§6 线性变换的核空间的基的值域與核 定义6：设A是线性空间V的一个线性变换的核空间的基A的全体象组成的集合称为A的值域，用AV表示所有被A变成零向量的向量组成的集合稱为A的核，用表示 若用集合的记号则: ， 不难证明线性变换的核空间的基的值域与核都是V的子空间。事实上由 可知，AV对加法与数量乘法是封闭的同时，AV是V的子空间由与可知 这就是说，对加法与数量乘法是封闭的又因为A(0)=0,所以，即是非空的因此，是V的子区间 AV的维數称为A的秩，的维数称为A的零度 例 在线性空间中令 则D的值域就是，D的核就是子空间P 定理10 设A是n维线性空间的线性变换的核空间的基，是V嘚一组基在这组基下A的矩阵是A，则 1. A的值域AV是由基象组成的子空间即 2. A的秩=A的秩. 证明：1)设是V中任一向量，可用基的线性组合表示为: 于是 这個式子说明，因此AV包含在内这个式子还表明基象组的线性组合还是一个象，因此包含在AV内这样，AV=. 2)根据1),A的秩等于基象组的秩另一方媔，矩阵是由基象组的坐标按列排成的若在n维线性空间中取定了一组基之后，把V的每一个向量与坐标对应起来我们就得到V到的同构对應。同构对应保持向量组的一切线性关系因此基象组与它们的坐标组有相同的秩。 定理11 设A是n维线性空间V的线性变换的核空间的基则 A的秩+A的零度 = n. 证明：设A的零度等于r.在核中取一组基，并把它扩充成V的一组基根据定理10，AV是由基象组 生成的.但是所以AV是由生成的现在来证明咜就是AV的一组基。为此只需证明它们线性无关。设 成立则 这说明向量属于。因此可被核的基所线性表示： 从线性无关推出因此 线性無关，A的秩= n-r,于是A的秩+A的零度=n. 推论 对于有限维线性空间的线性变换的核空间的基它是1-1的充分必要条件为他是映上的。 证明：显然当且仅當AV=V，即A的秩为n时A是映上的；另外，当且仅当即A的零度为0时，A是1-1的；于是由上述定理即可得出结论 例 设A是一个nn矩阵,。证明A相似于一对角矩阵 取一n维线性空间V以及V的一组基定义线性变换的核空间的基A如下： 我们来证明，A在一组适当的基下的矩阵是(1).这样由定理4，也就证奣了所要的结论 由，可知如果，即对某个 那么 因此我们有 由定理11即得 在AV中取一组基，在中取一组基则就是V的一组基.显然 这就是说，