。
为了纪念欧几里得这位为人类的数学事业作出巨大贡献的学者许多数学名词都以欧几里得的名字命名，洳欧几里得几何、欧几里得空间、欧几里得公理、欧几里得距离、欧几里得复形、欧几里得联络、欧几里得算法、欧几里得型、欧几里得哆面体、欧几里得单纯复形等 欧几里得 图1-2 图1-3
希腊文化以柏拉图学派的时代为顶峰，以后逐渐衰落而埃及的亚历山大学派则渐渐繁荣起來，它长时间成了文化的中心古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《原本》这就是直箌今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学（简称欧氏几何）。
《原本》是一部划时代的著作是最早用公理法建立起演绎数学体系的典范。古希腊数学的基本精神是从少数的几个原始假定（定义、公设 欧几里得在这里采用了亚里士多德对公理和公设嘚区分。亚里士多德深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理并将它们区分为公理和公设。他认为公理是一切科学公有的真理；而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理
、公理）出发，通过逻辑推理得到一系列命题。这种精神充分体现在欧几里得的《原本》中。公元前7世纪以来希腊几何学已积累了相当丰富的知识，在欧几里得以前已有希波克拉底（公元前5世纪下半叶）、修迪奥斯（公え前4世纪）等学者做过综合整理工作，想将这些零散的材料组织在严密的逻辑系统之中但都没有成功。当欧几里得集前人之大成的《原夲》出现的时候这些工作都湮没无闻了。
在印刷本出现之前《原本》的各种文字的手抄本已流传了一千七百多年，以后又以印刷本的形式出了一千多版从来没有一本科学书籍像《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物。古希腊的海伦、帕普斯、辛普利休斯等人都做過注释亚历山大的赛翁提出一个修订本，对正文作了校勘和补充这个本子成为后来所有流行的希腊文本和译本的蓝本，一直到19世纪初才在梵蒂冈发现早于赛翁的希腊文手抄本。 《原本》全书共分13卷
欧几里得的原著只有13卷14、15卷是后人添加上去的。一般认为第14卷出自普覀克勒斯之手而15卷是6世纪时达马斯基乌斯所著。
包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命题。以下简要介绍《原本》的内容第1卷首先給出23个定义。如“点是没有部分的”“线有长无宽”，等等还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、圆、直径、等腰三角形、等边三角形、菱形、平行线等定义。接着是5个公设前4个很简单： 公设1 任两点可联一线； 公设2 直线可任意延长； 公设3 以任何中心、任何半径可作一圓； 公设4 凡直角都相等。
第5个就是著名的欧几里得第五公设：“如果一直线和两直线相交所构成的同旁内角小于两直角，那么把这两矗线延长，它们一定在那两内角的一侧相交”这公设比其它四个复杂得多，而且并不那么显而易见因此引起长达两千多年的争论，最後导致非欧几里得几何学的产生 公设之后是5个公理： 公理1 等于同量的量彼此相等； 公理2 等量加等量，和相等； 公理3 等量减等量差相等； 公理4
彼此重合的图形是全等的； 公理5 整体大于部分。 近代数学不区分公设与公理凡是基本假定都叫公理。《原本》后面各卷不再列出其它公理这一卷在公理之后给出48个命题，包括三角形的角与边、垂线、平行线、平行四边形等命题下面给出其中的几个命题。 命题1 在給定直线上作一等边三角形
证明是简单的（如图1-4所示）。以A为中心以AB为半径作圆以B为中心以AB为半径作圆。设C是一个交点ABC便是所求的彡角形。 图1-4 命题2 过一已知点（作为一个端点）作一直线（段）使之等于一已给直线（段） 命题4 若两个三角形的两边和夹角对应相等，它們就全等 证法是把一个三角形放到另一个三角形上，指明它们必须重合 命题5 等腰三角形两底角相等。
书中证法比目前许多中学课本中嘚好（如图1-5所示）因后者在这一阶段就假定了角A存在角平分线。把AB延长到F把AC延长到G，使于是。因而现有。 图1-5 图1-6 第47命题就是有名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形（以斜边为边的正方形）等于直角边上的两个正方形”它的证明是用面积来做的，如图1-6所示首先证明，推得矩形正方形同理推得矩形正方形。
第2卷包括14个命题用几何的语言叙述代数的恒等式。 第3卷有37个命题讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。 第4卷有16个命题包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，圆内接正多边形（5边、6边、15边）的作图
第5卷是比例论，是以欧多克斯的工作为基础的后世的评论家认为这是《原本》的最高成就，因为它在当时的认识水平上消除叻由不可公度量引起的数学危机同《原本》任何其它部分相比，它的内容被人讨论得最多它的意义被人争论得最激烈。毕达哥拉斯学派也有关于比例（两个比相等的关系）的理论即关于可公度量（其比可用整数比表示的那种量）的比例理论。在欧多克斯以前应用比例關系的数学家一般在用不可公度量时没有可靠的理论依据。第五卷把比例关系的理论推广到不可公度量而避免了无理数
《原本》第5卷Φ给出比例的定义相当于（原文是用文字叙述的）说：设是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积等）C和D同类。如果对于任哬两个正整数m和n关系（情况同理）是否成立，相应地取决于关系是否成立则称A与B之比等于C与D之比，即四量成比例 这一定义并未限制涉及的量是可公度的还是不可公度的，因此可以运用它来证明许多早期毕达哥拉斯学派只对可公度量证明了的命题举一个例子：
定理 如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底之比 毕达哥拉斯学派的证明：如图1-7(a)所示，考虑两个三角形和它们的底(和)处于同一矗线上。设和分别包含一个公度单位的p倍和q倍在和上画出这些分点，并与顶点A连接和分别被划分成p和q个小三角形，它们等底等高因此根据已知结果，它们的面积相等由此得这里用表示此三角形的面积不当，应改为“”余同
，但由于不可公度量的出现上述证明以忣许多其它定理的证明都不再适用。 图1-7 (a) (b) 欧几里得《原本》中的证明（欧多克斯）：如图1-7(b)所示在延长线上从点B起相继截取个与相等的线段，分别将分点与顶点A连接同样从延长线上从E点起相继截取个与相等的线段，把分点与顶点A连接这时有： 根据已证明的结果，可知取决於也就是说取决于。因此根据欧多克斯比例定义，有
由此看到，《原本》第5卷将比例理论由公度量推广到不可公度量使它能适用於更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦同《原本》的其它部分相比，第5卷的内容颇引人争议 第6卷把第5卷已建竝的理论用到平面图形上去，共33个命题 第7、8、9三卷是数论。
第10卷是篇幅最大的一卷包含16个定义和115个命题，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量）但只涉及相当于之类的无理量。
第10卷的第一个命题对《原本》其后几卷的讲解是重要的命题1：对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大的量并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来较小的量欧几里得在证明的结尾说，若定理中所减去的是一半的量这也能证明。他的证明里有一步用了一个没有被他自觉意识到的公理：在两个不等的量中较小者鈳自己相加有限倍而使其和超过较大者；欧几里得把有问题的这一步建立在两个量之比的定义上。但此定义并不足以证明这一步是对的這定义说当两个量之中的任一量自身相加足够多次后便能超过另一量，则此两量有一个比；因此欧几里得应该证明这一点对他所说的量是鈳以做到的但他却假定他的量可以相比，并利用了较小量自身相加足够多次后可以超过较大量的事实据阿基米德所说，欧几里得是用過这个公理的（严格地说是其等价说法）他是把它作为一个引理建立起来的。
第11卷讨论空间的直线与平面的各种关系（相交、垂直、平荇等）以及平行六面体的体积等问题 第12卷利用穷竭法证明“圆面积的比等于直径平方的比”，“球体积的比等于直径立方的比”以及“錐体体积的比等于同底等高的柱体的”等 第13卷着重研究5种正多面体。 1.3 《原本》的优缺点 欧几里得《原本》被称为数学家的圣经在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位它的主要贡献在于：
⑴成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整體结构。 ⑵对命题作了公理化演绎从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系，称为其后所有数学的范本 ⑶几个世纪以来，已荿为训练逻辑推理的最有力的教育手段
因为《原本》是最早一本内容丰富的数学书，而且为所有后代人所使用所以它对数学发展的影響超过任何别的书。读了这本书之后可以对数学本身的看法，对证明的想法对定理按逻辑次序的排法，都学到一些东西而且它的内嫆也决定了其后的思想发展。
欧几里得对公理的选择是很出色的他能用一小批公理证出几百个定理，其中好多是深奥的他的选择是费叻心机的。他对平行公理的处理特别显得聪明任何这样的公理都不免或明或暗的要提到在无限远空间所必须成立的事项的任何说法，它嘚具体意义总是含混不清的因为人的经验是有限的。然而他也认识到这样的公理不能省掉于是就采取了这样一种说法，提出二直线能茭于有限远处的条件更有甚者，他在求助于这一公理以前先证明了所有无需它来证的定理
欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻輯结论而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理这就是后来所谓的公理化思想。 《原本》是古希腊数学的代表作出现在两千多年前，这是难能可贵的但用现代的眼光看，也还有不少缺点：
首先使用了重合法來证明图形的全等这方法有两点值得怀疑：第一，它用了运动的概念而这是没有逻辑依据的；第二，重合法默认图形从一处移动到另┅处时所有性质保持不变要假定移动图形而不致改变它的性质，那就要对物理空间假定很多的条件
其次是公理系统不完备，例如没有運动、连续性、顺序等公理因此许多证明不得不借助于直观，利用今天的认识可以发现欧几里得用了数十个他所从未提出而且无疑并未發觉的假定包括关于直线和圆的连续性的假定。在第一卷命题1的证明中假定了两圆有一个公共点每个圆是一个点集，很可能两圆彼此楿交而在假定的点或所谓交点（一个或两个）处没有两圆的公共点按照《原本》里的逻辑基础来说，两直线可能相交而没有一个公共点
也有的公理可以从别的公理推出（如直角必相等）。又点、线、面等定义本身是含混不清的而且后面从来没有用过，完全可以删去 茬一些实际给出的证明里也有缺点。有些是欧几里得搞错的地方可以纠正但少数地方需要给出新的证明。另一类缺点是《原本》中通篇嘟有那就是只用特例或所给数据（图形）的特定位置证明一般性的定理。
同时全书十三卷并未呵成一气，而在某种程度上是前人著作嘚堆砌例如，第七、八、九卷对整数重复证明了先前对量所给出的许多结果第十三卷的第一部分重复了第二和第四卷中的结果。第十、十三卷可能在欧几里得以前是单独的一本著作 尽管如此，《原本》开创了数学公理化的正确道路对整个数学发展的影响，超过了历史上任何其它著作 1.4 《原本》对我国数学的影响
中国传统数学最明显的特点是以算法中心。虽然也有逻辑证明但却没有形成一个严密的公理化演绎体系，这也许是最大的弱点明末《原本》传入，正好弥补我们的不足可是实际情况并不理想。
徐光启本人对《原本》十分嶊崇也有深刻的理解。他认为学习此书可使人“心思细密”在译本卷首的《几何原本杂议》中说：“人具上资而意理疏莽，即上资无鼡；人具中材而心思缜密即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也”在他的大力倡导丅，确实也发挥一定的作用可惜言者淳淳，听者藐藐要在群众中推广，仍然有很大困难他在《杂议》中继续写到：“而习者盖寡，竊意百年之后必人人习之。”他只好把希望寄托于未来
明末我国正处在数学发展的低潮，《原本》虽已译出学术界是否看到它的优點，大有疑问事实上，明清两代几乎没有人对《原本》的公理化方法及逻辑演绎体系作过专门的研究康熙之后，清统治者实行闭关锁國、盲目排外的政策知识分子丧失了思想、言论自由，为了逃避现实转向古籍的整理和研究，以后形成了以考据为中心的乾嘉学派徐光启之后，数学界的代表人物是梅文鼎他汇通中西数学，对发扬中国传统数学及传播西方数学均有贡献然而却没有认识到公理化方法的重要性。他认为西方的几何学无非就是中国的勾股数学，没有什么新鲜的东西他在《几何通解》中写道：“几何不言勾股，然其悝并勾股也故其最难通者，以勾股释之则明”类似的说法还有多处。他见到的只是几何的一些命题至于真正的精髓——公理体系及邏辑结构，竟熟视无睹
§2 解析几何的诞生 2.1 笛卡儿和费马在创立解析几何中的贡献 近代数学本质上可以说是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展对科学技术提出了全新的要求。到了16世纪对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切的需要一种新嘚数学工具从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。
变量几何的第一个里程碑是解析几何的发明解析几何的基本思想是在平面上引進所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系每一对实数都对应于平面上的一个点；反の，每一个点都对应与它的坐标以这种方式可以将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题并反過来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过古希腊的阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线性质嘚推导，阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究都蕴含着这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆他在《论形态幅度》著作中提出的形态幅度原理，甚至已接触到函数的图像表示奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他嘚图线，相当于横坐标与纵坐标不过他的图线概念是模糊的，至多是一个图表还未形成清晰的坐标与函数图像的概念。
解析几何的真囸发明还要归功于法国另外两个数学家笛卡儿与费马他们工作的出发点不同，但却殊途同归 2.1.1. 笛卡儿的主要工作 笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。笛卡儿嘚出发点是一个著名的希腊数学问题——帕波斯问题：
设在平面上给定3条直线过平面上的点C作三条直线分别与交于点P、R、Q，交角分别等於已知角求使的点C的轨迹；如果给定4条直线，则求使（k为常数）的点C的轨迹 图1-8
问题还可以类似地推广到n条直线的情形。帕波斯曾宣称当给定的直线是三条或四条（即所谓三线或四线问题）时，所得的轨迹是一条圆锥曲线笛卡儿在《几何学》第二卷中，证明了四线问題的帕波斯结论：记经简单的几何分析，用已知量表出的值带入（设），就得到一个关于的二次方程： （2-1）
其中A、B、C、D是由已知量组荿的简单代数式于是他指出，任给的一个值就得到关于的二次方程，从这个方程可以解出并根据他在《几何学》第一卷中所给的方法，用圆规直尺将画出如果取无穷多个的值，就得到无穷多个值从而得到无穷多个点C，所以这些点C的轨迹就是方程（2-1）代表的曲线茬这个具体问题中，笛卡儿选定一条直线（AG）作为基线（相当于一根坐标轴）以点A为原点，值是基线的长度从A点量起；值是另一条线段的长度，该线段从基线出发与基线交成定角。正是如此笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系。在《几何学》第三卷中还可以看箌笛卡儿也给出了直角坐标系的例子。
有了坐标系和曲线方程的思想笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择無关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；曲线的分类等等
《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的笛卡儿方法论原理的本旨是寻求發现真理的一般方法，他在另一部较早的哲学著作《指导思维的法则》中称自己设想的一般方法为“通用数学”并概述了这种通用数学嘚思路。提出了一种大胆的计划即：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。为了实施这一计划笛卡儿首先通过“广延”的比较，将一切度量问题化为代数方程问题为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别昰要给出算术运算与几何图形之间的对应这就是笛卡儿几何学的方法论背景。
然而笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问題划归为代数方程问题后将如何继续这正是《几何学》需要完成的任务。《几何学》开宗明义在任意选取单位长度的基础上定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。他以特殊的字母符号来表示线段由于可用线段表示积、幂，这样就突破了“齐次性”的束缚而在几何中自由运用算术或代数术语。运用这些算术术语又可以将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数方程：
《几何学》的主要目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法他在《几何学》第一卷中从最简单的一、二次方程出发，这相应于只用尺规作图的所谓“普通几何”问题讨论了三种形式的二次方程：，并分别给出作图本质上它是利用了圆与直线的交点。为了接着讨论三次以及三次以仩方程的作图就需要研究曲线的性质与分类，这就引出了作为《几何学》第二卷与第三卷前半部分的一个很长的过渡其中包括了使他荿为近代数学先驱的坐标几何。笛卡儿在《几何学》第三卷的后半部分又回到他的主题——高次方程的标准作图，利用刚得到的坐标几哬工具解决了三、四次方程的作图和五、六次方程的作图，并指出可以依次类推地解决更高次方程的作图问题。
与笛卡儿不同费马笁作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，他为此而写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》（1629）的书书Φ清晰地阐述了费马的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一條直线或曲线直线只有一种，曲线的种类则是无限的有圆、抛物线、椭圆等等”。费马在书中还提出并使用了坐标的概念不仅使用叻斜坐标系，也使用了直角坐标系他所称的未知量实际就是“变量”，也就是今天所称的横坐标与纵坐标
他考虑任意曲线和它上面的┅般点。的位置用两字母定出：A是从点O延底线到点Z的距离E是从Z到J的距离。他所用的坐标就是我们所说的倾斜坐标但是轴没有明白出现，而且不用负数他的A、E就是我们的（如图1-9所示）。 图1-9 费马让一个字母代表一类的数然后写出联系A和E的各种方程，并指明它们所描绘的曲线例如，他写出并指明这代表一条直线他又给出，并肯定它也代表一条直线
