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所以如果 A^k η ，k从1到n-1 这 n-1 个向量线性无关的话那么它们必然构成一个基础解系。

下面我们证明 A^k η k从1到n-1 线性无关。

第1步A^(n-1) η 线性无关，就一个向量当然线性无关。

因为零空间是线性子空间所以属于它的向量和不属于它的向量线性无关。

因为零空间是线性子空间所以属于它的向量和不属于它的向量线性无关。

综上所有的 A^k η ，k从1到n-1 线性无关

最后，多说几句关于幂零矩阵的性质。

m不一定等于n可以证明：m<=n。

A、A^2、...、A^m 的零空间是真包含關系：

其中ker(A^k) 代表 A^k 的零空间，< 代表真包含的符号（打不出来）

再证明它们是真包含，也就是把等号去掉

所以，只能是：ker(A^k) 是个k维空间囿k个线性无关的向量。

而 A^(n-k) η 就是 ker(A^k) 比前面的空间多出的那个线性无关的向量