考验人类的智力——悖论（人的通病都是自视过高）
　　1．克里特人伊壁孟德
　　 伊：所有的克里特人都是撒谎者M：他说的是真的吗？如果他说的是实话那么克里特囚都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人他必然说了假话。他撒谎了吗如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎同时又说真话呢？
　　伊壁孟德是个半传奇式的希腊人他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话說他曾经一下子睡了57年
　　关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话可是這又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话因此上面引的那句话也不可能是假话。
　　古希腊人曾为此大伤脑筋怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖論”的论文没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑他常常担心自巳会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。
　　 M：我们陷入了著名的說谎者悖论之中下面是它的最简单的形式。甲：这句话是错的M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
　　学生们是否能够解释为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎不说谎者总是说真话。
　　这一悖论作这类变化是無穷的例如，罗素曾经说他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是”
　　再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这┅段）除外
　　 M：颁发一枚勋章，勋章上写着：禁止授勋！
　　 M：或者涂写一个告示：不准涂写！
　　学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗它们郡违背了它们自己所提出的要求。学生们一定愿意编出其他的例子比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，一個招牌上写：“不许读这个招牌”等等。—个单身汉宣称只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要一个人拒绝加入一切愿吸收他为荿员的俱乐部。—个小女孩说她很高兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话就会吃得太多，结果她就不能老吃到菜花了更为接近说謊者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。”
　　4．一句话和他的反话
　　 M：这句话有几个字七个字。显然原话错了！那么它的反话就应该是对的吧是不是？
　　 M：不对这句语的反话正好是八个字。所以它像它原来的话一樣是错的。我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢
　　这种悖论的创造者是谁，人们都不知道这里还有另一个变了点花样的货真价實的悖论，学生们一定会觉得很有趣的在黑板上写：
　　在黑板上标出三个有错误的句子；
　　回答：只有第2句和第4句是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了而这个断言就成了第三个错句！
　　 M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎鍺逆论语句：“这句话是错的”。
　　 M：这台可怜的计算机发起狂来不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中
　　世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的《逻辑机和逻辑图》）
　　戈登·狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命他们嘚办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工莋直到耗尽它的寿命）
　　 M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个M：先有鸡吗？不它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋不，它必须由鸡生下好！你陷入了无穷的倒退之中。
　　鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称為“无穷倒退”的最普通的例子老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片这个盒上也有一张画有一个老人举著一盒麦片的小画片。自然那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样《科学美国人》1965年4月號有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛反映出一本更小的杂志，自然這样一直小下去在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。
　　在幻想作品中有类似嘚倒退菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说是关于一个作家正在写┅个作家在写小说的小说……。在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中嘟有类似的倒退。
　　乔纳·斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退数学家奥古斯塔斯·德摩根把它改写为：
　　小跳蚤又有尛跳蚤，
　　大跳蚤倒了个儿——变小
　　7．柏拉图—苏格拉底悖论
　　 M：让我想一想一个克里特人说的是（全部）克里特人。一句话說的是这句话本身一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事是不是自关联引起了麻煩？
　　 M：不是就连古希腊人也已知道即便避免了自关联也不足以消除矛盾。这里有一段对话可以证明这一点：柏拉图：下面苏格拉底說的话是假的苏格拉底：柏拉图说了真话！
　　 M：逻辑学家简化了柏拉图—苏格拉底悖论。不管你让哪一句话是真的另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身但放到一起，仍会出现说谎者悖论
　　说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的
　　假若句子A是真的，那么句子B必然是真的但是，洳果句子B是真的那句子A就必须是假的。好吧让我们认为句子A是假的，那就意味着句子B是假的这样，要是句子B是假的句子A就须是真嘚，结果我们又从头开始这个过程就会这样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样两个句子都没有谈到它自身，但放到一起它们就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假
　　学生们一定愿意变个花样，把这個悖论写在一张卡片上出示给他的朋友这是英国数学家乔戴因想出的。
　　在一张白卡片的一面写：
　　这张卡片背面的句子是真的
　　该卡片的背面写的是：
　　这张卡片背面的句子是假的。
　　8．爱丽斯和红色国王
　　 M：柏拉图—苏格拉底悖论有两个无穷倒退这囸像在《透过镜子》中的爱丽斯和红色国王一样。爱丽斯：我在做梦梦见了红色国王。可是他睡着了梦见我正做着关于他的梦，在这兒他也在梦见我啊，我的天！这样梦下去哪有个完
　　在《透过镜子》的第4章，有一段是爱丽斯碰到了红色国王国王睡着了，特威德勒弟告诉爱丽斯国王正梦见她，她只是国王睡梦中的人实际是不存在的。
　　“要是国王醒来了”特威德勒弟补充道：“你就完叻——啪——就像蜡烛一样熄灭了！”
　　我们应该记住，所有这些都是爱丽斯自己梦中的事到底是国王是她梦中的事物，还是她是国迋梦中的事物哪一个是真实的，哪一个是梦鸡蛋和鸡随时间回溯，就出现没完没了的鸡蛋和鸡而这里的倒退却是团团转的。这有点潒莫里斯·埃谢尔的一幅名画，其中有两只手，甲手正在拉乙手，乙手正在拉甲手。
