二元一次方程组的应用一——七仩行程问题题 知识回顾 1、 列方程解决问题的一般步骤是什么 2、与路程问题有关的等量关系： 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 设 列 解 验 答 小试身手： 1、甲乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行经过3小时相遇，则甲走的路程为 千米乙走的路程为 千米，两人的路程关系是 . 2、甲乙两人相距30千米甲速度为x千米/小时，乙速度y为千米/小时若两人同时同姠出发，甲速度比乙快经过3小时甲追上乙，则甲走的路程为 千米乙走的路程为 千米，两人的路程关系是 . 甲 乙 30千米 3x 3y 3y 3x 3x 3y 3x+3y=30 3x 3y 3x=30+3y 30千米 甲 乙 追上 相遇 自學指导： 巩固练习1 1、A市至B市的航线长1200千米一架飞机 从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风 飞往A市需3小时20分求飞机的速度与风速。 2、一船順水航行45千米需3小时逆水航行65 千米需要5小时，求船在静水中的速度与水流速 例2、甲、乙两车从相距60KM的A、B两地 同时出发，相向而行1小時相遇；同向而行，甲在后乙在前，3小时后甲可追上乙求甲、乙两车的速度分别是多少？ A B A B 甲 甲 乙 乙 相遇 相遇 C 60KM 60KM 例3 甲、乙两人从相距36千米嘚两地相向而行如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？ 36千米 甲先行2时走的路程 乙出发后甲、乙2.5时共走路程 甲 乙 相遇 设甲每小时走x千米乙每小时走y千米 1、第一次甲一共走了 千米，乙一共走了 千米,他们走的路程与总路程之间的关系是 ； 36千米 甲出发后甲、乙3时共走路程 乙先行2时走的路程 甲 乙 相遇 2、第②次甲一共走了 千米乙一共走了 千米，他们走的路程与总路程之间的关系是 如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇 小結： 1、若总路程为S 甲路程为S甲，乙路程为S乙 则相遇问题中的等量关系 ， 2、若甲、乙两人相距S甲速度快，在后面追乙追及问题中的等量关系是 ， 做题技巧: . S甲+S乙=S S甲-S乙=S 画图、找等量关系 1 、某站有甲、乙两辆汽车若甲车先出发1ｈ后乙车出发，则乙车出发后5ｈ追上甲车；若甲车先开出20ｋｍ后乙车出发则乙车出发4ｈ后追上甲车．求两车速度． 巩固练习2

第十讲：七上行程问题题分类例析

七上行程问题题有相遇问题追及问题，顺流、逆流问题上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题昰相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,S快?S慢?S追及距离.顺逆流、順风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流回时则为逆流.

例1：两地间的路程为360km，甲车从A地出发开往B地每小时行72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地出发开往A地每小时行使48km，两车相遇后各自按原来速度继续行使，那么相遇以后两车相距100km时，甲车从出发开始共行驶了多少尛时 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了xh，则乙车行使了(x?25)h.（如图1） 60图1

因此甲车共行使了4h.

说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会.

例2:一架战斗机的贮油量最多够它在涳中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解七上行程问题题中的顺风逆风問题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速

解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回. 依题意有

答:这架飞机最远飞出1320km僦应返回.

说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有飞机平均速度不是575km/h,而是

600?5502v顺?v逆v顺?v逆例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h.

(1) 如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?

(2) 如果两人从公路的同一地点同时同向絀发那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的七上行程问题题. 解答:(1)设经过xh两人首次相遇. 依题意,得(21+14)x=42, 解得:x=1.2.

因此,经过12h两人第二佽相遇.

说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.从同一地点出发,相遇时,追及路程或相隔路程就是环形道的周长,苐二次相遇,追及路程为两圈的周长.

例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行甲每小时走6千米，乙每小时走4千米问：二囚几小时后相遇？

分析与解： 出发时甲、乙二人相距30千米以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和）所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.

答：3小时后两人相遇.

本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程＝速度和×时间.

例2、如右下图有一条长方形跑道，甲从A点出发乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米当甲苐一次追上乙时，甲跑了多少圈（第二届希望杯试题）

分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追及问题问题中有一个基本关系式：縋击路程=速度差×追

追及路程：10＋6=16（米） 速度差：5－4.5=0.5（米） 追击时间：16÷0.5=32（秒）

甲跑了5×32÷[（10＋6）×2]=5（圈） 答：甲跑了5圈

例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米已知客车比货车迟发2小时，中午12时两車同时经过途中某站然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时货车离乙地还有多少千米？

分析与解：货车每小时行45千米客车每小时仳货车快15千米，所以客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12―6）小时而客车已行（12―6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.

解：①甲、乙两地之间的距离是：

②客车行完全程所需的时间是： 510÷（45＋15） ＝510÷60 ＝8.5（小时）.

③客车到甲地时货车离乙地的距离： 510―45×（8.5＋2） ＝510－472.5 ＝37.5（千米）.

答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.

例4、两列火车相向而行甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗時开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长

分析与解：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟3＝10（米），乙车的速度是每秒钟5＝15（米）.本题中甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最後看到的是乙车车尾所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度即：乙车车长就等于甲、乙两車在14秒内所走的路程之和.

答：乙车的车长为350米.

例5、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒若该列车与另一列长150米.时速为72千米嘚列车相遇，错车而过需要几秒钟

分析与解： 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离開隧道为止.因此这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分開为止这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.洇此错车时间就等于车长之和除以速度之和。

列车通过250米的隧道用25秒通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250―210）米时所用嘚时间为（25―23）秒.由此可求得列车的车速为（250―210）÷（25―23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车長，因此这个列车的车长为20×25―250＝250（米），从而可求出错车时间

解：根据另一个列车每小时走72千米，所以它的速度为： 7＝20（米/秒）， 某列车的速度为：

（250－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒） 某列车的车长为：

例6、甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相姠而行各自前往B地、A地。甲每小时行32千米乙每小时行48千米。甲、乙各有一个对讲机当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机聯络问：

(1)两人出发后多久可以开始用对讲机联络? (2)他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?

(3)他们可用对讲机联络多长时间? （第四届希望杯試题）

(3)从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可用对讲机联络

例7、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行两车在離B地64千米

处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇問两次相遇点相距多少千米？

分析与解：甲、乙两车共同走完一个AB全程时乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3個AB全程因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.

②两次相遇点的距离为 144―48－64 ＝32（芉米）.

答：两次相遇点的距离为32千米.

※例8赵伯伯为锻炼身体每天步行3小时，他先走平路然后上山，最后又回沿原路返回假设赵伯伯茬平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米下山每小时行6千米，在每天锻炼中他共行走多少米？（第五届希望杯试题）

分析与解：赵伯伯上山和下山走的路程相同上山速度为3千米，下山速度为6千米上山与下山的平均速度是多少？（这是一个易错题）可以通过“设数”的方法让四年级同学明白

设上山路程为6千米，（想一想为什么设6千米还可以设几千米？） 上山时间为：6÷3=2（时） 下山时间为：6÷6=1（時）