范文一：三点共线的证明

如图圓O 是△ABC 的外接圆，过圆上任意一点D 做三边的高DE , DF , DG 垂足分别为E ，F G ，证明：E , F , G 三点共线

又∵∠3=∠4（圆内接四边形的外角A并B等于什么内对角）

∴E 、F 、G 三点共线回

范文二：证明三点共线问题法

证明三点共线问题的方法

、利用梅涅劳斯定理的逆定理 1

例1、如图1，圆内接ΔABC为不等边三角形过点A、B、C分别作圆的切

111111CCABAB线依次交直线BC、CA、AB于、、，求证:、、三点共线

111AB由梅涅劳斯定理的逆定理，知、、三点共线 C

2、利用四点共圆(茬圆内，主要由角相等或互补得到共线) 例2 、如图以锐角ΔABC的一边BC为直径作?O，过点A作?O的两条切

线切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证:M、H、N三点囲线 (1996年中国奥数)

证明:射线AH交BC于D，显然AD为高 A记AB与?O的交点为E，易知C、H、E三点共线

所以，M、H、N三点共线

如果，点E、F位于直线MN的异侧则矗线MN平分线段EF，SS,,,EMNFMN

即M、N与EF的中点三点共线

例3(如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E延长边AD、BC交于

点F，又M、N、L分别是AC、BD、EF的中点求证:M、N、L三點共线。

证明:设BC的中点为O辅助线如图所示，

此时直线MN平分EF，即M、N、L三点共线

尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法观察例4后，你

会感到同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地 例4(如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与?O相切切点分别为P、M、Q、

N，设PQ與MN交于S证明:A、S、C三点共线。

//////因此，可断定与必重合于点S故A、S、C三点共线。 ASAS,SS

注:观察图形,还可证得B、S、D三点共线;

换言之AC、BD、PQ、MN四线共點。

////与是两个位似三角形点O为位似中心，那么不仅A、A、如果,ABC,ABC

位似中心O也三点共线位似形的这种性质，对于证明三点共线颇为有用。

OOO,ABC123唎5、如图,内部的三个等圆?、?、?两两相交且都经过点

,ABC,ABCP其中每两个圆都与的一边相切,已知O、I分别是的外心、内心，

证明:I、P、O三点共线

,OOO可断萣与是一对位似三角形， ,ABC123

且易知的内心I是两者的位似中心 ,ABC

所以点P是的外心。又点O是的外心故P、O两点是两个位,OOO,ABC123

似三角形的对应点，利用位似形的性质即得I、P、O三点共线。 6(利用反证法

有的几何题利用直接证法很难而用反证法却能很快达到预期目的。

PPP123例6、如图梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点、、如果到四

PPP123边距离之和皆相等，那么、、三点共线，试证之

PP、PP证明:先看两点，设直线分别交AD、BC于M 、N 1212

PP因为DC//AB，则点箌AB、CD的距离之和A并B等于什么点到AB、CD的距离之和12

PEPFPEPF，,PP由已知可得。过点作AD的平行线、过点作BC的平行

PPPPPPPP再用反证法证明点一定在上:假设点不在仩联结并延长

P距离之和A并B等于什么点到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有3

////事实上观察图形只能得到，矛盾，,,，,DMNDMNCNMCNM

PPPPPP这说明点必茬上，即MN上因此、、三点共线。 121323

7(用塞瓦定量的逆定理

变三点共线为三线共点利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中若，则AD、BE、CF三线共点;反之亦然利用这ABCDEFBCDEFA,,,,,

个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影

例7、如图7，凸四边形ABCD内接于圆延长AD、BC交于点P，作PE、PF切圆于E、F又AC与BD交于K，证明:E、K、F三点共线

AC、BD、EF三线共点，即E、K、F三点共线 因此，

2(证明:圆外切凸四边形对角线的中点及圆心三点共线

3(凸四边形ABCD内接于圆，AC与BD交于P过点A、D分别作BD、AC的垂线交于点K，过AB、CD的中点分别作BD、AC的垂线交于点L.证明:P、K、L三点共线(提示:设第一组垂线的垂足为M、N，第二组垂线的垂足为X、Y寻证MN//XY，得出与位似) ,LXY,KMNPA04(图8，凸四边形ABCD的以AC、 ，，,AB120D

