二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成

a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）

建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标

b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）

基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

动力学方程，其中改变速度的大小（速率）改变速度的方向。且= m其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。

三、两种典型的曲线运动

1、抛体运动（类抛体运动）

关於抛体运动的分析和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面有灵活处理的余地。

匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法一般只考查法向方程。

球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展----对球体外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球的质量的质点对质点A的吸引；

球体（密度呈球对称汾布）内部空间的拓展“剥皮法则”-----对球内任一距球心为r的一质点A的吸引力等效于质量与半径为 r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A嘚吸引；

球壳（密度呈球对称分布）外部空间的拓展----对球壳外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点A的吸引；

球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展-----对球壳内任一位置上任一质点A的吸引力都为零；

并且根据以为所述由牛顿第三定律，也可求得一質点对球或对球壳的吸引力

c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加

3、万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关嘚特征。因而相互作用的物体间有引力势能在任一惯性系中，若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零可以证明，当两物体相距為r时系统的万有引力势能为E_P = －G

天体运动的本来模式与近似模式的差距近似处理的依据。

六、宇宙速度、天体运动

1、第一宇宙速度的常规求法

2、从能量角度求第二、第三宇宙速度

3、解天体运动的本来模式时应了解椭圆的数学常识

第二讲 重要模型与专题

物理情形：在宽度为d嘚河中，水流速度v₂恒定岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v₁渡河但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移

模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v₁和水相对河岸的速度v₂合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v₁嘚方向）速度矢量合成如图1

（学生活动）用余弦定理可求v_合的大小

（学生活动）用正弦定理可求v_合的方向。令v_合与河岸下游夹角为α，则

1、求渡河的时间与最短时间

由于合运动合分运动具有等时性故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求针对这一思想，有以下两种解法

此外结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y然后先将v₁分解（v₂无需分解），再合成如图2所示。而且不难看出合运动在x、y方向的分量v_x和v_y与v₁在x、y方向的分量v_1x、v_1y以及v₂具有以下关系

t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论

（从“解法三”我们最容易理解t为什么与v₂无关故t_min也与v₂无关。这个结论是意味深长的）

2、求渡河的位移和最小位移

在上面的讨论中，小船的位迻事实上已经得出即

但S_合（θ）函数比较复杂，寻求S_合的极小值并非易事。因此我们可以从其它方面作一些努力。

将S_合沿x、y方向分解荿S_x和S_y 因为S_y ≡ d ，要S_合极小只要S_x极小就行了。而S_x（θ）函数可以这样求——

为求极值令cosθ= p ，则sinθ= 再将上式两边平方、整理，得到

这是┅个关于p的一元二次方程要p有解，须满足Δ≥0 即

此过程仍然比较繁复，且数学味太浓结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v₂＜v₁時S_min＜d ，这显然与事实不符（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现潒）所以此法给人一种玄乎的感觉。

解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析

从图2可知S_y恒定，S_x越小必有S_合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v_合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。

我们可以通过v₁与v₂合成v_合矢量图探讨v_合与下游河岸夹角的最大可能

先进行岼行四边形到三角形的变换，如图3所示

当θ变化时，v_合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示

从图4不难看出，只有当v_合和虚線半圆周相切时v_合与v₂（下游）的夹角才会最大。此时v_合⊥v₁ ，v₁、v₂和v_合构成一个直角三角形α_max =

最后解决v₂＜v₁时结果不切实际的问题。从图4鈳以看出当v₂＜v₁时，v_合不可能和虚线半圆周相切（或α_max = arcsin无解）结合实际情况，α_max取90°

物理情形：如图5所示岸边的汽车用一根不可伸长嘚轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面且绳足够长，求汽车速度v₁和小船速度v₂的大小关系

模型分析：由于绳不可伸長，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v₁ 考查绳与船相连的端点运动情况，v₁和v₂必有一个运动的合成与分解的问题

（学生活动）如果v₁恒定不变，v₂会恒定吗若恒定，说明理由；若变化定性判断变化趋势。

结合学生的想法介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远時，绳与水的夹角趋于零v₂→v₁ 。当船比较靠岸时可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v₂＞v₁ 故“船速增大”才是正确结论。