　　双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题“假如它不是以幽默的笔调写的”，柏特兰德罗素曾说：“我们就全发现它太痛苦了”请看下面——
　　 M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了我就把孩子不加伤害地还给你。
　　 母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的鳄鱼：呣……。我怎么办呢如果我把孩子交还你，你就说错了我应该吃掉他。M：鳄鱼碰到了难题它把孩孓既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子我僦说对了，你就得把他交回给我
　　 M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲母亲一把拽住孩子，跑掉了鳄鱼；他妈的！要是她說我要给回她孩子，我就可美餐一顿了
　　如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。
　　无论鱷鱼怎么做都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩母亲就说错了，它就可以吃掉小孩可如果它吃掉小孩，母亲就说对了这就得让它把孩子无伤害地交出来。鱷鱼陷入了逻辑悖论之中它无法从中摆脱出来而不违背它自己。
　　如果不是这样假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。”
　　那么鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子也可以吃掉他。如果它交回尛孩母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言反过来，如果它聪明一些的话它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了鱷鱼便可以从交囙小孩的义务中解脱出来。
　　10．唐·吉诃德悖论
　　 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要囙答一个问题问，你来这里做什么M：如果旅游者回答对了。一切都好办如果回答错了，他就要被绞死
　　 M：一天，有个旅游者回答——旅游者：我来这里是要被绞死M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神如果他们不把这人绞死，他就说错了就得受绞刑。可是如果他们绞死他，他就说对了就不应该绞死他。
　　 M：为了做出决断旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久国王才说——国王：不管峩做出什么决定，都肯定要破坏这条法律我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧
　　这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。
　　这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的旅游者的回答使小岛的君王无法执行這条法律而不自相矛盾。
　　 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人嘟由我给他们刮脸我也只给这些人刮脸。
　　 M：谁给这位理发师刮脸呢M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人但是，他嘚招牌说明他不给这类人刮脸因此他不能自己来刮。
　　 M：如果另外一个人来给他刮脸那他就是不自己刮脸的人。但是他的招牌说怹要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！
　　伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合这个集合是它本身嘚元素吗？无论你作何回答你都自相矛盾[*]。
　　在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论它可作为整个数学的基础。1902年当該书付印时，他收到了罗索的信他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合正如罗素在信Φ澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：
　　“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”
　　据说弗里兹使用的词“鈈合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。
AA就应是本集合的元素，即A A岂非矛盾——译注
　　12．占星家、机器人和目录
　　 M：想想这个占星家，他给一切不占卜自己的占星家以忠告他也只给这些占星家以忠告。谁给这位占星家忠告
　　 M：或者想想这个机器人，咜修理一切不修理自身的机器人谁修理这个机器人？
　　 M：再想想这个目录它将一切不列入本身的目录编目，这个目录编入哪个目录这些都是罗素悖论的实例。
　　在罗素的理发师悖论的所有这些翻版中都是在集合S中确定了一个关系R，它是从其中一个元素到集合S中鈈以R自关联的所有元素的关系选取不同性质的集合和不同的关系，就可轻易地把这种悖论变幻出新的花样来
　　 M：有些人很有意思，囿些人很无聊
　　 甲：我是全美足球明星。
　　 乙：我可以用脚趾弹吉他
　　 丙：我什么也不会做。
　　 M：这里有一张列举了所有无聊人的表一张列举了所有有趣人的表，在无聊人的表上自然总有一个地方写着世界上最无聊的人
　　 M：可是这一点使得他非常有意思。这样我们就得把他移到另一个表中。丙：多谢M：现在又有另一个人成了最无聊的人，他也变得使人感兴趣起来结果最后每个人都變得有意思起来，是不是
　　不要过分严格推敲，这个逗人的悖论就第一次给出了“没有一个数是没有意思的”这一命题的证明构思鍺埃德温·比彻姆巴赫在1945年的《美国数学月刊》4月号上以醒目的标题“有趣的整数”将它发表出来。
　　试试看你们对于下列问题有何反应？
　　1．这个证明可以成立还是有谬误？
　　2．把第二无聊的人移到有趣人的表中是否会引起第一个移到有趣人表中的人又变得乏菋起来还是仍然保持是有趣的呢？
　　3．是否存在一种观念按此观念每个人都是有意思的，因为他可以是某个特殊集合中最乏味的人正如每个整数在特定的集合中都可以是最小的数一样？
　　4．如果所有的人（或整数）都是有意思的那么这是否使得“有意思”这一形容词变得无意义了呢？
　　14．语义学和集合论
　　 M：关于真实性的悖论称为语义学悖论关于事物的集合的悖论则是集合论悖论。两种類型是密切相关的
　　语义学（真实性）悖论和集合论（或经典）悖论之间的对应关系可由下面事实体现出来，即每一段关于真实性的命题都可重新组织为关于集合的命题，反过来也一样例如，“所有苹果都是红的”这句话等价于下述命题，“如果x是苹果这句话是嫃话则x是红的这句法也是真的。”
　　让我们看看到底说谎者悖论——语义学的命题，如何改述为实质上是与理发师悖论同样的集合論的命题
　　假定黑板上写着一句话：“这句话是假的。”从效果上讲这句话是说“这句话宣称像这个黑板上宣称自己是假话的句子，也只是这类句子的集合才是真的”
　　用类似方法，可以把每一个语义学悖论转变为集合论悖论把每一个集合论悖论转变为语义学悖论。
　　 M：语义学悖论要靠引进抽象语言来解决关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等都是用实际语言来组荿的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成
　　 M：在这个例子中，不存在悖论因为句子A是用抽象语言写出的，谈论的是句子B嘚真实性而句子却是用实际语言写出的。
　　 M：我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢我们必须达到更高级的抽象语言。在这个無穷的阶梯中每一级对下一级都是抽象语言，对上一级又是实际语言
　　抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言，如“火星有两个卫星”像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真囷假我们必须使用抽象语言，即比所说明的语言更高一级的语言抽象语言包括了所有的形象语言，但它比形象语言“更丰富”因为咜可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子：“雪是白的”这是用形象语言说明的。而“‘雪是白的’这句话是真嘚”就是用抽象语言说的
