求一个正交变换x=Py，将以下二次型f=3x1^2+3x3^2+4x1x2+8x1x3+4x2x3化为标准形_百度知道
求一个正交变换x=Py，将以下二次型f=3x1^2+3x3^2+4x1x2+8x1x3+4x2x3化为标准形
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3|A-λE| =3-λ
3-λc1-2c2,c3-2c2-1-λ
02+2λ -λ
-1-λr2+2r1+2r3-1-λ
-1-λ=(-1-λ)^2(8-λ)所以A的特征值为 λ1=λ2=-1, λ3=8(A+E)X=0的基础解系为 a1=(1,0,-1)',a2=(1,-4,1)'(A-8E)X=0的基础解系为 a3=(2,1,2)'已经正交单位化:b1=a1/||a1||=(1/√2)(1,0,-1)'b2=a2/||a2||=(1/√18)(1,-4,1)'b3=a3/||a3||=(1/3)(2,1,2)'令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 是正交变换且 f = -y1^2 - y2^2 + 8y3^2.
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用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+5x2^2+5x3^2+4x1x2-4x1x3-8x2x3化成标准型
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解: |A-λE|= 2-λ
5-λ -4-2 -4
(消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果) 2-λ
1-λc2-c3 2-λ
1-λ= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8]
(按第3行展开, 再用十字相乘法)= (1-λ)(λ^2-11λ+10)= (10-λ)(1-λ)^2.A的特征值为: λ1=10,λ2=λ3=1.(A-10E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-2)'(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(2,-1,0)',a3=(2,0,1)正交化得b1=(1,2,-2)'b2=(2,-1,0)'b3=(1/5)(2,4,5)'单位化得c1=(1/3,2/3,-2/3)'c2=(2/√5,-1/√5,0)'c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'令Q=(c1,c2,c3). 则Y=QX是正交变换,且 f=10y1^2+y2^2+y3^2
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|A - xE| =x -2 2-2 x-4 -42 -4 x+3r3-2r1x -2 2-2 x-4 -42-2x 0 x-1c1+2c3x+4 -2 2-10 x-4 -40 0 x-1= (x-1)[(x+4)(x-4)-20]= (x-1)(x^2-36)= (x-1)(x+6)(x-6)A的特征值为:1,6,-6(A-E)X = 0 的基础解系为:a1=(-2,0,1)'(A-6E)X = 0 的基础解系为:a2=(1,5,2)'(A+6E)X = 0 的基础解系为:a3=(1,-1,2)'单位化得b1=(-2/√5,0,1√5)'b2=(1/√30,5/√30,2/√30)'b3=(1/√6,-1/√6,2/√6)'P = (b1,b2,b3),X=PY,则有f = y1^2 + 6y2^2 - 6y3^2
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f=2x12+3x22+4x1x3+3x32 化二次型为标准型感觉用正交变换做不出来,老感觉特征值是错的 用配方法可以2 0 2 0 3 02 0 3 特征值只能求出来一个3 其他的两个 2 和1 感觉求不出来
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2 和 1 不是特征值3个特征值是:0.43843.00004.5616
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