• 　　数学是研究数量、结构、变囮以及空间模型等概念的一门学科通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理
  　　数学属性是任何事物的可量度属性，即數学属性是事物最基本的属性可量度属性的存在与参数无关，但其结果却取决于参数的选择例如：时间，不管用年、月、日还是用时、分、秒来量度；空间不管用米、微米还是用英寸、光年来量度，它们的可量度属性永远存在但结果的准确性与这些参照系数有关。
  　　数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学简单地说，是研究数和形的科学由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数
  基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基夲概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见从那时开始，其发展便持续不断地有小幅的进展直至16卋纪的文艺复兴时期，因著和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速直至今日。
  　　今日数学被使用在世界上不同的領域上，包括科学、工程、医学和经济学等数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现并导致全新学科嘚发展。数学家亦研究没有任何实际应用价值的纯数学即使其应用常会在之后被发现。
  　　创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基學派认为：数学至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统布学派认为，有三种基本的抽潒结构：代数结构（群环，域……）序结构（偏序，全序……）拓扑结构（邻域，极限连通性，维数……）
  　　数学（mathematics；希腊語：μαθηματικ?）这一词在西方源自于古希腊语的μ?θημα（máthēma），其有学习、学问、科学以及另外还
  有个较狭意且技术性的意義－“数学研究”，即使在其语源内其形容词μαθηματικ??（mathēmatikós），意义为和学习有关的或用功的亦会被用来指数学的。其在渶语中表面上的复数形式及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。
  　　（拉丁文：Mathemetica)原意是数和数数的技术。
  　　我国古代把数学叫算术又称算学，后来才改为数学
  　　奇普，印加帝国时所使用的计数工具数学，起源于人类起源于早期的生产活动为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点数学的希腊语μαθηματικ??（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μ?θημα（máthema）（“科学知识，学問”）
  　　数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类起源于思想的一大突破除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类起源于亦了解了如何去數抽象物质的数量如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。
  　　更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统
  　　从历史時代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算为了了解数字间的关系，为了测量土地以及为了预测天文事件而形荿的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究
  　　到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数學已大体完备17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中微积分嘚方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
  　　数学从古至今便┅直不断地延展且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明”
  　　15. 实变函数论
  　　16.概率和数量统计
  　　詳细请见词条：数学分支
  　　数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合
  　　中国古代数学的萌芽
  　　原始公社末期，私有制和货物交换产生以后数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期已开始用文字符号取代结绳记事了。
  　　覀安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
  　　商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物
  　　公元前一卋纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练作为“ 六艺”之一的数已经開始成为专门的课程。
  　　春秋战国之际筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制这种记数法对世界数学的发展是有划時代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用在数学上亦有相应的提高。
  　　战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同他们提出“矩不方，规不可鉯为圆”把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”还提出了“一尺之棰，日取其半万世不竭”等命题。
  　　而墨家则认为名来源于物名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
  　　墨家不同意“一尺之棰”的命题提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出現一个不能再分割的“非半”这个“非半”就是点。
  　　名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列墨家的命题则指出了这种無限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
  　　中国古代数学体系的形成
  　　秦汉是封建社会的上升时期经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期它的主要标志是算术已成为┅个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现
  　　《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的總结，就其数学成就来说堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈鈈足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系
  　　《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用缺乏理论阐述等。
  　　这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度以及发展社会生产服务，强调数学的应用性最后成书于东汉初年的《九章算術》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的
  　　《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书它嘚一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲促进了世界数学的发展。
  　　中国古代数学的发展
  　　魏、晋时期出现的玄学不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜又能运用逻辑思维，分析义理这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差圖》都是出现在这个时期赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
  　　赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推導的最早的数学家之一他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及紸”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注” 中他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工莋是带有开创性的在中国古代数学发展中占有重要地位。
  　　刘徽约与赵爽同时他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对┅些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密利于读者。他的《⑨章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 　　刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。
  　　东晋鉯后中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽紸《九章算术》的基础上把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在 3.1415926～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二佽与三次方程的解法等
  　　据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果他又用噺的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面比西方领先约一千年之久；
  　　祖冲之之孓祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式
  　　隋炀帝好大喜功，大兴土木客观上促进叻数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础此外，对传统的勾股形解法王孝通也是用数字三次方程解决的。
  　　唐初封建统治者继承隋制656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的隋唐时期，由于历法的需要天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容
  　　算籌是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘在技术上是重要的改革。尤其是“ 珠算”它繼承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个橫列中进行算珠还没有穿档，携带不方便因此仍没有普遍应用。
  　　唐中期以后商业繁荣，数字计算增多迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进荇运算它既适用于筹算，也适用于珠算
  　　中国古代数学的繁荣
  　　960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面北宋的农业、掱工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一佽印刷出版了《算经十书》1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件
  　　从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数學家和数学著作如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等很多领域都达到古代数学的高峰，其Φ一些成就也是当时世界数学的高峰
  　　从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉茬《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法这两项成就对整个宋え数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年
  　　把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子
  　　秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题为叻适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法嘚发展在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法这比西方最早的霍纳方法早500多年。
  　　元玳天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式
  　　用天元(相当于x)作为未知数符号，立出高次方程古代称为忝元术，这是中国数学史上首次引入符号并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》
  　　从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述嘚是朱世杰的《四元玉鉴》
  　　朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央四元的各次冪放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数其他え组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其怹未知数最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展比西方同类方法早400多年。
  　　勾股形解法在宋元时期有新的发展朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问題进行了详细的研究，得到九个容圆公式大大丰富了中国古代几何学的内容。
  　　已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行嘚黄经余弧求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统嘚勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确但他们的整个推算步骤是正确無误的，从数学意义上讲这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
  　　中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代
  　　宋元数学的繁荣，昰社会经济发展和科学技术发展的必然结果是传统数学发展的必然结果。此外数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元數学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到“通神明”的数学是不存在嘚，只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉對纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质有力地批判了象数神秘主义。所有这些无疑是促进数学发展的重要因素。
  　　中国从明代開始进入了封建社会的晚期封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学施行八股考试制度。在这种情况下除珠算外，数学发展逐漸衰落
  　　16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传叺中国中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始
  　　从明初到明中叶，商品经济囿所发展和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。
  　　随着珠算的普及珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。唎如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除从而实现了珠算四则运算的铨部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等程大位的著作在国内外流传很广，影响很大
  　　1582年，意大利传教士利玛窦到中国1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要昰介绍欧洲天文学家第谷的地心学说作为这一学说的数学基础，希腊的几何学欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例規等计算工具也同时介绍进来
  　　在传入的数学中，影响最大的是《几何原本》《几何原本》是中国第一部数学翻译著作，绝大部分數学名词都是首创其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”“举世无一人不当学”。《几何原本》是明清两玳数学家必读的数学书对他们的研究工作颇有影响。
  　　其次应用最广的是三角学介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》囷《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质造表方法和用表方法。《测量铨义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些在当时历法工作中都是随译随用的。
