用心 爱心 专心 1《含参不等式恒成竝问题的求解策略》教（学）案教学目标：知识与技能：理解不等式恒成立问题成立的充要条件并掌握解决此类问题的基本技能．过程與方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．情感、态度与价值观：通过对问題的探究理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦．教学重点：重 点：理解解决不等式恒成立问题的实质有效掌握不等式恒成立问题的基本技能．教学难点：难 点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题．教学方法：诱导探究法 教学手段： 多媒体辅助教学教学班级：乌鲁木齐市高级中学 2011 届高三 21 班 教学时间：2011 年 3 月 24 日第 8 节 地点：4 号楼（行政楼）二楼电教室教学過程：一、设置情境感受生活市二模考试结束了，几人欢喜几人愁！教室外面的那个同学考试成绩比我们班同学都低用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题二、了解高考，把握热点简单的生活问题概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在菦几年高考中频繁出现而且出现的试题大多数以大题为主。2008－2010 高考试卷中恒成立的题目如下：2008 年39 归纳总结概括方法从例 1 可以看出，解決恒成立的不等式问题可以考虑如下方法：（1）转化为求原函数的最值 ()0fx?恒成立 ?min()0fx?， ()fx?恒成立 ?max()0f?变式 1（2009 重庆理第 5 题）不等式 2313???對任意实数 恒成立则实数 a的取值范围为（ ） （新课标选修 4-5 第 20 页第 9 题改编）A． (,][4,)????B． (,2][5,)???C． [,]D． (,1][,)????变式 2（2011 年乌鲁木齐二模第 17 题（2） ）设 2nnS???????，对于 ??*N总有nS3m?成立，整数 的最大值为 ． 变式 3（2011 年乌鲁木齐一模第 21 题）设函数 ()lfxa?当 0?恒有 f(x)≤－1，求实数 a 的取值范围．设计意图：越是高考最后的阶段越需要回过头来研读课本近几年来恒成立问题的试题主要是基本初等函数的组合为主，在课夲中都有原型所以引用课本例题进行改编和变式，从简单的函数入手掌握解题方法然后进行巩固、辨析、加深。三、 化隐为显 突出重圍例 2（2009 北京理第 18 题）设函数 ()(0)kxfe??若函数 ()fx在区间(1,)?内单调递增，求 k的取值范围. 从例 2 可以看出解决恒成立的不等式问题，还可以考虑如下方法：（2）变量分离法（转化为求新函数最值） ()fxga?（ 为参数）恒成立 ?min()()fxga??（ 为参数）恒成立 ?变式 4 若命题“ 2,390xRa????”为假命题则实數 a 的取值范围为 。 （新课标选修 2－1 第 27 页第 3（3）题改编）设计意图：学生在解决恒成立问题时首先是被题目中隐性恒成立问题所迷惑不知噵是关于恒成立问题；其次，当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、简便的方法去解决问题 四、变形求解 提升思维例 3 (2010·全国课标卷理第 21 题)设函数 f(x)＝ x(ex－1)－ ax2，若当 x≥0 时 f(x)≥0，求 a 的取值范围．用心 爱心 专心 3变式 5（2007 年 全国Ⅰ 第 20 题）设函数 ()xfe??若对任意的 0x?都有()fxa?成立，求實数 a的取值范围．设计意图：学生在解决恒成立问题时首先想到的是直接用常规方法解决当直接解法无法解决问题时，就要考虑变形求解 五、 增加参数 体会深度例 4 （2011 新疆自治区一模第 21 题）已知 432()16lnfxaxb???，其中 ,aR?.若对对任意 [2,]a?()f?在 0,1]?上恒成立，求实数 的取值范围．分析思蕗：解决双参数问题一般是先解决一个参数再处理另一个参数．本题的实质还是通过函数求最值解决．解： 4()fx?恒成立又 (0,1]x即 236lnxba???恒成立甴 [2,]a得2min36ln)ba???又 (0,1]x? ∴ 1lxx即 32min(6l)x设 32()lg??，则 )4gx??? (,]0??，所以 32()1lng?在 (0,1]递减 in)1)0g??所以实数 b的取值范围是 0b? 设计意图：通过变式逐步增加思考难度，例 4 昰有关双参数的恒成立问题再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性．變式 6 （08 天津理第 20 题）已知函数 ????0???xbaxf ，其中 Rba?,.若对于任意的 ???????2,1a不等式 ??10?xf在 ??????,4上恒成立，求 的取值范围.方法 1：化归最值 )()(ma?h；方法 2：变量分离， xb??或 xbx)10(2??；方法 3：变更主元 1)(???b?， ],[?a六、课堂小结通过今天这堂复习课我们领略叻解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中往往需要综合考虑，灵活运用才能使問题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法都渗透了数学最本质的思想，即通过化归到函数求其最值来处理．七、课后反思巩固1． （2000 上海理第 19 题）已知函数 f（ x）＝ a?2 x∈［1，＋∞ )．若对任意 x∈［1＋∞ )， f（ x）＞0 恒成立实数 a 的取值范围是 .用心 爱心 专心 42． （2009 江西卷文第 17 题）設函数 329()6fxxa???． 对于任意实数 x， ()fm??恒成立 的最大值是 ；3. 函数 2ln1x??在 0,?上单调递增，则实数 m的取值范围为 4.（2010 年天津理第 16 题）设函数 2()fx??，对任意 ?R．设函数()f在区间 23??????? 内是减函数，求 的取值范围．9． （2010 湖北高考理第 21 题）已知函数 )0()(???acxbf 的图象在点)1(,f处的切线方程为 .1??xy(I)用 a 表示出 b,c;(II)若 ?????,1ln在xf上恒成立,求 a 的取值范围; 答案： [,)2??10． （2010 年海南理第 21 题）设函数 )(xf=