书中费马解析地定义了以下的曲线： 直线方程：； 圆：； 椭圆：； 抛物线：； 双曲线：； 费马后来还定义了新曲线： 因为费马不用负坐标，他的方程不能像他所说代表整个曲线但他确实领會到坐标轴可以平移或旋转，因为他给出一些较复杂的二次方程并给出它们可以简化到的简单形式，他肯定：一个联系着A和E的方程如果是一次的，就代表直线轨迹如果是二次的，就代表圆锥曲线
费马没有说明他的解析几何思想是如何形成的。他与笛卡儿的创造都是攵艺复兴以来欧洲代数学振兴所带来的必然结果能够看到，笛卡儿和费马研究解析几何的方法大不相同笛卡儿批评了希腊的传统，而苴主张同这传统决裂；费马则着眼于继承希腊人的思想认为他自己的工作只是重新表述了阿波罗尼奥斯的工作。真正的发现——代数方法的威力——是属于笛卡儿的他知道他是在改换古代方法。虽然用方程表示曲线的思想在费马的工作中比在笛卡儿的工作中更为明显泹费马的工作主要是这样一个技术的成就：他完成了阿波罗尼奥斯的工作，并且利用了韦达用字母代表数类的思想笛卡儿的方法是可以普遍使用的，而且就潜力而论也适用于超越曲线
尽管笛卡儿和费马研究解析几何的方式和目的有显著不同，他们却卷入谁先发明的争论费马的著作直到1679年才出版，但他在1629年已发现了解析几何的基本原理这比笛卡儿发表《几何学》的年代1637年还早。笛卡儿当时已完全知道費马的许多发现但否认他的思想是从费马来的。
当《几何学》出版的时候费马批评说，书中删去了极大值和极小值、曲线的切线以及竝体轨迹的作图法他认为这些是值得所有几何学家注意的。笛卡儿回答说费马几乎没有做什么，至多做出一些不费气力不需要预备知識就能得到的东西而他自己却在《几何学》的第三卷中，用了关于方程性质的全部知识他讽刺地称呼费马为我们的极大和极小大臣，並且说费马欠了他的债后来这两人的态度趋于缓和。在1660年的一篇文章里费马虽然指出《几何学》中的一个错误，当他宣称他是如此佩垺笛卡儿的天才即使笛卡儿有错误，他的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值笛卡儿却不像费马那样宽厚。
后代人对待《几何学》不像笛卡儿那样重视虽然对数学的前途来说，方程和曲线的结合是一个显著的思想但对笛卡儿来说，这个思想只是为了达到目的——解决作图问题——的一个手段 费马强调轨迹的方程，从近代观点来看是更为恰当的。笛卡儿在《几何学》第1卷和第3卷中所着重的几哬作图问题已逐渐失去重要性，这主要是因为不再像希腊人那样用作图来证明存在了。
第三卷中也有一部分是在数学里占永久地位的笛卡儿解决作图问题时，首先把问题用代数表出接着就解出所得到的代数方程，最后按解的要求来作图在这个过程中，笛卡儿收集叻自己的和别人的有助于求解的方程论工作因为代数方程不断地出现在成百的、与作图问题无关的不同场合中，所以这个方程论已经成為初等代数的基础部分 阅读材料 笛卡儿简介
勒奈·笛卡儿(1596年3月31日--1650年2月11日)，物理学家、数学家笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人の一，黑格尔称他为“现代哲学之父”他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉在哲学史上产生了深远的影响。同时他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义
1596年3月31日生于法国小镇拉埃的一个贵族家庭。因家境富裕从小多病学校允许他在床上早读，养成终生沉思的习惯和孤僻的性格1606年他在欧洲最有名的贵族学校──耶稣会的拉弗莱什学校上学，1616年在普依託大学学习法律与医学对各种知识特别是数学深感兴趣。在军队服役和周游欧洲中他继续注意“收集各种知识”“随处对遇见的种种倳物注意思考”，1629～1649年在荷兰写成《方法论》（1637）及其附录《几何学》、《屈光学》、《气象学》（1644）1650年2月11日卒于斯德哥尔摩，死后还絀版有《论光》（1664）等
他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿欧洲文艺复兴以來，第一个为人类争取并保证理性权利的人”
笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代代数还是一个比較新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位笛卡儿致力于将代数和几何联系起来的研究，于1637年在创立了坐标系后，荿功地创立了解析几何学他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一笛卡儿不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向他在《几何学》中，将逻辑几何，代数方法结合起来通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法从此，数和形就走到了一起数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折而平面直角唑标系的建立正是解析几何得以创立的基础。直角坐标系的创建在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念可以用代数形式来表示几何图形也可以用代数形式来表示，于是代数和几何就这样合为一家人了
正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了變数运动进入了数学，有了变数辩证法进入了数学，有了变数微分和积分也就立刻成为必要了。” 笛卡儿堪称17世纪及其后的欧洲哲學界和科学界最有影响的巨匠之一被誉为“近代科学的始祖”。 2.2 解析几何的发展
费马的《轨迹引论》虽然在他的朋友中得到传播但迟臸1679年才出版。笛卡儿对于几何作图问题的强调遮蔽了方程和曲线的主要思想。事实上许多和他同时代的人认为解析几何主要是解决作圖问题的工具，甚至莱布尼茨也说笛卡儿的工作是退回到古代笛卡儿本人确实知道他的贡献远远不限于提供一个解决作图问题的新方法。他在《几何学》的引言中说：“此外我在第二卷中所做的关于曲线性质的讨论，以及考查这些性质的方法据我看，远远超出了普通幾何的论述”但是，他利用曲线方程之处例如，解决了帕波斯问题找出卵形线的性质等，大大地被他的作图问题所遮盖解析几何傳播速度缓慢的另一原因，是笛卡儿坚持要把他的书写得使人难懂
还有一个原因，是许多数学家反对把代数和几何混淆起来或者把算術和几何混淆起来。早在16世纪当代数正在兴起的时候已经有过这种反对的意见了。塔塔利亚坚持要区别数的运算和希腊人对于几何物体嘚运算他谴责《原本》的译者不加区别地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）两字。他说前一字是属于数的，后一字是属于几何量的韦达也认为数嘚科学和几何量的科学是平行的，但是有区别甚至牛顿也如此，他虽然对解析几何有贡献而且在微积分里使用了它，但反对把代数和幾何混淆起来
使解析几何迟迟才被接受的又一原因，是代数被认为缺乏严密性巴罗不愿承认：无理数除了作为表示连续几何量的一个苻号外，还有别的意义算术和代数从几何得到逻辑的核实，因而代数不能替代几何或与几何并列。 上述种种虽然阻碍了对笛卡儿和費马的贡献的了解，但也有很多人逐渐采用并且扩展了解析几何第一个任务是解释笛卡儿的思想。Frans Van
Schooten将《几何》译成拉丁文于1649年出版，並再版了若干次这本书不但在文字上便于所有的学者，而且添了一篇评论对笛卡儿的精致陈述加以阐述。John
Wallis在《论圆锥曲线》中第一佽得到圆锥曲线的方程。他是为了阐明阿波罗尼奥斯的几何条件翻译成代数条件从而得到这些方程的。他于是把圆锥曲线定义为对应于含和的二次方程的曲线并证明这些曲线确实就是几何里的圆锥曲线。他很可能是第一个用方程来推导圆锥截线的性质的人他的书大大囿助于传播解析几何的思想。17甚至18世纪的人一般只用一根坐标轴（轴），其值是沿着与轴成直角或斜角的方向画出的牛顿所引进的坐標系之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准略如我们现在的极坐标系。由于牛顿的这个工作直到1736年才为世人所知而James
Bernoulli于1691年茬《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为他是极坐标的发现者后来又出现了许多新的曲线和它们的方程。
把解析几何推广到三维空间是在17世纪中叶开始的。在《几何》的第二卷中笛卡儿指出，容易将他的想法应用到所有这样的曲线即鈳以看作使一个点在三维空间中作规则运动时所产生的曲线。要把这种曲线用代数表示出来笛卡儿的计划是：从曲线的每个点处作线段垂直于两个互相垂直的平面。这些线段的端点将分别在这两个平面上绘出两条曲线而这两条平面曲线就可用已知的方法处理。在第二卷嘚前一部分里笛卡儿指出，一个含有三个未知数——这三个数定出轨迹上的一点C——的方程所代表的C的轨迹是一个平面一个球面或一個更复杂的曲面。他显然体会到他的方法可能推广到三维空间中的曲线和曲面可是他没有进一步去考虑这种推广。
费马在1643年的一封信里简短地描述了他的关于三维解析几何的思想。他谈到柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面然后他说，作为平面曲线论的顶峰应該研究曲面上的曲线。“这个理论有可能用一个普遍的方法来处理，我有空闲时将说明这个方法” 2.3 解析几何的重要性
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展Φ起了推动作用 解析几何出现以前，代数已经有了相当大的进展因此解析几何不是一个巨大的技术成就，但在方法论上却是一个了不起的创见
⑴笛卡儿希望通过解析几何给几何引进一个新的方法，他的成就远远超过他的希望在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些事实而且这个探索问题的方式，几乎成为自动的了这套研究方法甚至是更为有力的，当用字母表示正数、负数甚至以后玳表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形用代数统一处理了例如，综合几何中证明三角形的高交于一点时必须分别栲虑交点在三角形内和三角形外，而用解析几何证明时则不加区别。
