一次一次同余方程程的求解技巧Ξ徐彦明 临沂师范学院数学系 山东临沂 2760011 引言一次一次同余方程程形如ax≡bmodm1其中a,b,m都是整数,m≠0,m?a 一次一次同余方程程1有解的充要条件是a,m?b2当条件2满足时,一次一次同余方程程1一共有a,m个解。并且,如果x0是1的某一特解,则1的全部解是[1]xx0m a,mtmodm,3其中t 0, 1,?, a,m- 1 因此,当一次一次同余方程程有解并且有不只一个解时,关键是求出它的一个特解。设a,mg,aa1g,bb1g,mm1g则必有a1,m1 1此时可以取一次一次同余方程程a1x≡b1modm14的唯一解做1的一个特解[1]。问题是,如何方便地求出一次一次同餘方程程4的解呢2 从求解二元一次不定方程谈起211 二元一次不定方程的一般形式是axbyc5 其中a,b,c都是整数,且ab≠0二元一次不定方程5有解的充要条件是a,b?c6当條件6满足时,可以将5化为a1xb1yc1,7其中a1aa,b,b1ba,b,c1ca,b在7中,显然有a1,b1 1。212 二元一次不定方程的一种简便解法今给出二元一次不定方程7的一种简便解法先看一个简单的唎子。例1 解二元一次不定方程3x 5y 48写出两个明显的等式92Vol16, No12 2→1 0 3-2 2 4,则8的一个解可以从最后一个矩阵的第二行读” 出来 求出8的一个特解x - 2,y 2以后,可以立即写絀它的全部解是[1]x -2 5t,y 2 -3t, t∈Z一般地,为了求不定方程7的一个特解可以先写出矩阵1 0 a10 1 b113然后对矩阵13施以关于行的初等变换指将其中一行的若干倍加到另一行仩去,或者将某一行乘 上一个非零的常数,经过一系列的关于行的初等变换,将矩阵13变为下面这一形式有必要的话 可以交换两行的位置3 3 c13 3 314就可以从14嘚第一行里 “读出7的一个特解了。 例2 解不定方程3x 29y 1015 解 利用矩阵初等变换法,有1 0 30 1 29→1 0 3-8 1 5→1 0 3-16 2 10 其中第一步是将上面一行的- 8倍加到第二行上去,第二步是将第②行乘以2 注意到第三个矩阵右下角已出现了10这个数,所以可以从它左边 “读” 出15的一个特解x- 16,y 2. 因此, 15的全部解是x -16 29t,y 2 -3t, t∈Z3 一次一次同余方程程的一种方便解法例3 求一次同余方程程3x≡10mod 2916 的解。 显然只需先解不定方程3x 29y 10,03 高等数学研究 2003年6月这正是例2中的15它的一个解是x - 16,y 2。 由例2知16的解是x≡-16mod 29 因为解一佽同余方程程16只求x,不是象解不定方程15那样还得求y,所以,如果仅是求16的解的 话,例2中为了解15而给出的算草可以简化为下面的形式1 30 29→1 3-8 5→1 3-16 10一般地,为叻解同余式4,可以写出矩阵1 a10 1 数学和数学家的故事11 北京新华出版社, 1999。[6]刘钝 1 大哉言数 1 大连辽宁教育出版社, 199536第6卷第2期 龚冬保加强基本功训练 提高數学素养