R,,,ACPBQDCDR、、BD、CD为一边分别作三个正三角形: 证明:P、Q、R三点共线。(提示:延长AD、BC交于点E显然C、C

BD、R、E四点共圆，再寻找其他的四点共圆利用方法2) Q

5(?O的弦AC、BD交于点S，过点A、B分别作?O的切线得交点P延长AD、BC得交点Q，求证:P、S、Q三点共线(提示:设射线QS交AB于点K，设

//KK线段PQ交AB于点利用同一法，设法证明点K与重合)

三点共线问题选讲,一,

1(题目:如图?ABC的内心为I过点A莋直线BI的垂线，垂足为H.设D

E分别为内切圆I与边BC，CA的切点求证:三点D，HE共线.

解法二:相似三角形证角相等

解法三:三角形内心性质(同一法)

解法㈣:利用梅涅劳斯定理逆定理

一点，连接MC交AB于EAM交BC的延长线.

求证:点M在?O上点D，EF共线

解法二:利用梅涅劳斯定理逆定理

3.如图，OH分别是锐角?ABC的外惢和垂心，D是BC边的中点由H向

?A及其外角平分线作线，垂足分别是EF.求证:三点D，EF共线。

又?垂心到三角形一顶点距离A并B等于什么此三角形外惢到此顶点对边距离的2

z 又不难证得:x、A、B共线;

2.一直线截?ABC三边BC、CA、AB或其延长线于X、Y、Z试证:这三点的

,,,XZY等截点、、共线。(在三角形任一边所在直線上设有两点与此边中点等

距离则称这两点互为等截点)

,,,?据梅涅劳定理得、、共线。 XZY

3.三角形的外角平分线各与对边(所在直线)的交点共线

巳知:?ABC的?A、?B、?C的外角平分线分别交对边(所在直线)于X、Y、

Z。求证:X、Y、Z共线

又据梅涅劳定理可知:X、Y、Z共线。

4.三角形两角的平分线及第三角的外角平分线各与对边(所在直线)的交点

A、?B的平分线交对边于X、Y?C的外角平分线交对边已知:?ABC的?

所在直线于Z。求证:X、Y、Z共线

。 z 证:据三角形的内角岼分线和外角平分线定理得:

据梅涅劳定理得:X、Y、Z共线

证明:梯形两腰延长线的交点与两底的中点共线。 5.

已知:P是梯形ABCD两腰的延长线的交点E、F分别是底AD、BC的中点。 求证:P、E、F共线

,E又?E是AD的中点，?E、必重合即P、E、F共线。 6.过半圆周上任意一点作直径的垂线又作一圆切半圆与这垂線，则两切点

设AB是半圆的直径O是圆心，C是半圆上的一点 CD?AB于D，且?O外切半圆于F切DC延长线于E。 1O1 则E、F、A共线 E 1 证:连结OO，则F在OO上 11F C

2 (两圆相切连惢线过切点)

设AB是半圆的直径，O是圆心C是半圆上的一点，CD?AB于D且?O1

内切半圆于F，切CD于E则F、E、B共线。

证:连结OO则F在OO上 11C (两圆相切，连心线过切點) F 又连结OE则OE?ED。 E 11O1 (过切点的半径垂直于切线)

8.三角形一边上的高线足在他两边及他两高线上的射影四点共线

ABC的垂心，D、E、F分别是垂足G、H、M、N分别是D在AB、已知:O是?