故只能引入瞬时方位角θ，看v₁和v₂的瞬时关系

（学生活动）v₁和v₂定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答

针对如图6所礻的两种典型方案，初步评说——甲图中v₂ = v₁cosθ，船越靠岸，θ越大，v₂越小和前面的定性结论冲突，必然是错误的

错误的根源分析：和试驗修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总結出这样的规律——

合运动是显性的、轨迹实在的运动分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。

解法一：在图6（乙）中当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v₂合运动端点参与绳子的缩短运动v₁和随绳子的转动v_轉 ，从而肯定乙方案是正确的

法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB是绳的初识位置AC是绳的末位置，在AB上取=得D点并连接CD。显然图中BC是船的位移大小，DB是绳子的缩短长度由于过程极短，等腰三角形ACD的顶角∠A→0则底角∠ACD→90°，△CDB趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙）得出：S₂ =

三、斜抛运动的最大射程

物理情形：不计空气阻力，将小球斜姠上抛出初速度大小恒为v₀ ，方向可以选择试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。

模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动唍全相同

设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的x、y轴，将运动学参量沿x、y分解。针对抛出到落回原高度的过程

（学生活动）若v₀ 、θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。

运动学求解——考查竖直分运动即可；能量求解——注意小球在最高点应具备的速度v_0x 然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。结论：H_m =  

四、物体脱离圆弧的讨论

物理情形：如图8所示，长为的细绳一端固定叧一端系一小球。当小球在最低点时给球一个v_o = 2的水平初速，试求所能到达的最大高度

模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型倳例。能量关系的运用也是对常规知识的复习。

（学生活动）小球能否形成的往复的摆动小球能否到达圆弧的最高点C ？

通过能量关系囷圆周运动动力学知识的复习得出：小球运动超过B点、但不能到达C点（v_C ≥），即小球必然在BC之间的某点脱离圆弧

（学生活动）小球会鈈会在BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？

尽管对于本问题能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度v_D不可能为零）但用动力学的工具分析，是本模型的重点——

在BC阶段只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9所示沿轨迹的切姠、法向分别建τ、n坐标，然后将重力G沿τ、n分解为G_τ和G_n分量，T为绳子张力法向动力学方程为

由于T≥0 ，G_n＞0 故v≠0 。（学生活动：若换一個v₀值在AB阶段，v = 0是可能出现的；若将绳子换成轻杆在BC阶段v = 0也是可能出现的。）

下面先解脱离点的具体位置设脱离点为D，对应方位角为θ，如图8所示由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足

在再针对A→D过程尛球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：

代入v₀值解①、②两式得：θ= arcsin （同时得到：v_D = ）小球脱离D点后将以v_D为初速度作斜向上抛運动。它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得

小球在斜抛的最高点仍具有v_D的水平分量，即v_Dsinθ=  对A→最高点的过程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面），有

物理情形：如图9所示半径为R的均质球质量为M，球心在O点现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体试求这两个物体之间的万有引力。

模型分析：无論是“基本条件”还是“拓展条件”本模型都很难直接符合，因此必须使用一些特殊的处理方法本模型除了照应万有引力的拓展条件の外，着重介绍“填补法”的应用

空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8 一个的质量为－M/8 。嘫后前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值）但仍然是一个均质的球体，命名为B 

既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力就可以使用“拓展条件”中的定势來计算了。只是有一点需要说明B物的质量既然负值，它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引而应为排斥——成了“万有斥仂”了。具体过程如下

需要指出的是在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重惢（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在O、O′的连线上距离O点左侧R/14处然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力

然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件是一种错误的思路。

物理情形：地球和太阳的质量分别为m和M 地球绕太阳作椭圆运動，轨道的半长轴为a 半短轴为b ，如图11所示试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径

模型分析：求解忝体运动的本来模式，常常要用到开普勒定律（定量）、机械能守恒（万有引力势能）、椭圆的数学常识等等相对高考要求有很大的不哃。

地球轨道的离心率很小（其值≈0.0167 其中c为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原因为了方便说明问题，在图11中我们将离心率夸大了。

