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考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结解析.doc 1248页
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考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点
形如上式的积分，叫做变限积分。
1、在求导时，是关于x求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x看作常数，积分变量在积分区间上变动。
（即在积分内的x作为常数，可以提到积分之外。）
关于积分上限函数的理论
定理1如果在上连续，则在（a，b）上可积，而可积，则在上连续。
定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a，b）上可积。
定理3如果在上连续，则在上可导，而且有
==========================================
注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：
题型中常见积分限函数的变形和复合情况：
(被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)
在求时，先将右端化为的形式，再对求导。分离后左边的部分要按照(uv)＇=u＇v + uv＇进行求导！（重点）
( f 的自变量中含x, 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)
在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，，时，；时，，这样，就化成了以作为积分变量的积分下限函数：，然后再对x求导。
( 3 ) 比如
(这是含参数x的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去)
在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，，时，；时，，于是，就化成了以作为积分变量的积分上限函数：，然后再对x求导。
有积分限函数参与的题型举例
极限问题：
（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）
例2 （提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<|sinx|=<1。 答：）
例3 已知极限，试确定其中的非零常数
例4 已知 求 (参数方程，你懂的！答:)
例5 已知 求 (答: )
例7 设在内连续且 求证
在内单调增加. （同济高数课本Unit5-3例题7）
最大最小值问题
例8 在区间上求一点, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:, 然后求出,再求出其驻点. 答:.)
例9 设，为正整数. 证明
的最大值不超过
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
(4) 积分问题
例10 计算，其中.
(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取为积分上限函数. 答: )
例11 设在内连续, 证明
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
求在内的表达式.
(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的, 积分变量在内变动.
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题
设函数连续，且满足
（说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: ）
例14 设为正值连续函数,
且对任一, 曲线
在区间上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程.
(说明: 根据题设列出的方程将含有的积分上限函数.
(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.
例15 设均在上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:
说明: 本题的通常证法是从不等式出发, 由关于的二次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:
求出并证明 从而单调减少, 于是得
由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.
例16 设在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 有
(提示: 即证
于是作 只需证单调减少即可得结论.)
利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理
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&一个关于变限积分求导的问题
一个关于变限积分求导的问题
作者 l_l_2
手机打不出来，暂用“{”代替积分符号，从0积到u(x),积分式为{f(v(x,t))dt ，然后对x求导，有通用的解么？？
帮不上忙，抢个沙发
这是一个含参变量变限积分求导，其解为：
f(v(x,u(x)))u'(x)+\int_0^{u(x)}\frac{\partial f}{\partial x}dt
一般的结论就是含参变量积分求导公式, 见图.
无标题.png
引用回帖:: Originally posted by weft at
一般的结论就是含参变量积分求导公式, 见图.
无标题.png 请问有具体的推导过程么，正好碰到了和楼主类似的问题。
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变限积分的性质
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变限积分的无穷小替换收藏
这个变限积分是先替换的上限函数x-sinx,，还是整体算出来 再去等价无穷小呢。哪个在前，应该没有“上限”的等价替换吧。
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老铁们，来看看
我等一天了，兄弟们，求解答
登录百度帐号变上限积分的问题如果变上限积分的上限为X,但是表达式中的的积分变量为t,但是积分表达式中又含有X,在这种情况下能直接积分
问题描述：
变上限积分的问题如果变上限积分的上限为X,但是表达式中的的积分变量为t,但是积分表达式中又含有X,在这种情况下能直接积分或者求导吗?为什么?我听一些老师讲不可以,需要先把表达式中的x想办法去掉才可以,但是没有弄清楚为什么?