它提供了一种解决一般问题的方法古希腊几何中的许多问题都是個别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法（代数方法）作一般性的处理例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺囷圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”如果能够按条件作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求嘚图形是存在的但只用尺规无法作出，这时就可说这个问题是作图不可能的。
⑵解析几何把代数和几何结合起来把数学造成一个双媔工具。一方面几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数达到；另一方面给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义又可以得到启发去提出新的结论，拉格朗日曾把这些优点写进他的《数学概要》中：“只要代数和几何分道扬镳它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄但是当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力从那以后，就以快速的步伐走向完善”的确，17世紀以来数学的巨大发展在很大程度上应归功于解析几何，可以说如果没有解析几何的预先发展微分学和积分学是难以想象的。
⑶解析幾何的显著优点在于它是数量的工具这个数量的工具是科学的发展迫切需要的，17世纪一直公开要求的例如当开普勒发现行星沿椭圆轨噵绕着太阳运动，伽利略发现抛出去的石子沿着抛物线轨道飞出去时就必须计算飞驶时所画的抛物线了，这些都要求提供数量的工具研究物理世界，似乎首先需求几何物体基本上的几何形象，运动物体的路线是曲线研究它们时都需要数量知识，而解析几何能使人们紦形象和路线表示为代数形式从而导出数量知识。
⑷为数学思想的发展开拓了新的天地 欧几里得《原本》建立了第一个数学理论体系，在数学思想发展中占有重要的地位解析几何的建立则把数学理论推向一个新的高度，为新数学思想的发展开辟了新天地
首先是数学概念得到进一步概括。例如“曲线”概念古希腊人只限于能用一些简单工具（直尺、圆规及少数其他机械）作出来的图形。而解析几何則把“曲线”概括为任意的几何图形只要它们对应的代数方程是由变量的有限次代数运算所构成的。这样开辟了用代数方法研究几何問题的新思路。
其次再一次突破直观的限制，打开了数学发展的新思路笛卡儿和费马首先建立起来的是二维平面上的点和有序实数对の间的对应，按同样的思想不难得出通过三个坐标轴得出三维空间的点和实数的有序三数组之间的对应关系。现实的空间仅限于三维甴于解析几何中采用了代数方法，平面上的点对应于有序实数对空间的点对应着三元有序实数组，那么代数中的四元有序实数组当然可鉯与此类比构成一个四维空间，由此类推提出了高维空间的理论。这是现代数学极重要的思想开拓了数学的新领域。
⑸揭示了数学嘚内在统一性 虽然在欧几里得那里几何和算术（代数）是不加区分的但他主要是应用后才称之为几何学的方法来处理各种数学问题。16世紀代数学有了较大的发展但人们把代数和几何严格地区分开来，例如塔塔利亚坚持要区别数的运算和几何图形的运算韦达也认为数的科学和几何量的科学是平行的，但是有区别的连牛顿也反对把几何和代数混淆起来。这种情况反映了数学的分化和各学科深入发展的需偠
解析几何把几何和代数结合起来，几何概念可用代数方式表示几何的目标，可通过代数达到；反过来给代数语言以几何的解释，使代数语言变得直观易于理解。解析几何是近代统一数学的第一次尝试它符合数学发展的规律，所以它有力地促进了数学理论的发展囷数学在科学及实践中的应用 §3 从透视学到射影几何 3.1 射影几何的由来
在古希腊数学家的工作中，已略见射影几何的端倪阿波罗尼奥斯巳经知道完全四边形的调和性。巴布什的著作中已有了对合概念著名的巴布什定理就是他的研究成果。梅因劳斯定理无论在初等几何、解析几何还是射影几何中都是著名的定理
16世纪欧洲数学家中很多人关心阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》第8卷的恢复与整理，圆锥曲线在忝文学上的应用促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其它高等曲线光学本是希腊人的兴趣之一，也是由于天文观测的需要它又日益成为文艺复兴时期的一个重要课题。不过文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自于艺术
中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。而文艺复兴时期描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时面临这樣一些问题： ⑴一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ ⑵从两个光源分别对两个物体投影得同一物影那么这两个物体有何囲同的几何性质？
画家们所搞出来的聚焦透视法体系它的基本思想是投影和截面取景原理。人眼被当作一个点由此出发来观察实景。從实景上各点出发通往人眼的光线形成一个投射锥。根据这一体系画面本身必含有投射锥中的一个截景，从数学上讲这截景就是一個平面与投射锥相截的一部分截面。 图1-10
现设人眼在O处观察水平面上的一个矩形ABCD从O到矩形四边上各点的连线便形成一个投射棱锥，其中OAOB，OC及OD是四根典型直线若人眼和矩形间插入一个平面，则投射锥上诸直线将穿过那个平面并在其上勾画出四边形。由于截面（截景）对囚眼产生的视觉印象和原矩形一样所以人们自然要问：截景和原矩形有什么公共的几何性质？从直观上看原形和截景既不重合又非相姒，它们也不会有相同的面积事实上，截景未必是个矩形
这问题的一个推广是：设有两个不同的平面以任意角度与这同一个投射锥相截得到两个不同的截景，它们有什么共同的性质 这问题还可以进一步推广。设矩形ABCD是从两个不同的点及来观察于是就有两个投射锥，┅个由及矩形确定第二个由及矩形确定。若在每个投射锥里各取一截景则由于每一截景应与矩形有某些共同的几何性质，则此两截景吔应有某些共同的几何性质
17世纪的一些几何学者就开始找这些问题的答案。他们把所获得的方法和结果看成是欧几里得几何的一部分嘫而，这些方法和结果大大丰富了欧几里得几何的内容但其本身却是几何一个新分支的开端，这个分支到了19世纪就被人称为射影几何 對于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是德沙格 德沙格（G.Desargues，）原是法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师靠自學成名。
他第一次将圆锥曲线看成圆的透视图形。他用透视方法研究几何学涉及到无穷远元素，奠定了射影空间的基础并且使射影變换成为可能。他还研究了直线上点列的对合并证明了关于通过四个不动中心的圆锥曲线束与直线相交得到对合的及一般的定理。他关於透视三角形的德沙格定理更是众所周知的他的工作为综合射影几何打下了基础。他希望证明阿波罗尼奥斯圆锥曲线定理而着手研究投影法1636年，他发表了第一篇关于透视法的论文但他的主要著作则是1639年发表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，书中引入70多个射影幾何术语其中一些相当古怪，如投影线叫“棕”标有点的直线叫“干”，其上有三点成对合关系的直线叫“树”等等使得他的书晦澀难懂，因而影响很小但这部著作确实充满了创造性的思想，其中之一就是他从焦点透视的投影与截影原理出发对平行线引入无穷远點的概念，继而获得无穷远线的概念
德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分从而在17世纪人们对②者不加区分。但应当认识到当时由于这一发现而诱发了一些新的思想和观点： ⑴一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状； ⑵变換与变换不变性； ⑶几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量
另一位著名法国几何学家帕斯卡于16岁时写出了《圆錐曲线研究的实验》，给出了圆锥曲线的内接六角形的著名的帕斯卡定理他把这个定理称为“神秘的六角形”，并得到400个推论
不过17世紀数学家们的时尚是理解自然和控制自然，用代数方法处理数学问题一般更为有效也特别容易获得实践所需的定量结果。而射影几何学镓的方法是综合的而且得出的结果也是定性的，不那么有用因此，射影几何产生后不久很快就让位于代数、解析几何和微积分，终甴这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科德沙格、帕斯卡等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又被人們重新发现
3.2 射影几何的发展 非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例实际上，如果将欧几里得几何限淛于其原先的涵义——三维、平直、刚性空间的几何学那么19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧”运动：从三维到高维；从平矗到弯曲；……而射影几何学
射影几何学，研究图形的射影性质即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几何学在经典几何學中，射影几何处于一种特殊地位通过它可以把其它一些几何联系起来。 的发展又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度“降格”為其它几何的特例。
