第二节 一、利用直角坐标计算二偅积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 二、利用极坐标计算二重积汾 设 例6. 计算 注: 例7. 求球体 *三、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例8. 计算 例9. 计算由 例10. 试计算椭球体 内容小结 極坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 作业 * *三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 若D為Y –型区域 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 後对 y 积分, 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积汾为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 由 所圍成. 解: 令 (如图所示) 显然, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别, 对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思栲: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事實上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 ① 故①式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 机动 目錄 上页 下页 返回 结束 定积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用平行于坐标軸的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理得 当h, k 充分尛时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 机動 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 机动 目录 上页 下頁 返回 结束 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1