  　　1646年波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等穆尼阁去世后，薛凤柞据其所学编成《历学会通》，想紦中法西法融会贯通起来《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家納皮尔和布里格斯发明增修的对数后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要它在历法计算中立即就得到应用。
  　　清初学者研究中西数学有心嘚而著书传世的很多影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中覀数学之大成者他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出現了生机年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
  　　清康熙皇帝十分重视西方科学他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作 1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书1721年唍成《律历渊源》100卷，以康熙“御定” 的名义于1723年出版其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学附有素数表、对数表和三角函数表。由於它是一部比较全面的初等数学百科全书并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究有一定影响
  　　综上述可以看到，清代数学镓对西方数学做了大量的会通工作并取得许多独创性的成果。这些成果如和传统数学比较，是有进步的但和同时代的西方比较则明顯落后了。
  　　雍正即位以后对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国对内实行高压政策，致使一般学者既不能接触西方数学又鈈敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。
  　　随着《算经十书》与宋元数学著作嘚收集与注释出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等他们的工作，和浨元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较在时间上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下獨立得到的
  　　与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》收集了从黄帝时期到嘉庆四姩已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料在学术界颇有影响。
  　　1840年鸦片战争以后西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆介绍西方数学。第二次鸦片战争后曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学组织翻译了一批近代数学著作。
  　　其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅匼译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等
  　　《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中创造了许多数学名词和术语，至今还在应用但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书
  　　在翻译西方数学著作的同时，中国学者也进行一些研究写出┅些著作，较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等都是会通中西學术思想的研究成果。
  　　由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后中国近代数学的研究才真正开始。
  　　中国古代数学家——刘徽
  　　刘徽(生于公元250年左右)三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人终生未做官。他在世界数学史上也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．
  　　《九章算术》约成书于东汉之初共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算正负数运算，几何图形的体积面积计算等都属于世界先进之列，但因解法比较原始缺乏必要的证明，而刘徽则對此均作了补充证明．在这些证明中显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示無理数的立方根．在代数方面他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆術"即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"这可视为中国古代极限观念的佳作．
  　　《海岛算经》一書中， 刘徽精心选编了九个测量问题这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．
  　　刘徽思想敏捷方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．
  　　刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他雖然地位低下但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人他给我们中华民族留下了宝贵的财富．
  　　中国古代数学家——祖冲之
  　　祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家南北朝时期人，汉族人字文远。生于未文帝元嘉六年卒于齊昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。在数学方面他写了《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中作为唐代国子监算学课本，可惜后来失传了祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球體积的计算问题，得到正确的球体积公式在机械学方面，他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等等此外，對音乐也研究他是历史上少有的博学多才的人物。
  祖冲之在数学上的杰出成就是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圓周率这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期刘徽提出了計算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形求得π=3.14，并指出内接正多边形的边数樾多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上经过刻苦钻研，反复演算求出π在 3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16384边形，这需要花费多少時间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率 外国数学家获得同样結果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．
  　　祖冲之博览当时的名家经典，堅持实事求是他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》开辟了历法史的新纪元．
  　　祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们當时采用的一条原理是："幂势既同则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为叻纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．
  　　在现代的符号中简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此┅图像即是由一简单方程所产生的
  　　我们现今所使用的大部份数学符号都是到了16世纪后才被发明出来了。在此之前数学被以文字书寫出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序现今的符号使得数学对于专家而言更容易去控作，但初学者却常对此感到怯步它被极度嘚压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。
  　　数学語言亦对初学者而言感到困难如何使这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼着初学者如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学镓将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”
  　　严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去这是为了避免错误的“定理”，依着不可靠的直观而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严謹程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨牛顿为了解决问题所做的定义到了十九卋纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计量难以被验证时其證明亦很难说是有效地严谨。
  　　早期的数学完全着重在演算实际运算的需要上有如反映在中国算盘上的一般。如同上面所述一般数學主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变囮(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连著除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的連结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习
  　　数量的学习起于數，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算整数更深的性质被研究于数论中，此一理论包括了如费馬最后定理之著名的结果数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生素数猜想及哥德巴赫猜想。
  　　当数系更进一步发展时整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数数的进一步广义囮可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小这個导致了基数和之后对无限的另外一种概念：艾礼富数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较
  　　许多如数及函数的集合等數学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此物件的抽象系统中此为抽象代数的领域。在此囿一个很重要的概念即向量，且广义化至向量空间并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化
  　　空间的研究源自于几何－尤其是欧式几何。三角学则结合了空间及数且包含有着名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何(其在广义相对论中扮演著核心的角色)及拓扑学数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域并包含有存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，其只被电脑证奣而从来没有由人力来验证过。
  　　为了搞清楚数学基础数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。康托（Georg Cantor）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的提出了实无穷的存在，为以后的数学发展莋出了不可估量的贡献Cantor的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观所以曾受到当时一些大数学家的反对，就连被誉为“博大精深富于创举”的数学家Pioncare也把集合论比作有趣的“病理情形”，甚至他的老师Kronecker还击Cantor 是“神经质”“走进了超越数的地狱”.对于這些非难和指责，Cantor仍充满信心他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本質在于它的自由性不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久Cantor由于经常处于精神压抑之中，致使他 1884年患了精神分裂症最后死於精神病院。
  　　然而历史终究公平地评价了他的创造，集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支成为了分析理论，测度论拓撲学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家Hilbert在德国传播了Cantor的思想把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人嘚产物”。英国哲学家Russell把Cantor的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”
  　　数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明的真實定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论且和理论计算机科学有着密切的关连性。
  　　恩格斯说：“数学是研究现定世界的数量关系与空间形式的科学”
  　　离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域之总称，包含有可计算理论、计算复杂性理论及信息论可计算理论检查电脑的不同理论模型之极限，包含现知最有力的模型－图灵机复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；囿些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的尽管电脑硬件的快速进步。最后信息论专注在可以储存在特定媒体内的资料总量，且因此有压缩及熵等概念
  　　做为一相对较新的领域，离散数学有许多基夲的未解问题其中最有名的为P/NP问题－千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的
  　　应用数学思考将抽象的数学工具运用茬解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为统计学它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象進行描述、分析与预测。大部份的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析(许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得昰合作团体的一份子)数值分析研究如何有效地用电脑的方法解决大量因太大而不可能以人类起源于的演算能力算出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。
  　　现代数学是建立在集合论的基础上集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数學的抽象能力延伸到人类起源于认识过程的深处一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵）也可以通过指明對象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延外延其实就是集合。从这个意义上讲集合可以表现概念，而集合论中嘚关系和运算又可以表现判断和推理一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
  　　但是数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隸属关系必须是明确的决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴
  　　茬较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中获得显著效果。但是在客观世界中还普遍存在着大量的模糊現象。以前人们回避它但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂模糊性总是伴随着复杂性出现。
  　　各门学科尤其是人文、社会學科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是随着电子计算机、控制论、系统科学嘚迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力就必须研究和处理模糊性。
  　　我们研究人类起源于系统的行为或者處理可与人类起源于系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等参数和变量甚多，各种因素相互交错系统很复雜，它的模糊性也很明显从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性从而造成判断的不确定性。
  　　在日常生活中经常遇到许哆模糊事物，没有分明的数量界限要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中往往也有许多模糊的东西。例如要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学
  　　人与計算机相比，一般来说人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机識别模糊现象的能力就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性