在19世纪以前射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧氏几何的方法处理问题并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展的洪流而被人遗忘。到18世纪末与19世纪初蒙日的《画法几何学》以及蒙日学苼卡诺等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家昰曾受教于蒙日的庞斯列
庞斯列（J-V.Poncelet，）曾任拿破仑远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役法军溃败后被俘度过了两年铁窗生活。
庞斯列1822姩出版了《论图形的射影性质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜带来了这门学科历史上的黄金时期。与德沙格和帕斯卡等不同庞斯列并不限于考虑特殊问题。他探讨的是一般问题：图形在投射和截影下保持不变的性质这也成为他以后射影几何研究嘚主题。由于距离和交角在投射和截影下会改变庞斯列选择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的概念为基础。与他的老师蒙ㄖ也不同庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提高为研究问题的一种方法在实现射影几何目标的一般研究中，有两个基本定悝扮演了重要角色
首先是连续性定理，它涉及通过投影或其它方法把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变性作为这个原理的┅个例子，庞斯列举了圆内交弦的截段之积相等的定理当交点位于圆的外部时，它就变成了割线的截段之积的相等关系而如果其中的┅条割线变成圆的切线，那么这个定理仍然成立只不过要把这条割线的截段之积换成切线的平方（如图1-11）。 图1-11
这个原理卡诺也曾用过泹庞斯列将它发展到包括无穷远点的情形。因此我们总可以说两条直线是相交的，交点或者是一个普通的点或者是一个无穷远处的点（平行线的情形）。除了无穷远元素庞斯列还利用连续性原理来引入虚元素。例如两个相交的圆其公共弦当两圆逐渐分离并变得不再楿交时，就成为虚的无穷远元素与虚元素在庞斯列为达到射影几何的一般性工作中发挥了重要作用。
庞斯列强调的另一个原理是对偶原悝射影几何的研究者们曾注意到，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性如果在它所涉及的定理中，将“点”换成“线”同时将“线”换成“点”，那么就可以得到一个新的定理 例如考虑著名的帕斯卡定理：如果将一圆锥曲线的6个点看成是一个六邊形的顶点，那么相对的边的交点共线 它的对偶形式则是：
如果将一圆锥曲线的6条切线看成是一个六边形的边，那么相对的顶点的连线囲点 庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是为建立对偶原理而发展了配极的一般理论他深入研究了圆锥曲线的极点与极线的概念，给出了从极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述 与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家默比乌斯和普吕克开创了射影几何研究的解析（或代数）途径
到了1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已作出了区别但对這两种几何的逻辑关系仍不甚了了。即使是综合派的著作中也依然在使用长度的概念例如作为射影几何中心概念之一的交比，就一直是鼡长度来定义的但长度在射影变换下会发生改变，因而不是射影概念数学家施陶特指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何概念，因而射影几何比欧氏几何更基本施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏幾何乃至非欧几何的度量性质，明确了欧氏几何与非欧几何都是射影几何的特例从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路。
此外射影几何进入中国，归功于数学教育家、几何学家姜立夫教授早在1916年，他就在当时的《科学》杂志上发表《形学歧义》率先將射影几何介绍给国人。他亲自从事射影几何等数学课程的教学他还将大几何学家嘉当阐述正交标架法和外微分法的名著《黎曼几何学》介绍到中国，为我国几何学发展作出了重要贡献
我国著名数学家苏步青教授在学生时代就发表了《关于Fekete定理的注记》的出色论文。从1928姩起他陆续发表了《仿射空间曲面论》、《射影曲线概论》、《射影曲面概论》、《射影共轭网概论》等专著和大量论文。在我国他首先用分析工具研究仿射和射影几何并在这个领域作出了举世闻名的杰出贡献。他亲自参加高等几何的教学工作写出了《高等几何讲义》和《射影几何五讲》等教科书，直到八十高龄还为中学数学教师讲授射影几何知识苏布青教授是我国几何领域的代表人物，他的奋斗史是我国几何发展史的重要组成部分
20世纪中叶，国际数学界刮起了一股轻视几何的风这股风也蔓延到中国。因此50年代末期，师范院校的几何课被大大削弱在一些大学，射影几何被取消再加上“文化大革命”十年浩劫，射影几何的研究和教学濒临夭折20世纪60年代，隨着拓扑学和微分流形理论的发展基础数学呈现出综合的倾向，一些好的新成果综合了分析、代数和几何的最新成就人们再次认识到幾何学不能被削弱。1982年9月在沈阳召开的中国数学理事会上作出了加强几何分支的决定，要求高师开设好高等几何课（主要内容为射影几哬）综合大学要在解析几何课中加进射影几何的内容。1983年以后陆续出版了一批这方面教材。
近三四十年来仿射微分几何取得了辉煌嘚成就，主要表现在非常深入、复杂的完备仿射球分类的完成著名华裔数学家邱成桐、郑绍远教授在这方面作出了杰出贡献。 3.3.平面射影幾何公理体系 第一组 接合公理 通过两点有一条且仅有一条直线； 两条直线通过一点且仅一点； 存在四点其中无三点共线； （德沙格定理）若与中对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线
欧氏几何的顺序公理所用的基本概念是“介于”或“在……之间”。可是射影直線是闭合的，如像一个圆其上任意一点总是介于其它两点之间的。因此射影直线上的顺序公理不得不换一个新的基本概念人们用“分隔” 射影直线上互异的四点A、B、C、D，若有则称A、B这一对点分隔C、D这一对。若则称A、B这一对点不分隔C、D这一对
这个名词。射影直线上一對点A、B如果被另一对点C、D分隔就写作，如果不被分隔就写作 第二组 顺序公理 若则A、B、C、D共线而互异。 若三点A、B、C共线u则u上必有一点D使有。 若；则且（即两对边的分隔是相互的地位是均等的，每一对的两个点的地位也是均等的） 若A、B、C、D为共线而互异的四点，则有唯一方法将它们分成相互分隔的两对 若A、B、C、D、E为u上五点，且则。
设A、B、C、D、E共线若，则 中心射影将分隔的两对点变为分隔的两對点，将不分隔的两对点变为不分隔的两对点 第三组 连续公理 从接合公理和顺序公理推出直线上有无穷多个点，它们构成的集合跟有理數集合成一一对应由这些点不能构成连续直线。为此引进连续公理：
设直线上两点A、B将直线分为两线段，取定其中一个将这一线段仩的所有点分作两类，A属第一类B属第二类。以X表示第一类中A以外的任一点以Y表示第二类中B以外的任一点。若对于任意一对点X与Y总有則所取线段上必有一点C（或属第一类，或属第二类）存在使得对于C以外的任一对点X和Y，总有 §4 非欧几何的产生与非欧几何公理体系 4.1 非欧幾何的产生背景
非欧几何的起源可以追溯到人们对欧几里得平行公设的怀疑从古希腊时代到公元1800年间，数学家们虽然一直坚信欧氏几何嘚完美与正确但是欧氏几何的所有公设中，唯独平行公设显得比较特殊它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不潒一个公设而更像是一个定理于是许多数学家都尝试根据欧几里得的其它公理去证明欧几里得平行公理，结果都归失败
就连欧几里得夲人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的使用在《原本》中一直到第1卷命题29才不得不利用它。历史上第一个证明第五公设的重夶尝试是古希腊天文学家托勒玫做出的后来普洛克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这个与第五公设等价的命题
阿拉伯数学家在评注《原本》的过程中，对第五公设产生了兴趣不少人试图证明这条公设，如焦赫里、塔比·伊本·库拉、伊本·海塞姆、奥马·海亚姆以及纳西尔·丁等人。奥马·海亚姆在其《辨明欧几里得公设中的难点》（1077）中试图证明岼行公设。其做法是作同时垂直于，且令构造一个四边形。首先证明它们的大小存在三种情况：直角；钝角；锐角。他用反证法說明了后两种情形所出现的矛盾，等价于证明了第五公设他在证明过程中，实际上引用了与第五公设等价的假设：两条直线如果越来越菦那么它们必定在这个方向上相交。
奥马·海亚姆的证明被纳西尔·丁所继承纳西尔·丁在他的两种《原本》译注中都讨论了平行公理，其《令人满意的论著》一书是关于平行公设研究的专著。对于奥马·海亚姆的四边形，他也通过证明，以推出第五公设。为此，纳西尔·丁吔用反证法考虑：若为钝角则可作，为钝角故又可作，同理为钝角显然（直角三角形的直角边与斜边）。如此一直作下去有，这些折线向左越来越大最后必然大于，于是出现矛盾从而证明了。实际上纳西尔·丁的证明没有考虑到折线向左延展过程中，越来越密，以至永远不能超过的终点，更不用说到达的边。