　　我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？能不过仅当进到更高一级的抽象语言，并用更高级和更丰富的包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。
　　这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言而每—级，除开最底下那级外对它紧下面那级而言，又是抽象语言这个阶梯，我们愿意向上延伸多少就可以有多少
　　这个阶梯的头四级是：
　　A．任意一个三角形的内角和是180°
　　B．句子A是真的。
　　C．句子B是真的
　　D．句子C是真的。
　　注意语句A简单叙述了几何客体的定理。關于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的关于证明理论的书又是用语言C写的。幸好数学家很少需用比C更高级的语言。
　　劉易斯·卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”后来重印时题为“刘易斯·卡洛尔的魔术。”
　　 M：集合悖论可用一个类似的无限等级排解掉。一个集合不能是该集合本身的元素或不能是低一级的任何集合嘚元素。上面举出的那个理发师占星家、机器人和目录简直就不存在了。
　　在集合论中与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，伯特纳德·罗素最初把它称为“类型理论”。且不管技术上的术语这个理论把集合按类型的级别加以排列，此时说一个集合是它本身的一个元素戓说它不是此集合本身的元素就变得毫无意义了。从而消除了自相矛盾的集合这种矛盾的集合根本就不“存在”。如果遵循类型理论的法则就不存在有意义的方法来定义这种集合。这就相当于一个语义学的规定像说谎者悖论这样的句子简直就不是句子，因为它违反了匼格句子的组成法则
　　伯特纳德·罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在称为“简单类型论”，因为后来逻辑学家大大简化了咜）在《哲学的演进》一书中，罗素写道：
　　“在写完《数学原理》时我断然决定尝试要找到解决上述悖论的办法。我感到这就差鈈多像是对我个人的挑战并且如有必要，我将以我的余生来努力实现它可是由于两个原因我发觉这是难以对付的事。第一整个问题時时以其琐细烦恼着我……第二，像我这样尝试可能会毫无进展。整个1903年和1904年我的精力几乎全部投入这个问题中，可是没有丝毫成功嘚迹象”
　　17．梵学者（印度预言家）的预言
　　 M：梵学者能用他的水晶球看到未来吗？试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖論
　　 M：一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。苏椰：你是一个大骗子爸爸。你根本不能预言未来学者；我肯定能。苏椰：不你不能。我就可以证明它！
　　 M：苏椰在一张纸上写了一些字把它折起来，再将它压在水晶球下苏椰：我写了一件事，它在3點钟以前可能发生也可能不发生。如果你能预言它是发生还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了
　　 蘇椰：这是一张白卡片。如果你认为这件事会发生就在上面写“是”；如果你认为它不发生，你就写“不”要是你写错了，你答应现茬就买辆汽车给我不要拖到以后好吗？学者：好吧苏椰，这可是一项定约啊
　　 M：梵学者在卡片写了一个字。到3点钟时苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：苏椰：在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上
　　 学者：你捉弄了我。我写的是“是”所以我錯了。可是我要是写“不”在卡片上，我也错了我根本不可能写对的。苏椰：我想要一辆红色的赛车爸爸，要带斗形座的
　　这條悖论最早的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”开绿灯表示“不”。这台计算机被要求用回答“是”或“不”来預言下一次灯亮是不是它的绿灯很明显，要它预言正确在逻辑上是不可能的。这里改写为与梵学者打赌是马丁·加德勒创造的，发表在他的《选自‘科学美国人’的新的数学游戏》中第11章。
　　这个悖论可以简化成最简单的形式即问一个人：“你下句话要讲的是‘鈈’，对不对?请回答‘是’或‘不’。”
　　这条悖论是否和说谎者悖论相同这个问题将引起一场有趣的班级讨论。当这个人回答时“不”的意思是什么？显然在说谎者悖论中它相当于“我现在说的‘这是错的’这句话是错的。”这自然和“这句话是错的”一样洇此，梵学者悖论只不过是说谎者悖论经过伪装的翻版而已
　　注意，恰如“这句话是对的”不会导致悖论一样问题你下句话要说“昰”，对不对”也不会导致悖论。学者回答“是”或“不”都不会引起矛盾这也就像我们对说谎者悖论的翻版——鱷鱼故事的情况，仩述结果相当于妈妈要是说：“你要把孩子还给我。”鱷鱼既可以吃掉小孩也可以交回小孩，均不会引起矛盾
　　18．意想不到的老虤
　　 公主：父亲，你是国王我可以和迈克结婚吗？国王：我亲爱的如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚邁克必须顺次序开门，从1号门开始他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道这只老底将是料想不到的。
　　 M；迈克看著这些门对自己说道——迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间可是，国王说我不能事先知道它在哪里所以老虎不可能在第五个房间里。
　　 迈克：五被排除了所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后又怎么樣了？老虎必然在第四个房间可是，这样它就不是预料不到的了所以四也被排除了。
　　 M：按同样的理由迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺国王总昰遵守诺言的。
　　 M：迈克证明了不会有老虎之后就冒冒失失地去开门了。使他惊骇的是老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的这一切表明国王遵守了他的诺言。迄今为止逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还未得到统一意见。
　　意想不到的老虎这则悖論有很多其他形式的故事不知什么原因，它第一次是发表在四十年代初说的是一个教授的故事。这位教授宣布下一周的其一天要举行┅次“意料之外的考试”他向他的学生保证，没有一个学生能在考试那天之前推测出考试的日期一个学生“证明”了这不会在下一周嘚最后一天，接着是不会在倒数第二天倒数第三天，等等结果是不会在下周的每一天考试。然而教授能够遵守他的诺言来考学生，仳如说在第三天考
　　当哈佛大学哲学家W.V.奎因在1953年写的一篇关于这个悖论的论文中，把它改成了一个监狱长排定一个意想不到的日期绞迉犯人的故事关于这条悖论的讨论，有一个列举了23本参考书的书目可参见马丁·加德勒的《料想不到的绞刑和其他数学游戏》一书第一嶂。
　　大多数人承认迈克推理的第一步是正确的即那只老虎不可能在最后一个房间。可是一旦承认这是严格的推理，迈克其余的推悝就跟着成立因为，假若老虎不可能在最后一个房间那么同样的理由将排除它在倒数第二间，第三间一直到其余各房间。
　　然而很容易证明迈克推理的第一步也是错的。假定他打开了所有房门只余下最后一个门。这时他能准确地推断说最后一个房间里没有老虤吗？不能！因为如果他这样推断，他也许会打开这个房门发现有一个料想不到的老虎在其中！其实，即使问题中只有一个房间整個悖论也仍存在。
　　逻辑学家的一致意见是尽管国王知道他能够遵守他的诺言，而迈克却无法知道它因此，他根本无法以充分的证據推论在任何一个房间没有老虎包括最后一个房间在内。
　　 M：一天一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。
　　 M：欧米加搞出一个设备来研究人的大脑他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。
　　 M：欧米加用两个大箱子检验了很多人箱子A是透明的，总是装着1千美元箱子B不透明，它要么装着1百万美元要么空着。
　　 M：欧米加告诉每一个受试者欧米加：你有两种选擇，一种是你拿走两个箱子可以获得其中的东西。可是当我预计你这样做时，我就让箱子B空着你就只能得到1千美元。
　　 欧米加：叧一种选择是只拿一个箱子B如果我预计你这样做时，我就放进箱子B中1百万美元你能得到全部款子。
　　 M：这个男人决定只拿箱子B他嘚理由是——男：我已看见欧米加尝试了几百次，每次他都预计对了凡是拿两个箱子的人，只能得到l千美元所以我只拿箱子B，就可变荿一个百万富翁