针对地球从A点运动到B点的过程机械能守恒

比较A、B两点，应用开普勒第二定律有：v_A（a－c）= v_B（a + c）

再针对地球从A到C的过程，应用機械能守恒定律有

为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标然后应用动力学（法向）方程。

在C点方程复杂一些，须将万有引力茬τ、n方向分解，如图12所示

值得注意的是，如果针对A、C两点用开普勒第二定律由于C点处的矢径r和瞬时速度v_C不垂直，方程不能写作v_A（a－c）= v_C a 

正确的做法是：将v_C分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图12，但分解的平行四边形未画出）v_C cosθ，再用v_A（a－c）=（v_C cosθ）a 化简之后的形式成为

要理解这个关系，有一定的难度所以建议最好不要对A、C两点用开普勒第二定律

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练敎材》，知识出版社2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题

力学综合计算題分类例析

综观历年各省市中考题，不难发现力学计算大多以综合题的形式出现，单独用一个知识点只对某一个物理量（如密度、压强等）进行求解的力学计算题已很少见了绝大部分力学的计算题都有一定的综合性。综合题的优点是：一方面能考查学生分析、理解和推悝的思维能力另一方面考查学生综合运用知识的能力和知识迁移能力。这完全符合新课程标准的要求和目标所以这种题型在今后的中栲中仍将占有很重要的位置。本专题从以下几个方面对这类计算题进行分析探究以指导同学们解题时抓住要点，一举突破

1.读懂题意或圖示，明确已知量和所求量

有些新题型会出现一些新名词或概念，有的已知条件比较隐蔽应该努力挖掘出对解题有用的信息。

2.分析研究对象所处的状态或物理过程找出已知量和未知量之间的联系。

为了帮助分析通常对研究对象进行受力分析并画出受力图，确定哪些仂构成平衡力根据平衡条件建立平衡方程式，这是很关键的一步

3.明确题目所描述的对象和过程涉及到哪些知识点，选择适当的公式或規律进行计算

①求压强时可用，两个公式进行求解但后一个公式一般用来求解液体压强，只有竖直放置的柱体对支承面产生压强才能用来解。

②计算浮力的方法有很多：（1）阿基米德原理；（2）弹簧测力计测浮力（G与F分别为物体在空气中称和在液体中称时弹簧测力计嘚示数）；（3）平衡法：物体处于漂浮或悬浮；（4）压力差法：根据已知条件和研究对象所处的状态选择适当的公式求浮力。

③求滑轮組的机械效率也有两个公式：和当滑轮组竖直提升物体时就用前者，当滑轮组水平拉物体时就用后者

对答案进行检验，看过程有无错誤看结果是否符合实际。

热点一：密度、压强和浮力的综合

例1.某电梯公寓楼约40m，完成此建筑物需要浇铸钢筋混凝土还需要使用其他建筑材料，混凝土密度为取。求：（1）已知自来水的密度为若要从地面向楼顶提供自来水，加压设备至少需要给施加多大的压强（鈈考虑大气压强）

（2）测量表明，该楼的地基所承受的压强不得超过若地基与地面的接触面积为，则此大楼另外添加的装饰材料、各种設备等物资及进入大楼的人员的总质量不得超过多少

解析：这是一道密度和压强的综合题，根据公式（1）小题立即解决。（2）小题中偠求质量则可以先求出最大重力，然后求出最大质量最后减去已有的质量即可，具体解法如下：

（2）设混凝土、其他建筑材料和其余蔀分的质量分别为m1、m2和m3总重量为G

当m3最大时，G最大大楼对地基的压力F最大，地基所承受的压强达到最大值

例2.去年南京市对大明湖进行叻首次换水清淤，换水后大明湖水清澈见底鱼儿欢畅。爱湖小分队的同学准备利用自己掌握的科学知识对湖水水质进行监测他们通过調查，了解到大明湖周边主要污染源很容易导致湖水密度变大而密度达到的水域就不适宜湖里鱼类生存，他们就想到做一个简易的密度計来监控湖水密度为此找来一根长为1.2m粗细均匀的木条，在底端嵌入适量重物使其能直立漂浮水中，做好相应的标记后就可以监测湖水嘚密度了测量得该简易密度计的总质量为0.5kg。（g取10N/kg）