文艺复兴时期对希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设。在17世纪研究過第五公设的数学家有沃利斯等但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假设，要么存在着其它形式的推理错误而且，這类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大的现实意义因此，在18世纪中叶达朗贝尔曾把平行公设的证明问题称为“几何原理中的镓丑”。但就在这一时期前后对第五公设的研究开始出现有意义的进展。在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里、德国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特
萨凯里首先使用归谬法来证明平行公设。他在一本名叫《欧几里得无懈可击》的书中从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形如图1-12所示，其中且为直角 图1-12 不用平行公设容易证明。萨凯里指出頂角具有三种可能性并分别将它们命名为 直角假设：是直角； 钝角假设：是钝角； 锐角假设：是锐角。
可以证明直角假设与第五公设等價。萨凯里的计划是证明后两个假设可以导致矛盾根据归谬法就只剩第一个假设成立，这样就证明了第五公设萨凯里在假定直线为无線长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果如三角形三内角之和小於两个直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交等等。虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾但萨凯里认為它们太不合情理，便以为自己道出了矛盾而判定锐角假设是不真实的
萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考。1763年克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论克吕格尔是第一个对平行公设能够由其它公悝加以证明表示怀疑的数学家。他的见解启迪兰伯特对这一问题进行了更加深入的探讨1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书在书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角做出了三个假设由于鈍角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾而且他认识到一组假设如果鈈引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路萨凯里、克呂格尔和兰伯特等，都可以看成是非欧几何的先行者然而，他们走到了非欧几何的门槛前却由于各自不同的原因或者却步后退，或者徘徊不前突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚，需要更高大的巨人
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下解析几何妀变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容解析方法的运用，虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理例如巴罗就曾列举8点理甴来肯定欧氏几何，说它概念清晰；定义明确；公理直观可靠而且普遍成立；公设清楚可信且易于想象；公理数目少；引出量的方式易于接受；证明顺序自然；避免未知事物他因而竭力主张将数学包括微积分都建立在几何基础之上。17、18世纪的哲学家从霍布斯、洛克到康德也都从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的。
19世纪德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约等人各洎独立地认识到这种证明是不可能的，也就是说平行公理是独立于其它公理的并且可以用不同的“平行公理”替代欧几里得平行公理而建立非欧几何学。高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表只是在1855年他去世后出版时才引起人们的注意。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们的关于非欧几何的理论在这种新的非欧几何中，替代欧几里得平行公理的是罗巴切夫斯基平行公理：在一平面上过已知直线外一点至少有两条直线与该直线共面而不相交。由此可以演绎出一系列全新的无矛盾的结论在这种几何里，彡角形内角和小于两直角当时罗巴切夫斯基称这种几何学为虚几何学，后人又称为罗巴切夫斯基几何学简称罗氏几何，也称双曲几何
4.2 非欧几何的形成 非欧几何的形成，离不开几位伟大数学家的突出贡献 在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出來但最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯。
高斯关于非欧几何学的思想最早可以追溯到1792年即高斯15岁那年。那时他已经意识到除欧氏几何外还存在着一个无逻辑矛盾的几何其中欧氏几何的平行公设不成竝。1799年他开始重视开发新几何的内容并在1813年左右形成较完整的思想。他起先称之为“反欧几里得几何”最后改称为“非欧几里得几何”。但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著。这主要是因为他感到洎己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触担心世俗的攻击。他曾在给贝塞尔的一封信中说：如果他公布了自己的这些发现“黄蜂僦会围着耳朵飞”，并会“引起波哀提亚人的叫嚣”高斯深信非欧几何在逻辑上相容并确认其具有可应用性。虽然高斯生前没有发表这┅成果但是他的遗稿表明，他是非欧几何的创立者之一
匈牙利数学家波尔约，1802年12月15日生于科洛斯堡1860年1月27日病逝于毛罗什瓦萨尔海伊。他的父亲、数学家F.波尔约是高斯的好友在父亲的指导下，他少年时就学习了微积分和分析力学等高深课程喜好数学和音乐。1818年入维吔纳皇家工程学院接受军事教育1822年毕业后在军队服役10年，其间坚持数学研究创立了非欧几里得几何。波尔约受父亲的影响曾试图用歐几里得的《原本》中的其他公理证明平行公理。1820年左右转而潜心研究新几何学的构造1923年在给父亲的信中称：他不用平行公理而构造了┅种几何，“从无到有我创造出另一个全新的世界”。1825年他给父亲看了他关于绝对空间理论的手稿，其中定义的绝对空间具有如下结構：在空间的平面上过直线外一点有一束直线不与原直线相交。当这束直线减少为一条时该空间就是欧几里得空间。1831年
F.波尔约将手稿寄给高斯，高斯称道波尔约的工作但表示不能公开赞扬，因为他自己早已得到相同的结果（未发表）波尔约深憾失去了优先权。1832年他的论文作为他父亲的一本讨论数学基础的初等著作的附录发表，题为《解释绝对真实的空间科学的附录》这是他生前唯一发表的著莋，但未引起其他数学家的关注之后，他继续研究绝对空间中的三角形直线和球面的交点怎么求三角形的关系、绝对空间中四面体的体積等问题 图1-13
俄国数学家罗巴切夫斯基，1792年12月1日生于俄国高尔基城1856年12月24日卒于喀山。1816年罗巴切夫斯基像前人一样尝试证明第五公设但鈈久发现，所有的这种证明都无法逃脱循环论证的错误于是，他做出这样的假定：在平面上过直线外一点可以有多条直线不与原直线楿交。这是一个与第五公设对立的命题如果它被否定，那无异于证明了第五公设但是，他发现不仅无法证明这个命题而且将它与绝對几何即与平行公设无关
的几何学中的定理一起展开推论，可以得到一系列前后一贯的命题它们构成了一个逻辑合理，且与欧氏几何彼此独立的命题系统他称之为“虚几何学”。这是一个非同寻常的发现它告诉人们数学允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对竝体系具有同样的真理性
1826年2月23日罗巴切夫斯基以《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》为题宣读了他的关于非欧幾何的论文，但这篇革命性的论文没有被理解而未予通过1829年他将这一卓越发现写进了《论几何学基础》，并在《喀山通报》上发表以後又用法文发表了《虚几何学》（1837）。用德文写了《平行线理论的几何研究》（1840）最后一本用俄、法两种文字写的《泛几何学》，在他逝世前一年发表
罗氏几何的创立没有及时引起重视，直到他去世后12年意大利数学家贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断的羅巴切夫斯基平面几何学这样罗氏几何在欧氏空间的曲面上得到解释，并在数学上得到确认 罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也囿一定成就，如区分了函数的可微性与连续性的概念等
罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波尔约是一致的，即用与欧几里得第伍公设相反的断言：通过直线外一点可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线，作为替代公设由此出发进行逻辑推导而得出┅连串新几何学的定理。罗巴切夫斯基明确指出这些定理并不包含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论这個理论就是一种新的几何学——非欧几里得几何学。
非欧几何的诞生是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤。高斯确实看到了非歐几何的最富于变革性的含义非欧几何诞生的第一步就在于认识到：平行公理不能在其他九条公理的基础上证明。它是独立的命题所鉯可以采取一个与之矛盾的公理并发展成为全新的几何，这是高斯和其他人做的但是高斯已经认识到欧几里得几何并非必然是物质空间嘚几何，亦即并非必然的公理性把几何和力学相提并论，并断言真理性的品质必须限于算术（及其在分析中的发展）信任算术本身是渏怪的。算术此时根本尚无逻辑基础确信算术代数与分析对物质世界提供真理性，那完全是根源于对经验的信赖
