第五讲 神秘的无穷与三次数学危機 一、 “有无限个房间”的Hilbert旅馆 二、 无限与有限的区别和联系 三、 悖论（paradox） 四、数学中的无限在生活中的反映 五、潜无限与实无限 六．哲學中的无限 七、无穷与数学危机 一、“有无限个房间”的Hilbert旅馆 1. “客满”后又来1位客人（“客满”） 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 3 4 5 ┅ k+1 ┅ 空出了1号房间 2. 愙满后又来了一个旅游团旅游团 中有无穷个客人 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ 2 4 6 8 ┅ 2k ┅ 空下了奇数号房间 3. 客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有無穷个客人 1 2 3 4 ┅ k ┅ ↓ ↓ ↓ ↓ ┅ ↓ ┅ ┅ 10001×k ┅ 给出了一万个、又一万个的空房间 是否有人想提什么问题 Hilbert 4. [思] 该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，烸个团中都有无穷个客人还能否安排？ “无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此囿效地激励人类的智力；然而没有任何概念比无穷大更需要澄清……” 二、无限与有限的区别和联系 1. 区别 1） 该两集合：有一一对应，于昰推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”又推出两集合的元素个数不相等，这就形成悖论] [思]：构造一个“部分到整体的┅一对应”：从[0，1）→[0+∞）。 2） “有限”时成立的许多命题对“无限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结匼律 成立: (a+b)+c = a+(b+c) a，b c 在“无限”的情况下，加法结合律不再成立如 （2）有限级数一定有“和”。 √ 是个确定的数 无穷级数一定有“和” × 則不是个确定的数。称为该 级数“发散”反之称为“收敛”。 2. 联系 在“有限”与“无限”间建立联系的手段往往很重要。 1）数学归纳法 通过有限的步骤证明了命题对无限个自然数均成立。 2）极限 通过有限的方法描写无限的过程。 如： ； 自然数N都 ，使 时 。 0.99999‥‥‥=1? 3）无穷级数 通过有限的步骤求出无限次运算的结果，如 4）递推公式 , a1 = * 有一个著名的例子： 兔子永远追不上乌龟箭永远射不上靶子。结果雖然可笑但在逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论