题目：求证：有界数列必存在收斂的子数列
啊希望高数大神能给我详细的解答一下，虽然这个命题明显是对的但我不会证明貌似要用到闭区间套什么的不断取二分之┅，上课时老师用这个方法证明我没听懂……
答案： 设数列{Xn}为有界数列有A<Xn<B成立。 1、取[AB]的中点C，我们得到两个区间[AC]和[C，B] 由于Xn总数为无窮多因此[A，C]和[CB]这两个区间至少有一个区间内含有数列{Xn}中的无穷多项，若[AC]中含有{Xn}的无穷项，则记A1=AB1=C， 若[CB]中含有{Xn}的无穷项，则记A1=CB1=B， 這样[A1B1]中含有{Xn}的无穷项，且区间长度为(B-A)/2 在此区间内任取{Xn}中的一点，记为Y1； 2、取[A1B1]的中点C1，我们得到两个区间[A1C1]和[C1，B1] 由于[A1B1]中含{Xn}的无穷多項，因此[A1C1]和[C1，B1]这两个区间至少有一个区间内含有数列{Xn}中的无穷多项若[A1，C1]中含有{Xn}的无穷项则记A2=A1，B2=C1 若[C1，B1]中含有{Xn}的无穷项则记A2=C1，B2=B1 这樣[A2，B2]中含有{Xn}的无穷项且区间长度为(B-A)/2?， 在此区间内任取{Xn}中的一点，记为Y2； 我们得到一个闭区间套[AnBn]，区间长度为(B-A)/2^n当n→∞时，区间长度趨于0 同时得到一个数列{Yn}，显然Yn是Xn的子列且Yn∈[An，Bn] 由闭区间套定理存在唯一的点a∈所有的闭区间，因此Yn与a同在[AnBn]内， 因此0<|Yn-a|<(B-A)/2^n令n→∞取极限，由夹逼准则知Yn的极限为a，因此{Yn}是{Xn}的收敛子列 希望可以帮到你，不明白可以追问如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮谢谢。