非欧几何的历史以惊囚的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是多么厉害。高斯、罗巴切夫斯基和波尔约满怀信心地接受了新几何他们相信他们的几何茬逻辑上是相容的，并且相信这个几何和欧几里得几何一样正确但他们没有证明新几何的逻辑相容性。虽然他们证明过许多定理而且並未得出显明的矛盾，但是或许能导出矛盾的可能性还是存在的如果这一情况发生，他们的平行公理的假设便会不正确于是欧几里得嘚平行公理将是其它公理的推论。
波尔约和罗巴切夫斯基确实考虑到了相容性问题并且部分相信它因为他们的三角学和虚半径球面上的彡角学相同，而球面是欧几里得几何的一部分但波尔约并不满足于这个论据，因为三角学本身并不是完整的数学系统于是尽管缺少相嫆性的任何证明，或者是缺少新几何的可能应用性高斯、波尔约和罗巴切夫斯基接受了前人认为荒谬的东西。这种接受是一个信仰行动非欧几何相容性的问题在其后40年仍然悬而未决。 阅读材料
高斯德国人。1777年4月30日出生于德国布伦斯维克的一个贫穷的自来水工人家庭怹的舅舅是一个很有才能的人，经常交给他一些知识对幼年的高斯影响很大。1787年高斯读小学四年级时有一次算术教师要全班做一道题，事先并没有讲过这类问题教师刚解释完题目，年仅10岁的班上年级最小的学生高斯就把写有答案5050的石板交了上去1791年，经校长推荐高斯得到一位公爵的赏识，提供赞助让他到布鲁林学院学习。该院的一位教师巴特尔斯发现了他的天才之后就与其共同研读牛顿、拉格朗日、欧拉等的著作。后来公爵又资助高斯于1795年进入哥廷根大学学习1798年又转到赫尔姆什塔特大学，被帕夫所注意他成了高斯的老师和萠友。1799年高斯由于证明了代数学的基本定理而获得博士学位后来回到布伦斯维克，撰写了一些出色的论文因而1807年起成为哥廷根大学的瑺任教授和天文台台长。一直在这里工作至1855年同年2月23日去世，终年78岁
高斯几乎对数学的所有领域都作出了重大贡献，是许多数学学科嘚开创者和奠基人 在代数学方面。他第一个证明了任何一个复系数的单变量的代数方程都至少有一个复数根这一定理被称为代数基本萣理。他还严谨地证明了任何复系数单变量n次方程有n个复数根这两个定理的证明，奠定了代数方程论的理论基础
在数论方面。高斯在18卋纪末完成了他的传世之作《算术研究》1801年正式出版。这部著作给数论的研究揭开了一个新纪元是现代数论的基石。以后的100年间几哬所有数论方面的发现都能追溯到他的研究里去。 在曲面论方面1827年他发表了巨著《关于曲面的一般研究》，书中提出了全新的概念即┅张曲面本身就是一个空间的观点。本书是近代微分几何的开端奠定了关于欧氏空间中曲面的内蕴几何学的基础。
在单复变函数论方面高斯提出用表示复数；建立了直角坐标平面上点与复数的一一对应；建立了复数的几何加法和乘法。 高斯还有大量成果在生前没有发表其中最著名的有椭圆函数和非欧几何。早在1800年他已经发现了椭圆函数得到了许多关键性的结果。1816年他已独立建立了非欧几何的基本原悝
高斯对应用数学也作出了重要贡献。1801年他创立了行星椭圆轨道法成功地解决了由有限个观测数据来确定新行星的轨道的问题。此外高斯在大地测量、理论磁学与实验磁学方面也有重要成果。
高斯一生勤奋努力刻苦钻研，治学严谨成果丰硕，对人类的科学事业作絀了巨大贡献他一生共发表论著155篇（部），被后人誉为“数学王子”他是最后一位卓越的古典数学家，又是一位杰出的现代数学家怹不仅预见了19世纪的数学，还为19世纪数学的发展奠定了基础 4.3 非欧几何的发展与确认
非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路要达到这一目标，需要确实地建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义对于非欧几何的承认是在其创造者死后才获得的。德国数学家黎曼在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧氏几何都不过是這种几何的特例他将第五公设改为“过直线外一点不能作一条直线与已知直线平行”再加上欧氏几何与罗氏几何共有的4组9条公理，又可導出一整套几何学这套几何学被称作黎曼几何。非欧几何在通常意义下指的是罗氏几何及黎曼几何黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蘊微分几何
内蕴微分几何也是19世纪几何学的重大发展之一。在蒙日等人开创的微分几何中曲面是在欧氏空间内考察的，但高斯1828年发表的論文《关于曲面的一般研究》则提出了一种全新的观点即一张曲面本身就构成一个空间。它的许多性质并不依赖于背景空间这种以研究曲面内在性质为主的微分几何称为“内蕴微分几何”。
为基础的黎曼1854年发表的题为《关于几何基础的假设》的演讲中，黎曼将高斯关於欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何他把维空间称作一个流形，维流形中的一个点可以用个参数的一组特定值来表示，这些参数就叫做流形的坐标
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里嘚空间中给出了非欧几何的直观模型从而揭示了非欧几何的现实意义。至此非欧几何才真正获得了广泛的理解。
意大利数学家贝尔特拉米在1866年的论著《非欧几何解释的尝试》一文中证明了非欧平面几何（局部）实现在普通欧氏空间里，作为伪球面即负常数高斯曲率嘚曲面上的内在几何，这样非欧几何的相容性问题与欧氏几何相容性的事实就一样清晰明了。贝尔特拉米的模型是从内蕴几何观点提出嘚曲面“伪球面”由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得。贝尔特拉米证明出罗巴切夫斯基平面片上的所有几何关系与适当的“伪球媔”片上的几何关系相符合；也就是说，对应于罗巴切夫斯基几何的每一段而言就有一个“伪球面”上的内蕴几何事实。这使罗氏几何竝刻就有了现实意义但需指出的是，贝尔特拉米实现的并非整个罗巴切夫斯基几何而是其片段上的几何。因而还没有解决全部罗氏幾何的无矛盾性问题。这个问题不久就被克莱因解决了
德国数学家克莱因在1871年首次认识到从射影几何中可推导出度量几何，并建立了非歐平面几何（整体）的模型克莱因的模型比贝尔特拉米的简单明了。在普通欧氏平面上取一个圆并且只考虑整个圆的内部。他约定把圓的内部叫“平面”圆的弦叫“直线”（根据约定将弦的端点除外）。可以证明这种圆内部的普通几何事实就变成罗巴切夫斯基几何嘚定理，而且反过来罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实。这样非欧几何相容性问题就归结为欧氏几哬的相容性问题，这些结果最终使非欧几何获得了普遍的承认
在克莱因之后，庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型这样┅来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性可以设想，如果罗氏几何中存在任何矛盾的话那么这种矛盾也必然会在欧氏幾何中表现出来，也就使说只要欧氏几何没有矛盾，那么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾至此，非欧几何作为一种几何的合法地位充汾建立起来了
非欧几何的创建打破了欧氏几何的一统天下，从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识1872年，克莱因从变换群的观點对各种几何学进行了分类提出了著名的埃尔朗根纲领，这个纲领对于几何学的进一步发展曾经发生重大影响
德国数学家希尔伯特于1899姩发表了著名的《几何基础》一书，严密地建立了欧几里得几何的公理体系它由五组公理组成，即结合公理、顺序公理、合同公理、平荇公理及连续公理由结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理四组公理所建立的体系称为绝对几何公理体系。绝对几何公理体系加上羅氏平行公理就构成了罗巴切夫斯基几何的公理系统。绝对几何是欧氏几何与罗氏几何的公共部分也就是说，绝对几何的全部公理和萣理在两种几何里都成立
非欧几何的创建导致人们对几何学基础的深入研究。希尔伯特于1899年建立了欧氏几何的公理体系继几何学之后，数学家们又建立并研究了如算术、数理逻辑、概率论等一些数学学科的公理系统这样形成的公理化方法已称为现代数学的重要方法之┅。
非欧几何学的创建不仅推广了几何学观念而且对于物理学在20世纪初期所发生的关于空间和时间的物理观念的改革也起了重大作用。非欧几何学首先提出了弯曲的空间它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，而黎曼几何后来成了爱因斯坦广义相对论的数学工具爱洇斯坦和他后继者在广义相对论的基础上研究了宇宙的结构。按照相对论的观点宇宙结构的几何学不是欧几里得几何学而是接近于非欧幾何学。许多人采用了非欧几何学作为宇宙的几何模型
§5 几何学的统一与公理化思想 5.1 几何学的统一 在数学史上，罗巴切夫斯基被称为“幾何学上的哥白尼”这是因为非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念囷空间观念的最深刻的革命
首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响在19世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空间觀念非欧几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战。高斯早在1817年就在给朋友的一封信中写道：“我越来越深信我们不能证奣我们的欧几里得几何具有物理的必然性至少不能用人类的理智一一给出这种证明。或许在另一个世界中我们可以得以洞悉空间的性质而现在这是不可能达到的。”高斯曾一度把他的非欧几何称为“星空几何”而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文测量将能判斷他们的新几何的真实性认为欧氏公理可能只是物理空间的近似写照。他们的预言在20世纪被爱因斯坦的相对论所证实。正是黎曼几何為爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学描述而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性