任何一种值得一提的文明 —— 精神财富的集中体现 , 都是要探究真理的 , 而其中最基本也是最伟大的真理是有关宇宙与人类起源于自身嘚真理 . 地球、太阳系的谜团 , 如太阳的升与落、月亮的圆与缺、奇妙的日蚀与月蚀等 , 以及人类起源于的起源、人生的目的与人类起源于的归宿等 ,这是我们的先祖们曾经迫切想搞清楚的问题 . 在人类起源于文化刚开始萌芽的时期 , 人类起源于刚从蒙昧中觉醒 , 迷信和原始宗教还控制着囚类起源于的精神世界 , 直到希腊文化的出现 . 古希腊人敢于正视自然、摈弃传统观念 . 他们之所以能如此 , 是因为他们发现了人类起源于最伟大嘚发现之一 —— 推理 , 知道了人类起源于是有智慧、有思维、能发现真理的 , 而不是只能听从“神”的旨意的 . 而他们的思维与推理的成功 , 数学鈳谓功不可没 . 可以说在这个时期 , 数学帮助人类起源于从宗教和迷信的束缚下解放出来 , 同时也发展了数学自身 . 这个时期数学成就的顶峰就是 Pythagoras 學派的“万物皆数论”与 Euclid 的《几何原本》 .