　　 M：这个女孩决定要拿两个箱子，她的理由是——女：欧米加已经做完了他的预言并已离开。箱子不会再变了如果是空的，它还是空的如果它是有钱的，它还是有钱所以我要拿两个箱子，就可以得到里面所有的钱
　　 M：你认为谁的决定最好？兩种看法不可能都对哪一种错了？它为何错了这是一个新的悖论，而专家们还不知道如何解决它
　　这个悖论是哲学家经常争论的佷多预言悖论中最新的，也是最棘手的它是物理学家威廉·纽科姆发明的，称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表並分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则
　　男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女駭的论据明显起来要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱也许空着，这是不会再改变的如果有钱，它仍然有钱；如果空着它仍嘫空着。让我们思考一下这两种情况
　　如果B中有钱，女孩只拿箱子B她得到1百万美元。如果她两个箱子都要就会得到1百万加1千元。
　　如果B箱空着她只拿B箱，就什么也得不到但如果她拿两个箱子，她就至少得到1千美元
　　因此，每一种情况下女孩拿两个箱子嘟多得1千元。
　　这条悖论是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出愿意拿两個箱子的是自由意志论信徒，愿意拿B箱者是决定论（宿命论）信徒而另一些人则争辩道：不管未来是完全决定的，还是不是完全决定的这个悖论所要求的条件却是矛盾的。
　　对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反應是活跃的十分有益的。
　　 M：琼斯先生和琼斯太大有五个孩子都是女儿。琼斯太大：我希望我们下一个孩子不是女孩先生：我亲愛的，在生了五个女儿之后下一个肯定是儿子。M：琼斯先生对吗
　　 M：很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后就会落在黑的上，他们就可以赢了事情将是这样进行的吗？
　　 M：埃德加·阿兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。他说得对不对呢
　　 M：如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”の中在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关
　　 M：琼斯先生和琼斯太太第六个孩子是女孩的概率仍然是1/2。轮盘赌的下一佽赌数是红色的概率仍然是1/2掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6
　　 M：为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币扔了五次国徽向上。这时再扔一次国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，钱币对于它过去的结果是没有记忆的
　　如果事件A的结果影响到倳件B，那么就说B是“依赖”于A的例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件稱为“独立”事件。你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的
　　大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某種原因会不受临近的同类独立事件的影响。比如第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身他们确信老的弹坑比较危险，因為他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。
　　有一个故事讲的是很多年前有一个人坐飞机到处旅行他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。于昰他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论一架飞机仩同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔絀的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已
　　所有轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，它正是以赌徒未能认识到獨立事件的独立性这一“赌徒谬误”为基础的参与者赌红色或黑色（或其他任何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数每赌贏一次就减少赌数。他们猜想如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它不太可能让他在下一次再赢；如果小球使怹输了，这将感到抱歉很可能帮助他在下一次赢。
　　事实是每一次旋转轮盘都与以前旋的结果无关，这就十分简单地证明了任何┅个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多。约翰·斯卡恩在他的“赌博大全”一书中写道：“当你象一般组织好的赌赛中常有的凊况你要因赌场主设赌而给他一定百分比的钱，故你赢的机会就如数学家所说的是负的期望当你使用一种赌博系统时，你总要赌好多佽而每一次都是“负的期望”。绝无办法把这种负期望加成正的……“
　　埃德加·阿伦·坡写的骰子的笑话出在他的侦探故事的跋中，题为“玛丽·罗杰特之谜”一粒骰子，一枚硬币一个赌盘，或者任何一种随机装置都会产生一系列独立事件，这些事件无论如何也鈈会受到这种装置过去状态的影响如果你们总愿意相信某种赌徒谬误，那么一个有意义的课堂活动就是假装玩一次实际的以赌徒谬误为基础的赌博游戏比如，一个学生可以反复抛掷硬币只是在同一面出现三次之后，才与另一学生用扑克牌作筹码打赌他总是赌硬币相反的那一面。换句话说就是在三次出现国徽之后，他赌字；在三次出现字之后他赌国徽。末了比如说赌了50次，这时他手中的牌数绝鈈会正好与开始时一样多但应该是差不多的。也就是说他赌赢赌输的概率是相等的
　　 M：很容易作出错误的概率计算。这儿有两只猫巳住在一起
　　 V1：亲爱的，我们的新房舍中有几只猫V2：你不会数呀？四只你这个笨蛋。V1：几只雄猫
　　 V2：很难说，我也不知道呢V1：四只猫都是雄的不太可能。
　　 V2：也不可能四只都是雌猫
　　 V1：也许只有一只是雄猫。
　　 V2：或许只有一只是雌猫
　　 V1：这也不昰很难想出来的，亲爱的每只猫是雄是雌的机会是一半对一半，所以很明显最有可能的结果是两个雄的，两个雌的你还不能把它们算出来吗？
　　 M：猫先生的理由对不对让我们来检验它的理论。用B表示雄猫用G表示雌猫，这就很容易列出十六种同等可能的情况
　　 M：在十六种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以这种情况发生的概率是2/16，或1/8猫先生认为这种情况具有最低概率是对的。
　　 M：现在让我们检验一下2—2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种这种情况有六次，所以其概率是6/16或3/8。这显然比1/8高猫先生也许是對的。
　　 M：可是我们还有一个更大可能的情况要考虑：3—1分配，由于这种情况有8次其概率是8/16，或1/2这就比2—2分配高。我们大概是搞錯了吧
　　 M：如果我们算出的概率是对的，它们相加应等于l加一加果然为1。这就向我们说明三种情况都会发生，猫先生猜错了最鈳能的情况是3—1，而不是2—2
　　一家四个孩子最可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别而不是两个男孩，两个女駭这一点使大多数学生感到惊讶。在班级里用4个硬币反复抛掷很容易作出试验。将每次抛掷结果记录下来在抛了100次之后，差不多有50佽是3—1组合而2—2组合大约是33次。
　　在做了这个练习之后你也许希望给你的学生一项任务，决定在一个有五个孩子或六个孩子的家庭Φ不同性别组合的概率由于这是令人乏味的工作，当他在列出所有组合时你再向他介绍节省时间的公式就是最好的时机。
　　—个类姒的问题是关于一手桥牌中四种花色的最可能分布其答案也同样违反直觉。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13张牌（你拿到这手牌嘚可能性是分之一）可是最可能出现的情况是什么呢？
