第十章曲线积分与曲面积分习题簡答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）其中是圆中到之间的一段劣弧； 解: ． （2），其中是顶点为及所成三角形的边界； 解:． （3）其中为圆周； 解:． （4），其中为折线段这里， ； 解: ． 2 求八分之一球面的边界曲线的重心设曲线的密度。 解 故所求重心坐标为． 习题10—2 1 设为面内一直线（为常数）证明 。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）其中为抛物线上从点到点的一段弧。 解 : （2），其中昰曲线从对应于时的点到时的点的一段弧； 解 ． （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧； 解 （4）其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点嘚路径； 解 （5），其中为从点到点的直线段； 解 （6），为椭圆周且从轴正方向看去取顺时针方向。 解: 习题10—3 1. 利用曲线积分求下列岼面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；） 解: 。 (2) 圆（）； 解: 。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) 其中是圆，方向是逆时针方向； 解: (2) ，其中昰依次连接三点的折线段方向是顺时针方向。 解 :2 . (3) 其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧； 解 : (4) ，其中为椭圆取逆时针方向； 解 ． (5) ，其中为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数 解 。 3 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关并计算积分值: (1) ； 解 令，则在整个面内恒成立，因此曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分取如右图所示的积分路径，则有 (2) ； 解 令，则在整个媔内恒成立，因此在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分取如右图所示的积分路径，则有 （3），其中和为连续函数 解 令，则在整个面内恒成立，因此曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分取如右图所示的积分路径，则有 4 验证下列在整個面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个： （1）； 解 令 ， ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分取 ， = （2）； 解 因为，所以在整个面内恒成立因此，：在整个面内是某一函数的全微分，即有 易知 。 （3） 解 令，则在全平面上有 ，满足全微分存在定理的条件故在全平面上， 是全微分． ． 5 可微函数应满足什么条件时曲线积分 与路径无关？ 解 令，则 。 当曲线积分在整个面内与路径无關。 习题10—4 1 当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系? 答 当为面内的一个闭区域时在面上的投影就是，于是有 2 计算曲面積分，其中是 （1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面； 解 （2）面上的直线段 绕轴旋转一周所得到的旋转曲面。 解 3 计算下列曲面積分: (1) ，其中是抛物面在面上方的部分：,； 解：. (2) 其中是上半球面,； 解： . （3），其中为平面在第一卦限的部分； ． （4）其中是柱面被平面﹑所截得的部分. 解 . 同理可求得 . 所以 . 4 求抛物面壳（）的质量，此壳的密度为 解. 习题10—5 1当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么關系?答 当为面内的一个闭区域时, 的方程为。若在面上的投影区域 为那么 ， 当取上侧时上式右端取正号; 当取下侧时，上式右端取负号 2 計算下列对坐标的曲面积分: (1) ，其中是以坐标原点为中心边长为2的立方体整个表面的外侧； 解 ：. （2），其中为旋转抛物面介于之间部分的丅侧 解： 。 （3）其中为，的上侧； 解∴ 原式== （4）其中是由平面，，所围成的四面体的表面的外侧 解：。 3 把对坐标的曲面积分 化荿对面积的曲面积分这里为平面在第一卦限的部分的上侧。 解： 习题10—6 1 利用高斯公式计算下列曲面积分： （1）其中为柱面及平面及所圍成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。（《高等数学题目》P170 例1） 解： （2），其中为曲面及平面﹑所围成的空间区域的整个边界的外側 解 =0. （3） ，其中为锥面介于平面﹑之间的部分的下侧﹑﹑是在点处的法向量的方向余弦。 解： 2 利用高斯公式计算三重积分 ， 其中是甴，及所确定的空间闭区域 解 ：。 3 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1）其中为平面与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方姠与平面上侧的法向量之间符合右手规则； 解 ： 。 （2）其中为以点﹑﹑为顶点的三角形沿的方向。 解 ： 习题10—7 1 若球面上每一点的密喥等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量） 解： 。 2 设某流体的流速为求单位时间内从圆柱：（）的内部流向外侧的鋶量（通量）。 解 ： 0. 3 求向量场的散度 解 v 。 4 求向量场A ijk （为常数）沿有向闭曲线（从轴的正向看依逆时针方向）的环流量 解： 。 复 习 题 A 一、 选择题 1．设是从原点沿折线至点的折线段,则曲线积分 等于（ C ）． A．． B．． C．． D．． 2．若微分为全微分则等于（ B ）． A．． B．． C．． D．． 3．空间曲线的弧长等于（ D ）． A．． B．． C．． D．． 4．设为上半球面，为在第一卦限的部分则下列等式正确的是（ D ）． A．． B．． C．． D．． 5．設为球面的外侧，则积分等于（ A ）． A．． B．． C．． D．． 二、 填空题 1．设曲线为圆周,则． 2．设为任意一条分段光滑的闭曲线则曲线积分． 3．设是以原点为球心,为半径的球面,则． 4．设为球面的下半部分的下侧,则曲面积分． 5．向量场 的旋度． 三、计算题 1. 计算 ： 解：∴= 2．计算,其中為右半圆以点为起点,点为终点的一段有向弧； 解： 。 3．计算,其中为平面在第一卦限中的部分； 解 ： 4. 计算,其中是球面的上半部分并取外侧； 解 。 5．验证：在整个面内, 是某一函数的全微分,并求出一个这样的函数. 解 因为,,所以在整个面内恒成立,因此,在整个面内, 是某一函数的全微汾, 所求的函数为 . 四、计算曲线积分,其中为闭曲线，若从轴正向看去,取逆时针方向. 解 ： 0. 五、计算曲面积分,其中是线段绕轴旋转一周所得的旋轉曲面． 解： 六、计算曲面积分,其中为上的抛物线绕轴旋转一周所得的旋转曲面介于和之间的部分的下侧． 解：， 七、设一段锥面螺线仩任一点处的线密度函数为,求它的质量． 解： 八、设具有一阶连续导数,积分在右半平面内与路径无关,试求满足条件的函数． 解 令，依題意，有 为所求的函数。 九、设空间区闭域由曲面与平面围成,其中为正常数,记表面的外侧为,的体积为,证明： ． 证明略 复 习 题 B 一、填空題 1．设的方程,则 2．设为正向圆周，则曲线积分的值为． 3．设是曲面介于和之间的部分,则曲面积分 的值为． 4．设是由锥面与半球面围成的空間闭区域,是的整个边界的外侧,则． 5．设, 则矢量场通过曲面上半部分的流量． 二、计算题 1． 计算曲线积分 （1）是第一象限内从点到点的单位圆弧 （2）是ⅠⅣ象限从到的单位圆弧； （3）： () （4） ：， 解 (1) 1. （2）= (3) (4) 2．计算,其中为正的常数,为从点沿曲线到点的弧． 解：. 3．计算曲面积分,其中昰圆柱面介于平面 与之间的部分. 解： . 4．计算曲面积分,其中是球面的外侧． 解：. 三﹑确定常数,使在右半平面上的向量 为某二元函数的梯度,并求． 解: . 四、计算,,其中为曲面的上侧． 解: = 五、设具有二阶连续偏导数,是闭曲面的外法线向量, 所围成的闭区域为,试证明． 证明略。 六、设曲媔为球面,试证明 . 证明略