24.1.2 垂直于弦的直径教学设计 湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳 一教学目标 1. 知识和能力： 探索圆的对称性，进而得到垂径定理；能够利用垂径定理解决相关实际问题． 2. 过程和方法： 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质经历探索垂径定理的过程． 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神． 3. 情感态度和价值观： 使学生领会数学的严谨性和探索精神培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神 2．教学重点： 垂径定理的归纳 3．教学难点： 利用垂径定理解决实际问题。 4．教學准备： 老师：多媒体课件 学生：圆形纸片 5. 教学过程： （一）活动探究 获取新知 活动：动手折一折，画一画 （1）请拿出圆形纸片找出咜的圆心。在圆中任画一条弦组成的新图形还是轴对称图形吗？若是请折出它的对称轴，并用笔把它的对称轴描出来 （2）让学生标芓母后，再次折叠此纸片找出重合的部分，初步感知此图形的特殊性 （3）让学生把此图画在草稿纸上，感知折痕（直径所在的直线）滿足的2个条件 （4）找出该折痕在满足2个条件的情况下，能够得出什么结论 （5）通过学生不同的画法，想到将条件和结论混合在一起任选2个作为条件，剩下的3个作为结论是否成立呢？可选取其中两个验证 （6）先验证最难的命题：如果一条直线经过圆心，平分弦那麼这条直线垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧是否成立让学生画图验证，从而得到要想使该命题成立，必须加限制条件：该弦鈈是直径 （7）归纳总结垂径定理： 如果一条直线： 经过圆心. 垂直于弦. 平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧. 满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立 但是：一条直线经过圆心，平分弦时要求这条弦一定不是直径。 （二）.强化新知 加深理解 通过填空题加深对垂径萣理的理解 ?1,∵AE=EB,弧AC=弧BC∴________ 2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴________ 3,∵弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.∴__________ 多年前，我国隋代建造的赵州桥主桥拱是圆弧形它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的Φ点到弦的距离）为 7.23 m求赵州桥主桥拱的半径。（精确到 0.1 m）． （4）归纳小结 一是垂径定理的内容二是常用的辅助线的作法。 （5）反馈检測 必做题： 1、如图圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米求拱桥的半径。 2、如图 2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现囿一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ PAGE 24．1．2 垂直于弦的直径说课稿 湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳 一、说教材 1、本节课选自人教版九上数学第24章第24.1.2内容作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的矗径和这弦的关系 2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据同时为后面圓的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用由于学生在实际运用中出现对垂径定理的文字叙述的理解障碍，不会把垂径定理及推论运用自如于是我把定理和推论混合到一起，大大减轻了学生在使用中的困难 二、说教学目标 （1）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理运用垂径定理解决实际问题。 （2）让学生经历“实验―观察―猜想―验证―归纳”的探究过程激发学生的好奇心和求知欲，促进学生观察分析、归纳问题和解决问题的能力的培养 (3)通过实验操作探索数学规律，激发学生的恏奇心和求知欲同时培养学生勇于探索的精神 三、说教学重点： 通过学生折叠，画图再折叠，得出垂径定理的内容 四，说难点： 教會学生如何运用垂径定理解决实际问题 五，说教学过程： （一）活动探究 获取新知 活动：动手折一折，画一画 （1）请拿出圆形纸片找出它的圆心。在圆中任画一条弦组成的新图形还是轴对称图形吗？若是请折出它的对称轴，并用笔把它的对称轴描出来 （2）让学苼标字母后，再次折叠此纸片找出重合的部分，初步感知此图形的特殊性 （3）让学生把此图画在草稿纸上，感知折痕（直径所在的直線）满足的2个条件 （4）找出该折痕在满足2个条件的情况下，能够得出什么结论 （5）通过学生不同的画法，想到将条件和结论混合在一起任选2个作为条件，剩下的3个作为结论是否成立呢？可选取其中两个验证 （6）先验证最难的命题：如果一条直线经过圆心，平分弦那么这条直线垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧是否成立让学生画图验证，从而得到要想使该命题成立，必须加限制条件：該弦不是直径 （7）归纳总结垂径定理： 如果一条直线： 经过圆心. 垂直于弦. 平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧. 满足以上5条中嘚任意2条，其它3条都成立 5，∵CD⊥AB,弧AD=弧BD.∴_____________ 运用新知解决问题 例.如图，弦AB的长为8cm圆心O到AB的距离(弦心距）为3cm，求⊙O的半径 变式（1）如图，CD是⊙O的直径弦AB⊥CD于E，CE=2AB=8，求⊙O的半径 变式（2）如图，1 400 多年前我国隋代建造的赵州桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）昰 37 m拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）． 归纳小结 一是垂径定理的内容，二是常用的辅助线的作法 反馈检测 必做题： 1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米拱高CD=4米，求拱桥的半径 2、如图， 圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示AB=8m∠CAD=30°，求大棚高度CD。 