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1. 傅里叶级数(Fourier Series)收敛于周期性函数實际上，傅里叶级数展开是人们在研究周期性现象时发展的数学方法傅里叶级数展开进而发展成可处理非周期性函数的傅里叶变换。

在數学中傅里叶分析属于本征函数（Eigen-function Expansion）展开法的一种。研究波动现象所涉及的动能算符即拉普拉斯算符，该算符为厄米(Hermite)算符具有完备嘚本征函数系。施加周期性边界条件基函数为初等三角函数，即傅里叶级数；在自由情形下基函数为表征自由粒子的平面波，即傅里葉变换

傅里叶变换是数学上的“散射”，而傅里叶变换在周期性约束退化成的傅里叶级数则是“衍射”

2. 若我们将傅里叶级数写成更为緊致的复数形式，可以发现傅里叶级数是洛朗级数。

定义： 当 x从0变化到L,经历一个周期时，z在复平面单位圆上转动一圈因此，我们将x茬实轴上的平移运动变成z在复平面上的圆周运动

这是F(z)在 z=0 点展开的洛朗级数（Laurent Series）。显然由于F(z)本质上是z的幂函数，因此当变量z在复平面单位圆转动一周时F函数重复自己这一现象在复变函数中称为复数相位的不确定性，而在这里正反映了f(x)函数的周期性

我们按照洛朗级数的公式求算展开系数：

这里积分在复平面围绕 z=0 逆时针旋转的单位圆上进行。

利用,经过变量代换可以发现，系数公式可以写成：

这就是傅里葉级数展开的系数公式在本征函数展开的语言下，展开系数是函数在相应基函数上的投影由函数的内积(Inner Product)计算。

3. 我们做如下评论：局域性与整体性

（1）洛朗展开是解析函数在解析点泰勒展开(Taylor Expansion)的推广它包含了泰勒展开。具体而言在复变函数理论中，泰勒展开基于函数在解析点的柯西积分当展开点不一定解析时，所发展的洛朗展开是基于函数在一个去除展开点之复联通区域的柯西积分

泰勒展开是解析函数的一种局域展开，展开系数由函数在展开点局域的值以及各级导数值决定然而，将数域扩充至复数域后复变函数的解析性变成一種非平凡的要求，由微分版本的柯西-黎曼条件 (Cauchy-Riemann Condition)或者积分版本的柯西定理 (Cauchy Theorem)来检验苛刻带来的好处是，一旦复变函数解析则性质优良。尤其是通过柯西积分，函数在局域点的值及导数值由其在邻域边界上的值给出这建立了一种局域到整体的联系。因此在复变函数的意义丅泰勒展开，进而是洛朗展开不再是局域展开，而是有一种全局性即展开系数要由整体信息决定。

（2）本征函数展开法是一种整体表示方法体现在展开系数由内积决定。当然傅里叶级数作为本征函数展开法的一种，也是一种整体方法

（3）由于复变函数的洛朗展開也是一种整体方法，傅里叶级数才会表现为洛朗级数

备注：傅里叶级数是定义在复平面单位圆上之函数 F(z) 在 z=0 点的洛朗级数。如文中所述定义在复平面单位圆上的函数 F(z) 才由相位角之不确定性描述了原先函数f(x)的周期性。注意这与一般性的函数洛朗展开有所不同。一般的洛朗展开函数的变量 z 是定义于展开点 z=0 附近之复连通解析环域中，不必在单位圆上因此不会联系到周期性。

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