一、解齐次线性方程组基础解系解的结构

则方程组(1)可写为向量方程

称方程(2)的解为方程组(1)的解向量.

1．解齐次线性方程组基础解系解的性质:

注: 解齐次线性方程组基础解系若有非零解, 则它就有无穷多个解.

    由上节知：线性方程组的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的因此构成一个向量空间. 称此向量涳间为解齐次线性方程组基础解系的解空间.

定义1  解齐次线性方程组基础解系的有限个解满足:

(2) 的任意一个解均可由线性表示.

则称是解齐次线性方程组基础解系的一个基础解系.

    注：方程组的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯┅的.

按上述定义若是解齐次线性方程组基础解系的一个基础解系. 则的通解可表示为

当一个解齐次线性方程组基础解系只有零解时, 该方程組没有基础解系; 而当一个解齐次线性方程组基础解系有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理1回答叻这两个问题.

定理1  对解齐次线性方程组基础解系，若,则该方程组的基础解系一定存在且每个基础解系中所含解向量的个数均等于, 其中是方程组所含未知量的个数.

注：定理1的证明过程实际上已给出了求解齐次线性方程组基础解系的基础解系的方法. 且

其中为任意实数. 称表达式（4）线性方程组的通解.

则n元解齐次线性方程组基础解系的全体解构成的集合V是一个向量空间, 称其为该方程组的解空间, 当系数矩阵的秩时, 解涳间V的维数为. 当时, 方程组只有零解, 此时解空间V只含有一个零向量,

当时, 方程组必含有个向量的基础解系, 此时方程组的任一解可表示为

其中为任意实数.而解空间V可表示为

二、非解齐次线性方程组基础解系解的结构

则是对应的解齐次线性方程组基础解系的解.

性质4  设是非解齐次线性方程组基础解系的解, 为对应的解齐次线性方程组基础解系的解，则非解齐次线性方程组基础解系的解.

定理2  设是非解齐次线性方程组基础解系的一个解, 是对应解齐次线性方程组基础解系的通解, 则是非解齐次线性方程组基础解系的通解.

注：设有非解齐次线性方程组基础解系而昰系数矩阵的列向量组，则下列四个命题等价：