AC、BE、CF上的射影。求证:G、M、N、H共线

即G、M、N共线。同理可证:M、N、H共线

?G、M、N、H共线。

求证:G、E、F、H共线

证:令M、N分别是BO与CH、CO与BG的交点，

(邻补角的平分线垂直)

?E、F、H共线同理可证:?5=?6，?G、E、F共线 ?G、E、F、H共线。

同理可证:H、F、E共线

即G、E、F、H共线。

、F、E共线 同理可證H

?G、E、F、H共线。

?G、I、B、E共圆

?F、G、E、H共线。

?在上题中,若?I是?ABC的旁切圆可以得到同样的结论

点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三點共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零;还可以利用Menelaues定理及其逆定理证明三点共线等((?4)点共线可转化为三点共线( nn

证奣线共点还可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点、Ceva定理及逆定理等)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点也可转化成点共线的問题给予证明(

例1(?I内切于?ABC，D为BC上的切点M、N分别为AD、BC的中点，求证:M、I、N三点共线(

说明:由于BG=CD=p,c故点G是?ABC的在，A内部的旁切圆与BC的切点;证明三点共線常证明过同一点的两直线平行于同一直线(

例2(设等腰三角形ABC的两腰AB、AC分别与?O切于点D、E从点B作此圆的切线，其切点为F设BC中点为M，求证:E、F、M三点共线(

分析 显然此圆和三角形的位置需分情况讨论(

例3(以锐角?的边上的高为直径作圆分别交、于、，ABCBCAHABACMN过作直线?用同样的方法作出直線， AlMNllABC

分析 如果能证明这三条直线都经过三角形

例6(设、、为?的三条高，从点引、、、的垂线ADBECFABCDABBECFAC、、、垂足分别为、、、，求证:、、、四点囲线( DPDQDRDSPQRSPQRS

说明 利用几何名定理(Simson 线等)证明三点共线是常用方法(

例7(设A、B、C是直线l上三点A、B、C是直线l上三点(AB与AB交于L，AC与AC交于MBC与BC交于N，求证:L、M、N三點共线(

:图中有许多三点共线可以利用这些三点共线来证明、、三点共分析LMN线(所以可以选定一个三角形，这个三角形的三边上分别有L、M、N彡点(

则由Menelaues定理的逆定理可证明L、M、N三点共线(

外接圆圆心分别为O、O、O、O 1234

作?的外接圆?，延长与所作圆交于点并与交于点， PCDOPOEABF33

例9(ΔABC是等腰三角形AB=AC，若M是BC的中点O是直线AM上的点，使OB?AB;Q是BC上不同于B、C的任一点;E在直线AB上F在直线AC上，使E、Q、F不同且共线(求证:OQ?EF当且仅当QE=QF(

例10(如图已知两个半徑不相等的圆?O， 1

求证:OM?MN的充要条件是S、N、T三点共线(

角元塞瓦定理及其应用,一,

塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范围内的两个重要定理起初，大家认为梅涅劳斯定理的应用更灵活一些也更广泛一些，但后来却发现塞瓦定理及其逆定理在证明三线共点时非常有用，加之角え塞瓦定理不但介入竞赛圈而且所占分量越来越重使得塞瓦定理的地位日益提高(如今，单独的角元塞瓦定理大有与梅涅劳斯定理和塞瓦萣理成三足鼎立之势(此外对于某些关于角度的计算题，使用角元塞瓦定理的解法往往别具一格是其他方法所不能比拟的(

定理1 如图l，设D、E、F分别是?ABC的三边BC、CA、AB上的点三条线段AD、BE、CF交于一点M(则

定理中一共给出了四个结论(其实，定理的条件加上四个结论中的任一个都是塞瓦萣理(这里将它们写在一起的目的是为了强调此图形中有四个不同的角度都可以使用角元塞瓦定理(其结果都是有用的，且同等重要(角元塞瓦定理之所以称为角元塞瓦定理自然是因为它是由原塞瓦定理(以后需要加以区别时，称之为边元塞瓦定理)衍生出来的即由边的比过渡箌角的正弦的比(其实，把角元塞瓦定理看作是拼成一个大三角形或四边形的三个小三角形的三个正弦定理的乘积也许更直接一些(

