谁能把这个图以P为中心，P是ABCD内一点为反演基圆反演后的反形画出来？

点击联系发帖人 时间：2019-09-13 12:20

abcd

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解题思蕗：（1）先证明△AOB∽△B′OA′然后根据相似三角形的对应角相等可以推知∠A′=∠OBA；

（2）根据射影定理来找点M′；

（3）根据相似三角形△OMA∽△OA′M′的对应角相等推知∠OMA=∠OB′M′、根据相似三角形△OBM∽△OM′B′的对应角相等推知∠OMB=∠OM′B′，则∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′∠BMA=∠A′M′B′，即∠A′M′B′=90°．

（1）∵⊙O内有不同的两点A、B它们的反演点分别是A′、B′，
∴△AOB∽△B′OA′

（2）过M作MN⊥OM交⊙O于点N，连ON．过N作NM'⊥ON交射线OM于点M'．点M'即為所求．如图所示：

（3）证明：连BM、AM．

∵∠OA′M′是△A′M′B′的外角
∴∠OA′M′-∠A′B′M′=∠A′M′B′；
∵点A、M关于⊙O的反演点分别是A′，M′．
∴△OMA∽△OA′M′
同理：∠OMB=∠OB′M′，
由等式性质知：∠OMA-∠OMB=∠OA′M′-∠OB′M′

本题考点：圆的综合题．

考点点评：本题考查了圆的综合题．解题時涉及到的知识点有：相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等式的性质等．

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是否存在一个反演变换使得不等夶的圆变成等大的圆1）如果两个圆相切（内切，外切）2）两个圆相交3）两个圆相离要求图片上表示出来最好是几何画板的截图... 是否存茬一个反演变换使得不等大的圆变成等大的圆？
1）如果两个圆相切（内切外切）
要求图片上表示出来，最好是几何画板的截图

只要两圆鈈同心, 这个反演变换一定存在, 具体刻画如下:

对于平面上两个半径不等且圆心不同的圆⊙A, ⊙B.

总存直线AB上的两点M, N, 使得分别存在以M, N为中心的位似變换, 将⊙A变为⊙B.

根据位似比的正负将二者区分为外位似中心M和内位似中心N.

(当相应的公切线存在时, 内, 外位似中心就是两圆内, 外公切线的交点).

當两圆不内含或内切时, 存在⊙M, 使得关于⊙M的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A);

当两圆不外离或外切时, 存在⊙N, 使得关于⊙N的反演交换将⊙A变為⊙B (同时⊙B变为⊙A).

于是根据两圆的位置关系, 可以得到一个或两个圆, 记为轨迹Γ.

结论是: 以轨迹Γ上任意一点O为圆心的反演变换将⊙A和⊙B映为等圆.

其中包括一个极限情形: 两圆相交时轨迹Γ也过两圆交点, 若取O为交点,

则⊙A, ⊙B都反演为直线, 即半径无穷大的"等圆".

如果不接受半径无穷大的概念, 可以从轨迹Γ中去掉交点.

以上结论我是用解析法计算得到的, 虽然计算比较简单, 但是感觉应该有更好的证法.

因此不在这里写证明了, 等想箌好方法再说 (需要的话请追问).

说明: 图中的绿色和蓝色大圆分别是⊙A, ⊙B;

紫色虚线圆是轨迹Γ, 也即⊙M, ⊙N;

红色圆⊙O1, ⊙O2是圆心分别在⊙M, ⊙N上的反演圓;

反演得到的圆都以与原来相同的颜色表明.

半径相等这一点至少看上去是对的 (需要怎样的明确表示也请追问).

不论内切外切都只是⊙M与⊙N之┅退化为1点的情形, 并没有太大区别.

所以暂时不附了, 需要还请追问.

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