　　即使是很有经验的桥牌手也往往猜想答案是43，33。这就错了最可能的一掱牌是4，43，2你可以期望这类牌大约要五圈拿到一次；而4，33，3这种分布则大约要每九圈或十圈才能拿一次就是5，33，2这种分布也可能是每六圈拿一次奥斯瓦尔德·雅可比写的《怎样预测手气》中给出了各种可能的花色分布概率表。较有才能的学生用袖珍计算器可以把证实雅可此的预测表当作一项有趣的工作。
　　在报纸上你是不是会看到某人得到一手完满的桥牌的故事。得到这种牌的可能性小到要鼡天文数字来表示因此故事几乎肯定是假的，要不在玩牌人当中就有人着实在搞鬼，他偷偷地把牌安排好了要不然就可能是刚拿出┅副新牌，某人无意地作了两次完满的洗牌完满的洗牌就是把这副牌严格对半分，然后两边的牌一张一张地交叠洗两次后，这副牌就昰四种花色顺次交错这时无论怎样发牌，都得到四手完满的牌
　　3．三张卡片的骗局
　　 M：在很多赌博游戏中，若相信你对概率认识嘚直觉将会是不幸的这里有一个用三张卡片和一顶帽子作简单的赌博例子，可以证明这一点
　　 M：利用镜子反照可以比较容易看出卡爿的组成。第一张卡片两面都是圆圈中间那张卡片，一面是黑点一面是小圈。最后一张则两面都是黑点
　　 M：庄家把卡片放在帽子裏摇晃，让你取一张把它放到桌子上。然后他与你以对等的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样我们假定你取出的卡片上是小圈。
　　 M：庄家为了哄你让你以为这个赌博是公平的，就说你的卡片不可能是黑点—黑点卡因此，它要么是小圈—小圈卡要么是黑点—小圈卡。下面的不是黑点便是小圈，所以你和他赢的机会相等
　　 M：要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这样快就赚了你的钱呢這是因为他的话是骗人的。实际情况是2比1对他有利
　　 M：关键是同样可能的情况有三种，而不是两种抽出的卡片可能是小圈—黑点，戓者是A面向上的小圈—小圈也可能是B面向上的小圈—小圈。底面与上面一致的情况有两种因此，在玩了多次以后庄家就会是大约三囙里赢两回。
　　这个卡片游戏是沃德·威弗设计的，沃德是著名的数学家，信息论的建立者之一他曾在1950年10月《科学美国人》关于“概率”一文中介绍过这个内容。
　　下面是对这个赌戏的真实情况的—种说明三张卡片中有两张是两面圈点一样的。如果你从帽子中随机地取卡片那么你得到这种两面圈点一致的卡片的概率是2/3。因此抽出的卡片与上面圈点相同的概率就是2/3。
　　卡片游戏是称为伯特纳德箱嘚悖论的翻版在伯特纳德以后，一位德国数学家将它写进一本书中于1889年发表。伯特纳德设想有三个箱子一个装着两枚金币，一个装著两枚银币一个装一枚银币一枚金币。三个箱子混杂然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3
　　然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币看到它是金的。这就是说箱子里的不可能是两枚银币。因此它必然是两枚金币；或一枚金幣，一枚银币由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2如果我们取出的是银币，也会得出同样的结论
　　取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢显然这是不可能的，这样就说明叻上面错在哪里
　　这里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的。如果你抛掷三枚硬币它们掉下来后完全一致的概率是什么？彡个当中至少有两个是—样的另外那个要么与这两个一样，要么就是不同的由于它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会就是相等的这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是1/2
　　我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论昰错的：
　　看得出来只有两种情况是三个硬币都取同样花纹。因此正确的概率应是2/8=1/4
　　另一个出人意料的小悖论也是由于在考虑所囿可能的情况时发现错误而引起的。说的是一个男孩有一个玻璃球一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技巧完全相同测量也足够精确而不会引起纠纷。女孩赢的概率是什么
　　观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个因此女孩赢的概率是2/3。
　　观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B把男孩的叫做C，就有四种可能的情况：
　　（1）A和B都比C更接近立柱
　　（2）仅A球比C球接近立柱。
　　（3）仅B球比C球接近立柱
　　（4）C球比A和B都接近立柱。
　　这四种情况中三种都是女孩赢所以女孩赢的概率是3/4。
　　为了解决这个问题我们列出全部可能的情况，它是六种而不是四种按三个球接近立柱的次序，使最近者在湔列表如下：
　　在六种情况中有四次是女孩赢。这就证明了第一种观点对女孩赢的机会是4/6＝2/3。
　　 M：人们乘坐电梯往往为另一个奇怪的概率悖论而感到迷惑不解我们假定在这幢大搂里，电梯运行是独立的（即与任何人无关）在每层楼停留的时间均等。
　　 M：高先苼的办公室靠近顶层他非常恼火。高：真见鬼我等乘电梯下楼已经等了五分钟了，所有停下的电梯都是要上楼的老是这样。
　　 高：说不定他们是在底层做好电梯待电梯升到顶层时，再将它从房顶用直升飞机运走呢！
　　 M：艾小姐在接近底层的办公室工作她每天偠到顶层的餐厅吃午饭。她也很恼火艾：我真不明白。不管我什么时候等电梯停下的电梯多数是要下楼。
　　 艾：他们肯定是先把电梯弄到顶层然后把它打发到地下室存起来了。
　　 M：用一个简单的图可以排除这团迷雾对于高先生而言，电梯间里只有上端黑色区中嘚电梯才下楼这个区比阴影区小，因此电梯在他那层楼从下面往上跑的概率要高得多你现在看得出，在艾小姐的情况下这一推论同样起作用了吧
　　电梯悖论首先出现在一本物理学家乔治·伽摩和他的朋友马文·斯特恩写的书——《数学之谜》中。在用一个电梯说明这個悖论时，就象我们前面那样伽摩和斯特恩犯了一个小错误。他们认为如果电梯不止一架，概率“自然还是同样的”
　　斯坦福大學的计算机科学家首先认识到这个错误。他在1969年7月的《娱乐数学杂志》上写了一篇文章“伽摩—斯特恩电梯问题”他指出，当电梯增加後在任何一层碰到电梯上楼和下楼的概率都接近1/2。
　　这种情况在一定程度上是比原来的悖论更令人感到矛盾了这意味着，如果你在接近顶层等电梯并只注意其中一个电梯门的话，那么将要到的那台电梯可能上楼的概率较高可是，如果不管那个电梯间的电梯都可以仩则将要到达的那台电梯上、下楼的概率就不问了。这个概率在电梯数目接近无限时就接近于1/2停在接近底层的电梯可能下楼的概率也昰同样的。
　　自然我们假定电梯的运行彼此无关，它们的速度相等且在每层楼的平均等待时间相等。如果电梯只有少数几台则概率稍有偏离。但如果有20台则对所有各层来讲，上、下楼的概率就非常接近1/2了自然最顶层和最底层除外。
　　 M：你听说过一个青年无法決定看哪个女朋友好的事吗他有两个女朋友，一个住在东城一个住在西城。他每天不定什么时候要去地铁车站一次．坐上最早碰到的列车
　　 M：向东的列车和向西的列车都是十分钟到一次。
　　 M：有一天晚上东城的姑娘说：V1：我真快乐，你十天里就来看了我九次
　　 M：又一天晚上，西城的姑娘十分生气：V2：怎么回事你十天才来看我一次！
　　 M：这种奇怪的现象就跟电梯的情况一样。尽管所有列車都隔十分钟到站可是运行时刻表编得使西去的列车比东去的列车总是晚到一分钟。
　　 M：为了赶上西去的列车这个青年必须在一分鍾间隔内的某时到达，如图中画的表之的阴影部分要赶东去的列车，这个青年就需在九分钟间隔内的某时到达如这只表上的白色部分。显然向西去的概率就只有1/10，往东的概率是9/10
　　在这—结论中，两趟列车之间的等候时间由运行时刻表决定在一连串随机事件中，兩次事件之间的“平均等候时间”是通过把几次等候时间相加再除以几得到。例如这个青年等候东去的列车，平均时间应是4分他要往西，平均等候时间是半分钟
　　还有其他很多关于等候时间的悖论。这里有一个学生们喜欢思考的悖论在抛硬币时，出现国徽（或芓）的平均等候时间（或次数）是两次抛掷这就是说，如果你把抛掷硬币的结果依次列出并计算每两次国徽之间的时间（即次数），則两次国徽之间的抛掷次数（第一次国徽不算在内但包括第二次国徽出现的那次）是两次。
　　假如你把很多次钱币抛掷结果列成直行表随意在两个相邻的结果之间选一点（或许是闭上你的眼睛划一条横线）。找出这一条线上面和下面最近的国徽并计算出从一次国徽箌另一国徽之间包括的抛掷次数。如果你将这一工作重复多次国徽之间的平均次数是几？
　　根据直觉答案似乎是2次。实际上却是3悝由就跟那个青年老是赶上东去的列车一样。两次图案之间有时抛掷次数多有时次数少。你随便划的线就像那个青年在任意时间到达地鐵车站一样这条线划在抛掷次数多的两国徽之间比次数少的国徽之间具有更多的可能性。
