i=1, 2 , … , n ) 然而,对于较高阶的情况, 用这种方法求解是不现实的一 个 n 阶行列式有 n! 项, 每一项又是 n 个数的乘积。就算不计舍 入误差对计算结果的影响 , 对较大的 n , 其运算量之大 [ 不考 虑加减仅乘除次数就需 (n+1) n! (n-1) +n ] , 也是计算机在一般 情况下难以容许的。因此 , 我们要讨论线性方程组的另外两种 解法: 直接法和迭代法,,解线性方程组的直接法和迭代法,一、直接法 经过有限步运算就能求得精确解的方法。 包括： 1. 顺序高斯消去法 2. 选主元高斯消去法 3. 高斯—约当消去法 4. 矩阵三角分解法 二、迭代法 用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法 包括： 1. 雅可比迭代法 2. 赛得尔迭代法 3. 松弛迭代法 下面我们将介绍解线性方程组的矗接法。,第一节 顺序高斯消去法,,,一、顺序高斯消去法的基本思想,顺序高斯消去法分为消元和回代两个过程 首先应用矩阵的初等变换将系數矩阵A按自然顺序化为上三角矩阵，与此同时将方程的右端向量B增补作为A的第n+1列构成增广矩阵，同时参加变换然后应用回代过程计算方程的解。,二、顺序高斯消去法举例,例 2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1) x1 + 4x2 - 5x3 = 3 (2) 6x1 3, … , n ),,,三、一般线性方程组的求解过程(第k次消元及回代过程) 第k次消元过程: (i, j=k+1, …, n) 回代过程: （i =n-1,…,2,1）,,,四、顺序高斯消去法计算量分析,用计算机作四则运算时加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k = n3/3+n2 -n/3 n3/3+n2 -n/3(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。,五、顺序高斯消去法计算机实现,根据一般線性方程组的求解过程知,消元过程实际 上是一个三重（层）循环而回代过程实际上是一个 二重（层）循环。据此我们便可编出求解线性方程 组的程序。,第二节 选主元高斯消去法,前面介绍的顺序高斯消去法,也叫顺序选主元法 当出现主元素 akk(k) = 0 时, 消元过程将无法继续进行， 或鍺即使akk(k) ≠ 0时但如果绝对值很小，用它作除 数也会导致其它元素的数量级急剧增大和舍入误差扩 大, 将严重影响计算结果的精度为了克服這一缺陷， 下面介绍选主元高斯消去法选主元高斯消去法有列 主元高斯消去法和全主元高斯消去法两种。我们首先 介绍列主元高斯消去法,一、列主元高斯消去法,列主元消去法的主要思想是：在第k次消元时，从k列的以下的各个元素中选出绝对值最大的元素然后通过行交換将其交换到k行上，再做第k次消元（同顺序高斯消去法）；回代过程与顺序高斯消去法完全相同,用列主元高斯消去法解线性方程组举例 唎 0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5 - x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 中，选取绝对值最大的元素作为主元素如果它位于第r行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列使主元素位于 的位置，然后进行消元计算由于作列的交换改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量调换后的编号顺序求解,全主元消去法解线性方程组举例 例 0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5 - x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + sk , 则交換 s, k 两列并交换 ts、tk 的值。 （3）消元计算 同列主元消去法 3. 回代过程 若ann=0,则系数矩阵奇异,结束;否则 计算 4. 输出x1 , x2 , … , xn ( k = n , n-1, … , 1),第三节 高斯-约当消去法(无回代过程的主元素消去法),高斯—约当法的思想是将方程组化为对角形Dx=B的形式，其中矩阵D为对角形矩阵即 其特点是每次消元时利用主元将其所在列的冗余元素全部消为0，即在第k次消元时不仅把k列中(k,k)位置以下的元素消为0，而且同时把(k,k)位置上的元素也化为0消去的行是从第1行到第n行，但主行不进行消去这样经过n次消元后系数矩阵就成为对角阵，不需回代就可直接求出方程组的解,列主元高斯-约当消去法求解线性方程组举例 例 求解方程组Ax=b,其中 解：增广矩阵为 1 2 3 1 3