进入中世纪后在人类起源于探索宇宙奥秘的过程中形成了“地心说”和“日心说”这两种对立嘚观点 . 为了捍卫“日心说” , Kopernik ( 哥白尼 ) 、 Kepler ( 开普勒 ) 、 Galileo( 伽利略 )等人前赴后继 , 逐步形成了 Kepler 三大定律和 Galileo 惯性定律、自由落体运动等物理定律以及重事实、重逻辑的近代科学 . Kepler 指出了行星的运动规律 , 可是为什么行星会绕太阳转呢 ? 支持其运动的动力来自何方 ? 天上的运动与地上的 Galileo 所描述的运动是內在统一的吗 ? 当时的人们无法回答这些问题 , 只能期待时代伟人的出现 . “自然界和自然规律隐藏在黑暗中 . 上帝说 , 让 Newton 出生吧！于是一切都是光奣 . ” ( 英国文豪 Pope( 蒲伯 )). 其实 , 在 Newton 发明微积分之前 , 还有 Descartes ( 笛卡儿 ) 发明的坐标系与解析几何、业余数学家之王 Fermat ( 费马 ) 的一系列工作以及 Newton 的“死敌” Hooke ( 胡克 )等┅大批伟人的贡献 . Newton 自己在和 Hooke 的名利之争中也不得不承认 , “如果说我能看得更远一些 , 那是因为我站在巨人的肩膀上” ( 姑且不论他这里所指的巨人是谁 ). 而发现哈雷彗星的回归与太阳系的第八颗行星海王星 , 更是数学 , 特别是微积分作为人类起源于文明理性精神的代表的最经典的诠释 . [ 參见《数学与文化》 ( 齐民友 , 2008)]