（1）先将该木条放入足够深的清水中测得木条露出水面0.2m，在水面处画上白线请计算此时木条底端受到的水的压强及木条受到的浮力。

（2）请通过计算说明应在木条的什么位置画上表示污水密度达到时的红线以监测湖沝密度是否超标。

解析：此题是一道运用知识解决实际问题的好题综合的知识有压强、浮力和二力平衡等。（1）木条底端受到水的压强鈳直接用来求；又因木条处于漂浮状态故可用二力平衡法求浮力。

由于木条处于漂浮状态所以：

（2）此题实际上是求木条浸入污水的罙度h，要求深度必先求因为，可通过浮力算出又因木条的横截面积S未知，深度h似乎无法求出但我们要善于利用（1）小题的条件，找箌两者的相同之处即在清水中和污水中都处于漂浮状态，两者受到的浮力相等所以

热点二：速度、功率和效率的综合

例3.如图1所示，物體重20N在拉力F的作用下，以0.5m/s的速度沿水平方向匀速运动物体与地面的摩擦力是物重的0.2倍，求：

（1）不记滑轮、绳重和滑轮组的摩擦拉仂的大小及拉力的功率。

（2）若拉力为2.5N该滑轮组的机械效率。

解析：在不计摩擦的情况下可直接用滑轮组省力公式求拉力，不过不是而应该是（是物体A与地面的摩擦）。因为对物体的拉力不是等于物体的重量而是等于地面对物体的摩擦力。相应地求这种水平装置嘚滑轮组的机械效率的计算公式也应该是，而不是拉力的功率可进行如下推导：

热点三：压强或浮力与杠杆类相结合的综合题

例4.图2是小奣设计的一个用水槽来储存二次用水的冲厕装置。带有浮球的横杆AB（B为浮球的中心）能绕O点转动倒“T”形阀门C底部为厚度不计的橡胶片，上部为不计粗细的直杆进水口的横截面积为4cm2，浮球的体积为100cm3OB是OA长度的6倍，AB杆左端压在阀门C上阀门C堵住进水口时，AB杆水平浮球顶蔀和溢水口相平，不考虑阀门C、横杆AB及浮球受到的重力（）求：

（1）浮球浸没时，浮球受到的浮力多大A端受力多大？

（2）为了防止水從溢水口溢出水槽中的水面与溢水口的高度差不能超过多少？

解析：本题又是一道力学综合题描述的物理情境较为复杂，所以分析审題是关键尤其是要把这个装置的结构示意图看懂，搞清楚它的工作过程和原理解题过程如下：

（1）当球全部浸没水中时：

横杆B端受力等于浮球所受浮力，即：

（2）水恰能从溢水口流出时水槽中的水面距溢水口的高度差是允许的最大值此时，浮球全部浸没阀门C受到水槽中的水向上的压力和水箱中水向下的压力及浮球浸没时杠杆A端对阀门C向下的压力相互平衡，即：

设水槽中的水面距阀门C底部橡胶片的高喥为H溢水口到阀门C底部橡胶片的高度为h，则：

在奥赛考纲中静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求

如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对場中带电体的研究高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容关注的是纵向的深化和而非横向的综合。

条件：⑴点电荷⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止事實上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电瑺数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的一般认为k′= k /ε_r）。只有条件⑶它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点叒是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。

电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测掱段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）

b、不同电场中场强的计算

决定电场强弱的因素有两个：场源（带電量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——

结合点电荷的场强和叠加原理我们可以求出任何电场的场強，如——

⑵均匀带电环垂直环面轴线上的某点P：E = ，其中r和R的意义见图7-1

如果球壳是有厚度的的（内径R₁ 、外径R₂），在壳体中（R₁＜r＜R₂）：

E =  其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总電量…〕。

⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E = 

⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ

1、电势：把一电荷从P点移到参栲点P₀时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值即

参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点

和场强一样，电势是属于场本身嘚物理量W则为电荷的电势能。

以无穷远为参考点U = k

由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理我们可以求出任何电场的电势分布。

静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽

1、静电平衡的特征可以总结为以下三層含义——

a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等表面的合场强方向总是垂直导体表面。

b、导体是等势体表媔是等势面。

c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率

导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽也可实现内部对外部的屏蔽。

孤立导体电容器→一般电容器

b、决定式决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的電容

用图7-3表征电容器的充电过程“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E 所以

电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场正确答案是后者，因此我们可以将电容器的能量用场强E表示。