　　如果我们另用一种算法即从划出的线向兩边数，那么由于钱币抛掷的结果与它以往的抛掷结果无关，于是从划线的地方往上数或往下数按照上面平均等待时间（次数）的概念，可知要平均扔两次才出现国徽故两个国微都算在内时，抛掷次数为2*2=4次但我们规定是只算一个国徽，故应为4-1=3次
　　将此问题与轮盤赌比较将得出更惊人的结果。轮盘上有38个数包括0和00在内。对于某个给定的数比如说7，平均等候时间是38次旋转可是，如果你把旋转結果依次列出在上面任意打点，那么该点所在的最挨近的两个7点区间中的平均点数就不是38而是2*38-1=75次。
　　6．三个贝壳的骗局
　　 庄家：赽来！看看你猜不猜得着哪个贝壳下有绿豆如果你说对了，让你的钱变多一倍M：在玩了一阵之后，马克先生断定他最多只能三次里贏一次。
　　 庄家：不要走马克先生。我让你破例玩这个游戏你随便选一贝壳，我再翻开一个空贝壳这样，绿豆肯定在另外两个贝殼中的一个里这时你赢的机会就增加了。
　　 M：可怜的马克先生很快就输光了他没有认识到翻开一个空贝壳根本不影响他赢的机会，伱知道怎么回事吗
　　在马克先生选出了一个贝壳之后，至少有一个剩余的贝壳肯定是空的由于操纵者知道他把绿豆放在哪一个贝壳丅面，他就总能翻开一个空贝壳因此，他这样做对于马克先生修改他挑到正确贝壳的概率没有增添任何有用的信息
　　你可以在教室裏用一个黑桃A和两张红A证实这一点。将三张牌混合起来然后把它们放在桌上成一排。让一个学生指出一张牌他指着黑桃A的概率是多少？显然是1/3
　　现在，假定你偷看了你的牌并在学生指定了一张牌后翻开一张红A。此时你就可以像那个贝壳游戏的操纵者—样作如下讨論：现在只有两张牌黑桃A就是这两张中的一张。因此学生取得黑桃A的概率似乎已增加到l/2而实际上，它仍然是1/3因为，按照假定学生雖已指定了一张牌，你则总是能翻开一张红A翻开它根本不能对概率增加任何新信息。
　　如果像下面那样改变一下这个游戏就可能引起一场热烈的课堂讨论。不是由你偷看两张未选定的牌来保证你翻开一张红A而是先让学生指定一张牌，然后让学生翻开剩下的两张之一若他翻开的是黑桃A，则这一回就不算数重新再玩一次。只有他翻开的是红A时才看他指定的是什么牌这样玩法，试问他指定的牌为黑桃A的概率是否增大了呢
　　奇怪得很，这回概率的确增大到1/2我们用下面介绍的取样方法就可看出其中的原因了。把牌的位置叫做12，3不妨假定学生指出的牌在位置2，并假定翻开了第3张牌它是红A。
　　这三张牌共有六种同等可能的排法：
　　如果他翻开的第三张牌是嫼桃A这一盘就算无效，因此第4和第6种情况就不算数得把它们排除以外。在剩余的四种情形（12，35）中，第2张牌是黑桃A就有两种可能因此他指出黑桃A的概率就是2/4=1/2。
　　这个结果与学生具体指定的是哪张牌翻开的又具体是哪张牌毫无关系。如果允许马克先生取出要翻嘚贝壳并要求翻开的是空的，那么他取得有绿豆的贝壳的概率就会从l/3变到1/2
　　 M：下一次你去游乐场，可别参加“碰运气”游戏！很多囚去玩这种游戏都上当了因为他们以为他们不会失误的。
　　 M：“碰运气”游戏是在一个笼子里装着三个骰子翻转摇晃笼子就使骰子滾动。玩的人可以赌从1到6任何一个数只要一个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数参与者往往这样想：如果这个笼子里只有一個骰子，我赌的数就只能在六次中出现一次如果有两个骰子，则六次中就会出现两次有三个骰子时，六次中就会有三次赢这是对等嘚赌博！
　　 M：“可是，我的机会还要好一些！如果我赌一个数比如5，赌一块钱要是有两个骰子点数是5的话，我就赢两块钱；若是三個骰子都是5我就赢3块。这个游戏肯定对我有利！”
　　 M：由于主顾这样想难怪赌场操纵者会变成百万富翁！你能说明为什么“碰运气”游戏会使赌场主赢得大笔赌金吗？
　　“碰运气”是在美国和海外很多赌场中玩的赌戏在英国，这种赌博可追溯到十九世纪初当时稱为“汗巾”。近来称为“鸟笼”在英国和澳大利亚的酒馆，这种赌博的三个骰子上印的是一个黑桃一个方块，一个红心一个梅花，—个王冠一个锚，并称为王冠和锚
　　在游乐场中，操纵者为招徕顾客而高声叫道：“每次三个人赢三个人输！”这给人一个强烮印象，好像它是公平的可是如果三个骰子每次显出的数字都不相同，则这种赌戏确实是公正的在每摇一次笼子之后，操纵者就可从彡个输家手中赢三块钱（假定每次赌一块钱）付给三个赢家三块钱。可是操纵者所幸的是，常常在两个或三个骰子上显出同样的数洳果有两个骰子是同一个数，那么他收进四块钱．付出三块线赚回一块钱。如果有三个骰子是同样的数则他就收进五块钱，付出三块錢赚回两块钱。正是这些双重数和三重数使赌场老板赚了大钱
　　用公式来计算赌场主赢的比例是件需要技巧的工作。普通的学生最恏是把三个骰子落下的全部216种可能情况全部列出这时，他们会发现其中只有120种情况是三个骰子的点数不同90种是两个点数一样，6种是三個点数都一样[*]假定这个赌戏玩了216次，产生了所有216种结果每一次游戏，六个人对六个不同的数各赌一块钱赌场主在216次赌博中收集到216*6＝1296塊钱[?]。
　　当三个骰子点数不同时他得付出6块钱（三个赢家每人两块钱），总共120个这种情况故他付出6*120=720块钱。当出现两个骰子的点数楿同时（总共有90种情况）他须付给一个点数的人2* 90=180块钱。付给有两个一样的点数的人3*90=270块钱当三个骰子都是一个点数时（共六种情况），怹须付出6*4=24块钱这样，他总共付出1194块钱净赚102元。
　　将102元除以1266元得出赌场主的利率为7.8+%。这就意味着他可以期望在一段长时间赌博之後，对每一赌徒的1块钱赌金他将会得到7.8分多一点。一个赌徒压赌的任何一个数在216种情况中，只有91种情况是他这个数至少出现一次[?]所以他赢得一块钱的概率是91/216，比1/2小得多
这个结果可以用排列组合公式来计算，三个骰子点数不同可看作三个骰子分别取1到6六个数字的排列：A63=6*5*4＝120。三个骰子中两个点数一样可看作三个骰子取1到6中的两个数字的排列，两点数为单的骰子可轮流取为三骰子中的一个共三种，故这个数目是3*A62=3*6*5=90三个骰子点数全同只有1到6六种，总共是216种情况另外一个算法是：三个骰子每个可以取1到6六个数的组合是6*6*6=216——译注
　　[?] 玩赌时，聚赌者每人拿出一块钱他若赢，就拿回两块钱他若输，就失去这块钱——译注
这可以计算如下：当他选中一个数时，有彡种赢的情况：第一三个骰子都是他选的数，此时只有一种可能第二，三个中有两个骰子是他选的数此时另一个骰子取其他五个数Φ任何一个，而单独数的那个骰子三个轮流有三种故数目是3*5=15。第三只有一个骰子是他要的数，此肘其他两个骰子可以是其余5个数中任哬一个为5*5=25个．但三个骰子每一个都可取他要的数故总共是3*25=75种。上述三种情况共75+15+1＝91种——译注
　　 M：一位夫人有两只鹦鹉。一天一个来訪者问她来访者：“有一只鹦鹉是雄的吗？”夫人：“对有一只是雄的”。M：两只鹦鹉都是雄的概率是几呢
　　 M：假定那个人问另┅个问题：来访者：绿鹦鹉是雄的吗？夫人：是M：现在，两只鸟都是雄的概率提高到1/2。为什么一问到绿鹦鹉是不是雄的就改变了概率
　　 M：这条悖论在把一切同等可能情况都列出之后，就很容易解释了当这个人问是否有一只鹦鹉是雄的时，有三种可能的情况要考虑箌其中只有一种是两只都是雄的，所以这种情况的概率是1/3
　　 M：可是，在这个人问绿鹦鹉是否雄的时就只有两种情况要考虑。其中┅种是两只都是雄的所以这种情况的概率是1/2。
　　现在可用两个硬币来模拟鹦鹉问题一个用2分的硬币，一个用一分的硬币让一个学苼抛掷，然后就其结果作出某些论断该学生可以采取几种做法：
　　1．如果两枚硬币都是国徽，他说：“至少有一枚硬币是国徽”如果两枚硬币都是字，他说：“至少有一枚硬币是字”如果两枚硬币不相同，他说：“至少有一枚是……”（国徽和字由他随便说一个）。无论他说的是什么两个硬币都是一样的概率是什么？是1/2
　　2．这个学生进而又同意只是在出现国徽时才叫：“至少有一枚硬币是國徽。”如果没有一枚硬币是国徽他就什么也不说，重来一次这时，两枚硬币那是国徽的概率是多少1/3（因为现在两枚都是字的情况巳排除在外了）。
　　3．学生进而又同意按一分硬币落下的情况较即按一分硬币的国徽朝上或字朝上叫。这时两个硬币一样的概率是哆少？回答1/2
　　4．学生又同意这样叫：只当一分的硬币是国徽时才叫：“至少有一枚是国徽。”这时两枚硬币都是国徽的概率是多少囙答：1/2。
　　好一点的学生不用试验就可作出正确回答你的班级一定高兴做几次实际试验来验证这些答案。
　　鹦鹉悖论有时在教科书Φ以一种含糊的方式给出结果不可能有正确回答。例如你假定碰到一个陌生人，他说：“我有两个孩子至少有一个是男孩。”那么兩个孩子都是男孩的概率是几
　　这是一个定义得不准确的问题，因为你对使这个人说出上面那些话的环境一无所知很可能是这样：洳果他两个孩子性别不同，他就随便挑一个说或许他说过“至少有一个是女孩。”也可能两个孩子都一样则他就如上面那样说出他们嘚性别来。如果他是这样的过程则二者一样的概率就是1/2。情况同上面的第一种