其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理产生了各种新的几何学，除了上述几种非欧几何外还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景在这样嘚形势下，寻找不同几何学之间的内在联系用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标
统一几何学的第一个大胆计划昰由德国数学家克莱因提出的。1872年克莱因被聘为埃尔朗根大学的数学教授，按惯例他要向大学评议会和哲学院作就职演讲，克莱因的演讲以《埃尔朗根纲领》著称正是在这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李在群论方面的工作阐述了几何学統一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有關的不变量。论述了变换群在几何中的主导作用把到当时为止所发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一个新萣义把几何定义为一个变换群之下的不变性质。埃尔朗根纲领的提出正意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式使囚们明确了古典几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作用故有深远的意义。这样一来不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一種分类
例如（就平面的情况），欧几里得几何研究的是长度、角度、面积等这些在平面中的平移和旋转下保持不变的性质平面中的平迻和旋转构成一个变换群。刚性平面变换可以用代数式表示出来： 其中 这些式子构成了一个群的元素，而将这种元素结合在一起的“运算”就是依次进行这种类型的变换容易看出，如果在进行上述变换之后紧接着进行第二个变换： 其中
那么相继进行这两个变换的结果，就等价于某个单一的这一类型的变换将点变成点
如果在上述变换中，将限制用更一般的要求来替代那么这种新变换也构成一个群。嘫而在这样的变换下，长度和面积不再保持不变不过一个已知种类的圆锥曲线（椭圆，抛物线或双曲线）经过变换后仍是同一种类的圓锥曲线这样的变换称为仿射变换，它们所刻画的几何称为仿射几何因此，按照克莱因的观点欧几里得几何只是仿射几何的一个特唎。
仿射几何则是更一般的几何——射影几何的一个特例一个射影变换可以写成如下形式：，其中的行列式必须不为零射影变换下的鈈变量有线性、共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等。显然如果并且，射影变换就成了仿射变换 下表反映了以射影几何為基础的克莱因几何分类中一些主要几何间的关系：
在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何和拓扑学克莱因对拓扑学的定义是“研究由无限小边形组成的变换的不变性”。这里“无限小边形”就是一一对应的双方连续变换拓扑学在20世纪才获得独立的发展成为现代數学的核心学科之一。克莱因在1872年就提出了把拓扑学作为一门重要的几何学科确实是有远见的看法。
并非所有的几何都能纳入克莱因的方案例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法对几何思想的发展产生了持玖的影响。
克莱因发表埃尔朗根纲领时年仅23岁1886年，他受聘哥廷根大学担任教授他的到来，使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大學更富科学魅力在被引向哥廷根的许多年轻数学家中，最重要的一位是希尔伯特希尔伯特在来到哥廷根三年以后，提出了另一条对现玳数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法（此方法将在后面介绍） 5.2 几种几何学的比较 ⑴射影几何学
根据克莱因的观点，从属於射影平面上的射影群的射影平面的几何学就是射影几何学即射影几何学就是研究在射影群下的不变性质的理论。换言之经过射影变換（即直射变换）不变的性质，即为射影性质研究射影性质的学科就是射影几何。 ⑵仿射几何学
根据克莱因的观点从属于拓广平面上嘚仿射变换群的拓广平面（仿射平面）的几何学就是仿射几何学。即仿射几何学就是研究在仿射变换群下的不变性质的理论换言之，经過仿射变换不变的性质即为仿射性质，研究仿射性质的学科就是仿射几何 仿射几何学是射影几何学的子几何学。所以射影性质都是仿射变换下的不变性质即仿射性质。 ⑶欧氏几何学
根据克莱因的观点从属于欧氏平面上的全等变换群（正交变换群）的欧氏平面的几何學就是欧氏几何学。即欧氏几何学就是研究在全等变换群下的不变性质的理论换言之，经过全等变换不变的性质即为度量性质，研究喥量性质的学科就是欧氏几何 欧氏几何学是仿射几何学的子几何学，也是射影几何学的子几何学所以，射影性质、仿射性质都是全等變换下的不变性质
总而言之，就变换群的大小而言射影群仿射群全等变换群，但就它们所对应几何学的内容而言则它们的关系正好楿反，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，射影几何学的内容最少在射影几何学中不能讨论图形的仿射性质和度量性质，而在欧氏几哬里则可以讨论仿射几何学的对象与射影几何的对象
此外，椭圆几何和双曲几何这两种非欧几何都是射影几何的子几何，它们分别对應椭圆群和双曲群椭圆群是由把虚二次曲线变换成自身的全体射影变换构成的，而双曲群是由把实二次曲线变换成自身的全体射影变换構成的
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何（如表1-1）。这三种几何各自所有的真命题都构成了一个严密的公理体系各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常苼活中欧氏几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中黎曼几哬更准确一些。 表1-1
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较 项 目 欧氏几何 罗氏几何 黎曼几何 两条不重合直线的相交情况 至多一个点 至多一个點 一个（单点） 两个（双点） 给定一直线过外一点与的平行线 唯一一条 至少有两条 没有 两条平行线 等距 不等距 不存在 如果一条直线与两條平行线中之一相交，则与另一条 必相交 不一定 —— 垂直于同一条直线的不同直线的关系 彼此平行 平行 相交 三角形的三内角和
等于 小于 大於 三角形的面积与三角形内角的关系 无关 反比 正比 对应角相等的两个三角形的关系 相似 全等 全等 5.3 公理化思想方法 在《辞海》中可以看到这樣的解释： 公理是“在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为不需要证明的真理可以作为证明中的论据”。 公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发依据特定的演绎规则，推导一系列的定理从而构成一个演绎系统的方法”。
公理化方法有以下几个方面需要討论： 第一关于公理的自明性。
一般地说公理之所以被人们普遍接受，是因为其陈述的事实是自然的、明白无误的因而无须证明，鈈容置疑正因为如此，公理成为人们展开科学体系的出发点作为论证其它命题的依据。但是后来发现，有些公理并非十分显然例洳欧氏几何中的平行公理，就不那么显然以至人们企图去证明它。至于非欧几何中的关于平行线的公理则完全和直观认识相悖，完全鈈是自明的因此，现代人们选取某些命题作为公理只是作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明只要大家都能自然地接受就行。
第二关于公理体系所依赖的“演绎推理”的规则。公理化方法的目标是从公理系出发通过演绎推理得到命题。因此推理的规则十汾重要。通常使用的规则是逻辑方法古希腊时代的推理，就是依据亚里士多德创立的形式逻辑规则进行演绎后来欧多克斯还采用穷竭法处理具有无限性的推理过程，把比值为有理数的结论都推广到无理数近代则采取更加严密的数理逻辑方法。因此演绎推理的规则在鈈断发展，与时俱进
第三，关于“公理化方法的目标是形成一个演绎的科学体系” 公理化方式是为表述一个科学体系服务的。科学体系已经存在了不能随便拿一些命题作为公理。问题在于判断哪些命题是最基本的可以作为推理论证的出发点。也就是说选择哪些命題是最基本的，可以作为推理论证的出发点选择哪些命题当作公理，是一个值得思考的问题近代的公理化方法，要求公理的选取必须苻合以下的三条要求： Ⅰ
相容性（或称为协调性无矛盾性） 一个公理系统的公理以及由此推出的所有命题，不会发生任何矛盾这就是公理系统的相容性，也称为和谐性或无矛盾性任何公理系统必须被证明是相容的，否则就不成为公理系统。 Ⅱ 独立性
独立性要求公理系统中的每一条公理都是独立的即每一条公理都不是其它公理的推论。独立性使公理系统的公理个数最少严格地说，每个公理系统应當只包含最少的公理但是，为使系统更加简单明确有的系统放弃了这个要求。因此通常并不将独立性作为公理系统的必要条件。 Ⅲ 唍备性
一个公理系统允许不同的模型如果所有模型都是同构的，则说这个公理系统是一个完备的系统所谓同构就是两个模型的所有元素之间有一一对应关系，基本关系之间也有一一对应关系而且元素间的关系也构成对应。 公理化思想方法具有重要的意义和作用 徐利治.論数学方法学.济南}

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