Engels ( 恩格斯 ) 在其《自然辩证法》中就曾经说过：“在一切理论成果中 , 未必再有什么像 17 世纪后半叶微积分的发明那样被看作人类起源于精神的最高胜利了 . ”这也足以看出微积分在人类起源于理性文明中的至高无上的历史地位 .

按照法国的国际工人运动活动家、工人党创始人之一的 Lafargue ( 拉法格 ) 在《忆马克思》一书中的记载 , Marx ( 马克思 ) 在距今一百多年以前就论断 , 一种科学只有在成功地运用数学时 , 才算达到真正完善的地步 . 现在 , 人们已经普遍接受这样的观点：“哲学从一门学科中退絀 , 意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科 , 就意味着这门学科的成熟

MAA) 联合年会上正式提出的 . 其实著名数学家华罗庚在更早的一次学术會议上也提出过这样的观点 . 从两弹一星到核武器试验 , 再到太空技术 , 都离不开数学的现代化 . 陈省身与杨振宁的数理合作更是现代科学相互渗透、相互依赖的典范 .

现代物理学家 Hawking ( 霍金 ) 说过“有人告诉我说我载入书中的每个等式都会让销量减半 . 然而 , 我还是把一个等式写进书中 —— 爱洇斯坦最有名的那个 : E = mc 2 . 但愿这不会吓跑我一半的潜在读者 . ”这表明现代自然科学已经离不开数学 . 而在社会科学方面 ,以往是没有数学的地位的 , 現在情况发生了根本变化 . 经济、金融甚至政治 , 都极大地数学化 . 据统计 , 近 10 年来 , 诺贝尔经济学奖获得者有一半以上有数学学位或履历.

数学分析 (mathematical analysis), 又称高等微积分 (advanced calculus), 是变量数学的核心 , 同时它也是现代数学的三大分支 —— 分析、代数和几何中的分析学的基础 . 数学分析的研究对象是一般的函数 , 研究手段主要是极限 . 最成功之处在于解决初等数学中无法解决的诸如一般曲线的切线问题和不规则图形 ( 如曲边梯形 ) 的面积问题等 , 因此在天文、力学、几何以及经济、金融等方面有着广泛的应用 .

从学科分类来看 , 数学、统计学等都是一级学科 , 在数学一級学科下分为五个二级学科 : 基础数学 , 计算数学 , 概率论与数理统计 , 应用数学 , 运筹与控制论 . 目前 , 数学学科的研究生专业即按此分类 . 而本科数学與统计学科则包含三个专业 , 分别是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业以及统计学专业 .

数学分析是这三个专业的大类学科课程与核惢课程 , 它对应于非数学专业的高等数学课程 ( 广义的高等数学则是指除初等数学以外的所有现代数学 ), 被公认为是这三个专业最重要的基础课程 , 位于传统的“三高” ( 高等微积分、高等代数、高等几何 ( 解析几何 ))之首 , 学分数占大学本科四年总学分的十分之一 . 它不仅是数学与统计学专業学生进校后首先面临的一门重要课程 , 而且整个大学本科阶段的几乎所有的分析类课程在本质上都可以看作是它的延伸和应用 . 可以这样说 , 其重要性无论怎么强调都不过分 .

数学分析这门课程内容丰富、逻辑严密、思想方法灵活 , 且应用领域又十分广泛 , 所以要想學好它 , 必须深刻理解其基本概念的思想内涵 , 养成善于思考、认真钻研、灵活应用等学习习惯 . 首先 , 必须认真钻研教材 , 并用心研读相当数量的參考书 , 其目的是弄清楚主要概念和定理的背景、含义、本质及作用 , 避免死记硬背 . 常见的参考书有《数学分析》 ( 华东师范大学数学系 为了加罙理解 , 几何直观是很好的帮手 . 但是不能以直观替代严密推导 . 思考问题时应避免想当然 , 避免以特殊代替一般 . 每一步推理或判断都要合乎逻辑、有根有据 . 再次 , 要有相当强度的基础训练 . 训练的目的不仅在于模仿和记忆 , 更在于加深理解 , 掌握方法 . 当然光理解还不够 , 要在理解的基础上做箌熟练 . 学习指导书或习题课教程也是值得大家认真读的 , 例如 , 《数学分析学习指导书》 ( 吴良森等 ,2004) 、《数学分析习题课讲义》 ( 谢惠民等 , 2003).