问题解答：
不可以,先看能不能把x和t分离,比如∫(x-t^2)f(t)dt 这种直接写成x∫f(t)dt -∫t^2f(t)dt.再求导,前面那个x∫f(t)dt相当于用求导乘法法则.后面那个只含t.不过上面那种情况考试的时候不多最多的就是要你变量替换 比如 ∫f(x-t)dt(0到x)这时候求导,则令u=x-t 则 ∫f(t-x)dt(积分限0到x)=-∫f(u)du(积分限-x到0)再求导就好求了.（显然导数不是f'(0)）至于为什么 因为对于积分而言x是常量 但对于求导 x是变量 所以只要先分析一下x在整个式子不同位置的不同含义就好. 如果这里给出的不是一个抽象函数而是具体的比如∫(x-t)^2dt(0到x),你先积分出来,再求导看看!你就会懂了
我来回答：
剩余:2000字
d / dx f(x) =d / dx ∫(x 到 x&#178;) sin(t&#178;) dt= dx&#178; / dx * sin[(x&#178;)&#178;] - dx / dx * sin(x&#178;)= 2xsin(x^4) - sin(x&#178;)
把∫【上限为1,下限为y】f（x）dx看成G(y),注意G(y)和t没有关系.则原式变为F(t)=∫【上限为t,下限为1】G(y)dy对t求导后则成为：)=G(t),即∫【上限为1,下限为t】f（x）dx
∫（上限x,下限0）（x^2-t^2）f(t)dt=∫(上限x,下限0)x^2f(t)dt-∫(上限x,下限0)t^2f(t)dt现在分成两部分了,第一部分把x^2提出来,∫(上限x,下限0)（x^2-t^2）f(t)dt=x^2∫(上限x,下限0)f(t)dt-∫(上限x,下限0)t^2f(t)dt,所以原式求导=2
t=-u 当t=0时 u=0 t=-x时 u=x
A=∫(0到1) x^3*√(1-x^2) dx令u=1-x^2,du=-2xdx当x=0,u=1,当x=1,u=0=(1/2)∫(1到0) (u-1)√u du=(1/2)∫(1到0) (u^3/2-u^1/2) du=1/5*u^5/2(1到0)-1/3*u^3/2(1到0)=-1/5*-[-(1/3)]=2/15
,注意一下积分的上下限也变化了,因为x的取值范围是1到4,所以t的取值范围为1到2,这样就好做了吧! 再问： 谢谢您啊～～～
f'(3t)dt=1/3f'(3t)d(3t)选D
复变函数必须是解析函数才与路径无关啊,x-iy这个不满足柯西-黎曼方程,所以不是解析函数,那么积分值就和路径有关了.
x=√5sinadx=√5cosada5-x^2=5(cosa)^2原式=∫√5cosa*√5cosada=5∫(1+cos2a)/2 da=5/4∫(1+cos2a)d2a=5/4*(2a+sin2a)=5/4*[2arcsin(x/√5)+4x/5]=5/4*[2arcsin(2/√5)-2arcsin(1/√5)
答：∫ (π/2→+∞) (1/x&#178;)sin(1/x) dx= - ∫ (π/2→+∞) sin(1/x) d(1/x)= (π/2→+∞) cos(1/x)=1-0=1 再问： 那个负号怎么最后没了？不是-cos1/x? 另外cos1/x正无穷带进去怎么出的结果0？ 再答： 因为： (cosx)'=-sin
换元法：令√x=t=∫2t/(1+t)dt=2∫[1-1/(1+t)]dt=2∫1dt-2∫1/(1+t)dt=2-2ln2
这个题目可以这样看待：∫V*dV =∫(V*dt)*(dV/dt) ,又因为 V*dt = dX ,dV/dt = a0 于是就得到关系式 ∫V*dV = ∫a0*dX ,其物理含义是 ：物体运动速度的二次方的增量等于其加速度在对应的位移上的空间积累效应.
但是收敛半径是不变的.你看求导是要两个方向导数相等.可以理解为它外面不能理解的部分使得在这点处的导数不存在.这样有可能缩小.积分正好相反!
g(0)=f(0)是用罗必达法则得出来的
注意同学,据我观察你划的那个式子是负值,而积分的本质用途是求曲边梯形的面积,因此颠倒上下限,只是为了去负号 再问： 那从0-1变为1-0是由于换元 而后面又变回来是去了一个负号是吗？ 再答： 对的
既然楼主说明了符号,就按楼主的表示方式来表达吧.变限积分简单的说就是一个以积分上限为自变量的函数.它有两个性质,分别是：1.Φ’(x)=f(x)2.Φ(x)是f（x）的一个原函数非初等函数的例子应该很容易得到,比如说,分段函数就不是初等函数,只要 f（t）是分段函数,而[a,x]区间包含了分段点,自然Φ(x)也是分段函
当然不可以啊,你的公式是怎么来的? 再问： 就是那个cos或sin的n次方 积分区间是0到π/2, 当n为偶数时， 是[(n-1)!!/n!!]π/2,n是奇数时没有π/2 再答： 那是到π/2的公式呀再问： 那我把上限π/4 变成π/2 符号外面在添个1/2不是变成π/2了么 再答： 假如你5岁的时候高50厘米，那么
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