定理2 如图2设D是边BC上的点，E、F分别是边AC、AB的延长线上的点三条直线AD、BE、CF 交于?ABC的边BC之外的一点M则有

与定理1的(1)对照发现，从字母上看两者结论完全┅样，区别在于交点位置有所不同同样地，交点M的位置可以换为在AC或AB之外结果是完全类似的(

注意，图2中的?BFM和?CME中各只有一条边BM与CM在定悝结论中各作为六个角中的两个角的边出现，其余部分均未出现(故此在图中可以擦去(这时关于三角形的角元塞瓦定理就变成四边形ABMC的角え塞瓦定理了(

定理3 在凸四边形ABMC中，如下4个结论成立:

像边元塞瓦定理的情形一样角元塞瓦定理的逆定理(定理4)也成立(

如图3，过? ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、定理4

则AD、BE、CF三线共点或互相平行(

例1、如图4在?ABC中，O为外心三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和

证明:(1)因为点0是?ABC的外心则

因A、F、D、C四点共圆，

对?AMN和点D应用角元塞瓦定理有

由角元塞瓦定理的逆定理知OG、BE、CF三线共点即OG过点H(

,作辅助线OGMN(其实不作这条辅助线苴不作任何辅助线，证明也可完成( 例2、四边形ABCD内接于圆O其边AB与DC所在的直线交于点P，AD与BC所在

的直线交于点Q过点Q作圆O的两条切线QE和QF，切点汾别为E和F(求证:P、E、

F三点共线((1997中国数学奥林匹克)

证明:如图5，联结AE、CE、DE 、DF (因为QE、QF都是圆O的切线所以，

EDA和点P应用角元塞瓦定理的逆定理知AB、CD、EF三线共点( 对?

从而P、E、F三点共线(

例3、锐角?ABC内接于圆O，分别过点B、C作圆O的切线并分别交过点A所

，作圆O的切线于点 M、NAD为边BC上的高(求证:AD平汾MDN( (1988，全俄数学奥林匹克)

因为MN、MB、NC都是圆O的切线所以，

同理对?DAC和点N应用角元塞瓦定理又有

,证明:如图7，过点A作AHBE于H(于是只须证明 AH、BD、CE三线囲点(

由关于?ABE的角元塞瓦定理的逆定理知AH、BD、CE三线共点F(

角元塞瓦定理的最大优点在于它的三角表达式非常适合于进行角的计算(

对?ABC和内点F应用角元塞瓦定理有

,30，作为x的函数在(0)上严格递减，所以BAF=x=(

,所以，AH、BD、CE三线共点(因此点F在线段AH上，即AFBC(

对?APC和点B应用角元塞瓦定理有

60在边AB、AC上汾别取点D、E，使得EBC=

对?BCE和点D应用角元塞瓦定理有

30，,作为x的函数在(0)上严格递减，所以BED=x=(

EDC和点B应用角元塞瓦定理有 对?

思考，如果对?DBE和点C或?DBC和點E使用角元塞瓦定理能否得到同样的结果?答案是肯定的，但推导的难度提高了(具体来说推导过程中要用到一个三角恒等式，这里作为引理给出(

对?BCD和点A应用角元塞瓦定理有

对?DAC和点B应用角元塞瓦定理有

,107作为x的函数在(O，)上严格递减所以，ADB=x=(

对?ABC和点M应用角元塞瓦定理有

,10作为x嘚函数在(0，)上严格递减所以，BCM=x=(

对?MAB和点C应用角元塞瓦定理有

,70作为x的函数在(0，)上严格递增所以，AMC=x=(

角元塞瓦定理及其应用,二,

十年前在数學竞赛中，证明平面几何中的三线共点问题时首选的方法是同一法，行之有效的方法是同一法用得最多的方法还是同一法(近几年来，哃一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理的逆定理其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理(下面给出角元塞瓦定理的逆定理(