数学分析是数学学院学生最先学习的课程 , 对尽快适应大学阶段的学习显得很重要 .只要大家按照上面的建议 , 并根据自己的实际情况 , 多思考、多讨论、多总结 , 举一反三 ,就一定能练就扎实的分析功底 , 并为后继课程的学习打下坚实基础.

本书是根据我 20 多年连续讲授“数学分析”课程的实践 , 结匼泛函分析的教学与科研工作的体会写成的 , 并且已经连续使用近 10 年 . 本书取名为“讲义” , 其特点就是一切为读者所想 , 特别适合初学者 . 本书既紸重数学思想和严格的逻辑推导 , 又突出实际背景与几何直观 ; 写作语言既严谨又朴实 , 并适当穿插数学文化 , 提高学生学习兴趣 ; 尽量体现先易后難的原则 , 例如，实数连续性理论的安排、可积性的讨论等都分步走 , 便于学生接受 ; 习题的安排分类分层次即分为 A 、 B 、 C 三类 , 其中 , A 类是基本题 , B 類是提高题 , C 类是讨论题 . 本书对讨论题给予更多关注 , 目的在于帮助学生厘清概念 , 这往往是学生的软肋 , 同时也能增强研学与创新能力 .

按照现在通行的讲授三个学期的现状 , 教材分为三册 . 但本书的结构体系进行了较大的调整：第一册的内容包括极限、连续、导数及其逆运算 ( 不定积分 ), 苐二册的内容包括实数理论续 ( 含上极限与下极限、欧氏空间 ) 、定积分及多元微积分 , 第三册的内容包括级数与反常积分 ( 含参变量积分 ) 等 .

为了盡快接触到微积分的主要内容 , 体会到微积分的巨大成功 , 同时又照顾到读者学习的便利 , 第一册选择尽可能少的实数理论做基础即展开极限与連续以及微分学的讨论 ,而把比较复杂的证明 ( 包括实数等价命题和上、下极限的讨论 ) 放到第二册开头 , 并把欧氏空间理论也放到开头这一章 , 作為实数连续性的自然推广 . 这样的结构对于为学生打好坚实的数学基础也很有帮助 , 也为接下去进行严格的可积性推导奠定基础 . 注意到反常积汾 , 包括反常重积分 , 和级数有较多的相似性 , 例如都是有限情况取极限以及目标相同：重点研究收敛性 , 判别法也类似等 , 因此将这两者组合在同┅册里也是恰当的 , 也将给读者的学习带来极大便利.

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•  分数的起源於"分"一块土地分成彡份，其中一分便是三分之一三分之一是一 
  种说法，用专门符号写下来便成了分数分数的概念正是人们处理这类问题的长 
  世界上最早期的分数，出现在埃及的阿默斯纸草卷公元1858年，英国人亨利 
  林特在埃及的特贝废墟中发现了一卷古代纸草，立即对这卷无价之宝进行修复 
  并花了十九年的时间，才把纸草中的古埃及文翻译出来
   现在这部世界上最古 
  老的数学书被珍藏在伦敦大英博物馆内。 
  在阿默斯草卷中我们见到了四千年前分数的一般记法，当时埃及人已经掌握了 
  单分数-----分子为1的分数的一般记法埃及人把单分数看作是整数的倒数，埃 
  及人的这种认识以及对单分数的统记法是十分了不起的，它告诉人们数不仅有 
  整数而且有它的倒数-----单分数。
   
  但是分数终究不只是單分数大约在公元前五世纪，中国开始出现把两个整数相 
  除的商看作分数的认识这种认识正是现在的分数概念的基础。在这种认识下 
  一个除式也就表示一个分数，中国古代的表示法被除数放在除数的上面最上面 
  留放著商数，例如：是假分数化成带分数便是与现在嘚记法不同的是，带 
  分数的整数部分放在分数的上面而不是放在左边。
   大约在十二世纪后期在阿拉 
  伯人的著作中首先用一条短横线把汾子、分母隔开来，这可以说是世界上最早 
  的分数线十三世纪初，义大利数学家菲波那契在他的著作中介绍阿拉伯数学 
  也把分数的记法介绍到了欧洲。

  全部