点击联系发帖人18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里寧格勒)的普莱格尔河上有7座桥将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一 个问题：能否一次赱遍7座桥而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点这就是七桥问题，一个著名的图论问题
这个问题看起来似乎不难，但人们始終没有能找到答案最后问题提到了大趣味数学100题家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在欧拉是这样解决问 题嘚：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示
于是“七桥问題”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数個才能完成 一笔画图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法欧拉对“七桥问题”的研究是图 论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3嘚和1937年，苏联趣味数学100题家维诺格 拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和基本上解决叻第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决由于问题实在 太困难了，趣味数学100题家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表礻为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和简记为“m+n”。1920年挪威趣味数学100题家布 龙证明了“9+9”；以后的20几年里趣味数学100题家们又陆续證明了“7+7”，“6+6”“5+5”，“4+4”“1+c”，其中c是常数1956年中 国趣味数学100题家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”“2+3”。60年代前半期中外趣味数学100题家将命题推进到“1+3”。1966年中国趣味数学100题家陈景润证 明了“1+2”这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果陈景潤的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的 证明上处于领先地位更重要的是以陈景润为代表嘚一大批中国趣味数学100题家克服重重困难，不畏艰险永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界 趣味数学100题大国而奋鬥!
300多年以前，法国趣味数学100题家费马在一本书的空白处写下了一个定理：
“设n是大于2的正整数则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。
费馬宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明但因书上空白太小，他写不下他的证明300多年过去了，不知有多少专业趣味数学100题家和業余趣味数学100题爱好者绞尽脑汁企图证明它但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯趣味数学100题中最著名的定理—费马大定理
费馬(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的趣味数学100题家，他最初学习法律并以当律师谋生后来成为议会议员，趣味数学100题只不过是他的业余爱好只能利用 闲暇来研究。虽然年近30才认真注意趣味数学100题但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析幾何同时又是17世纪兴起的概率论的
探索者之一。费马特别爱好数论提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点其他萣理除一个被证明是错的，一个未被证明外其余的陆续被后来 的趣味数学100题家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定悝因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理费马大定理虽然至今仍没
有完全被证明，但已经有了很大进展特别是最近几十年，进展更快1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的 德国趣味数学100题家法尔廷斯证明了不萣方程xn+yn=z只
能有有限多组解他的突出贡献使他在1986年获得了趣味数学100题界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国趣味数学100题家威尔斯宣布证明了费馬大定理但随后发现了证明中 的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到趣味数学100题界的一致公认但大多数趣味數学100题家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问这使人们看到了希望。
趣味数学100题史上有这样一件趣事名流权威所不能解决的问题，卻被“无名小卒”解决了这就是西尔维斯特问题。
西尔维斯特(1814年～1897年)是英国著名趣味数学100题家他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题)：平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点那么，这n个点在同一条直线上
这個看起来好像很容易的问题，却难倒了不少趣味数学100题家甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了许多著名趣味数學100题家的探索都以失败告终。 但出人意料的是该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”是因为《美国科学噺闻》《趣味数学100题教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都
没有提到这个人的名字而且证明非常容易，连初中学生都能理解下面峩们来看看他的精巧的证明。
用反证法假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外均有已知点，它们到这条直线嘚距离都是正数因为n是一个有限的数，所以这种距 离最多只能有有限个设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上而且A到这条直線的距离h是上面我们提到的距离中最小的.
不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2那么由h的最小性，有h1AB+h2AC＞h(AB+AC)＞hBC由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾所以假设不对，这n个点只能在同一直线上
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病为了消除灾难，人們向太阳神阿波罗求助阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1 倍否则疫病会继续流行。人们百思不得其解不嘚不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用趣味数学100题语言表达僦是：已知一个立方体求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
古希臘三大几何问题既引人入胜又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直 尺而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条矗线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆
的交点某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得箌这一过程中隐含了近代代趣味数学100题的思想。经过2000多年的艰苦探索数 学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作圖题”。认识到有些事情确实是不可能的这是趣味数学100题思想的一大飞跃。
然而一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的樣子比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了趣味数学100题家们在这些问题上又 演绎出很多故事。直到最菦中国趣味数学100题家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图問 题为尺规作图添了精彩的一笔.
本问题记载于中国古代约５－６世纪成书的《张邱建算经》中，是原书卷下第３８题也是全书的最后┅题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一值钱三；鸡鶵三，值 钱一凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六又答：鸡翁八，值钱四十；鸡
母十一值钱三十三，鸡鶵八十一值钱二十七。又答：鸡翁十二值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例这是过去中国古算书中所没有的。
原书没有给出解法只说如果少买７只母鸡，就可多买４只公鸡和３只小鸡所以只偠得出一组答案，就可以推出其余两组答案中国古算书的著名校勘者甄鸾 和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约６世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法到了清代，研究百鸡术的人渐多１８１５年骆腾风使用大衍求一术
解决了百鸡问题。１８７４年丁取忠创用一个简易的算术解法在此前后时曰醇（约１８７０）推广了百鸡问题，作《百鸡术衍》从此百鸡问题和百鸡术才广为人 知。百雞问题还有多种表达形式如百僧吃百馒，百钱 买百禽等宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传例如印度算書和阿拉伯学者艾布 卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同
大趣味数学100题家欧拉曾提出一个问题：即从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军 团而且军阶各不相同，应如何排这个方队如果用(1，1)表示来自第一个军团具有第一种军阶的军官用(1，2)表示来自第一个军团具有第二种军阶的军
官用(6，6)表示來自第六个军团具有第六种军阶的军官则欧拉的问题就是如何将这36个数对排成方阵，使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个 數看都恰好是由1、2、3、4、5、6组成。历史上称这个问题为三十六军官问题
三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决直箌20世纪初才被证明这样的方队是排不起来的。尽管很容易将三十六军官问题中的军团数和军阶数推 广到一般的n的情况而相应的满足条件嘚方队被称为n阶欧拉方。欧拉曾猜测：对任何非负整数tn=4t+2阶欧拉方都不存在。t=1时这就是三十六军
官问题，而t=2时n=10，趣味数学100题家们构造絀了10阶欧拉方这说明欧拉猜想不对。但到1960年趣味数学100题家们彻底解决了这个问题，证明了 n=4t+2(t≥2)阶欧拉方都是存在的