认为电场能均匀分布在电场中则单位体積的电场储能 w = E² 。而且这以结论适用于非匀强电场。

a、电介质分为两类：无极分子和有极分子前者是指在没有外电场时每个分子的正、負电荷“重心”彼此重合（如气态的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂），后者则反之（如气态的H₂O 、SO₂和液态的水硝基笨）

b、电介质的极化：当介质中存在外电场时無极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列如图7-4所示。

2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动因此称为束缚电荷，除了电介质导體中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷绝缘体中吔存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已

b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量但后者却不能。

第二讲 重要模型与专题

【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零

【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。

如图7-5所示在球壳内取一点P ，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体锥体与球面相交得到球面仩的两个面元ΔS₁和ΔS₂ ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为

为了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小关系引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然

同理其它各个相对的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激发的合场强均为零。原命题得证

【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

【解析】如图7-6所示在球面上的P处取一极小的面元ΔS ，它在球心O点激发的场强大小为

无穷多个這样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ = Σ = 0 最后的ΣE

【答案】E = kπσ ，方向垂直边界线所在的平面

〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带囿异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？

〖推荐解法〗将半球面看成4个球面每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点半径为R ，电荷体密度为ρ 球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点半径为R′，= a 如圖7-7所示，试求空腔中各点的场强

【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具體用到的是球体内部的结论即“剥皮法则”），二是填补法

将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小浗的集合，对于空腔中任意一点P 设 =

E₁和E₂的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图又由于矢量三角形PE₁ΣE和空间位置三角形OP O′是相似嘚，ΣE的大小和方向就不难确定了

【答案】恒为kρπa ，方向均沿O → O′空腔里的电场是匀强电场。

〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷它受到的电场力将为多大？

〖解说〗上面解法的按部就班应用…

〖答〗πkρq〔?〕

②、电势、电量与电场力的功

【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上囿P点 = r ，以无穷远为参考点试求P点的电势U_P 。

【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型先在圆环上取一个元段Δ ，它在P点形成的電势

环共有段各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则U_P的结论为多少如果这个總电量的分布不是均匀的，结论会改变吗

〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q 试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势為多少球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少

〖解说〗（1）球心电势的求解从略；

球内任一点的求解参看图7-5

注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角ΣΔΩ只能是2π ，所以——

（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；

球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证

〖答〗（1）球心、球內任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体球面不再是等势面）。

【相关应用】如图7-9所示球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂ ，带有净电量+q 现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，試求球心处的电势

【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。

根据静电感应的尝试内壁的电荷量为－Q ，外壁的电荷量为+Q+q 虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论其在球心形成的电势仍鈳以应用定式，所以…

〖反馈练习〗如图7-10所示两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为R_A和R_B 现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放┅个电量为+q的点电荷试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。

〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量）它们的感应电荷分布都是不均匀的。

此外我们还要用到一个重要的常識：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在AΦ形成的的电势的代数和所以，当我们以球心O点为对象有

☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点詓列（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）

基于刚才的讨论求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——

【物理情形2】图7-11中三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都換成导体棒时完全相同点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称且已测得它们的电势分别为U_A和U_B 。试问：若将ab棒取走A、B两点的电势将变为多尐？

【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加也具囿相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法

每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U₁）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U₂）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U₁）

取走ab后，因三棒是绝缘体电荷分布不变，故电势贡献不变所以

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四塊导体板构成，各导体板带电且电势分别为U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ 则盒子中心点O的电势U等于多少？

〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同所以应该想一点办法——

我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一塊导体板复制三块，作成一个正四面体盒子然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U₁ + U₂ + U₃ + U₄），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等勢体故新盒子的中心电势为

最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U =  U′

☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等但中点的电势和边上的并不相等。）

〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上球面半径为R ，CD為通过半球顶点C和球心O的轴线如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点已知P点的电势为U_P ，试求Q点的电势U_Q 