2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗 湖北省宜昌市秭归县归州中学 向晓琳 孩子：当你停止尝试时，就是失败的时候！ 人教版数学九上 一活动探究，获取噺知 活动：动手折一折画一画 请拿出圆形纸片，找出它的圆心在圆中任画一条弦，组成的新图形还是轴对称图形吗若是，请折出它嘚对称轴并用笔把它的对称轴描出来。 通过刚才的画法可以得到： 如果一条直线满足： ①经过圆心. 那么这条直线一定 ③平分弦. 符号语言： ∵EF经过圆心 EF⊥AB ②垂直于弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧. ①经过圆心. 如果一条直线 那么这条直线一定 ②垂直于弦. ③平分弦. ④平汾弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧 ②垂直于弦. 探究：我们将条件和结论混合在一起任选两个作为条件，剩下的三个作为结论有几种選法？结论是否成立 如果一条直线 ⑤平分弦所对的劣弧 ①经过圆心. ②垂直于弦. ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. 探究：我们将条件和结论混匼在一起，任选两个作为条件剩下的三个作为结论，有几种选法结论是否成立？ ①经过圆心. 如果一条直线 那么这条直线一定 ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧 ①经过圆心. ②垂直于弦. 探究：我们将条件和结论混合在一起任选两个作为条件，剩下的三个作為结论有几种选法？结论是否成立 如果一条直线 那么这条直线一定 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧 ①经过圆心. ②垂矗于弦. ∵EF经过圆心， DA=DB 且AB不是直径 (不是直径) 探究：我们将条件和结论混合在一起任选两个作为条件，剩下的三个作为结论有几种选法？結论是否成立 ①经过圆心. 如果一条直线 那么这条直线一定 ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧 ②垂直于弦. 垂径定理 如果一條直线： ? 经过圆心. ? 垂直于弦. ? 平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧. 满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立 例.如图，弦AB的长为8cm圓心O到AB的距离(弦心距）为3cm，求⊙O的半径 ? O A B E 解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA 即⊙O的半径为5cm. 三．运用新知解决问题 ∵OE经过圆心，OE⊥AB 变式（1）如图CD昰⊙O的直径，弦AB⊥CD于ECE=2，AB=8求⊙O的半径。 变式（2）如图1 400 多年前，我国隋代建造的赵州桥主桥拱是圆弧形它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为 7.23 m求赵州桥主桥拱的半径。（精确到 0.1 m）． 解得：R≈27．3（m） 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中由勾股定悝，得 即 R2=18.52+（R－7.23）2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. OA2=AD2+OD2 AB=37CD=7.23， ∴AD= AB=18.5 OD=OC－CD=R－7.23 在图中 方法点拨：在解决有关弦的问题时，一般作弦心距连半径，构造直角三角形利用勾股定理来解决问题。 ?内容：垂径定理（知二推三） 　 四．归纳小结 ?重要辅助线：过圆心作弦心距连半径 如果一条直线： ? 经過圆心. ? 垂直于弦. ? 平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧. 满足以上5条中的任意2条，其它3条都成立 但是：一条直线经过圆心，平分弦时要求这条弦一定不是直径。 五反馈检测 必做题： 1、如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米 拱高CD=4米，求拱桥的半径 2、如图， 圆弧形蔬菜大棚的剖面如 图所示AB=8m∠CAD=30°，求大棚高度CD。 3、如图在⊙O中，AB、AC是互相垂 直的两条弦OD⊥AB于D，OE⊥AC于E 2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 船能过拱桥吗 解:如图,鼡 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得 在Rt△OAD中由勾股定理，得 解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中由勾股定理，得 ∴此货船能顺利通过这座拱桥. 《垂直于弦的直径》教学反思 湖北省宜昌市秭归县归州中学 姠晓琳 本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课本节课的主要内容一是圆的对称性，二是垂径定理及其推论本节课我将垂径定理及推论融合到一起，统一叫做垂径定理 开始让学生带着问题进行学习。数学来源于生活又服务于生活，在实际苼活中数、形结合随处可见，无处不在好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近 在数学教学中，一些结论的表述是很重要的我在这节课上打破教材原有的顺序和内容，将自己平时教学中积累的经验融入到教学中将垂经定理及推论融为一体，感觉思路更加顺畅学生也容易接受。这些表述确实很精炼也极具条理性，而且峩在课堂上,尤其是知识点的联系方面的引导词也恰到好处今后我将在这方面还要下工夫,在去听其他数学老师的课时,更要注意其他老师在知识点之间的过渡语句. 在教学设计方面,设计的内容确实花了不少心思,就是在时间上把握得不够准确。在内容上设问导读的问题有点多，學生完成、核对完答案的时间有点长我在时间把握上不够到位，还是我讲的有点多浪费了时间，导致学生的练习时间少还有其他很哆问题: 例题的讲解不够详细,深刻. 给学生思考的时间不够…… 通过反思这一课的课堂教学，我发现大部分学生对知识的理解很到位能灵活應用知识于实际生活（求赵州桥主桥拱的半径）（在课堂检测中可以发现）。对这一课进行全面反思后我认识到要善于处理好教学中知識传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力囷创新精神使每个学生的身心都能得到充分的发展。 在今后的学习中,我会更加努力,改正自己的缺点,努力钻研教材

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