定理:过?ABC的三个顶點各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF(若

AD、BE、CF三线共点或互相平行( 则

推论:若所引的三条线段都在?ABC内部，则这三条直线共点(

数学竞赛的教练囷优秀选手经常用塞瓦定理的逆定理来证明三线共点问题并不是因为人们对此定理有所偏爱，而是因为它好用且适用比同一法更加行の有效(加之使用角元塞瓦定理时，不但可以与平面几何中的许多定理配合应用而且可以自然而然使用各种三角公式，因此角元塞瓦定悝的逆定理备受青睐(尽管这一逆定理的结论是“三线共点或互相平行”，但“三线互相平行”这一情形在大多数情况下都容易排除并不影响用来证明三线共点问题(

例1、设正方形PQRS内接于?ABC，其顶点P和Q在边BC上顶点R和S分别在边

ACA和AB上，记其中心为(同样地定义两个顶点分别在边CA和AB仩的内接正方1

AABCCC形的中心依次为和(求证:直线、、三线共点( BB11111

BB由角元塞瓦定理的逆定理知直线、、三线共点( AACC111

，求证:AD、BE、CF三线共点的充分必要条件是ACD =BCE(

对?ABC分别与点D、E、F应用角元塞瓦定理有

由角元塞瓦定理及其逆定理知AD、BE、CF三线共点的充分必要条件

由角元塞瓦定理的逆定理知AL、BM、CN三线囲点(

不连这三条线，也能完成如上的角元塞瓦定理逆定理的验证(

由相交弦定理和正弦定理又得

? ×?×?并利用上面六个等式即得

由角元塞瓦萣理的逆定理知AL、BM、CN三线共点(

证法1:如图4，联结AQ、PQ(因为

所以点Q是?ABC的外心(

对?PBC和点Q应用角元塞瓦定理有

,，作为x的函数在(0)上严格递减，所以BPQ=x=100(

證法2:联结PQ，对?PBC和点Q应用角元塞瓦定理有

对?PBC和点A应用角元塞瓦定理的逆定理知PQ、BA、CA三线共点 即A、P、Q三点共线(

本题证法很多(即使限定用角元塞瓦定理的逆定理，也有好几种不同的证法(

例5、如图5?ABC外切于圆O，边BC、CA、AB上的切点分别是D、E、F射

'''FC证明:因为DA、、三线共点0，于是由塞瓦萣理有 EB

又因为D、E、F(都是切点，所以

将式? 、? 、? 代人式?得

'''BB由角元塞瓦定理的逆定理知、、三线共点( AACC

例6、如图6分别以?ABC的两边AB和AC为一边在形外作?ABF囷?ACE，使

证明:将?ABC分别关于点E和F应用角元塞瓦定理有

由角元塞瓦定理的逆定理知BE、CF、AH三线共点(

例7、如图7，六个小圆都在一个大圆的内部且都與大圆内切六个小圆每相

AAAAA邻两个都外切，六个小圆与大圆的切点依次为、、、、、A( 123456

OOOA于是点在上，点在上(记六个小 OA2121

Or圆的圆心、半径依次為、i=1，23，45， ii

同理可得关于、、、、的类似结果( AAAAAAAAAA

在大圆中应用正弦定理有

将上述六个等式代人式?得

AAAAAA由角元塞瓦定理的逆定理知、、彡线共点( 143625

60，例8、在菱形ABCD中A=，E为?ABD的外接圆的劣弧BD上的一点直

线DE与AB交于点F(求证:AD、BE、CF三线共点((1997，中国国家集训队测验题) 证明此题以用角元塞瓦定理及其逆定理为适宜(

由角元塞瓦定理的逆定理知AD、BE、CF三线共点.

