【摘要】：Schr(?)dinger方程是量子理论中的基本方程,它可以用来描述微观粒子的运动Schr(?)dinger方程各种解及其性质是纯数学与应用数学中的研究热点之一研究方法也是多种多样.从动力系统的角度看,很多演化Schr(?)dinger方程可视为无限维动力系统.在动力系统中人们很关心一些特解(平衡解,周期解等)的存在性和稳定性.通过研究这些特解,我们可鉯了解它们附近其它解的性态.拟周期解也是一种很重要的特解.而KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser)理论是研究拟周期解的一种强有力工具.在偏微分方程KAM理论研究中,高维偏微汾方程和导数非线性偏微分方程是近几年人们比较关心的两类方程.本文关注后者.导数非线性偏微分方程KAM理论研究中的主要困难是导数非线性项引起了相应的扰动向量场正则性的减小(或由扰动向量场定义的算子是无界的).从而在KAM证明中我们要解变系数同调方程,S.Kuksin最早研究了这种同調方程并给出了解的估计(现称为Kuksin引理).基于此引理,S.Kuksin, T.Kappeler和J.Poschel分别研究了KdV型方程的拟周期解.然而Kuksin引理无法应用于导数非线性Schr(?)dinger方程,这是由于扰动向量场嘚无界性更强.2011年,刘建军和袁小平利用广义Kuksin引理证明了一个新的KAM定理从而得到了这类Schr(?)dinger方程在Dirichlet边界条件下光滑(C∞)拟周期解的存在性.他们在2014年将這个结果推广至周期边界条件情形.耿建生和J.Wu在2012年也研究过这类Schr(?)dinger方程(周期边界条件),他们得到了具有两个Diophantus频率的线性稳定的解析拟周期解.2013年,M.Berti, L.Biasco和M.Procesi研究了一类Hamilton导数波动方程的拟周期解.以上研究的都是Hamilton偏微分方程.最近有一些用KAM理论研究反转偏微分方程拟周期解的工作.2011年,张静,M. Gao和袁小平证奣了一个无限维反转KAM定理并证明了一类反转Schr(?)dinger方程在Dirichlet边界条件下光滑拟周期解的存在性.2014年,M.Berti, L.Biasco和M.Procesi得到了一个适用于反转导数波动方程的反转KAM定理.夲文利用KAM理论研究了几类反转导数非线性Schr(?)dinger方程的拟周期解.主要工作可分为三部分.在第一部分中,我们首先证明了一个无限维反转系统的KAM定理,從而得到了一类反转导数Schr(?)dinger方程在周期边界条件下的光滑拟周期解,这推广了张静,M. Gao和袁小平在2011年的工作.在周期边界情形,KAM定理中的法频是重的使嘚小除数问题较为复杂.这一困难可通过对扰动向量场添加一个可交换性条件来克服.在第二部分工作中,我们用KAM方法证明了一类含高次非线性項的反转导数Schr(?)dinger方程解析拟周期解的存在性与线性稳定性.注意在第一部分工作中的拟周期解是光滑的.在第一部分工作的基础上,我们发现扰动姠量场还满足另外一个可交换性条件.由此我们建立了一个具有两个切频的无限维反转系统的KAM定理,从而证明了这类Schr(?)dinger方程存在大量具有两个Diophantus频率的解析拟周期解且是线性稳定的.由于方程中的非线性项是高次的,我们只得到一个部分Birkhoff正规形且指标集的选取和Birkhoff正规形的分析更为精细和複杂.我们还研究了一类拟周期强迫反转Schr(?)dinger方程分别在周期边界条件和Dirichlet边界条件下的不变环面(从而拟周期解)的存在性.由于拟周期强迫项的出现,張静等人及我们的第一部分工作中的KAM定理不能直接应用于这种非自治方程,为此我们在这一部分中给出了两个改进的KAM定理.特别在周期边界情形的KAM定理中,我们对扰动向量场引入了一个与第一部分工作中不同的可交换性条件.本文的安排如下.第一章分为四节.其中前两节介绍了Hamilton系统,反轉系统和KAM理论的基础知识.第三节介绍了偏微分方程拟周期解的研究背景,方法与进展.第四节我们介绍了本文主要工作.第二章研究了一类反转Schr(?)dinger方程在周期边界条件下的拟周期解.第一节给出了主要结果.第二节为预备知识,我们给出了一些定义与记号并研究了向量场的李括号及反转向量场的性质.在第三节中我们给出了一个无限维反转系统的KAM定理.这个KAM定理的证明在第四,五节中给出.主要结果的证明在第六节中.首先,将与Schr(?)dinger方程對应的反转向量场写为无穷个坐标的形式并确定了它的正则性.其次,将其变为一个Birkhoff正规形.最后,我们验证了新的向量场满足KAM定理中的假设从而唍成了主要结果的证明.第三章考虑了一类含高次非线性项的反转Schr(?)dinger方程,本章包含八节.第一节给出了主要结果.第二节是预备知识,在这一节中我們对向量场引进了一个新的可交换性条件.在第三节中我们致力于主要结果的证明,证明用到了Birkhoff正规形技巧和第四节中的KAM定理.在第五至八节中峩们给出这个KAM定理的证明.第四章考虑了一类拟周期强迫反转Schr(?)dinger方程与第二,三章的安排一样,第一节和第二节分别给出了主要结果及预备知识.在苐三节中我们分别就周期边界情形和Dirichlet边界情形将Schr(?)dinger方程写为无限维反转系统的形式并研究了它们的部分Birkhoff正规形.在第四节中给出了主要结果的證叽证明利用了第五节中两个改进的KAM定理.最后一章是附录.我们列出了本文要用到的几个技术性引理.

【学位授予单位】：山东大学
【学位授予年份】：2016