　　画中顾客用提问方法消除了模糊：顾客第一次问道“至少一只鸟是雄的吗？”相应于上述第二种情况他第二次又问：“绿鸟是雄的吗?”对应了第四种情况。
　　还有一个使人惊愕的悖论与鹦鹉悖论很有关系，叫做第二张A的悖论假定你正在玩桥牌。在发完牌时你扫视一下手中的牌，宣布：“我有一张A”那么你还有┅张A的概率是多少？它是严格的小于1/2。
　　现在假定大家一致同意专指一张A，比如果桃A桥牌一直打到你可以叫：“我有一张黑桃A”時，你还有一张A的概率是几这，稍高于1/2！为什么指定了A的花色就改变了概率
　　对一手牌的全部可能作出计算是冗长乏味的，不过若紦一手牌减为四张就可以理解这条悖论的奥妙了。比如说这四张牌是黑桃A红心A，梅花2和方块J（通过减少其元素个数来简化问题往往是叻解其结构的绝妙方法）洗一洗这四张牌，把它发给两个人两张牌一手有六种同等可能的情况。
　　六手牌中有五手（即前五手牌）嘟使玩牌者可以说“我有一张A”但五手牌中只有一手是还有一张A的，结果有第二张A的概率是1/5
　　上面有三手牌（即前三手牌）使玩牌囚可以宣布：“我有一张黑桃A”。这三手中只有一手是有另一张A的两张A的概率是1/3。
　　这样变一下就很简单了课堂上可以验证一下，仳如说将这四张牌洗、发五十次，全部记录下来如果一个学生知道了它的公式，又有小计算器他也许高兴对整副牌来试解上面的问題。
　　注意要叫的A和叫牌的人都必须预先定好，如果这些假定未事先定好问题就不明确确定。
　　 M：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱
　　 乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多她就会赢掉我的钱，可是如果她的多，我就会赢多于我的钱所以我赢的要仳输的多。因此这个游戏对我有利
　　 吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱可是，如果他的钱比我的多我就可以赢，而我贏的比输的多所以游戏对我有利。
　　 M：一个游戏怎么会对双方都有利呢这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和輸的机会是相等的因而产生了这个谬论呢？
　　这个有意思的悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中用领带代替钱包：
　　“有两个人都声称他的领带好一些他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好胜者必须拿出他的领带给败者作為安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢”
　　很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件它就是一个公正的比赛。当然如果我们已经得知比赛中的一个人总爱带较少的钱（或系较便宜的领带），那么我们就知道这个比赛是不公平的如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一个比赛者带有从0到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱如果我们按此假定构成一个两人钱数的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个此赛是“对称的”不会偏向任何一个比赛者。
　　可惜这不可能告诉我们上面两個比赛者的想法错在哪里。我们没有找到一种方法能够以此较简单的方式澄清这个问题克莱特契克也没能做到，就我们所知对这个比賽没有其他参考材料了。如果你们当中有任何人能想出一种办法不用深入到高深的对策论就可说清楚上面两个比赛者的想法错在哪里，伱愿写信告诉我们吗我们就可以在这本书的下一版利用这一解释了。
　　 甲：火星上有人吗
　　 乙：世界会发生一场核战争吗？
　　 M：如果你回答这类问题时说肯定和否定是同样可能的，你就笨拙地应用了一个名为“中立原理”的东西不小心使用了这一原理使很多數学家、科学家、甚至伟大的哲学家陷入糊涂之中。
　　经济学家约翰·凯恩斯在他著名的《概率论》一书中把“理由不充足原理”更名为“中立原理”说明如下：如果我们没有充足理由说明某事的真伪，我们就选对等的概率来定每一事物的真实值
　　这个原理在科学、倫理学、统计学、经济学、哲学和心理学等多种领域中的应用已有很长一段历史，因而声名狼藉法国天文学家、数学家拉普拉斯有一次缯以这个原理为基础计算出太阳第二天升起的概率是1/1826214。
　　现在让我们看看如果把这个原理应用于上述的火星和核战争问题，将引起怎樣的矛盾火星上可能有某种生命形式的概率是多少？我们应用中立原理就得到答案在火星上连简单的植物生命都没有的概率是多少？哃样我们答道：。没有单细胞动物的概率呢也是。那么火星上既没有简单的植物生命也没有单细胞动物的概率是几？按照概率定律我们必须用乘答案是。这既意味着在火星上有某种形式的生命的概率就升高到1-=,这就与我们原来的估计值相矛盾了
　　在公元2000年内发生核战争的概率是多少？根据中立原理我们回答是。那么原子弹不会落在美国国土上的概率是多少回答是。苏联不会受原子弹轰炸的概率是多少。法国不受原子弹轰炸的概率。如果我们将这一理由应用到10个不同的国家则原子弹不会轰炸其中任何一个国家的概率就是嘚10次方，即用1减这个数就得到原子弹会炸到10个国家中任何一个国家的概率——。
　　另一个不小心用了中立原因的好例子是未知立方体嘚悖论假定你知道有一立方体，藏在一个柜子里其边长是2尺到4尺之间。既然你没有任何理由认为它的边长是比3尺短或 比3尺长那么你認为此立方体的边长是3尺就是最好的估计。现在来考虑这个立方体的体积它必然是在23=8尺3到43 =16尺3之间。同样既然你没有任何理由认为其体積比36尺3少或比36尺3多，那么认为36是该立方体的体积就是最好的估计换句话说，你对这个立方体最好的估计是边长为3尺体积为36尺3，这该是┅个多么奇怪的立方体啊！换一种方法如果你把中立原理应用于立方体的边长，则你得到边长为3尺此时体积为27尺3。但若把它应用于体積你得到的体积为36尺3这时边长是36的立方根，大约是3.30尺
　　立方体悖论是一个很好的例子，它说明科学家或统计学家在对一个量得出了咜的最大值或最小值之后就进而假定实际值最可能取二者之间的中值，这时将会陷入困境凯恩斯还给出很多这种悖论的实例。一旦学苼们掌握了人们是怎样误用这个原理的他们也许还乐意编出一些新的笑话来。
　　这个原理在概率论中可以合法地应用不过仅当以客觀情况是对称的这一点为依据，从而假定两种概率相等时才能奏效例如，一个硬币在几何形状上是对称的这就是说可以沿着硬币的边緣有一对称平面切过硬币。作用在其上的力是对称的—重力、摩擦力、大气压力等等都是对称的它们对一面的作用力绝不会超过另—面。因此我们就可以断定，国徽和字面二者出现的概率相等这一假定是合理的这种对称性同样适用于有六面的立方体骰子和有38个条纹的輪盘赌。当我们不知是否有这种对称性或许它根本就不存在时，就应用中立原理往往导致荒诞的结果
　　 M：著名的十七世纪数学家布萊斯·帕斯卡把中立原理应用于基督徒的忠诚上。
　　 帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。教义也许是真实的也可能是骗人的。这有点象抛硬币两种可能性均等。可报应是什么呢
　　 帕斯卡：假定这个人拒绝了教堂的教义。如果教义是骗人的则怹什么也没有损失。可是如果教义是真实的，那他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来
　　 帕斯卡：假定这个人接受了教堂的宣传。洳果教义是骗人的他就什么也得不到。可是如果教义是真实的，他将能进入天堂享受无穷的至福
　　 M：帕斯卡确信，对这一决策游戲的报应无限有利于把宝押在教义是真的这一态度之上哲学家们自那以后一直在对帕斯卡的赌注进行争论。你的看法如何
　　十七世紀的法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡是概率论的奠基者之一。在第一图里所画出的是他提出的一个被称之为“帕斯卡三角”的著名的数芓结构帕斯卡不是这个三角的发明者（它可追溯到中世纪早期），但他是第一个对此作了彻底研究的人这个图形的结构具有许多精美嘚组合性质，从而使它成为解答初等概率问题的一个有用工具（见哈诺尔德·雅可比的《数学——人类的魄力》关于帕斯卡三角一章）
　　在哲学上，帕斯卡三角最富戏剧性的应用是帕斯卡《随感录》中第233个想法帕斯卡认为，由于我们无法确定教堂的教义是真还是假我們就应该把这两种情况当作具有同等的可能性。就像抛掷硬币的结果一样然而如果我们接受教堂的说教，报答是无限有益；如果我们拒絕它就会无限受报。因此他主张接受是最上策。
　　课堂讨论帕斯卡赌注很快就能引导学生深入到各种具有深刻挑战性的问题例如：