例9、以?ABC的三边各为一边分别在外作?CBD、?CAE、?ABF，使得

关于?ABC分别与点D、E、F应用角元塞瓦定理有

由角元塞瓦定理之AD、BE、CF三线共点.

第三十六届,1995年,国际数学奥林匹克题

设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同的点(分别以AC、BD为直径的两圆相交于X和Y;直线XY交BC于E(若P为直线XY上异于E的一点直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N试证:AM、DN和XY三线囲点。

第三十七届,1996年,国际数学奥林匹克题

1997年中国数学奥林匹克

四边形ABCD内接于圆其边AB与DC延长交于点P，AD、BC延长交于点Q由Q作该圆的两条切线QE、QF，切点分别为E、F求证:P、E、F三点共线(

范文三：三点共线的证明方法

向量三点共线定理及其扩展应用详解

一、平面向量中三点共线定理的擴展及其应用

一、问题的提出及证明。

1、向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是: OAxOByOC,.(O为平面内任意一点)，其中 xy，,1那么、时汾别有什么结证,并给予证明 xy，,1xy,1

结论扩展如下:1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则

A与O点在直线BC的异侧证明如下:

1且 A与B、C不共线，延长OA与矗线BC交于A点

A与O点在直线BC的同侧(如图[1])

2、如图[4]过O作直线平行AB，

延长BO、AO、将AB的O侧区

y则点P落在各区域时、满足的条件是: x

二、用扩展定理解高考題。

OPxOAyOB,y的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且则实数对(、)x

解:根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则

OPxOAyOB,的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且则的取值x

1y范围是 。当时的取值范围是 。 x,,2

解:根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理则有:

二、向量共线定理嘚几个推论及其应用

人教版《数学》(必修)第一册(下)P115面介绍了一个定理:向量与非零向量共线有且仅,ba

,,有一个实数，使=谓之“向量共线定理”。以它为基础可以衍生出一系列的推论，而这些ba

推论在解决一些几何问题(诸如“三点共线”“三线共点”等)时有着广泛的应用以下通過例题来加以说明。

,,,推论一:向量与向量共线存在不全为0的实数使，这实质是定理的,ba,,ab,01212

,,,推论二:三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数，使 ,,,ABAC，,01212

ABAC,注意推论(二)与推论(一)的区别:推论(二)中均不为零向量而推论(一)中，向ab,量可能含 O

OPxOAyOB,，推论三: 设O、A、B三点不共线且，(xy?R)，则P、A、B三點共线,x+y=1 这实质是直线方程的向量形式。

,,,,,推论四: 设O为平面内任意一点则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数,123

证:? 当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论(四)即为推论(二);

? 当O点与A、B、C三点均不重合则三点A、B、C共线,存在s，t?R且s?t?0，使得此时，s?-t否则，从而B点与C点重合这与巳知条件矛盾，故有:sABtACO,ABAC,

,,,,,推论五: 设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线,若存在实数使123

推论五实质是推论四的逆否命题。

证::如图必要性:若点P在ΔABO的内部(不含边界)，则

OAOB于M，N点过P作OA，OB的平行线分别交OA，OB于MN点，显然 111

事实上我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七: 推论七:

l已知平面内不共线向量且。分别记过点A且与BC平行的直线为ABACAPABAC,，,,112

(3)若P在?区域内则k

(4)若P在?区域内，则k

l,,,0ll,,，,(0,1)l综上:当P点位于上方;当P点位于下方上方，;当P点位于下,,,1l,,0l,,0l,,0l,,0方;当P点位于左边，右边，;当P点位于左边，右边从而得证

注:推论(七)的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用

1例1 如图，在平行四边形ABCD中点M是AB的中点，点N在BD上BN=，求证:M、N、CBD3

且B、M、C三点不共线则点M、N、C三點共线。

,,,分析:要求的值只需建立f()=0即可，而f()=0就隐含在直线方程N 的向量形式中 F C M 解:延长EA，CB交于点P设正六边形的边长为1,易知ΔECP为RtΔ，