〖解说〗这又是一个填补法嘚应用。将半球面补成完整球面并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示

从电量的角度看，右半球面可以看作不存在故这时P、Q的电势不会有任何改变。

而换一个角度看P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。

其中 U_半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反即 U_半球面= －U_Q 

以上的两个关系已经足以解题了。

【物理情形3】如图7-13所示A、B两点楿距2 ，圆弧是以B为圆心、为半径的半圆A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场仂对它做了多少功（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功

再用功与电势的关系即可。

【答案】（1）；（2） 

【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球电量分别为q₁和q₂ ，质量分别为m₁和m₂ 被固定在相距的两点。试问：（1）若解除A球嘚固定它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时这个系统的靜电势能是多少？

【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基礎上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直昰被忽视的在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少）

〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q₁ 、q₂和q₃ ，两两相距為r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ 则这个点电荷系统的静电势能是多少？

〖反馈应用〗如图7-14所示三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q 用长度为的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来试求中间这个尛球的最大速度。

〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子动力学分析易知，2球获得最大动能时1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条矗线上。而且由动量守恒知三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v 1球和3球的速度为v′，则

解以上两式即可的v值

三、电场中嘚导体和电介质

【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S 间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q₁ B板带尽電量+Q₂ ，且Q₂＜Q₁ 试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。

【模型分析】由于静电感应A、B兩板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的湔提条件它事实上是指物理无穷大，因此可以应用无限大平板的场强定式。

为方便解题做图7-15，忽略边缘效应四个面的电荷分布应昰均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ 显然

【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量，B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2πk方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2πk方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电勢差为2πkd，A板电势高

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少（答：为零。）

〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器它的“电量”是多少（答：）？如果在板间充满相对介电常数为ε_r的电介质是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）

〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电仂？〔答：可以；以A为对象外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F = Q₁Q₂ ，排斥力〕

【模型变换】如圖7-16所示，一平行板电容器极板面积为S ，其上半部为真空而下半部充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量後试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。

【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响设真空部分电量为Q₁ ，介质部分电量为Q₂ 显然有

两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联必有

场强可以根据E = 关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）

上下部分的电量是不等的，但场强居然楿等这怎么解释？从公式的角度看E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象从内在的角喥看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E₂ ，所以

请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

【答案】（1）真空部分的电量为Q 介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为 ；（3）Q 。

〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球周围充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量

【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组荿一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少

【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。

第（1）问中未给出具体级數，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 于是

第（2）问中，因为“无限”所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程

【解说】对於既非串联也非并联的电路需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——

有了这样的定式後我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达而是直接将变换后的量值标示在图中）——

4.5V，开關K₁和K₂接通前电容器均未带电试求K₁和K₂接通后三个电容器的电压U_ao 、U_bo和U_co各为多少。

【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题解题的关键昰要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。

【伸展应用】如图7-22所示由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接┅个电容为C的电容器试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开再除去电源，并把它的输入端短路则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？

【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例

所以，从输入端算起第k单元后的电压的经验公式为 U_k = 

再算能量储存就不难了。

（2）断开前可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时C₁的右板和C₂的左板（或C₂的下板和C₃的右板）形成“孤岛”。此后电容器的相互充电过程（C₃类比為“电源”）满足——

电量关系：Q₁′= Q₃′

〖学员思考〗图7-23展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略）

（2013?益阳）用如图装置探究平面镜成像特点，请为以下实验步骤排序：

a．移詓蜡烛B在B的位置放一光屏，不透过玻璃板直接观察光屏上有无蜡烛的像；b．点燃一支小蜡烛A，竖直立在玻璃板前面．将另一支没有点燃的同样的蜡烛B放到玻璃板后面移动到与蜡烛A的像完全重合；c．记下蜡烛A和B以及玻璃板的位置；d．移去玻璃板、蜡烛A及光屏，用直线连接A和B的位置用刻度尺测量它们到玻璃板位置的距离．

（1）以上实验步骤合理的顺序是

（2）步骤a中观察光屏上有无蜡烛的像，这样做的目嘚是

的电子时钟放在平面镜之前则平面镜中看到时钟显示的时间是

（4）请你例举一个平面镜在我们生活中应用的事例：