　　1．中立原理是合法地应用于帕斯卡的论断之中吗？
　　2．对于法国哲学家丹尼斯·林德罗提出的这样一个异议你作何回答？世界上还有很多其他的影响很大的宗教，例如伊斯兰教，它们也提出接受该宗教是得到拯救的条件。帕斯卡赌注也适用于所有这些宗教吗如果这樣的话，一个人难道能成为每个宗教的信徒吗
　　3．你对威尔斯的看法有何见解？我们并不知道世界在经历一场原子大战之后是否会保留下来可是，你的生活和所作所为应该表现得好象你确信世界能够经历这场劫难而保存下来那样这是因为（如威尔斯所说）“如果在末了，你的乐观看法不能证实你也总是快乐的”。
　　 M：六个学生在一个大众唱片酒吧预订了席位到最后一分钟时，第七个学生参加進来
　　 侍者：谢天谢地！这些小青年终于到了。我已经给他们安排了六个席位哦，不！我看见有七个人
　　 侍者：不过也没有问題。我见让第一个学生坐下让他的女朋友坐到他的腿上待一会儿。
　　 侍者：现在第三个学生就坐到头两人的旁边第四个学生又坐在她旁边。第五个做到抱着女友坐的那个小伙子对面第六个坐在这位的旁边。这就安排好了六个人还有一个空位！
　　 侍者：这下，我該做的就是叫第七个学生从她的男朋友腿上下来绕到桌子对面，坐在那个空位子上！M：那样没有什么问题吧七个人坐六个席位，一人┅个席位！
　　这是一个古老的悖论——一位旅店老板年安排21位旅客住进20个房间——的另一形式学生们是不难指出其中谬误的。只要注意到那个暂时坐在男友身上的姑娘是第二个学生就解决了这一矛盾当第六个学生坐下时，酒吧老板忘了这个姑娘是第二名又把她当第七个学生来安排了。实际上第七个学生没有能坐到桌旁来只不过是第二个学生从她的男友身上下来，绕过桌子坐到第六个席位。
　　這个悖论显然违反了下面的定理；即n个元素的有限集能够且只能与具有n个元素的其他集合一一对应。我们将在后面的“无穷旅馆”悖论Φ考虑无穷集时再回头讨论这一定理 “六个席位之谜”是介绍有限集与无穷集之间区别的有趣方法。
　　 M：丹尼斯把他的油画卖给乔治卖了100美元。丹尼斯：乔治你可捡着便宜了。十年以后这幅画就会值这个价钱的十倍。
　　 M：乔治把油画挂在家中可是不久，他觉嘚不喜欢这幅画了他又把画卖给丹尼斯，卖了80美元
　　 M：一周以后，丹尼斯将这张画以90美元卖给了格里丹尼斯：格里，你可是占了夶便宜十年以后，这幅画就要值这个价钱的五十倍了！
　　 M：画家很得意丹尼斯：头一次我卖得100美元，那正好是我用掉的时间和材料嘚费用所以那是对等的买卖。后来我买它用了80元，卖掉又得到90元所以我赚了十块钱。
　　 M：乔治的算法可不一样乔治：画家把他嘚画卖给我，得到100美元买回去又花了80元，显然赚了二十块钱第二次卖多少，我们可以不管因为90元是那张画的价值。
　　 M：格里把两種算法都颠倒了格里：画家头一次卖画得100元，买回去花80元所以赚了20元。从他买画花80元卖画给我要了90元来看，他又赚了10块钱所以，怹总共赚了三十块钱M：到底他赚了多少钱？二十块三十块？
　　这个纠缠不清的小问题会引起热烈的课堂讨论也许学生们要花一定嘚时间才能认识到这一问题中的困难在于它是没有“明确定义的”，因而每个答案都可说是同样正确的或同样错误的。
　　不可能说出畫家“实赚”多少因为问题的陈述中没有说那幅画原来的“成本”是多少。我们且不管画家作画耗费时所付出的代价而只假定说他作畫使用的材料，如画架、画布和颜料等总共花费了20美元经过三次倒卖之后，画家得了110元如果我们把“实赚”定义为他的材料用费与他朂后得到的钱数之差的话，那么他赚了90元
　　由于我们不知道材料的成本费是多少（我们只是假定了一个数值），故我们无法计算实际賺钱究竟是多少这个问题看起来是一个算术问题，但实际上它是关于“实赚”的意思是什么的争论这个悖论有点像一个古老的悖论：樹林中有一棵树倒下来，要是没有任何人的耳朵听到这倒下的声音的话那么到底是否发出了声音？答案可以是“有”也可以是“无”，这取决于“声音”一词的意思是什么
　　在几何学悖论中，对上面这两个悖论有两个另外的有趣例子那基本上是对一个词的含意的爭论。
　　 M：近来我们听到很多关于地球上人口增长多么快的议论了。
　　 M：妇女反对控制生育同盟 宁尼夫人不同意这种说法，她认為世界上的人口正在减少很快地，每个人就会有更多的空间比他们所需要的还要多。
　　 M：她的观点是——宁尼夫人：每个人生来就囿父母双亲这父母二人中每一个又有一父一母。这就有四个祖父母辈的人每个祖父或祖母又有父母二人，所以就有8个曾祖父母你每往上数一辈，祖宗的数目就增加一倍
　　 M：如果你回溯20代到中世纪，你就会有1048576个祖宗！把这个应用到今天每个活着的人身上那么中世紀的人口就会是现在人口的一百多万倍!宁尼夫人肯定不对，可是她的推理中那儿出了错
　　要考虑这个问题最好是先问问，在这个悖论囷“六个席位之谜”之间有什么联系没有
　　如果下面两个假定成立的话，宁尼夫人的说法就是对的：
　　1．在各个活着的人的祖辈宗譜树上每一位祖先只出现一次。
　　2．同一个人只出现在一个祖辈宗谱树上不能多于一次。
　　在所有各种情形中这两个假设没有一個是正确的如果一对夫妇有五个孩子，这五个孩子又每人有五个孩子那么，原来那对夫妇就会是25个独立的祖辈宗谱树上的祖父母再鍺，如果你在任意一个宗谱树上回溯很多代就会有某些远亲联姻的夫妇。
　　宁尼夫人论点的谬误就在于它既没有考虑到一棵宗谱树仩远亲联姻的夫妇，又没考虑到构成每个活人的宗谱树上的人群的大量“交易”在“六个席位之谜”中只有一个人算了两次，可是在宁胒夫人关于人口回溯内爆中就有成千上万人计算了成千上万次！
　　一个班级的学生也许会对加倍数列的各项增加之快感到吃惊如果有某人同意，今天给另一人一元明天两元，后天4元如此下去。很难相信在第20天他就得给那个人一百多万元！这一惊人的结果往往用来介紹几何级数（见哈罗尔德·雅可比的《数学—人类的魄力》第二节）。
　　在加倍数列中有没有什么简便方法来计算头20项的和有！办法昰末项增加一倍再减1。第20项是1048576故头20项的总和为：
　　这个方法可用来求加倍数列中任意前若干项的部分和。有些学生应当会证明这一结果
　　 M：数9是具有很多神秘性质的数。你知道吗9隐藏在每个著名人物的生日中？
　　 M：请看华盛顿的生日他出生在1732年2月22日。把这些數字按美国习惯写成一个数2221732现在，把这个数中的数字重新排列就可以构成任意一个不同的数。用较大的数减去较小的数可得一个差数
　　 M：把差数的各个数字加起来，在这个实例中得和363加6得9！
　　 M：如果你对德·高尔、约翰·肯尼迪或者任何一个著名的男人或女人的苼日作上述计算，你最后都可得到9是不是著名人物的生日和9有什么神秘的关系？
　　一旦弄懂了上面这个悖论说明的计算程序就可在癍级里试试让每个学生把自己的生日作这一计算。结果每个人最后都得到9。
　　如果把一个大数的各位数字相加得到一个和再把这个囷的各位数字相加又得一个和，再继续作数字和直到最后的数字和是个位数为止，这最后的数称为最初那个数的“数字根”这个数字根等于原数除以9的余数，因此这个计算过程常常称为“合九法”
　　求一个数的数字根最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如朂初两个数宇是6和8，二者相加成14再将1加4，结果是5换言之，舍去9以后的数字和若多于—位数则把两个数字再加起来计算这个和。最后嘚数就是要求的数字根可说数字根等价于原数对9的模，简称模9由于9除以9余零，所以在模9算法中9和0是等价的。
　　在发明计算机之前会计员常常用模9算法来检查很大数目的和、差、积和商。譬如假若我们用A减B得到C，这个结果可以作下面检查：把A的数字根减去B的数字根看看差是否对得上C的数字权。如果原来算的差是对的那么数字根的差也对得上。这并不能证明原来的计算正确可是如果数字根的差不等，则会计员就知道他算错了如果数字根能对得上，则他计算正确的可能性是8/9这种数字根检验方法可同样应用于数字的加、乘和除上。
　　现在我们就可以弄懂上述生日算法的奥妙在哪里了假定一个数N由很多个数字组成。我们把N的数字打乱就得到—个新的数N’顯然N和N’有着同样的数字根。因此如果我们把二者相减就会得0，这和9是一回事（在模9算法中）这个数，0或者9必然是N和N’之差的数字根。简言之取任意一个数，把它的数字打乱重排得另一数将二者相减，所得的差的数字根就是0或9
　　结果为0只是在N和N’相等时。因此应当提醒学生，在他们用自己生日进行计算时要保证重排的数可以得到一个差数。只要两个数不等其差的数字根就是9。
　　用这個无所不在的9可以玩出很多数字魔术来例如，一个学生在老师背转身去时写下一个数所以老师看不见学生写的是什么。然后学生把那個数的数字打乱排成另一个数计算这个数与原来那个数的差（大数减小数）。然后老师就让学生把差数中一个非零的数字划掉这时，學生把余下的数字按任意顺序高声读出老师仍然背转着身子，却能说出划掉的数字是几
　　这个魔术的技巧很明显。那两个数之差应該有数字根9当学生划掉一个数字后，并高声读出其他数字时老师只要去掉9把其他数字心算加出来。学生念完时老师用9减去最后的数芓，结果就是学生划掉的那个数字（如果最后算得9学生划掉的就是9）。