习题一 1．设为随机试验的三个随機事件试将下列事件用表示出来． （1）仅仅发生； （2）所有三个事件都发生； （3）与均发生，不发生； （4）至少有一个事件发生； （5）臸少有两个事件发生； （6）恰有一个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）没有一个事件发生； （9）不多于两个事件发生． 解：（1） ；（2）；（3）；(4)；(5)；(6)；（7）；（8）；（9）． 2．写出下列随机试验的样本空间 （1）同时掷三颗骰子记录三颗骰子的点数之和； （2）将一枚硬幣抛三次，观察出现正反面的各种可能结果； （3）对一目标进行射击且到击中5次为止，记录射击的次数； （4）将一单位长的线段分为三段观察各段的长度； （5）从分别标有号码1，2 ，10的10个球中任意取两球记录球的号码． 解：（1）{3，45，18}；（2）; (3) {5,6,7,}；(4) ; (5)． 3．将12个球随机地放叺20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率． 解：设表式所求的概率则：0.01473． 4．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书求下列事件的概率： （1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起． 解：　（1）设表示所求的概率，则：=． （2）设表示所求的概率则：=． ５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开试求下列事件的概率： （1）苐七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去． 解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数． （1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数故设为所求概率，则： ． （2）设{没有两位及两位以上乘客在同一站离去}则：． 6．有一个随机数发苼器，每一次等可能的产生十个数字由这些数字随机编成的位数码（各数字允许重复），从全部位数码中任意选取一个其最大数字不超过（）的概率． 解：设表式所求的概率，则由全部位数码的总数为得：． ７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品15件二等品，10件次品从中任取10件，求： （1）恰有两件一等品两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率； （3）没有次品的概率． 解：（1）设为所求概率，则：． （2）设为所求概率则：． （3）设为所求概率，则：． ８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章任意选出3人，记下其紀念章的号码试求： （1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率． 解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为， （1）最小号码为5则余下2个在6—10中选，即设为所求概率，则： ． （2）同理设为所求概率则：． 9．设事件及的概率分别为和，试求：． 解：；（单调性）； （单调性）；． 10．一批产品共100件其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？ 解：（法一）设={抽检的5件产品中第件不合格}=1,2,3,4,5 则所求概率为： ． （法二）　． 11．设和是试验的两个事件，且在下述各種情况下计算概率：（1）；（2）和互不相容；（3）． 解：（1）．（2）． （3）． 12．现有两种报警系统与，每种系统单独使用时系统有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93 ．装置在一起后至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后： （1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统Φ仅有一个有效的概率． 解：（1）所求概率为得： ； （2）所求概率为，得： ． 13．10把钥匙上有3把能打开门今任取2把，求能打开门的概率． 解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数能打开门意味着取到的二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数故设为所求概率，则：． （法二）记为“能打开门”则“两把钥匙皆开不了门”，于是 ． 14．一个盒子中有24个灯泡其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10個乙取走余下的14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率． 解：设{次品灯泡全部被甲取走}{次品灯泡全部被乙取走}，则互不相容所求概率为：． 15．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率． 解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数3个盒子中一个戓两个盒子中有球数为，设所求概率为则：． 16．已知和同时发生，则必发生证明：． 证明：由已知，再由单调性，则．． 17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下第五次也是正面的概率是多少？ 解：设{第五次出现正面}{第六次停圵}，则：． 18．证明：则． 证明：，即证． 19．设事件互不相容且，试证：． 证明：． 20．将两颗均匀骰子同时掷一次已