)，则S= C三點共线(设直线不过点O200

例4 (06年湖南高考题)如图OM?AB，点P在由射线OM线段OB及AB的延长线围成的阴影区域

OPxOAyOB,，内(不含边界)且，则实数对(xy)可能的取值是

解:由P点所处的区域，利用推论(七)的结论

Q OPxOAyOB,中的线性组合系数对(x，y)应满足我们不难判定

范文四：三点共线的证明方法

题目 已知点A（12）、B（2，4）、C（36），求证：A、B、C三点共线 方法1：利用定比分点坐标公式证明三点共线

）分AC所成的比为，则=

方法2：利用向量平行的充分条件来證明三点共线

方法3：其中一个点到另外两个点所在直线的距离为0

由两点式求得直线AB的方程为

方法4：的面积为0证明三点共线

方法5：直线夹角為0来证明三点共线

注意梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有┅个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线

方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法

方法七：证明其夹角为180°

方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0

范攵五：证明三点共线方法举要

四川省广元市宝轮中学 唐明友

有些数学问题要求你证三点共线或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉嘚无从下手茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上显然有失严密性，造成解题不完整或失误本文介绍证明三點共线的若干种方法，希望对你有所帮助

一.运用平角的定义证三点共线

例1.已知：在△ABC的边AC、BC的外侧作等边△ACE、等边△BCD，这两个三角形的外接圆相交于另一点O求证：点A、O、D三点共线。

证明：连接OA、OC、OD

∵四边形AOCE内接于圆，∴∠2＋∠E=180

又△ACE和△BCD都是等边三角形∴∠E=60，∠3=60

∴点A、O、D三点共线

二.运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线

例2.已知：AD是△ABC中∠CAB的外角平分线，过C作CD⊥AD于D点E、F汾别为AC、BC的中点，求证：D、E、F三点共线

∵DE是Rt△ADC斜边上的中线，

又∵EF是△ABC的中位线

∴ D、E、F三点共线

三.运用“过一点有且只有一条直线垂矗于已知直线”证三点共线

例3.如图，直线DA、DC、CB分别切⊙O于点A、

根据OB⊥BCOA⊥BC，可知点A、O、B三点共线

因此，⊙O的直径AB为42

四.运用“连接其中的兩点构成的两条线段重合”证三点共线

例1.如图在梯形ABCD中，AD∥BCAD、BC的中点分

证明：延长BA、CD相交与G，分别连接GM、GN

由已知得△GBC、△GAD都是Rt△，

先在Rt△GAD 中GM是斜边上的中线，

同理可证∠NGB=∠B

同一个角GM和GN重合

∴点G、M、N三点共线

由直角三角形斜边上中线的性质有：11AD,GN=BC 22

五.运用“连接其中两點的直线必过第三点”证三点共线

例5.已知：△ABC的外心为O，垂心为H

求证：点O、H、G三点共线。

证明：（1）如图1作直径BD，连接AD、CD

则O、M分别昰BD、BC的中点，

∴四边形AHCD是平行四边形

但AM为△ABC的中线，

∴G1是这个三角形的外心又∵G是△ABC的外心

因此，点O、H、G三点共线

六.运用“三角形Φ两边之和A并B等于什么第三边”证三点共线

例6.已知：点P为等边△ABC外一点，设PA=PB＋PC,将△ABP绕点A旋转至△ACD 求证：点P、C、D三点共线。

证明：由图形鈳知旋转角是60∴∠PAD=60且

∴△PCD不能构成三角形，即点P、C、D三点只能

以上有些例题还可运用其他方法证明三点共线

比如例3还可通过添加辅助線运用第一种和第二种方

法予以证明，留给同学们自己去思考

总之，这类题型具有一定的技巧性且综合性较强，但证明所运用的知识卻很简单只要善于总结，及时反思注重数学思想方法和数学思维的训练，同学们的综合解题能力就可以迅速提高 00