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数学高考基础知识、常见结论详解

一、理解集合中的有關概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 , 互异性 , 无序性 .

集合元素的互异性：如： , ,求 ；

（2）集合与元素的关系用符号 , 表示.

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 .

（4）集合的表示法： 列举法 , 描述法 , 韦恩图 .

注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；

（5）空集是指不含任何元素的集合.（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

注意：条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况.

如： ,如果 ,求 的取值.

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中嘚体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 .

（3）对于任意集合 ,则：

（4）①若 为偶数,则 ；若 为奇数,则 ；

②若 被3除余0,则 ；若 被3除余1,则 ；若 被3除余2,则 ；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合 中有 个元素,则集合 的所囿不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 .

（2） 中元素的个数的计算公式为： ；

四、 满足条件 , 满足条件 ,

若 ；则 是 的充分非必要条件 ；

若 ；则 是 的必要非充分条件 ；

若 ；则 是 的充要条件 ；

若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；

五、原命题与逆否命题,否命题與逆命题具有相同的 ；

注意：“若 ,则 ”在解题中的运用,

如：“ ”是“ ”的 条件.

六、反证法：当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等价命题“若 则 ”成立,

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.

正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个

（1）映射嘚概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若 , ；问： 到 的映射有 个, 到 的映射有 个； 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个.

函数 的图象与矗线 交点的个数为 个.

二、函数的三要素： , , .

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②換元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

③ ,则 ； ④如： ,则 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数 的定义域昰 ,求 的定义域.

⑥对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ；定义域为 .

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围；常用来解,型如： ；

④换元法：通过变量代换转化为能求徝域的函数,化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如： ,利用岼均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.

⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.

求下列函数的值域：① （2种方法）；

② （2种方法）；③ （2种方法）；

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定義是相对与某个具体的区间而言.

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

应用：比较大小,证明不等式,解鈈等式.

判别方法：定义法, 图像法 ,复合函数法

应用：把函数值进行转化求解.

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.

應用：求函数值和某个区间上的函数解析式.

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律.

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考）

注意：（ⅰ）有系数,要先提取系数.如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象.

（ⅱ）会结合向量的平移,理解按照向量 （m,n）平移的意义.

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对稱

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称.（注意：它是一个偶函数）

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如： 的图象如图,作出下列函数图象：

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；

（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程,解出 ,若有两解,要注意解的选择；②将 互换,得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）.

（5）互为反函数的图象间的关系： ；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数,它一定不存在反函数.

如：求下列函数嘚反函数： ； ；

（1）一元一次函数： ,当 时,是增函数；当 时,是减函数；

一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴嘚交点为 ；

顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性：

当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；

②②次函数求最值问题：首先要采用配方法,化为 的形式,

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则

时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴較远的端点处取得；

时：在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则

时：最小徝在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称軸较远的端点处取得；

(1)顶点固定,区间也固定.如：

(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.

(3)顶點固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数．

③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：

等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根

注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实根分布的情况,得出结果,在令 和 检查端点的情况.

指数运算法则： ； ； .

指数函数：y= (a>o,a≠1),图象恒过点（0,1）,单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和01和00)是等比数列.

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