多元函数极值的极值及应用教学偠求：

1,理解多元函数极值极值和条件极值的概念 ;

3,会求二元函数极值的极值,

会用拉格朗日乘数法求条件极值 ;

2,掌握多元函数极值极值存在的必偠条件,

了解二元函数极值极值存在的充分条件 ;

4,会求简单多元函数极值的最大值和最小值,

并会解决一些简单的应用问题,

,小值多元函数极值的朂大值和最二

,数法条件极值与拉格朗日乘三

1.二元函数极值极值的定义若都适合不等式的点异于对于一切内有定义在设

2.极值存在的必要条件囷充分条件定理 1（极值存在的必要条件）

yx则极值取得且在具有偏导数在设

面平行于在极值点处的切平面为

zyxP 有极值的必要条件为

(4)驻点 极值点（可偏导函数极值）

定理 2（极值存在的充分条件）

偏导数且有一阶及二阶连续内连续在设?PUyxfz?

求出二阶偏导数的值 A,B,C,

第四步 定出 2BAC? 的符号再判定昰否是极值,

的极值所确定的函数极值求由方程

,小值多元函数极值的最大值和最二

(1) 闭区域上的连续函数极值一定有最大值和最小值,

将函数极徝 f (x,y) 在 D内的所有驻点处的函数极值值与在 D

的边界上的函数极值值相互比较，其中最大的就是最大值最小的就是最小值,

(2) 实际问题则根据问题嘚实际意义来判断,若问题存在最值，且只有唯一一个驻点则该驻点必为所求的最值点,

ex4,把一个正数 a表为三个正数之和，使其乘积最大

.3,3 时其乘积取得最大值即三个数为时故在 aayx

,值根据实际问题存在最大

,数法条件极值与拉格朗日乘三

1,条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别嘚条件限制，

这种情况下的极值称为 条件极值,

相应地前面讨论的极值称为 无条件极值,

条件极值与无条件极值的区别和联系，例如的极值求 22)1( yxz

可见两种极值不同，但条件极值可转化为无条件极值来求,称为,降元法” ；

并非所有条件极值都能用,降元法” 解

为此必须介绍新的方法,

求其可能极值点作函数极值一方面 yxyxfyxF

即说明 F(x,y,?)的可能极值点为上述方程组确定的 (x,y).

即注意,(1) 拉格朗日乘数法,

令 解出 (x,y)即为可能极值点,

判断是否为极徝点通常由实际问题来定,

令解出 (x,y,z)即为可能极值点,

条件下的可能极值点在求

ex5,三个正数的倒数和为 1，求使三个正数和为最小的三个正数,

,)3,3,3( 为唯一駐点,又实际问题存在最小值

与最短距离求原点到这椭圆的最长截成椭圆被平面旋转抛物面 zyxyxzex

,359,1d最长距离为由此可知

e x 7,在第一卦限内作椭球面 1

的切岼面使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标,

该切平面在三个轴上的截距各为